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Full text of "L'Enseignement mathématique"

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L'ENSEIGNEMENT 

M AT HÉ M A TIQUE 



GENEVE 
[IMPRIMERIE W. KUNDIG & FILS 



^r 



L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQl E 

MÉTHODOLOGIE ET ORGANISATION DE [^ENSEIGNEMENT 

PHILOSOPHIE ET HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES 

CHRONIQUE SCIENTIFIQUE — .MELANGES BIBLIOGRAPHIE. 

REVUE INTERNATIONALE 

PARAISSANT TOUS LES DEUX MOIS 



C.-A. LAISANT 

Docteur es sciences, 

Examinateur d'admission à l'Ecole 

polytechnique de Paris. 



DIRIGEE PAR 

H. FEHR 

Docteur es sciences, 

Professeur à l'Université de Genève 

et au Gymnase. 

AVEC LA COLLABORATION" DE 



A. BUHL 

Doctour es sciences 
Mailre de Conférences à la Faculté des Sciences de Montpellier. 

COMITÉ DE PATRONAGE 

P. APPELL (Paris). — Mor. CANTOE (Heidelbcrgi. - E. CZUBER (Vienne >. — W.-P. EEMAKOF I Kief). 
A.-R. FORSYTH, (Cambridge). — Z.-G. de GALDEANO (Saragosse). — A.-G. GREENHLLL ( Woolwich). 

F. KLEIN (Gôttingen). — G. LORIA (Gènes ). — P. MANSION (Gand). 

MITTAG-LEFFLER (Stockholm). — G. OLTRAMAEE (Genève). — Jolic* PETERSEN (Copenhague. 

E. PICARD (Paris). — H. POINCARÉ (Paris). — P. -H. SCHOUTE (Groningue). 

Dav.-Eug. SMITH (New-York). — C. STEPHANOS (Athènes). — F. Gomks TEIXEIRA (Porto). 

A. VASSILIEF (Kasan). — A. ZIWET (Ann Arbor, Michigan, U. S. A.). 



SEPTIEME A N N E E 

1905 




PARIS 
GAUTHIER -VILLARS, ÉDITIEZ 

55, QUAI DES GRANDS-AUGUSTIN"* 



0- 

GENÈVE 
GEORG & C ie , ÉDITEURS 

10, CORRATERIE, 10 



1905 



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in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/lenseignementmat07inte 



PETER Gl THRIE T \IT 

par John S. Mackay, M. A.. I.I.. I). 



Petek (iiTHiuK Tait naquil clans la petite ville de Dalkeith, 
près d'Edimbourg, le 28 avril 1.831. Au mois d'octobre 1841, 
il entrait comme élève de première c'est-à-dire de la classe 
la moins avancée) à Academy d'Edimbourg. Il y resta six 
ans, et les archives scolaires attestent qu'il fut un brillant 
élève; que. dans les cours d'humanités, il remporta toujours 
les premiers prix, et que dans l'étude des mathématiques il 
surpassa non seulement les élevés de sa classe, mais encore 
ceux des classes supérieures. Parmi ces derniers se trouvait 
James Clehk Maxwell, avec qui Tait se lia d'une amitié qui 
devait durer jusqu'à la mort de Maxwell. Les deux jeunes 
gens, quoique ne suivant pas les mêmes cours, avaient les 
mêmes goûts scientifiques, et prirent de bonne heure l'habi- 
tude d'échanger des notes sur les mathématiques. Quelques- 
unes de ces notes, dont la famille Tait a bien voulu se des- 
saisir, sont restées à l'école, et il est intéressant de compa- 
rer la belle et claire écriture de Tait avec le griffonage de 
son illustre condisciple l . 

A cette époque, le cycle des éludes de Academy compre- 
nait sept années ; mais à la fin de sa sixième année Tait 
quitta Academy, et se fit inscrire comme étudiant de l'Uni- 
versité d'Edimbourg pour la session de 1847-48 pendant la- 
quelle il suivit les conférences de Kelland Mathématiques 
et de Forbes Physique . Ses aptitudes mathématiques étaient 
telles qu'après avoir passé quelques semaines dans la pre- 
mière, ou classe initiale, il fut envoyé par Kelland en se- 
conde, et peu après en troisième, la classe finale. l'ait regret la 
plus tard cette promotion si rapide. 



• Plusieurs traits caractéristiques et amusants de la classe <le 'l'ail et de ses professeurs, 
notamment du professeur de mathématiques, L) r Gloac, ont >•(>■ notes par le Colonel 
Fergusson dans un volume intitulé a The Cumming Club. <• 

L'Enseignement mathém. "■ année : 190.V 1 



6 ./.->. .1/./ CKA ) 

En 1848 Tait entra au S'-Peter's Collège, Cambridge, où il 
iil la connaissance de \\ . J. Steele son plus redoutable com- 
pétiteur pour ies suprêmes honneurs académiques. En 1852 
Tait obtint les litres de Senior Wrangler et First Smith's 
Prizcmann, et Steele arrivait immédiatement après lui. Aussi- 
tôt après, les deux amis se mirent à écrire un livre sur le su- 
jet Dynamics of a Particle; mais une mort prématurée priva 
Tait de son collaborateur avant que l'ouvrage n'eût fait grand 
progrès. Le livre parut en L8.~>6. Il a eu une vingtaine d'édi- 
tions, et quoique enrichi par maintes investigations nou- 
velles, et de nombreuses additions, toutes de la main de 
Tait, il porte encore sur son titre les noms des deux amis. 

Après avoir pris ses grades, Tait remplit pendant deux ans 
les Jonctions de maître de conférences au S'-Peter's Collège, 
et en 1854 il fut nommé professeur de mathématiques au 
Queen's Collège, Belfast. De cette époque date sa liaison avec 
le docteur Andrews le chimiste, « dans le laboratoire du- 
quel ». dit Tait, « j'ai appris pour la première fois à bien 
manier les appareils scientifiques. Ses sages avis me firent 
sentir l'importance suprême de la précision, et surtout celle 
de l'honnêteté scientifique. » 

En 1853 fut édité le volume de Lectures on Quaternions 
par Sir W. P». Hamilton, et bientôt après l'ail enthousiasmé 
se lançait avec ardeur dans l'étude de ce nouveau sujet. Il 
publia dans le Messenger of Mathemalics et le Quarterly Jour- 
nal quelques mémoires dans lesquels il faisait l'application des 
idées de Hamilton à la Physique mathématique. Quelque douze 
ans plus tard Tait fit paraître son Elemenlary Treatise ou Qua- 
ternions dont il avait longtemps retardé la publication, pour 
ne pas devancer Hamilton qui travaillait à son chef-d' oeuvre 
Eléments of Quaternions. 

En 1860 quand J. D. Forbes, dont le nom est si connu, 
giàce à sa théorie des glaciers, fut promu o Principal » dé 
l'Université de S'-Andrews, ses élèves Tait et Clerk Maxwell 
posèrent tous deux leur candidature à sa chaire. Le choix 
tomba sur Tait, on peut ajouter heureusement, car si Max- 
well savait instruire l'élite des étudiants. Tait, lui, était aussi 
habile avec les intelligences ordinaires qu'avec les esprits 



I> I. TER G UTHRIE TAIT 

supérieurs. L'homme étail digne de la chaire, et In chaire 
convenait admirablement à l'homme. Sa nouvelle situation 
lui permit de répandre ses doctrines parmi la jeunesse stu- 
dieuse de différents pays, de lui inspirer son enthousiasme 
pour les sciences exactes, et de lui donner l'exemple d'un 
chercheur qui sans relâche poursuit la vérité. « La plus 
grande partie de mon temps », a-t-il dit, « a été affectée à 
l'enseignement et aux travaux indispensables qui s'y ratta- 
chent. » 11 consacra les loisirs qui lui restaient à des recher- 
ches mathématiques et expérimentales, et aux affaires de la 
Société Royale d'Edimbourg. 

Il s'était lié, avant sa nomination à la chaire de l'Université, 
avec le professeur William Thomson de Glascow aujour- 
d'hui lord Kelvin). Les deux savants prirent la résolution 
d'écrire ensemble un Treatise on Natural J } ltilosopJuj en 
quatre tomes. Le premier tome (le seul qui ait paru vit le 
jour en 1867, et produisit une révolution dans le mode d'en- 
visager le sujet. Comme ouvrage classique il a la même im- 
portance pour la Physique moderne que les Principia de 
Newton pour l'Astronomie. On lui a donné le sobriquet de 
T and T Thomson et Tait), la notation prolongée T" ser- 
vant, chez les amis de Tait, à désigner le professeur Tyndall. 
Le récit suivant de la marche et de la fin de leur collabora- 
lion est donné par Lord Kelvin, dans sa notice nécrolo- 
gique sur Tait, lue devant la Société Royale d'Edimbourg. 

« La composition de la première partie de T et T' fut trai- 
tée en manière de divertissement perpétuel pour tout ce qui 
concerne les détails ennuyeux échange de brouillons, « co- 
pie », changements typographiques), aussi bien que la cor- 
rection finale des épreuves. Elle fut égayée par un échange 
de visites entre Greenhill Gardens, Drummond Place, ou 
George Square [demeures de Tait], et Largs, Arran, ou l'an- 
cien ou encore le nouveau collège de Glascow [demeures de 
Thomson]. 

« En 1878 nous arrivâmes à la fin de notre Division II sur 
la Dynamique Abstraite. Selon notre programme initial nous 
aurions dû passer aux propriétés de la matière, à la chaleur, 
à la lumière, à l'électricité, et au magnétisme : mais, au lieu 



8 /.->. MA CKA Y 

de suivre ce programme, nous convînmes d'étudier, à L'avenir, 
chacun de noire côté, librement, des sujets variés, sans nous 
astreindre à fournir simultanément le plus de matière pos- 
sible, et sans avoir en vue un traité complet. Aussi notre 
livre, une ibis terminé, ne fit-il que jeter les hases de 
l'édifice que nous nous étions d'abord proposé de cons- 
truire. » 

En 1860 Tait fut élu membre de la Société royale d'Edim- 
bourg, en 1864 il fui associé au professeur J. H. Balfoub 
comme secrétaire, en 1879 il devint secrétaire général, le 
fonctionaire le plus important et le plus inlluent de l'associa- 
tion. Dès son élection il avait commencé ses contributions 
aux Transactions et Proceedings et ces contributions furent 
continuées chaque année jusqu'à la fin de sa laborieuse exis- 
tence. Pour reconnaître la valeur de ses mémoires, la Société 
lui a décerné deux fois (1869, 1874) la médaille Keith, et en 
1900 le prix « Gunning Victoria Jubilee ». La Société royale 
de Londres, bien qu'il ne fût pas un de ses membres, lui 
présentait en 1886 une de ses médailles royales. La plupart 
de ces mémoires et d'autres insérés dans le Messenger ofMa- 
thematics, le Quarterly Journal of Afathematics, le Philoso- 
phical Magazine, les Proceedings of the Edinburgh MatJie- 
matical Society ont été réimprimés à l'université de Cam- 
bridge dans deux grands volumes in-quarto. 

II serait difficile de classer des mémoires si nombreux il 
y en a plus de cent trente), si variés, et de les ranger par 
ordre d'importance. Il suffira d'attirer l'attention sur les mé- 
moires relatifs aux Quaternions, aux principes de la théorie 
cinétique des gaz, aux observations de température faites 
par l'expédition du Challenger, et à la théorie des nœuds, le 
développement le plus intéressant et le plus beau qui ait été 
l'ait jusqu'ici de la Geometria Sitns. Ceux qui désirent savoir 
ce que Tait entendait par les termes knottiness, knotfulness, 
et beknottedness termes d'une nomenclature nouvelle impo- 
sées par un sujet nouveau), devront consulter ses mémoires, 
car ces mots sont intraduisibles en français. 

Il serait injuste de passer sous silence les autres contribu- 
tions fournies par l'ait à la littérature scientifique du dix- 



PE TER G UT H RIE TAIT 9 

neuvième siècle, car elles sont nombreuses, variées et im- 
portantes. On peut citer ses articles clans la North British 
Review L864-6), Sketch ofThermodynamics 1868), Introduc- 
tion to Quaternions en collaboration avec le professeur Kel- 
land (1873), l'appréciation de l'œuvre scientifique de son pré- 
décesseur J. D. Fprbes (1873 , Récent Advances in Physical 
Science L876), Light (1884), Heat L884), Properties of Matter 
L885), Thermodynamics L888), Dynamics 1895), Newton's 
Lawsof Motion L899 . 

En collaboration avec Balfour Stewart il lit paraître en 
1875 un livre intitulé « The Unseen Universe ». Le but prin- 
cipal de cette œuvre extraordinaire, que le public ne parait 
pas avoir bien comprise, était de montrer les limites de la 
science humaine, et de réfuter cette assertion que la science 
est incompatible avec la religion. Un autre volume « Para- 
doxical Philosophy » qui le suivit, et qui fut dû à Tait seul, 
ne semble pas avoir eu le même retentissement. 

Tait avait des opinions très arrêtées sur beaucoup de sujets, 
et quoiqu'il soit vrai qu'il n'en fit jamais parade, il est égale- 
ment vrai qu'il ne prit jamais la peine de les cacher. Sa fran- 
chise l'entraîna une ou deux fois dans des controverses, 
comme celle qu'il eut avec le professeur Tyndall sur réta- 
blissement de l'équivalent mécanique de la chaleur. Les dé- 
tails de ces discussions seraient déplacés ici, mais ceux qui 
s'intéressent à ces polémiques seientiliques sont renvoyés 
aux tomes du Philosophical Magazine et de Nature. 

Les récréations physiques des savants sont aussi intéres- 
santes pour leurs confrères qu'elles le sont pour le grand pu- 
blic. La seule récréation de ce genre était pour Tait le jeu 
de « golf». A notre époque presque tout le monde, depuis 
le premier ministre de l'Etat jusqu'au plus humble gamin, 
sait jouer au « golf » ; mais bien rares sont ceux qui ont 
étudié ce jeu scientifiquement. C'est Tait qui a inauguré 
cette étude, et tout ce que nous savons de la science (par 
opposition à l'art du « golf» vient de lui. Un de ses fils, le 
très regretté Freddie, qui lut tué dans la guerre sud-afri- 
caine, était un des meilleurs « golfeurs » qui aient jamais 
existé, et il aida son père dans les expériences entreprises 



lu J.-S. MA CKA Y 

pour déterminer la vitesse initiale d'une balle habilement 
frappée. 

Quoique robuste et « fort » dans toute l'acception du mot, 
Tait ressentit, un an ou deux avant sa mort, les efï'ets du tra- 
vail incessant et ardu auquel il s'était livré sans mesure. Il 
n'en garda pas moins, presque jusqu'à son dernier jour, la 
force de s'acquitter de ses fonctions professorales. Il est 
mort le 4 juillet 1901 dans la maison de son élève et ami sir 
John Murray. 

Il avait épousé en 1857 Miss Margaret Porter, jeune fille 
issue d'une famille très distinguée, et qui lui survit. Il a 
laissé trois fils et deux filles. 

Plusieurs tributs ont été payés à la mémoire de Tait par 
ses amis et ses élèves. Parmi les uns il faut citer les notices 
de Lord Kelvin, des professeurs Chrystal et Flint, et de 
M. J. D. Hamilton Dickson ; parmi les autres les notices des 
professeurs Knott, Macfarlane, Macgregor et du docteur 
G. A. Gibson. Tous ces écrits sont des témoignages élo- 
quents de l'affection, de l'estime, et de la vénération que le 
caractère ouvert, loyal et courageux de Tait n'a jamais man- 
qué d'inspirer. 

En 1879, dans sa notice nécrologique sur Clerk Maxwell 
Tait s'exprime ainsi : 

« L'Ecosse a bien raison d'être fière de la pléiade de grands 
hommes de science qu'elle compte parmi ses fils récemment 
décédés ; mais même dans la compagnie de Brewster, de 
Forbes, deGraham, de Rowan Hamilton, de Rankine et d'Ar- 
chibald Smith, elle décernera une place au premier rang à 
James Clerk Maxwell. » 

Le nom de Peter Guthrie Tait sera aussi, croyons-nous, 
enregistré dans cette illustre compagnie, et restera toujours 
associé à celui de son condisciple de l'Academy d'Edim- 
bourg. 

John S. Mackay Edimbourg). 



SUR L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES 
ÉLÉMENTAIRES EN ITALIE' 



Les traditions géométriques de l'Italie sont euclidiennes : 
dès que les ténèbres du moyen âge furent dissipées, des édi- 
tions, des traductions, des commentaires des Eléments d'Eu- 
clide commencèrent à paraître et elles se succédèrent sans 
cesse en portant les signatures de personnalités émînentes, 
telles que Tartaglia., Commandino, Yiyiani, Rorelli, Grandi, 
Sacheri, Fagnano, Flauti. Cette brillante série est une 
preuve du culte sans bornes que l'Italie, pendant bien des 
siècles, paya au grand Alexandrin. Toutefois, lorsqu'elle 
devint enfin libre, et put jouir d'un bout à l'autre d'un 
gouvernement national, elle conservait encore dans son orga- 
nisation scolaire des traces déplorables et évidentes de son 
séculaire servage. Dans l'ancien Piémont, par exemple, cer- 
tainement à cause de l'influence française, on préférait la 
méthode demi-arithmétique de Legendre aux rigoureux pro- 
cédés géométriques d'EucLiDE ; tandis que dans les provinces 
qui venaient de secouer le joug autrichien se trouvaient ré- 
pandus des manuels écrits uniquement dans un but commer- 
cial ; ils étaient si peu satisfaisants que Cremona, devenu 
professeur dans un gymnase de la Lombardie, n'en voulut 
adopter aucun comme livre de texte et salua, comme signal 
d'une amélioration et point de départ de nouveaux progrès, 
la traduction d'un ouvrage, aujourd'hui presque oublié : je 
veux parler du Traité de géométrie de Amiot. Chargé en 18l>7 
par son Gouvernement de tracer les lignes générales d'une 
réforme de l'enseignement géométrique dans les écoles clas- 
siques italiennes, Cremona n'hésita pas un seul instant à 
proposer comme remède le retour pur et simple aux Elé- 



1 Extrait d'une communication présentée au 3 m « Congrès international des mathématiciens 
a Heidolberg, le 9 août 1904. 



12 G. I.OIil.l 



me nts d'Eiiclide. Si cette mesure, que le gouvernement s'em- 
pressa d'adopter, peut paraître aujourd'hui un peu trop draco- 
nienne, lorsqu'on tient compte du but qu'elle se proposait 
H qu'elle atteignit en effet!, c'est-à-dire d'extirper de nos 
éeoles les mauvaises habitudes introduites par certains livres, 
elle doit être considérée comme un des aetes du grand 
mathématicien qui le signalent à la reconnaissance éter- 
nelle de ses concitoyens. Il est juste d'ajouter que dans sa 
courageuse entreprise il eut comme alliés deux autres grands 
savants, Brioschi et Betti, dont l'excellente édition d'Ei- 
clide rendit non seulement possible, mais relativement 
aisée, la réforme proposée par Gremona. 

Le retour à la source pure de la géométrie grecque, ayant 
comme résultat immédiat des préjudices matériels, provoqua 
une opposition vive, mais qui ne pouvait durer longtemps 
et par bonheur, finit bientôt par s'éteindre. Toutefois les 
grands mathématiciens qui introduisirent les Eléments d'Eu- 
clide dans les écoles italiennes ne niaient pas que ce livre, 
après vingt-deux siècles, n'eût pas besoin de retouches; 
aussi le Gouvernement italien ouvrit-il un concours pour 
un traité inédit de Géométrie élémentaire, et un peu plus lard 
adoucit la disposition que nous avons citée tout à l'heure, en 
se bornant à demander que l'enseignement classique fût l'ail 
d'après la méthode, mais non sur le texte même d'EucLiDE. 
\ oilà une décision qu'on ne saurait trop louer; c'est elle, en 
effet, qui permit l'adoption dans nos écoles de bons traités, 
par exemple de ceux de Sannia et d'Ovinio et de Faifofer ; 
c'est elle qui invita en quelque sorte les géomètres à cher- 
cher si les théories exposées par le grand maître se prêtaient 
à des améliorations didactiques et scientifiques, et donna 
l'essor à des recherches qui conduisirent à des résultats 
d'une importance considérable; tels sont ceux, ayant traita 
la théorie de l'équivalence des polygones et des polyèdres, 
qui parvinrent à corriger un défaut existant dans les Elé- 
ments d'Euclide, que Legendre lui-même ne parvint pas à 
supprimer. 

Ce régime de liberté toujours croissante, si conforme au 



/. E S M A TH E MA TIQV E S E N ITAL1 E 1 3 

naturel du peuple italien, encouragea des savants de premier 
ordre, vivant en dehors des écoles moyennes, à porter leur 
attention du côté des éléments de la géométrie. 

Le premier des géomètres, qui entrèrent dans cette voie, 
est notre regretté De Paolis, qui. par un excellent manuel, 
tout à fait original, non seulement rendit populaire dans 
nos écoles l'idée d'abattre l'ancienne séparation de la Géo- 
métrie en Géométrie plane et en Géométrie de l'espace, 
mais, par de nombreux exemples, prouva l'utilité théorique 
de cette innovation. 

Non moins radicale est la réforme que proposa plus tard 
M. Veronese, en poursuivant le cours des idées qui carac- 
térisent ses remarquables recherches de Géométrie à plu- 
sieurs dimensions ; bornons-nous à signaler ses efforts cou- 
ronnés de succès, pour déterminer le rôle de l'idée de mou- 
vement dans les démonstrations géométriques et la conclu- 
sion à laquelle il parvint, qu'il est scientifiquement possible 
et utile, au point de vue pédagogique, de bannir tout à l'ait 
ce concept. L'importance de l'action de M. Veronese a été 
accrue par les nombreuses discussions soulevées par ses 
propositions. 

Moins révolutionnaires ont été les derniers de ceux des 
savants italiens qui s'occupèrent de Géométrie élémentaire ; 
en effet, MM. Enriques et Amaldi, en se rattachant de nou- 
veau à la tradition euclidienne, se proposèrent, dans un livre 
récent, de refaire les Eléments d'Euclide, en les exposant 
sous une l'orme adaptée à l'état actuel de la science et aux 
besoins de nos écoles. La question des postulats fondamen- 
taux de la Géométrie et la théorie de l'équivalence attirèrent 
leur attention d'une manière tout à fait spéciale, dans le but 
de satisfaire à la fois aux exigences de l'enseignement et à 
celles de la science d'aujourd'hui. 

De nature bien différente est enfin l'essai d'introduire la 
logique mathématique dans l'enseignement élémentaire de 
la Géométrie et aussi de l'Algèbre; cet essai doit être cite. 
car il se base sur une méthode qui compte en Italie des 
adhérents nombreux et habiles; mais, ceux-là même qui 
considèrent favorablement le Calcul logique dans ses appli- 



14 G. I.OHIA 

calions a l'analyse microscopique des idées fondamentales 
des mathématiques, ne croient |>as en général qu'il soil 
destiné à nous fournir la solution définitive du problème de 
renseignement élémentaire. 

Avant eu l'occasion de citer des travaux didactiques ayant 
trait au calcul, il ne m'est pas permis de passer sous silence 
des maîtres tels que MM. Arzelà, Capelli et Pincherle qui, 
par des ouvrages, qui eurent un grand succès, ont affranchi 
leur pavs de la nécessité de recourir à l'étranger pour avoir 
des bons manuels d'arithmétique et d'algèbre. 

Les élèves des savants que nous venons de nommer, dès 
qu'ils occupèrent une chaire dans renseignement moyen, se 
proposèrent, par des efforts qui les honorent, de mettre à 
l'épreuve ces nouveaux procédés didactiques ; par cela ils 
réussirent à les rendre plus parfaits dans les détails et plus 
adaptés à l'intelligence des jeunes gens. En conséquence 
l'ancien type de nos écoles subit une modification radicale; 
car les jeunes professeurs, essayant avec un enthousiasme 
communicatif les méthodes nouvelles, ramenèrent de la vie 
et de la lumière dans les mornes salles où auparavant 
quelque vieux maître, tout en baillant, exposait l'ancienne 
démonstration du théorème de Pythagore, en présence d'un 
auditoire sommeillant. Le grand publie, en général enclin 
à se méfier des nouveautés, suit avec crainte ce changement, 
appuyé en cela par les maîtres de l'« ancien régime », qui 
considèrent tout ce mouvement par le même œil que certains 
anciens médecins jugent les nouveaux procédés curalifs; 
mais ceux qui ont foi dans le progrès indéfini du savoir ne 
peuvent que saluer avec joie ces changements que l'ait la 
méthode d'enseignement de la Géométrie, tout en procé- 
dant toujours sur la roule indestructible frayée par Eucliue. 

La Société Mathésis, fondée il y a quelques années en 
vue de grouper ceux qui enseignent les sciences exactes 
dans les écoles moyennes, met en lumière d'une manière 
éclatante toute cette vie dont sont animés nos professeurs de 
mathématiques : son noble programme a été résumé en d'ex- 



I. E S M A T H 11 MATIQV E S E N IT ALI E 1 5 

eellenls termes par un de ses présidents en écrivant que son 
but est de tourner les progrès de la science a l'avantage de 
l'école. En attirant l'attention des savants sur des thèmes dé- 
terminés, en dirigeant les discussions relatives, en fixa ni des 
réunions partielles et des congrès généraux, Mathésis tient 
allumé ce feu sacré qui nous paraît nécessaire pour que les 
professeurs des écoles moyennes soient dignes de la haute 
fonction que la société leur a confié; si elle a soin de main- 
tenir le contact continuel de ses sociétaires avec les membres 
du corps universitaire, elle contribuera à développer de plus 
en plus cet échange d'idées entre les professeurs de tous les 
degrés, qui nous semble indispensable, si Ton veut assu- 
rer cette continuité dans renseignement de la même branche 
du savoir, qui parait nécessaire à tous ceux qui se rappelant 
que natura abhorret a salins. 

Parmi les questions qu'on a discutées au sein deMathésis, 
il y en a deux qui par leur importance méritent que nous en 
disions quelques mots. 

La première a été soulevée par la publication du Traité de 
Géométrie de De Paolis et consiste dans la recherche dès 
avantages que peut tirer l'enseignement si l'on détruit l'an- 
cienne séparation élevée par Euclide entre la Géométrie du 
plan et celle de l'espace. Dès 1825 Gekgoxne observait « qu'il 
est raisonnablement permis de se demander si notre manière 
de diviser la Géométrie en Géométrie plane et Géométrie 
de l'espace, est aussi naturelle et aussi exactement conforme 
à l'essence des choses, que vingt siècles d'habitude ont pu 
nous le persuader; » c'est la même idée que soutint, une 
quinzaine d'années après, un obscur géomètre français, de 
Mahistre, dont M. Laisant a récemment opéré l'exhuma- 
tion \ 

La 2 e édition de l'ouvrage de de Mahistre parut dans la même 
année 1844) où fut publié le Lehrgebânde der niedern Géo- 
métrie de Cari Anton Bre tschneider, dans lequel la fusion 
entrevue par Gergonne est effectuée ; car au lieu de L'ancienne 
division de la géométrie, on trouve celle en géométrie de 



1 L'Enseignement mathématique, 1.111. 1901, p. 08 et suiv. 



16 G. LORIA 

position, géométrie de la forme, géométrie de la mesure. Si 
lions ne nous trompons pas, Bretschneider en Allemagne, 
pas plus que Gergonne en Fiance, ne trouva des imitateurs, 
quoique Schlômilch ait franchement proclamé que « la 
prééminence de la planimétrie est une erreur, le ton devant 
être donné par la stéréométrie ». Quant à l'Italie, il est bien 
remarquable que dans les programmes officiels pour nos 
Instituts techniques, publiés en octobre 1871, on lit les lignes 
suivantes, dues sans doute à Brioschi : « Se servir de l'es- 
pace à trois dimensions, îrième dans les questions de géo- 
métrie plane, est un des art i lices d'investigation géométri- 
que, que même les anciens ont connu, et qui contribue à 
donner bientôt aux élèves l'habitude de voir par les yeux de 
l'esprit les figures géométriques de l'espace idéal. » Et peu 
après Cremona ajoutait dans un ouvrage célèbre : « Les 
considérations stéréohiétriques donnent bien souvent le 
moyen de rendre facile et intuitif ce qui en géométrie plane 
serait compliqué et de démonstration difficile : d'ailleurs elles 
aiguisent l'intelligence et aident le développement de cette 
imagination géométrique qui est une qualité essentielle de 
l'ingénieur pour qu'il puisse concevoir les figures de l'espace 
même sans l'aide d'un dessin ou d'un modèle l . » Presque au 
même instant où le grand maître italien écrivit ces lignes, 
un éminent géomètre français, M. Méray, en s'inspirant aux 
idées de Gergonne, effectuait la fusion des deux géométries 
par ses excellents Nouveaux éléments, publiés à Paris en 
1873. Mais il semble qu'à ce moment-là ses idées ne furent 
guère goûtées par ses compatriotes, ni à l'étranger.; en 
tout cas elles n'étaient pas connues par De Paolis lorsqu'il 
conçut le plan de ses Elementi di geometria Tprino L884 . 
C'est par la publication de ce livre bientôt suivi parcelle 
d'un traite analogue de MM. Lazzeri e Bassani que com- 
mencèrent en Italie les longues discussions entre fusionnistes 
et séparatistes ; et il est digne d'être noté que l'écho de ces 
débats, étant arrivé jusqu'à Dijon, par l'organe de celui qui a 
l'honneur de vous parler. M. Méray, fut encouragé à reve- 



1 Elementi di geometria projettiva (Torino, 1kt:î'. Avant-propos 



f. I. S M A I II E MA T I Q l ' E S EN ITALIE I : 

nir sur ses anciennes méthodes el à les perfectionner: un 
brillant succès, constaté par des documents officiels, a cou- 
ponné ces nouveaux efforts! — On s'esl plu a me peindre 
comme un fusionniste ardent; c'est une exagération ; aimanl 
en généra] toute nouveauté, j'ai considéré avec une vive sym- 
pathie l'apparition d'une méthode nouvelle pour considérer 
l'ensemble des vérités géométriques. D'ailleurs, lorsqu'un 
procédé a été imaginé par des penseurs distingués de na- 
tionalités et d'époques différentes, et lorsqu'il s'esl mon- 
tré capable d'applications très vastes el très variées 1 , il me 
semble qu'il ne mérite pas d'être relégué parmi des pro- 
duits artificiels destinés à mourir, même si ses résultats 
n'autorisaient pas encore a trancher la question en sa laveur. 
Cela étant, il est naturel que j'exprime le vœu que la ques- 
tion de la fusion de la planimétrie et d<- la stéréométrie soit 
étudiée d'une manière large et complète, en essayanl de 
la résoudre en se servant tout aussi bien de considérations 
théoriques et des résultats des expériences qu'on a déjà l'ail - 
et qu'on est en train de faire. 

L'autre des questions traitées au sein de l'Association 
Mathesis, auxquelles je fis allusion un peu plus haut, est la 
recherche des moyens pour augmenter le profit de l'ensei- 
gnement des éléments des mathématiques. Or, cet enseigne- 
ment donne-t-il en général des résultats moindres que les au- 
tres enseignements parallèles, scientifiques ou littéraires ? Je 
ne saurais l'affirmer. Toutefois je trouve belle et digne de 
considération la question que je viens de signaler, car le 
maître doit s'efforcer d'accroître l'efficacité de son ensei- 
gnement, quel (pie soit le degré qu'il a déjà atteint. On ne 
peut s'attendre à obtenir une solution définitive et complète 
de la question énoncée : les observations générales qui 
suivent ne sont destinées qu'à l'éclaircir un peu. Je vais 
commencer par une remarque faite par Hermite, presque à 



1 On pont par exemple l'appliquer aussi dans l'enseignement de la géométrie analytique, 
comme l'a prouvé Biot depuis 1802. 

2 11 est hon de remarquer que les derniers programmes italiens ont été rédigés de ma- 
nière qu'ils peuvent servir aux fusionnistes aussi bien qu'aux séparatisti s. 

L'Enseignement ma l hé in. , 7^ année; 190ù. - 



18 G. f. OUI A 

la veille de sa mort; voila commenl s'exprimait ce grand 
maître : 

o l5\co\ i>k Vert i.wi a <lii que l'admiration esl le principe 
du savoir; sa pensée qui esl juste en général, l'esl surtout 
a l'égard de notre science, et je m'en autoriserai pour expri- 
mer le désir qu'on lasse pour les étudiants, la pari la plus 
large aux choses simples el belles qu'à l'extrême rigueur, 
aujourd'hui eu honneur, mois bien peu attrayante, souvenl 
même fatigante sans grand profit pour le commençant qui 
n'en peut eo m prendre l'intérêt '. » 

Une idée tout à l'ail analogue à celle de Bacon étail 
émise par un philosophe italien, Bovio, en disant que « le but 
de l'enseignement moyen est celui d'apprendre, non la 
science, mais l'amour de la science ». Or les mathématiques 
peuvent se considérer sous un double aspecl ; c'est-à-dire on 
peut les admirer comme un modèle le plus parfait d'édifice 
scientifique, dune solidité si parfaite que, même le siècle de 
la critique, n'a su en secouer les bases; ou bien comme four- 
nissant des moyens de recherches si sûrs et puissants que 
toutes les autres sciences y eurenl recoins dès qu'elles aban- 
donnèrent leur étal d'enfance. Or si c'est une prérogative de 
quelques esprits d'élite d'aimer des leur jeunesse les scien- 
ces exactes pour leurs qualités théoriques, toute personne 
intelligente ne peut rester froide en présence des belles ap- 
plications, dont elles sont susceptibles; en conséquence il 
ne sera pas assez, recommande aux professeurs de mathéma- 
tiques de traduire, sous une forme concrète, les questions 
théoriques 2 e1 d'insérer au milieu de l'exposition des doc- 
trines le plus souvent qu'ils peuvent des applications pra- 
tiques, variées el intéressantes. G'esl (Tailleurs une idée que 
j'ai trouvée déjà appliqué dans un excellent traite de géomé- 
trie, publié en Allemagne : je parle de celui de .MM. Henrh i 
et Treutlein, où, comme application de la trigonométrie, on 



1 Archiva. Math, und Phyx., :i Reihe, I. Bel. 

- Par exemple le problème « trouver la hauteur d'une pyramide triangulaire en eonnaissanl 
les angles laits avec le plan A.BC de la base par \>-^ arêtes latérales VA.Vlî.W, .. peut 
s'énoncer: •• calculer la hauteur d'un aérostat V en connaissant ses angles d'élévation lors- 
qu'on l'observe depuis trois points ABC donl les distances éventuelles sont connues ». Et la 
question de i trouver l'intersection d'une surface avec un cône circulaire» esl identique au 
fond avec celle de « déterminer 1 ombre portée par un disque sur une surface donnée ». 



/. /. .s M . I T II ÉM ATI Q i I. S E N ITALIE 19 

trouve des éléments de la triangulalion <ln Grand-Duché de 
Baden ! 

Le nom de M. Treutlein, que je viens de prononcer, me 
donne L'occasion de déclarer que je me range aussi de son 
côté lorsqu'il recommande l'indroduction d'un élément histo- 
rique dans l'expose des théories mathématiques : ■• Les ma- 
tières de la géométrie, a remarqué Biaise Pa.s< m .. sonl --i sé- 
rieuses d'elles-mêmes, qu'il esi avantageux qu'il s'offre quel- 
que occasion pour les rendre un peu divertissantes » ; or 
c'est l'élément historique qui fournit peut-être le moyen meil- 
leur pour interrompre la marche un peu lourde des déduc- 
tions mathématiques. 

Permettez-moi, Messieurs, que j'ajoute enfin une proposi- 
tion concernant particulièrement la Géométrie. Dans l'ensei- 
gnement universitaire les cours de Géométrie descriptive et 
de Géométrie projective sont accompagnés d'exercices mé- 
thodiques de dessin, dans lesquels les étudiants effectuent 
les constructions et appliquent les théories exposées par le 
professeur: c'est un moyen précieux permettant de familia- 
riser les élèves avec les méthodes dont les sources se trou- 
vent dans les œuvres immortelles de Monge et de Poncelet. 
Or pourquoi ce système ne pourrait-il pas s'étendre aux 
écoles moyennes? Deux heures d'exercices graphiques chaque 
semaine suffiraient aux élèves pour s'emparer de l'essence 
même des procèdes propres de la Géométrie et par un com- 
merce continuel avec les cercles et les triangles, ils appren- 
dront à aimer ce qu'auparavant ils ne faisaient que redouter: 
qu'il me soit permis de fixer sur cette idée l'attention des 
savants qui me font l'honneur de m'écouter. 

Comme c'esl bien naturel, on a beaucoup parlé, au sein 
de l'Association Matkésis, de programmes d'enseignement, en 
s'occupant des écoles classiques (Gymûasien aussi bien que 
des Ecoles et des Instituts techniques niedere und obère Real- 
schulen . C'est à propos de ces dernières que la différence 
des idées s'est manifestée plus vivement et n'est pas encore 
finie : c'est une chose qu'on pouvait prévoir et qu'il n'est pas 
difficile de s'expliquer; car l'enseignement technique n'a pas 
u\\ type détermine et fixe dans tous les pays: en Italie il y 



20 G. 1,0 RI A 

a des personnes qui croient bon de le forger sur le mo- 
dèle des lateinlosen Schulen de l'Allemagne on de Venseigne- 
ment moderne de la France, tandis que d'autres soutiennent 
l'opinion qu'il faut lui donner un caractère franchement pro- 
fessionnel, telle que l'aurait une école des arts et métiers. 
Je ne sais pas si c'est la cause ou l'effet de cette diversité 
d'opinions qui fit que nos instituts techniques ont effectué 
un voyage d'aller et retour du ministère de l'Instruction 
à celui de l'Agriculture et Commerce; en tout cas il me 
semble que ces écoles sont aujourd'hui formées par des 
(déments hétérogènes luttant sourdement entre eux et 
entre lesquels il naîtra tôt ou tard une scission définitive. 
Gomme professeur universitaire, je m'intéresse particuliè- 
rement au programme de la section physico-mathématique, 
car c'est elle seule qui mène aux écoles supérieures. Or 
ce programme a subi beaucoup de changements et je crois 
qu'il en subira encore, car le but même qu'il se propose 
n'est pas bien déterminé : pour les mathématiques il doit 
s'élever au-dessus des théories tout à fait élémentaires, 
mais il ne doit pas atteindre les mathématiques supérieures; 
il doit donc comprendre les mathématiques complémentaires. 
Or quelles sont les théories que l'on doit embrasser sous 
ce nom? Personne ne pourrait à présent le dire, ni le saura 
dire jamais. Par conséquent, suivant mon sentiment, il n'y a 
qu'une manière de rédiger le programme de mathématiques 
pour les sections physico-mathématiques des Instituts tech- 
niques: c'est de faire une liste assez nombreuse de thèmes 
entre lesquels le professeur pourra choisir suivant ses idées 
el ses goûts personnels, ou bien suivant les traditions de 
l'établissement auquel il appartient et suivant les aptitudes 
des élèves. Celle idée n'est pas nouvelle dans le fond, car 
elle constitue la moelle du Lehrplan publié il y a trois ans 
pour les Oberrealschulen de l'Allemagne ; c'esl une idée pro- 
fonde et extrêmement libérale qui fait honneur aux savants 
qui en ont pris l'initiative et il est à souhaiter qu'elle soit 
appliquée dune manière encore plus générale 

( iiNo Loria Gènes . 



L'ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE AUX ECOLES 

PROFESSIONNELLES 

ET LES MATHÉMATIQUES DE L'INGÉNIEUR 1 . 



1. — Quels besoins ont imposé a Besançon l'enseignement 

DES MATHÉMATIQUES DE l'iNGENIEI I!. 

J'ai créé àl'université de Besancon renseignement de Chro- 
nométrie; le but ici poursuivi est tout simplement la fusion, 
la pénétration réciproque de l'intuition ouvrière, de l'intuition 
technique et de l'intuition scientifique. Ce but à atteindre ;i 
été nettement entrevu par les promoteurs du nouvel enseig- 
nement, mais la réalisation même de cet enseignement n'a pas 
vérifié toutes les prévisions. On avait prévu des étudiants 
horlogers qui, pour la plupart, seraient des fils d'industriels, 
ou. si l'on préfère, des étudiants patrons. 

Or, sauf une exception, nos étudiants horlogers ont été 
jusqu'ici des ouvriers. Je m'en réjouis pour l'avenir, car ;i 
coté de l'école commerciale qui ne voit le progrès que dans 
l'aveugle imitation de Genève, je vois naître un petit noyau 
d'artisans originaux, un noyau de chercheurs qui sauront 
renouveler l'horizon de leurs idées et faire progresser cette 
horlogerie technique sans laquelle l'horlogerie commerciale 
elle-même ne pourrait prospérer. 

Le commerce est le but, c'est évident, mais s'il faut en 
horlogerie des capitaux, ne faisons pas fi des chercheurs ei 
<les trouveurs; l'idée, l'idée vivante est elle aussi un capital. 

Je me réjouis donc d'avoir des élèves ouvriers. 

Des étudiants ouvriers: ce simple fait a eu plusieurs con- 
séquences imprévues, je ne retiendrai ici que celles qui peu- 
vent intéresser la section de pédagogie de ce Congrès. Par 



1 Communication faite par M. J. A minute au 3 Hongres international tle> mathémali- 

•iens à Heidclberg le 10 août 1904. 



1-1 J. A V 1)11 A DE 

suite d'une entente incomplète avec L'école d'Horlogerie, nos 
auditeurs ouvriers nous arrivent jusqu'ici après leur sortie 
de l'école professionnelle; el cependant, ils nous arrivent 
ignorant des connaissances mathématiques les plus élémen- 
taires et les plus indispensables à l'intelligence de leur art; 
j'ai doue dû me préoccuper de leur donner le pins vite et le 
plus sûrement possible les rudiments des mathématiques du 
contremaître et même pour quelques points délicats de 
l'étude du réglage les éléments des mathématiques de l'in- 
génieur. Ainsi est né, pour les besoins mêmes de l'enseigne- 
ment régulier delachronomélrie, le cours des «Mathématiques 
de l'ingénieur». Je dois ajouter que ce cours qui s'est imposé 
à nous comme un enseignement nécessaire annexe du cours 
de chronométrie, a attiré d'autres auditeurs plus nombreux 
que les étudiants horlogers; et, en particulier, des étudiants 
de la physique industrielle. 

11. — Qu'est-ce que les mathématiques de l'i^génieir. 

Cet enseignement est extrêmement élémentaire, pourtant 
il n'est pas le cours élémentaire de nos lycées. A la fois plus 
H inoins, à coup sur il est autre. 

Moins étendu, niais plus proche des applications techniques 
il ne s'adresse pas à des jeunes gens dont les loisirs d'espril 
sont assurés jusqu'à la vingt-cinquième année ; il s'adresse, 
au contraire à des artisans qui ont besoin d'apprendre les 
mathématiques sur leurs outils. 

Les mathématiques ainsi étudiées au seuil même du chan- 
tier, du laboratoire ou de l'atelier doivent d'être enseignées 
par des méthodes à la fois plus simples et plus puissantes 
que ne l'exige l'éducation ordinaire de nos bacheliers. 

Nous touchons ici à l'une des erreurs les plus répandues 
autour de l'enseignement professionnel. 

On considère habituellement l'enseignement scientifique 
drs écoles professionnelles comme une simple amputation de 
l'enseignement secondaire. 

Il importe au contraire, que renseignement professionnel, 
garde son originalité propre. 



u . i ru i: m A r/nr i: s h i: i. i x G E . v 1 1: UH n 

Et en effet les élèves de l'enseignemen1 professionnel e1 
plus souvent encore les étudiants ouvriers on1 fréquemmenl 
une intuition très vive des phénomènes méeaniq ues et c'est sur 
cette intuition naturelle que Ton doits'appuyer pour illustrer 
les notions mathématiques dont ils ont besoin des qu'ils 
veulent être plus que des manœuvres. Ainsi, bien loin de 
croire que l'éducation mathématique des artisans puisse être 
confiée à n'importe qui, je suis au contraire persuadé que 
l'enseignement vivant des mathématiques exigé par les arti- 
sans finira, un jour Ou l'autre, par simplifier l'enseignement 
même de nos bacheliers. 

III. — Observations péoagogiques suscitées 
par l'enseignement des mathématiques de l'ingénieur. 

Voici diverses observations que j'ai constatées dans la prati- 
que de mon enseignement nouveau. 

Toutes les déterminations de fonctions cpie Ton rencontre 
dans les problèmes de la mécanique horlogère ont pu être 
parfaitement saisies par mes étudiants ouvriers lorsque la 
question comportait une interprétation géométrique adéquate 
au problème. 

L'un des exemples les plus nets que j'en puisse donner ici 
est l'assimilation complète par des étudiants ouvriers de la 
théorie des phénomènes de synchronisation. Cette théorie 
n'est qu'un jeu pour un étudiant qui possède la notion îles équa- 
tions différentielles linéaires: je me suis proposé de la rendre 
plus simple encore et de la réduire cà la simple géométrie de 
l'enfant. J'y suis parvenu par l'étude préalable du mouve- 
ment spiral uniforme ; en projetant en a. tes obliques conve- 
nables ce mouvement , je généralise les théorèmes d'Huyg- 
hens relatifs au mouvement circulaire et j'établis ainsi d'une 
manière intuitive les propriétés au mouvement pendulaire 
uniformément amorti. Archives de Génère, février l!>()4.) 

Soit alors à étudier ce que devient ce mouvement, quand 
il est troublé par une accélération périodique. Nous suppose- 
rons d'abord celle-ci répartie en phases d'intensité constante 
en nombre fini, une variation brusque existant alors en lin- 



■2\ ./. ANDRADE 

stanl ou se louchent deux phases contiguës : soit T la période 
de celte répartition périodique. Je fais alors usage de la re- 
présentation de Cornu qui définit à chaque instant L'état de 
mouvement position et vitesse tl un point mobile sur une 
droite qui contient les pôles des diverses spirales utilisées, an 
moyen d'un point de la spirale qui a le premier pour projection 
oblique. Les points Mo, Mi, Ma, .. M„ représentatifs de l'état du 
mouvement envisagé aux époques / , / + T, / -)-2T, .. / + //T 
— dérivent, chacun du précédent, par uni' menu- transfor- 
mation de ligure, savoir: une similitude directe avec coeffi- 
cient constant de condensation; or il est extrêmement facile 
de voir que cette transformation de ligure possède un point 
double P, c'est-à-dire un point P qui coïncide avec son trans- 
formé, d'où résulte évidemment que la transformation se ré- 
duit à une rotation li\e autour de P suivie dune homothétie 
déterminée autour du même point P, mais avec condensation, 
les points M„ tendent donc vers P quand n croit indéfiniment. 

Chacune des valeurs de t comprise dans une durée fixe 
d'étendue X fournit ainsi un point P ; cet ensemble de points 
I' forme une courbe fermée qui est la courbe représentative 
du régime périodique vers lequel tend asymptotiquement 
h' mouvement réel. 

Comme ces résultats sont complètement indépendants de 
la succession des phases de constance de la force synchroni- 
sante on conçoit aisément, et cela suffit ici, qu'ils doivent 
persister dans le cas d'une force périodique absolument quel- 
conque et de période T. Telle est la méthode géométrique 
qui permet à des étudiants ouvriers de se rendre compte du 
phénomène de synchronisation au moins dans le cas le plus 
simple. — celui où l'on néglige l'influence de l'échappement 
propre à l'horloge synchronisée. 

C'est l'approximation de Cornu; — je l'ai d'ailleurs com- 
plétée d'autre part. 

Je me suis étendu un peu sur cet exemple pour ne point 
rester dans les vagues généralités, mais il est encore d'autres 
notions que limage géométrique rend accessibles a des étu- 
diants artisans; telles sont les méthodes d'approximations 
successives et avec elles la belle méthode d'intégration par 



m A i il t: m ATI Q u i: s h i: i, i \ a E N i /. i ' n -i-> 

quadratures répétées en série que l'on (loi! a M. Picard, ces 
méthodes, dis-je, convenablement interprétées et surloul 

utilisées pour un problème défini sont faciSemenl assimi- 
lables. Notons en passant que la méthode de M. Picard 
fournit ainsi directement les séries entières de sin.r cl cos.f, 
et que cette méthode peut être employée utilement avec la 
méthode projeelive d'Huyghens. 

Je crois donc pouvoir nettement affirmer (pie la notion des 
infiniment petits n'offre aucune difficulté capable d'arrêter 
nos artisans toutes les l'ois qu'elle est appliquée à des varia- 
bles qu'ils connaissent bien. Mais en revanche tout calcul 
abstrait et littéral les arrête; résoudre Arux équations du 
L er degré a 2 inconnues sera pour eux bien plus difficile que 
de comprendre le phénomène de la synchronisation. 

Voilà un fait pédagogique qui surprendra peut-être; niais 
j'en garantis l'absolue exactitude. Ce fait tient uniquement 
selon moi, à ce que l'algèbre élémentaire est enseignée à 
l'école professionnelle comme on l'enseigne à des élevés qui 
ont des années de collège devant eux ; on Leur parle de mo- 
nômes, de binômes et d'irrationnelles, ce sont choses qu'ils 
ne voient pas à l'atelier. 

Au contraire, si on leur montre que toutes les opérations 
arithmétiques se ramènent à l'addition et au sectionnement, 
brefsi la notation littérale leur est rendue familière dès leurs 
premiers pas dans l'arithmétique raisonnée. et si aussitôt par 
l'image des segments on leur fait concevoir le calcul des 
(/nantîtes continues, leur terreur du calcul littéral abstrait 
s'évanouira. 

A des étudiants horlogers, qui n'ont pas de culture mathé- 
matique préalable, vous pourrez faire saisir quelques lois 
de la dvnamique de la montre, c'est-à-dire du réodaa*e • c'est 
que nos étudiants connaissent déjà les variables qui apparais- 
sent d'elles-mêmes dans le calcul; ils les connaissent et ils 
sont désireux de comprendre leurs relations; aussi sui- 
vront-ils attentifs tout raisonnement même long pourvu que 
celui-ci conserve les quantités auxquelles ils s'intéressent 
directement. 

Leur attention ne lâche prise que si, par ce qui vous parait 



26 ./. ./ NDRA DE 

un besoin <lu calcul, vous introduisez des quantités auxi- 
liaires. 

Le changement abstrait de variables les déroute; ils vou- 
«Iraient toucher la variable nouvelle aussi bien que la pre- 
mière qui leur est familière. 

Lorsque l'étudiant artisan ne sent pas la nécessité de se 
remettre à l'école d'un bon maître d'algèbre ou lorsqu'il n'en 
a pas le temps, et s'il veut néanmoins comprendre la théorie 
d'un phénomène qui l'intéresse, bref s'il veut comprendre 
une loi qui ne peut être claire que dans la langue du calcul, 
nous devrons l'intéresser à \\\\ calcul littéral nécessaire par 
des exemples où entrent en jeu des variables familières, et 
peu à peu lui faire sentir que la multiplicité des étapes du 
calcul, peut être évitée le plus souvent par l'emploi d'un 
symbole approprié. 

IV. — Quelques conclusions. 

En résumé, si le collégien a plus de loisirs et aussi plus 
d'esprit d'imitation, l'étudiant artisan a sur le collégien le 
grand avantage de connaître les variables fondamentales qui 
l'intéressent, il les connaît, soit par le toucher, soit par cette 
intuition motrice dont Herbert Spencer a saisi toute l'im- 
portance : il emploie pour ainsi dire des variables vécues 
par lui. 

Si le collégien a une certaine philosophie apparente, offi- 
cielle, oserai-je dire, des notions scientifiques, l'élève ouvrier 
a en germe plus de philosophie naturelle et vécue. 

Et voilà pourquoi il est possible, avec une géométrie à la fois 
très simple et profonde — une géométrie donl l'instinct de 
la Mécanique n'est jamais absent, voilà, dis-je, pourquoi il est 
possible à des étudiants ouvriers de se faire une philosophie 
naturelle bien supérieure à celle de nos bacheliers. 

Et voilà aussi pourquoi je ne crains pas de souligner ici 
l'importance de ces «Mathématiques de l'ingénieur». 

Importantes d'abord par leur but d'utilité immédiate, 
elles seront encore plus appréciées dans l'avenir, car elles 
finiront bien, un jour ou l'autre, par simplifier l'enseignement 



/. E S J) i: /•' / N I T I () V \ M . I T il /. MA II Q I I. S J7 

même de nos bacheliers qui est vraimenl d une anharmonie 
exagérée 

A cette œuvre de progrès contribuera ainsi, sans le vouloir, 
("et enseignement des mathématiques de l'ingénieur, s'il sail 
garder son originalité propre, jusqu'au jour où il réagira sur 
la pédagogie mathématique imposée à nos enfants. 

Jules Andrade Besancon . 



LES DEFINITIONS MATHEMATIQUES 1 



Une définition mathématique est une égalité logique dont 
le premier membre est le terme à définir, et dont le second 
membre est composé de termes connus soit déjà définis, soit 
admis comme indéfinissables). 11 s'ensuit que le terme a 
définir ne peut figurer dans le second membre, c'est-à-dire 
servir à se définir lui-même; la violation de cette régie cons- 
titue le cercle vicieux dans les définitions. Le premier mem- 
bre s'appellera le défini et le second membre le définissant 2 . 

La définition est une égalité logique, disons-nous; elle 
n'est cependant pas une proposition, car elle n'est ni vraie 
ni fausse. Le terme à définir est, par hypothèse, dénué île 
sens avant d'être défini (ou dépouillé du sens plus ou moins 
précis que l'usage lui attache ; il n'a de sens qu'après et par 
la définition. On ne peut donc ni affirmer ni nier l'égalité 
logique du défini et du définissant; on peut refuser de l'ad- 
mettre, voilà tout. C'est en ce sens que les définitions sont 
dites libres ou même arbitraires ; on veut dire par là qu'elles 



1 Le présent travail est entièrement inspire par les travaux et les théories des logiciens 
modernes, notamment de M. Peano et de son école. Ces théories sont résumées dans notre 
Manuel de Logistique (en préparationi. En attendant, nous nous permettrons de renvoyer le 
lecteur à nos articles sur Les principes des Mathématiques, dans la Revue de Métaphysique 
et de Morale (janv. 190'i et n os suivants). 

3 Nous proposons cette expression au lieu du mot définition, qui serait équivoque, puisqu'il 
désigne déjà Légalité du défini et du définissant. Les mathématiciens appellent souvent le 
définissant la valeur du défini : mais ce terme est équivoque, car il désigne aussi les 
entités constantes qu'on substitue aux variables. 



28 /,. COUTURA T 

sont indiscutables el irréfutables; on no peut les apprécier 
que par des misons de commodité, de convenance el d'usage. 
Dès qu'on se réfère à l'usage, c'est-à-dire au sens habituel 
conféré à tel terme, la définition u'esl plus libre ; mais aussi 
ce n'est plus une définition, c'est une proposition, qui con- 
siste à affirmer que le sens habituel de tel terme est bien 
le sens indiqué dans le second membre par le définissant ; 
celte proposition peut être vraie ou fausse, ei peut être légi- 
timement contestée, au moyen d'exemples et d'autorités. Les 
propositions de ce genre s'appelaient dans la logique classi- 
que définitions de choses ou d'idées, par opposition aux défi- 
nitions nominales ou de mots. Les considérations précédentes 
nous permettent d'affirmer que toute définition proprement 
dite est une définition nominale. C'est d'ailleurs ce que con- 
firme l'exemple et l'usage constant des mathématiques. 

Bien qu'une définition ne soit pas une proposition, elle ne 
laisse pas de jouer exactement le rôle d'une proposition ou 
plus exactement d'une égalité logique dans tous les raison- 
nements. En ellél, le ternie défini n'a, en principe, pas 
d'autre sens que le définissant ; si donc il peut et doit figu- 
rer dans les raisonnements, c'est uniquement avec le sens 
du définissant, et par suite on peut, partout où il figure, lui 
substituer le définissant. Telle est la raison de cette grande 
règle de méthode, qu'on peut toujours substituer le définis- 
sant au défini; règle qui est d'ailleurs la raison d'être 
des définitions : car ce ne serait évidemment pas la peine 
de définir un terme, si l'on ne devait jamais tenir compte 
de sa définition. Non seulement on peut substituer le défi- 
nissant au défini, c'est-à-dire employer la définition comme 
une égalité logique quelconque, mais encore on peut en 
tirer une conséquence logique quelconque el employer 
celle-ci dans les déductions. Lue telle conséquence est ce 
qu'on appelle une proposition vraie par définition. Il est 
assez, paradoxal qu'une définition, qui n'est pas une vérité, 
puisse engendrer des vérités. C'est que, si l'on est libre de 
donner à tel ternie tel sens qu'on veut, on n'est plus libre, 
une fois ce terme défini, de changer ou même d'ajouter quoi 
que ce soit au sens que lui confère la définition. 



L E S I) I. F I N ITIO \ S M I TH E M A II Q L I. s 29 

Il y a plus : pour démontrer une proposition quelconque 
portant sur un terme défini, il <'st recommandé de lui subs- 
tituer son définissant. Et en effet, le défini n'existe, logique- 
ment, que comme l'équivalent de son définissant. Si donc il 
possède une propriété ou une relation quelconque, c'esl uni- 
quement en vertu de sa définition, et par conséquent il esl 
naturel de se reporter à celle-ci pour trouver la raison de 
cette propriété ou de cette relation. 

Inversement, on peut toujours substituer Je défini au défi- 
nissant, puisque, en vertu de leur égalité logique, ils ont 
absolument le même sens. Le défini est, en général, un ternie 
simple, par suite plus court et plus maniable que son défi- 
nissant, ('/est même là tout l'avantage des définitions: c'esl 
de permettre de substituer des termes simples a des termes 
plus ou moins complexes, et d'abréger ainsi, non seulement 
le langage et l'écriture, mais la pensée 1 . En effet, une fois 
qu'on a démontré certaines propriétés du terme défini en se 
référant au définissant . on est dispensé de refaire les mêmes 
déductions et transformations, et Ton n'a qu'à retenir renonce 
du théorème pour l'appliquer en toute occasion. Or, dans cet 
énoncé, le terme défini représente et remplace le définissant 
plus complexe; il ligure une combinaison d'idées faite une 
(ois pour toutes, et qui doit se retrouver intégralement toutes 
les fois qu'on aura à appliquer le théorème. Il est donc indi- 
qué de substituer le défini au définissant, pour mieux voir 
dans quels cas apparaît la combinaison eu question, et pour 
en apercevoir tout de suite la présence. En un mot, il v a 
lieu de substituer le définissant au défini lorsqu'on veut 
remonter aux principes dune proposition; et, au contraire. 
le défini au définissant, lorsqu'on veut en tirer des consé- 
quences. 

Lefaitque le terme défini sert de substitut au définissant 
a donné souvent à croire qu'il n'est rien de plus qu'un nom 
ou un symbole du définissant. Aussi beaucoup d'auteurs ont- 
ils considère le défini comme un simple nom : et cette opi- 
nion se reflète dans l'expression même de définition nomi- 



1 Leibniz disait : « Theoremata cogitandi compendia esse les théorèmes — « • 1 1 1 des résumés 
de pensée . 



30 /.. COUTURA T 

nalc. Mais, si I on v réfléchit, il est absurde d'établir une effa- 
ra 

lité logique entre un nom el un concepl : un nom n est jamais 
un concept, mais seulement le nom d'un concept. Si le pre- 
mier membre d'une définition est un nom. le second doit 
aussi être un nom, par raison d'homogénéité; el alors on 
devra dire que le défini el le définissant sont deux noms du 
même concept, le premier étant seulement plus simple que 
le second. Mais cette conception nominaliste est trop super- 
ficielle; cai* il reste a savoir pourquoi le même concept a 
deux noms, l'un simple et l'autre complexe, ("est que, en 
réalité, le concept lui-même est complexe; sa complexité. 
c'est-à-dire la manière dont il est composé d'autres concepts, 
est exprimée par le définissant, et son unité est figurée par 
le défini, c'est-à-dire par le nouveau nom qu'on lui impose 
pour conserver et sceller en quelque sorte la combinaison 
de concepts qui lui a donné naissance. Dans celte conception, 
les deux membres de la définition ne sont pas des noms, mais 
des concepts, ou plutôt le même concept, considéré tantôt 
dans son unité, tantôt dans sa complexité; el l'égalité logique 
exprime précisément celte identité du concept. Ainsi la défi- 
nition qui, au point de vue du nominalisme vulgaire, semble 
n'être que 1 imposition d'un nom a un concept, et qui, au point 
de vue du nominalisme systématique, semble n'être que 
l'équivalence d'un nom à un assemblage de noms, est en rea- 
lite la construction d'un concept, dont le nom ne fait que 
symboliser l'identité '. 

Quoi qu'il en soit, il est toujours permis de substituer le 
définissant au défini partout où celui-ci figure. 11 en résulte 
qu'aucune définition n'est indispensable théoriquement, bien 
qu'elle puisse être pratiquement utile et commode. Un peut 
se passer d'une définition, à la condition de remplacer par- 
tout le défini parle définissant; et par suite on peut (théo- 
riquement se passer de toutes les définitions, si l'on ne 



1 Peu importe, d'ailleurs, qu'au point de vue psychologique la définition corresponde à 
l'analyse d'un concepl préexistant plutôt qu'à la construction d'un concept non veau : les deux 
opérations, psychologiquement différentes, sont semblables au point de vue logique. L'une 
consiste ;> passer du premier membre au second, l'autre ;i passer du second membre au pre- 
mier. M;iis leur égalité logique subsiste et est touj "s la même, car elle est symétrique. 

D'ailleurs, un concepl n'existe en logique qu'une lois qu'il est construit, que sa construction 
ni été, ou non, précédée d'une analyse logique portant sur un concept ]>i xistant. 



LES DEFINITIONS MATHEMATIQUES 3J 

recule pas devanl la complication extraordinaire que cela 
entraînerait dans l'énoncé des propositions 1 . Il en résulte 
cette vérité, paradoxale au premier abord, que les définitions 
ne font pas partie de L'enchaînement logique des proposi- 
tions, puisque ces propositions pourraient se démontrer de 
même en l'absence des définitions. Et cela se comprend, 
puisque les définitions ne sont pas des vérités, mais des 
abréviations d'idées : elles ne servent nullement de prin- 
cipes ni de fondement à la vérité des propositions. Cette 
remarque a une autre conséquence curieuse : c'est que toutes 
les propositions dune théorie déductive peuvent être consi- 
dérées comme portant, en définitive, sur les seules notions 
indéfinissables de la théorie, car si, dans leur énoncé, on 
remplaçait tous les termes définis par leurs définissants, il 
n v resterait que des termes indéfinissables. Par exemple, si 
Ton peut définir tous les termes de la géométrie en fonction 
de deux indéfinissables, le point et le segment, tous les théo- 
rèmes de la géométrie que Ton pourra démontrer seront 
des propositions concernant les points et les segments, 
quelle que soit la complication des termes dérivés qui figu- 
rent dans leur énoncé usuel. Cette remarque est l'analogue 
exacte de la suivante, qui est banale : à savoir que toutes les 
propositions dune ihéorie déductive sont des conséquences 
logiques des propositions premières, de sorte que toute la 
théorie est contenue et résumée dans celles-ci, et cjue sa vérité 
dépend entièrement et uniquement de la vérité de ses pro- 
positions premières. 

Toute proposition qui contient un terme défini doit en 
général pouvoir se démontrer par la substitution du définis- 
sant au défini. Par conséquent, les propositions premières 
dune théorie doivent porter sur les notions premières de 
cette théorie. Définir les notions premières, c'est donner le 
moyen de démontrer les propositions premières. Il y a donc 
une corrélation intime entre le système des notions premiè- 
res et celui des propositions premières. On ne peut pas ré- 



1 « Cette suppression d'un signe défini est un exercice très utile... pour vérifier l'exactitude 
d'une définition: si l'on n'arrive pas à remplacer partout le signe défini par mi valeur, on dé- 
duit que la définition n'est pas énoncée en forme exacte. » (i. l'i:.\>o. Formulaire, 1903, p. 12. 



:;■! /. COVTURA T 

du ire 1 un sans réduire L'autre, ni changer l'un sans changer 
l'autre l . 

L'égalité logique <|ui exprime la définition doit être com- 
plète et intelligible par elle-même. Par conséquent elle doit 
être entièrement rédigée en symboles logiques, car si on est 
obligé de lui adjoindre une explication verbale, on ne peut 
plus savoir exactement quelles notions on fait intervenir, a 
cause des équivoques et des sous-entendus qu'implique 
toujours le langage. Elle doit en outre vérifier la loi d'ho- 
mogénéité, c'est-à-dire que les deux membres doivent ren- 
fermer les mêmes variables réelles-. Pour nous rendre 
compte de cette exigence, il convient de préciser les divers 
cas possibles. Le terme défini peut être, soit un terme cons- 
tant (comme les nombres 0, e, -), soit un concept ou une 
classe comme : nombre entier, nombre rationnel, nombre 
réel), soit une relation entre deux ou plusieurs termes. Dans 
le premier cas, il ne contient aucune variable ; dans le 
deuxième, il en contient une (l'élément variable de la classe); 
dans le troisième, il en contient deux ou plusieurs. Or il est 
«•vident que les deux membres d'une définition ne peuvent 
contenir des variables réelles différentes ou en nombre dift'é- 
rent : on ne peut définir une fonction logique qu'au moyen 
dune fonction des mêmes variables réelles, car autrement 
son sens dépendrait d'une variable que, par hypothèse, elle 
ne contient pas, c'est-à-dire dont elle ne dépend pas. Par 
conséquent, lorsque le terme à définir est constant (c'est-à- 
dire représente un individu), le défini doit être constant; 
il doit commencer par le signe > qui marque l'individu. 

Par exemple, soit à définir le zéro arithmétique. 

< )n ne peut pas écrire : 

x + = x 
car le premier membre est x -{- 0, et non pas ; celte éga- 



1 Bien entendu, les propositions premières peuvent contenir des notions définies, mais 

elles doivent, dans J 'ensemble, contenir imites les notions non définies, car autrement 

celles-ci no pourraient pas figurer dans les propositions dérivées. 

- il. Pbano. Sur les définitions mathématiques, ap. Bibliothèque <hi Congres de Philosophie, 

t. 111 (Paris, Colin, 1901). I ne variable l"gi<ii -st dite réelle, dans une formule logique, 

lorsque le sons de cette formule dépend de la valeur ([non assigne à cette variable. Dans le 
cas contraire, la variable est dite apparente. 



/. E S I) Ê F I N I l l O N S M A 1 // É M AT1QV E S :;:; 

lilé ne pourrait définir que x -+- 0, niais non pas tout seul. 
Il faut donc isoler dans le premier membre. 
On ne peut pas écrire non plus : 

= x — x 

car on ne sait pas ce qu'est le terme. r: ni : 

BsN.D.O^a — x 

car le second membre contient la variable .i\ et Ion ne sait 
pas si sa valeur ne dépend pas de celte variable. Il tant dé- 
montrer que la valeur de .r — .r ne dépend pas de .r : 

x,yz N.d . .< — j = v — v 

et alors on pourra écrire la définition véritable : 

= i za (x e N . o „. z = x — x) Df 

« Zéro est le nombre c tel que z =x — .r, quel que soit 
le nombre .r ». Le second membre est constant, car la varia- 
ble z est apparente; et il est individuel, car si s3 est une 
cdasse, le théorème précédent prouve que c'est une classe 
singulière, de sorte qu'on a le droit de la l'aire précéder tin 
signe '. 

Soit maintenant à définir un concept de classe, c'est-à-dire 
une fonction logique à une variable. On pourra mettre cette 
l'onction sous la forme explicite œsa, a étant la (lasse à défi- 
nir; et le définissant sera une fonction implicite de la seule 
variable réelle .r, soit a.v. La définition aura la forme 

r i a . ==: . fX Df 

On peut isoler le terme a dans le premier membre en opé- 
rant par .rs ; on a la nouvelle forme: 

a . = . X39.V Dt 

qui est la plus fréquente. Dans ce cas, la variable x n'est 
qu'apparente au second membre. Ainsi, quand le terme dé- 
fini est une classe, le définissant doit être lui-même une 
(dasse (ce qui arrive, en particulier, quand il commence 
par xs). Exemple : 

Np = il + N,i - [il + Ni) x (1 + Ni)] Df 

L'Enseignement mathém., 7 e année ; 1905. :t 



34 /-. COU TUBA 7 

a Un nombre premier est un nombre supérieur à L qui 
n est pas le produit de deux nombres supérieurs a 1. » 

De même, pour définir une fonction (non prépositionnelle) 
a une variable, on devra employer une fonction à une varia- 
ble. Exemple : 

czeQ- il.areQ .o. log fl a ■ = nfz3 \a : = x) Df 

« a et x étant des nombres réels positifs et a dilférentde 1, 
le logarithme de x, à base <v, est le nombre réel z tel que 
a z = x. » Le signe i suppose que le nombre z existe et est 
unique (pour une valeur déterminée de .r), c'est-à-dire que 
la fonction log a est uniforme. 

La même fonction log a x peut être considérée, non plus 
comme une fonction de la seule variable x, mais comme 
une fonction des deux variables x et a. Dans un cas comme 
dans l'autre, la définition précédente sera homogène, puis- 
que le définissant contient lui aussi les lettres a et x. La 
lettre z est une variable apparente, à cause du symbole z3. 

De même, on définira la différence de deux nombres en- 
tiers comme suit : 



ae~S . b e a -f- N .o. b — a =. ».X ".r3 (x -f- a — b\ 



Df 



« a et b étant des nombres entiers, b supérieur à #, b — a 
désigne le nombre entier x tel que x -f- a — b. » Le signe' 
suppose qu'on a démontré l'existence et l'unicité de x. 
Le terme défini (b — a) est fonction de a et de b ; le définissant 
contient les mêmes lettres ; la lettre x est une variable appa- 
rente. 

Enfin, voici un exemple d'une relation à deux termes, c'est- 
à-dire d'une fonction propositionnelie de deux variables: 

a , 6eN . o : a ^= b . ■=. . b e a + N Df 

« «, /; étant des nombres entiers, dire que « a est inférieur 
ou égal à b », c'est dire que b est la somme de a et d'un 
nombre entier. » Ce qu'on définit ici, c'est la relation a ^ 6, 
c'est-à-dire le signe ^ : a et b sont les termes variables de 
cette relation ; ils figurent également dans le définissant. 

Voici maintenant des exemples de définitions vicieuses, qui 



/. E S I) E F 1 X ITIO N S M .1 TU /•' M ATI <> UE S 35 

pèchent contre la loi d'homogénéité. On croit souvent pou- 
voir définir les fractions en posant : 

a, h, c, deX ..) : ajb = cjd . = . ad =. br 

Or ce n'est pas là une définition des fractions a/b et c/d, 
mais tout au plus une définition de Y égalité de ces fractions. 
Encore faut-il remarquer que les termes de cette relation ne 
sont pas les fractions a/b, c/d, mais bien les quatre nombres 
entiers a, b, c, d ; car c'est eux qui figurent comme variables 
dans le définissant, et non pas les fractions ajb, c/d. L'exem- 
ple suivant montrera mieux la légitimité de cette distinction. 
On croit pouvoir définir le produit de deux fractions comme 

suit : 

a.b.c.d s N.3 . [ajb] X [c/d) = acjbd. 

Le premier membre est ou devrait être une fonction des 
deux fractions a/b, c/d, tandis que le second membre est une 
fonction des quatre termes. Pour prouver qu'une telle défi- 
nition est incorrecte, supposons qu'on définisse comme suit 
une opération désignée par ? sur les fractions : 

a, b,c,deJH.o.{a/b)? (c/d) = (a + c)/(b -f- d) 

En vertu de cette définition : (1/2 ? (2/3) = (3/5), (2/4) ? (2/3) 
= (4 7 : 

Or, 1/2 = 2/4, donc les deux résultats doivent être égaux : 

3/5 = 4/7 

ce qui est faux. On est arrivé à cette absurdité, parce qu'on 
a pris pour variable d'un côté la fraction comme un tout, et 
de l'autre côté ses termes. Au fond, il faudrait distinguer la 
fraction, comme ensemble de deux nombres entiers, du nom- 
bre rationnel qui en est la valeur, et qui est la valeur com- 
mune de toutes les fractions « égaies ». Quand on dit: « la 
fraction 2/3 est irréductible », on ne peut pas en conclure : 
« la fraction 4/6 est irréductible », et pourtant elle est égale 
à la précédente. L'irréductibilité est une propriété de la 
fraction, et non du nombre rationnel qui est sa valeur. Or, 
quand on définit la somme ou le produit de deux fractions, 
on définit en réalité la somme ou le produit des nombres 



36 /.. COU TUBA T 

rationnels correspondants. Il faut donc définir la somme et 
le produit de deux nombres rationnels x et y par une fonc- 
tion de x et de y, et non par une fonction des termes des 
fractions qui leur correspondent, car ces termes ne sont pas 
fonctions des nombres rationnels : parler du « numérateur 
de x » ou du « dénominateur de x » n'aurait pas de sens *. 

Une définition définit en général une classe 2 , à savoir la 
classe des objets qui possèdent les caractères ou propriétés 
indiqués par le définissant. D'ailleurs, tout concept étant 
représenté dans le calcul logique par son extension, on peut 
dire que sa définition détermine son extension. Or celle ex- 
tension peut être quelconque; autrement dit, la classe définie 
peut contenir un ou plusieurs individus, ou une infinité, ou 
aucun. Que ce dernier cas soit possible, c'est ce dont on se 
rendra compte, si l'on réfléchit qu'on peut (et que parfois 
même on doit) définir des concepts absurdes, quand ce ne 
serait que pour pouvoir raisonner sur eux et en prouver l'ab- 
surdité (exemples: le plus grand des nombres entiers: une 
fraction égale à une fraction irréductible, et dont les termes 
soient respectivement inférieurs à ceux de celle-ci 3 . Or ce que 
Ton a en général V intention de définir, c'est un objet existant 
et unique. Dans ce cas, il est nécessaire de démontrer (ou de 
postuler) que l'objet existe et qu'il est unique, c'est-à-dire, en 
termes de calcul logique, que la classe définie n'est pas nulle 
et qu'elle ne contient qu'un individu. Cette double proposi- 
tion existence et unicité de l'objet défini) peut parfois pré- 
céder la définition au lieu de la suivre : mais, dans tous les 
cas, elle est indispensable pour qu'on puisse appliquer au 
terme en question le signe », ou l'article défini le, qui sup- 
pose l'existence et l'unicité de l'objet. Par exemple, on peut 
définir le terme « parallèle menée a une droite par un point 
extérieur » ; il ne s'ensuit, ni qu'une telle parallèle <'xisle, ni 
qu'elle soit unique. On démontrera ou on postulera son 

existence et son unicité, et alors, mais alors seulement, on 
\ 

1 G. Pkano, lac. cit. 

1 C'est <-c qui arrive, notamment, quand le définissant commence par a: S. 

s EUCLine IX, 20). pour prouver que le nombre des nombres premiers est infini, dit: 
l'osons: (Je = le plus petil eommtin multiple «le tous les nombres premiers; puis il démon- 
tre que Oe n'existe pas. 



/. E S I) E F I N ITIO N s M A T H E M ATIQV E s 37 

pourra parler de « la parallèle menée a une droite par un 
point extérieur », car eelte expression implique que cette 
objet existe et est bien déterminé. 

Ainsi Ton ne peut jamais déduire dune définition l'exis- 
tence de son objet; il faut toujours démontrer celle-ci ou la 
postuler; et tous les théorèmes d'existence se démontrent 
au moyen de postulats existentiels *. Bien plus, on n'a pas le 
droit d'invoquer une définition, et de faire intervenir le terme 
défini dans un raisonnement, avant d'avoir prouvé qu'il 
existe ; en effet, il s'agit ici de l'existence logique : un objet 
existe dès que sa notion n'est pas contradictoire, ou contraire 
à quelque autre loi logique. Or, comme Leibniz l'a déjà 
remarqué, dune notion contradictoire ou absurde on peut 
démontrer tout ce qu'on veut, car on peut en déduire des 
propositions contradictoires 2 . C'est pourquoi le premier 
théorème qui suit une définition porte en général sur l'exis- 
tence de l'objet défini. 

Une autre conséquence de cette théorie est qu'on ne peut 
pas créer un objet par une définition. C'est une illusion fré- 
quente chez les mathématiciens, de croire que les définitions 
sont créatrices, et qu'un objet quelconque existe par défini- 
tion, par le seul fait qu'on l'a défini. 11 suffît, pour la dissi- 
per, de rappeler qu'on peut définir les notions les plus chi- 
mériques et les plus absurdes, et raisonner ensuite sur elles 
(pour en montrer l'absurdité, et par suite la non-existence 
de leur objet). C'est surtout dans la généralisation du nom- 
bre qu'on est tenté d'employer le procédé trop commode des 
définitions créatrices, de poser un symbole ou un ensemble 
de symboles, et de définir ses propriétés à coups de conven- 
tions. Cette méthode est d'autant plus contraire à la logique 
que, généralement, ces conventions ont pour effet de rendre 
possibles des opérations auparavant impossibles retrancher 
un nombre d'un nombre plus petit, diviser un nombre par 
un autre qui ne le divise pas a exactement ». extraire une 
racine d'un nombre qui n'a pas de racine , c'est-à-dire sont 
contradictoires avec les lois du calcul précédemment éta- 



1 V. Les principes des mathématiques, ch. VI : La géométrie. 

3 C'est même là une manière de prouver qu'uni' notion est contradictoire. 



38 L. COUTURA T 

blies '. En général, il faut se défier des con ve niions en mathé- 
matiques : elles recouvrent trop souvent des sophismes ou 
tout au moins des pétitions de principe. Il n'y a rien de con- 
ventionnel en mathématiques (pas plus que dans aucune 
science logique et rigoureuse), en dehors des définitions; et 
encore, la part de la convention s'y réduit-elle au choix du 
nom (qui n'est arbitraire qu'en théorie, mais qui pratique- 
ment est le plus souvent dicté et presque imposé par l'usage 
ou par l'analogie). Aussi le mot de convention devrait-il être 
rayé du langage mathématique, dans l'intérêt de la rigueur 
logique, et nous dirions presque de la lovante scientifique. 
Ce qu'on appelle convention est, ou bien une définition ou 
une imposition de nom, ou bien une hypothèse ou un pos- 
tulat. Dans les deux cas, il est plus correct et plus pré- 
cis d'employer ces dernières expressions. En dehors de ces 
deux cas, une convention ne peut être qu'un moyen d'éluder, 
soit une explication, soit une démonstration, c'est-à-dire un 
expédient sophistique ou paresseux 2 . 

Nous avons dénoncé plus haut le préjugé nominaliste, qui 
est le péché mignon des mathématiciens. 11 consiste, en géné- 
ral, à croire ou à dire que les mathématiques n'opèrent que 
sur des symboles. Le bon sens objecte que des symboles sont 
toujours symboles de quelque chose, à savoir d'une idée ou 
d'un objet ; mais les mathématiciens mettent leur coquetterie 
à manier des symboles qui ne soient symboles de rien, c'est- 
à-dire en somme des signes vides de sens. A ce point de vue, 
ils diront qu'une définition consiste à poser l'équivalence d'un 
symbole nouveau et d'un système de symboles anciens; et ils 
méconnaîtront ce fait que, par là même, on assigne au nou- 
veau symbole un sens (représenté par le système des sym- 
boles anciens), c'est-à-dire qu'on le fait correspondre à un 
nouveau concept dont le définissant figure la composition et 



1 Une vive et juste critique des définitions créatrices a été faite par M. Friîok en maint en- 
droit, et notamment dans les Grundgesetze der Arithmetik, t. II ( 1903) . 

2 Lorsqu'on assimile les lois mathématiques aux règles conventionnelles d'un jeu connue 
les cartes ou les échecs, on fait complètement abstraction de la valeur de vérité que possè- 
dent les propositions, et par suite de leur valeur scientifique. Un coup d'échecs n'est pas une 
proposition ; il n'affirme rien et ne signifie rien. Il n'en est pas de même des formules ma- 
thématiques, de sorte que toute analogi»; tombe en défaut. Nous empruntons cette pensée, 
avec beaucoup d'autres, a M. Frrgr, qui est le plus rigoureux des mathématiciens-logiciens 
de notre temps. 



L E S 1) i: F I N I T l <) N S M À T II É M A TIQl I - 39 

la structure. En un mot, la définition consiste à former un 
nouveau concept, el a lui imposer un nom. Toutefois, moyen- 
nant cette réserve capitale, on pourra dire qu'une définition 
introduit un nouveau symbole dans le calcul, ou un nouveau 
nom dans le langage, etla considérer comme une simple im- 
position de nom ou une abréviation d'écriture; car si ce n'est 
pas tout, ni même l'essentiel, c'est du moins la moitié de la 
vérité. 

Néanmoins, le préjugé nominaliste est si répandu et si 
ancré dans les esprits, qu'il doit avoir quelque raison d'être 
ou quelque excuse. Et en effet, comme toute erreur, il ren- 
ferme une âme de vérité, que voici. C'est que, dans une 
théorie déductive, la vérité des propositions qu'on déduit des 
principes est indépendante du sens des notions premières. 
En effet, ces notions n'étant pas définies, leur sens intrin- 
sèque n'intervient pas, ne peut pas intervenir dans les déduc- 
tions; celles-ci reposent entièrement sur les propositions 
premières, qui établissent des relations extrinsèques entre 
les notions premières. Il en résulte que tout autre système 
de notions premières qui vérifiera les mêmes postulats véri- 
fiera toutes les propositions qui en dérivent. On est ainsi 
amené à faire abstraction du sens des notions premières, a 
les réduire à des symboles vides de sens, et à considérer la 
théorie comme portant uniquement sur ces symboles. Une 
telle abstraction est légitime, au point de vue de la logique 
formelle, et ce n'est pas une erreur, tant qu'on ne nie pas 
l'existence des concepts que l'on néglige. Elle provient, on 
le voit, du caractère formel des déductions mathématiques; 
elles s'appuient exclusivement sur la Corme des propositions, 
et ne dépendent en aucune manière de leur contenu con- 
ceptuel, c'est-à-dire de la nature des notions qui en seront 
les termes. Gela ne veut pas dire, évidemment, que chaque 
proposition, prise isolément, soit intelligible, quand on n'at- 
tribue à ces termes aucun sens particulier ; mais seulement 
que leur enchaînement logique, leur relation de principe 
à conséquence, est indépendant du sens des termes, et sub- 
siste lorsque ce sens varie, tout en continuant à vérifier les 
propositions premières. On conçoit donc une théorie mathé- 



',(1 L. COL TURA I 

malique comme une pure forme de raisonnement, vide de 
contenu, où la place des notions est marquée par des sym- 
boles, et c'est ainsi qu'on aboutit à la considérer comme por- 
tant sur ces symboles. Ce qu'il y a de vrai, c'est que son con- 
tenu, toujours indispensable, et sans lequel elle n'aurait au- 
cun sens, est indéterminé dans certaines limites), et qu'elle 
peut s'appliquer à plusieurs systèmes de notions qui véri- 
fient également ses principes l . Ces systèmes de notions sont 
alors considérés tomme des interprétations diverses de l'en- 
semble des symboles non définis qui figurent dans les for- 
mules de la théorie; el c'est en ce sens qu'on peut dire 
qu'une théorie déductive est indépendante de l'interprétation 
qu'on donne à ses symboles non définis 2 . 

D'ailleurs, il est clair que, dès qu'on a choisi une interpré- 
tation pour les symboles non définis, le sens de tous les 
autres symboles se trouve déterminé par là même, puisqu'ils 
sont définis au moyen des symboles non définis. Mais il im- 
porte de se rendre compte des conséquences de cette concep- 
tion formaliste- àes mathématiques: du moment qu'une théo- 
rie mathématique n'est qu'un ensemble de déductions for- 
melles dont la vérité est indépendante de la matière à la- 
quelle on les applique, elle n'est plus qu'une conséquence 
des lois logiques, et la mathématique ainsi conçue n'est pas 
autre chose qu'un prolongement de la logique formelle. 

Louis Couturat Paris . 



1 Pour bien comprendre cette distinction', il suffit de penser à une équation algébrique 
contenant plusieurs variables; cette équation peut être vraie pour certains systèmes de va- 
leurs, et fausse pour les autres: mais elle n'a de sens ( elle n'est vraie ou fausse) que si Ion 
assigne aux variables lies valeurs déterminées, d'ailleurs queleouques. Si l'on, n'assigne 
.incline valeur aux variables, l'équation n'est plus qu'une forme vide et insignifiante, le sché- 
ma d'une infinité de propositions possibles, où les lettres x. y, z ne font que marquer la 
plaee des termes indéterminés, mais ne la remplissent pas. 

* Bien entendu, une théorie déductive, étant un système d'implications, est toujours vraie, 
même pour les interprétations qui ne vérifient pas ses principes, puisqu'une implication est 
vérifiée des que son hypothèse est fausse. Mais on a l'habitude de ne considérer comme in- 
téressants que les cas où les principes sont vérifiés, et alors, la théorie n'est vraie que si les 
conséquences sont aussi vérifiées. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Sous ce litre nous publions les remarques el renseignements concernant 
plus ou moins directement l'enseignement mathématique, telles que des 
descriptions d'instruments ou d'appareils nouveaux, etc. Quant à la corres- 
pondance, elle permet à tout lecteur de présenter sous une forme rapide 
les idées qui lui semblent utiles, lis remarques suggérées par la lecture 
d'un article, ou les questions sur lesquelles il aurait besoin d'un renseigne- 
ment. La Rédaction. 



Définition physique de la Force. 

(A propos de l'article de M. Hartmann ; voir L'Ens. math, du 15 novembre 

1904, p. 425-439.). 

I. Lettre de M. E. Mach. professeur émérite île l'Université de 
Vienne. — Il était intéressant de connaître l'opinion de l'auteur 
de Y Exposé historique et critique du développement de la Méca- 
nique 1 . Se plaçant précisément au point de vue du développement 
historique de la science, le savant professeur trouve les idées du 
colonel Hartmann très naturelles. « Ses idées, nous écrit-il. me 
paraissent très intéressantes. Elles n'ont pour moi rien de cho- 
quant, ni d'étrange. M. Hartmann montre, qu'à côté- delà concep- 
tion usuelle de force, on peut encore avoir recours à d'autres no- 
tions pour représenter les phénomènes dynamiques. Notre notion 
actuelle de force est due. en effet, à un simple hasard historique. 
Si, dans son étude de la chute libre des corps. Galilée avait en- 
visagé la relation entre la vitesse de chute et le chemin parcouru 
et non pas sa relation avec la durée de chute, nos notions sur la 
Dynamique eussent pris une tout autre direction" 2 . Je tiens à ajou- 
ter que notre conception actuelle de la force n'a rien d'incorrect. 
Les anciennes et les nouvelles conceptions seront simplement plus 
ou moins avantageuses suivant les différents problèmes auxquels 
on les appliquera. Pour terminer je ferai remarquer qu'tfrt corps 
seul ne peut être caractérisé physiquement; il faut lui adjoindre 
au moins encore un second corps, qui peut être représente- par 
l'un de nos sens. Ainsi la vitesse d'un corps isolé n'a pour moi pas 
de sens. C'est là le setd point sur lequel je ne suis pas d'accord 
avec M. Hartmann. » 



1 E. Mai. h, La Mécanique : Expose historique et critique de son développement. Ouvrage 
traduit sur la quatrième édition allemande, par Km. BERTRAND. 1 vol. in-8<\ librairie Hit- 
mann. Paris, 1904. 

* Voir l'ouvrage cité, p. 242 et suivante. 



■■. -2 M E I. . i Y G E S E T ( () II 11 E S P O ND A NCR 

II. — Un de mis lecteurs nous fait remarquer qu'il est intéres- 
sant de rapprocher la communication de M. Hartmann de la con- 
férence faite, à peu pies à la même époque, au Congrès interna- 
tional de S'-Louis. par M. H. Poincaré sur l'état actuel et l'avenir 
de la Physique mathématique. Tandis que dans la première on 
trouve <lcs considérations d'un grand intérêt sur la conception de 
la force, l'autre contient une revue critique des divers principes 
qui sont à la base de la Physique mathématique. Nous regrettons 
de ne pouvoir citer ici quelques passages de cette remarquable 
conférence; (die a été reproduite, in extenso, dans la Revue des 
Idées' 1 <lu 15 novembre i<)04. 



Une simplification dans l'enseignement des séries. 

(A propos d'un article «le M. Main - . Godefroy). 

Permettez-moi, à l'occasion d'un intéressant article de M. Gode- 
i i{o\ paru récemment dans L'Eus. Math, juillet 1904 . d'appeler 
l'attention de vos lecteurs surun point de la théorie des séries uni- 
formément convergentes. Les traités didactiques, après avoir défini 
cette notion, signalent naturellement le cas particulier des séries 
dont les termes sont respectivement moindres en module que des 
nombres positifs formant une série convergente ; mais aucun, à ma 
connaissance, n'établit ce fait que le cas général peut se ramener 
à ce cas particulier, au moyen de la proposition très simple que 
voici. 

Adoptons pour la définition de la convergence uniforme la défi- 
nition la plus large celle que M. Dim appelle condition de con- 
vergence uniforme simple : il f > O et h entier correspond n > // 
tel que le reste de la série arrêtée au n me terme est inférieur en 
module à *. Soit S la somme. S^ la somme des p premiers termes. 

Donnons-nous des nombres positifs décroissants a,. «., a p ... 

formant une série convergente : nous pouvons déterminer des en- 
tiers croissants n , //,. n. 2 /> ... tels qu'on ait. quel que soit i : 



S„. —S | <«, 



+ 1- 



En posani : l"„ = S„ _. f, = $„ — S„ [] t = S a . — S n . _ j 

mi a. à partir de i = l : 

|l\.| = !S„.-S„._ |<|S / ,.-S|+|S„ t ._ 1 -S|<a, + 1 - r -a,<2a,. 



1 La Revue des Idées, Etudes «le critique générale paraissant le 15 de chaque mois : Admi- 
nisl ration : 7. rue du 29 juillet, Paris. 

Voir aussi le Bulletin des Sciences mathématiques, n° t\<- décembre 1904. 



m i: i. . i x g E s i: r co n i: e s p o y danc i: y.\ 

Chaque expression l ',- est [a somme d'un nombre Limité de 
termes consécutifs de la série donnée. Ainsi, par un groupe- 
ment de termes consécutifs convenablement opéré dans cette sé- 
rie, on la remplace par nue série U + U, + U 2 -+- ••• + ^ i + ■••• 
dont les termes, a partir du second, sont inférieurs en module 
aux nombres donnés a priori 2 a., 2 a.,, ... 2 «, : 

Cette proposition, dont plusieurs auteurs se sont déjà servis, a 
la forme près, dans des mémoires scientifiques, me parait mériter 
de prendre place dans l'enseignement élémentaire. Elle permet, 
lorsqu'on veut établir certaines propositions relatives aux séries 
uniformément convergentes les plus générales, de se restreindre, 
dans la démonstration, au cas particulier signalé. Les simplifica- 
tions qui résultent de ce fait sont considérables dans certains cas, 
par exemple, comme l'indique M. Godefroy. dans la question de 
la dérivation des séries, traitée par lui d'après M. Stolz. 

René Baire Montpellier 



Suppression systématique du tracé de la ligne de terre 
en Géométrie descriptive. 

Dans le Tome 111 de votre excellente Revue, p. 300, vous deman- 
dez quels sont les pays où l'on se borne, dans renseignement de 
la Géométrie descriptive, à n'employer que la direction de la ligne 
de terre, sans en lixer la position. 

En Belgique, dès 1885, nous avons supprimé la position absolue 
de la ligne de terre, dans notre enseignement oral à l'Ecole mili- 
taire, sans même connaître l'idée que M. Mannheim avait émise à 
ce sujet en 1882. dans les Nouvelles Annales de Mathématiques , 
tellement l'idée est naturelle pour ceux qui font de la Géométrie 
descriptive en vue des applications aux travaux de l'ingénieur. 

En 1892. fort d'une expérience déjà longue et concluante, nous 
nous sommes décidé à publier, pour le Livre I de la l re Partie de 
notre Cours, une édition conforme en tous points à notre ensei- 
gnement oral de cette époque. Les méthodes nouvelles suivies a 
l'Ecole militaire, et en particulier, la suppression systématique 
de l'usage de la ligne de terre étaient ainsi rendues publiques : 
immédiatement après, l'enseignement de la Géométrie descriptive 
a été transformé à lTniversité de Bruxelles [Revue Universitaire. 
1892, p. 119 ; l'année suivante, M. Maxsiox a cru devoir nous cri- 
tiquer, tout en nous permettant de défendre nos idées dans Ma- 
thesis 1893, pp. 40-45 ; depuis, les anciennes méthodes ont été 
abandonnées successivement dans presque tous les établissements 
d'enseignement moyen et a partir de 1900, le Gouvernement n'a 
plus donné" (pie la direction de la ligne déterre dans les program- 
mes de ses concours généraux Revue de Mathématiques spéciales^ 



'» 5 M É L A N G /•: S E I GO R R E S P N I) A .Y ( E 

tome VI, |>. LTii: tome VII, p. 344 el tome \ III. p. 55 : cette année 
enfin, l'Université de Louvain a littéralement calqué renseigne- 
ment donne à l'École militaire, dans ses «Notes du Cours de Géo- 
métrie descriptive de l'Université catholique de Louvain ». notes 
publiées sans nom d'auteur Louvain. 1904 . 

On peut doue affirmer qu'en Belgique, l'évolution prévue en 1893 

Mathesis, 1893, p, 45 a été complète et rapide: nous pouvons 

ajouter qu'il en est résulté un progrès considérable, comme le 

prouvent annuellement, jusqu'à l'évidence, les examens d'entrée 

à l'Ecole militaire. 

Signalons encore qu'en Portugal, le Cours de Géométrie des- 
criptive de l'École polytechnique, publié en 1899 par L. I*. da 
Motta Pegado se borne à n'employer que la direction de la ligne 
de terre. 

(Les Mathématiques, en Portugal <m XIX" siècle, par IL Guima- 
k \i:s. p. 77. Coïmbre, 1900. 

F. Chômé Bruxelles . 



Une nouvelle règle à calculs. 

La règle a calculs circulaire Ch. Charpentier, qui a été signalée 
aux lecteurs de cette Revue par M. H.Laurent Paris . vient d'être 
mise en vente, au prix de fi*. 18. — . chez les principaux opticiens. 
On peut aussi l'obtenir directement en s'adressant à l'inventeur 
M. Cb. Charpentier, Ingénieur, à Valdoie-Belfort France . 



A propos d'un théorème sur le triangle. 

Le ihéorèrue de M. Kariya publié dans noire numéro de mars 1904 (p. 130 
à \'.\'1\ et les intéressantes remarques qu'il a provoquées (p. 236-239, 40fi- 
'i t I i nous eu procurent encore de nouvelles que nous résumons ci-après. 

VIII. — Lettre de M. Barrarin Bordeaux : 

Dans la note sur le théorème de M. Kariya. p. 238, le lecteur 
est prie de l'aire la rectification suivante : 
ligne 10 : lire a', et d.-, au lieu de a, et «., 
ligne 17 : lire «, et a, 2 au lieu de a\ a\, 

ligne '1\ : lire ' au lieu de 

p—b p — c 

IX. — Lettre de M. Cantoni Viadano, Mantova, Italie . 

a La proposition suivante admet comme cas particulier celui 
qui a été indiqué par M. Kariya. 



M E I. . I .Y G I. S ET CO II II E S P ONDA N < E \ 5 

Si d'un point quelconque () du plan d'un triangle ABC, pourvu 
qu'il ne soit pas situé surlescôtés el ue coïncide pas avec l'ortho- 
centre, nous abaissons sur les côtés Les perpendiculaires OX, OY; 
OZ el nous prenons sur elles les points D, K. F tris que 

OD : OE : OF — M)\ i/OY: l /OZ 

les trois droites AD. BK. CF concourent en un point de l'hyper- 
bole équilatère passant par le point () et par les trois sommets du 
triangle. 

Il suffit observer que si, par exemple, A' et C sont les points 
où se coupent ZO et BC, XO et BA. les quatre points X, Z, A'. C 
sont concycliques. 

A l'aide de cette considération on peut aisément décrire par 
points l'hyperbole équilatère qui passe par quatre points donnes. 

b\ Le théorème de M. Fhanki; que j'ai généralisé Enseig. Math. 
p. 410, 1904 peut se démontrer plus rapidement en appliquant la 
propriété que deux figures homothétiques à une troisième sont 
homothétiques entre elles et les trois centres d'homothétie sont 
collinéaires. En effet, en se reportant à la ligure et aux notations 
alors usées, on voit bientôt que le triangle M,M.,M., est homo- 
thétique à D,D a D 3 , qui à son tour est homothétique à A 1 A 2 A 3 . 

Peut-être est-il digne de mentionner le cas particulier où M 
coïncide avec le centre du cercle des neuf points : il fournit le co- 
rollaire : 

Si sur les rayons du cercle des neuf points menés aux milieux 
des côtés, on prend trois points également distants du centre, les 
droites joignant ces points aux sommets respectivement opposés 
aux côtes auxquels sont menés les rayons concourent en un point 
de la droite de Euler. 

c La propriété des ligures homothétiques que je viens de men- 
tionner m'a fait parvenir à un théorème sur le triangle que, à ma 
connaissance, personne n'a encore énoncé. Soient X, Y, Z les 
pieds des hauteurs d'un triangle ABC et X'. Y', Z' les milieux 
des côtés du triangle orthique XYZ. Soient encore K,. K.,. K 3 les 
sommets du triangle formé par les tangentes au cercle circons- 
crit à A B C menées par A, B, C. On sait que le point de Gergonne 
du triangle KjKgKg est point de Lemoine du triangle fondamental 
ABC et que les trois triangles K,K.,K. ( . XYZ. X'Y'Z' ont les côtes 
respectivement parallèles de sorte qu'ils sont homothétiques. 

Les droites AK,, BK 2 . CK 3 sont les symédianes du triangle 
ABC et passent parles milieux des côtés du triangle orthique qui 
sont respectivement antiparallèles aux côtés de ABC. Il s'en suit 
que le centre d'homothétie des deux triangles X'Y'Z' et k,K.Jv. 
est le point de Lemoine K du triangle A B C. Le centre d'homothé- 
tie de XYZ et X'Y'Z' est leur barvcentre G et le centre d'homo- 



i6 MÉLANGES ET COR /.' E S P O ND A N C E 

thétie de XYZ et K,K._,K a sera un point P situé sur la droite GK. 
Rt puisque le barycentre «le XYZ et le point de Gergonne de 
K,K 2 K 3 sont sur GK, le barycentre de K t K 2 K 3 et le point de Ger- 
gonne de XYZ se trouveront aussi sur la même droite. Nous au- 
rons donc le théorème : 

Le point de Lemoine d'un triangle est situé sur la droite joi- 
gnant le bary- 
centre de son 
triangle orthique 
au barycentre du 
tri angle formé 
des tangentes au 
cercle circonscrit 
menées par les 
sommets. Sur cet- 
te droite sont si- 
tués aussi le point 
de Gergonne du 
triangle orthique 
et le point de con- 
cours des droites 
joignant les som- 
mets du triangle 
forint'' par les tan- 
gentes aux pieds 
homologues des 
hauteurs du trian- 
gle fondamental. 
d) Soit encore 
Fig- i. ABC le triangle 

fondamental ; dé- 
crivons le cercle inscrit au triangle et touchant les côtés en 
A', B', C et décrivons d'un rayon arbitraire un autre cercle con- 
centrique au premier qui coupe les côtés du triangle en D, D', E, 
E', F, F'. Il en résultera manifestement : 




I)A' = A'D' EB' — B'E' FC = C'F' 
AC — AB' BC = BA' CA' = CB' 

et les couples de droites FF/ et F'E, DF' et D'F, DE' et D'E se- 
ront respectivement parallèles à C'B', C'A', A'B'. On peut con- 
sidérer les six points D, D', E, E', F, F' comme intersections des 
côtés du triangle fondamental avec les côtés du triangle PQR, 
ou bien de P'Q'R' en désignant par P, Q, R, P', Q', R' les points 
de rencontre des trois couples de droites que je viens de considé- 
rer. 



< 



M E I. A N G E S ET C O R II E S 1' O .Y DANC E 



Remarquons que les triangles FE'P, C'B'A', F'EP' sont deux 
à deux homothétiques, A étant le centre d'homothétie, et que 
par suite les points A. P, A'. P' sont en ligae droite. De même on 
a la collinéation des 

points B, Q, B', Q' * 

et C, R, C, R' et par 
conséquent les trian- 
gles PQR et P'Q'R' 
sont homothétiques 
à A'B'C', le centre 
d'homothétie étant 
au point de Ger- 
gonne G du triangle 
fondamental. Il est 
manifeste alors que 
les côtés de tout 
triangle homothéti- 
queà A'B'C, G étant 
le centre d'homothé- 
tie, détermineront 
sur les côtés du 
triangle fondamen- Fio . 2 

tal six points situés 

sur un cercle concentrique au cercle inscrit. En particulier les 
trois parallèles aux côtés de A'B'C menées par G détermineront 
le cercle de Adam s. 

E. C antom . 




X. — Lettre de M. Daniels (Fribourg, Suisse) : 

1. M. G. Franke [Ens. Math. VI, p. 407-409) démontre le théorème 
suivant : 

Si D^.-jDg sont les milieux des côtés d'un triangle, M le cen- 
tre du cercle circonscrit, les droites A,M,, A 2 M 2 , A 3 M 3 passent 
par un point de la droite d'Euler, pourvu que M,M 8 M 3 satisfas- 
sent aux conditions. 

(DiMMi) = 1D2MM21 = (DsMM 3 

Ce théorème n'est cependant qu'un cas spécial de celui-ci : 
Si D,D 2 D 3 sont les milieux des côtés. P un point quelconque, les 
droites A 4 P, ,A 2 P 2 , A 3 P 3 passent par un point P' situé sur la droite 
qui relie le point P au centre de gravité G, pourvu que P,P 2 P 3 satis- 
fassent aux conditions : 



iD.PPii 



(DoPPsi 



|D 3 PP 3 ) = )t 



AS ME LAN G E S E T COUR E S P N DAN CE 

La position du point P' est déterminée par l'équation : 

(GPP')z=|à . 

2. tën effet, nous avons d'abord pour les milieux des côtés. 

Di = r-2 + Tz 1)2 = rs + ri 03 = n + n . 

et si le point P est 

P — .»>r t + -*-2r2 + .r-iTs . 

les points P r P 2 . P 3 seront 

_ T2 + T:j X(a'iTr -\- X2T2 + XsTs) 

2 xi -}- .f2 + x 3 

ou encore . 

Pi = — ■llxiTi + (.n -f- X2 + .rs — 2X.*-2)r2 -f- \x\ -+- xs -+- xs — 2X»- S ir3 
etc. : les droites A 1 P 4 , ,A S P 2 , A 3 P 3 passent donc par le point 

P' = (xi + X2 + .rs — 2>,n )n + (.n -\- X2 -+- xz — Tkxi ira + (.ri + ,r 2 + xa — 2hcs)Ts 

qui, si nous introduisons les vecteurs r„ et r y , du centre de gra- 
vité et du point P peut s'écrire : 

Il s'ensuit 

•>) 

(GPP')=^. 
o 

.5. Si Ton prend p. ex. pour P le centre du cercle inscrit 

P = mri -+- ft 2r2 -f <I:;T-Jt 

et À = 1, les transversales angulaires A,P,, A 2 P 2 , A 3 P 3 sont pa- 
rallèles aux droites PD, ,PD 2 , PD., et le point P' devient 

P' EE (ai -\- «a — tu )Tl + {(13 -f- (Il <(2\T2 -f- ((Il -\- (12 (l-A)l:: 

c. à. d. le point de Nagel. Il s'ensuit I" que les transversales an- 
gulaires du point de Nagel N sont parallèles aux droites qui relient 
le centre du cercle inscrit I aux milieux des côtés. 2" que (1, I et N 

2 
son I sur une droite et 3° que (GIN) = - . Si N.,N 2 N 3 sont les au- 
tres points du groupe de Nagel et l,U :! les centres des cercles 
exi nscrits, on a de même 

2 
(GIiNi)r=(GI 2 ÎS T 2}= |fiIsX 3 ) = - . 



m /•: /. . / n g i: s i: / < o n i; i: s pond A A c i: 



19 



'.. La relation G PI»' 



2X G I" Il 

-—■ ou . = zp: - nous prouve, que 

les figures décrites par les points correspondants I* el I*' sont sem- 
blable, si / est constant. Leur centre de similitude est alors (i. 

M. Fr. Daniels. 

XI. — Lettre de M. (.. Stolp Kampen, Hollande : 

a) A propos de la lettre de M. Barba-vin. 

I. Le cercle circonscrit au triangle ABC cl la conique I. lieu du 
point de Kariya, ont pour quatrième- poinl d intersection 

x[r — 1! eus A) —y(r — K cos B) = z{r — I! cos C) . 

ce qui est aise a vérifier. 




Fis. :î. 



2. Comme nous verrons, on connaît depuis longtemps le poinl 
c/)' de M. Barbarin. Nommons 1 . 1„ , \ h , l ( . les centres des cercles 
tritangents ; v, v„ . v b , v c leurs rayons; XYZ les contacts (\i[ cer- 
cle inscrit avec BC , ('.A. AB ; O et 0' les centres des cercles cir- 
conscrits aux triangles ABG et I„l/,l ( . ; S le centre d'homothétie 
des triangles 1„L,I, et XYZ, g et g' leurs barycentres ; on sait que 
les points S, 0', g, g' se trouvent sur la droite l<) Voir: Casey, A 
sequel to Euclid, Suppl. Chapt. Sect. VIII, Tritangenl circles). 
(Considérons en particulier le point S. ' Pour en trouver les coor- 



1 Le poinl S. notation de Casey, correspond an poinl m', notation de M. Barbarin. 
L'Enseignement matbém., !■ année; 1905. 



.".il MELANGES ET CORRESPONDANCE 

données trilinéaires, menons par l„. l è , l ( . les droites B'C', C'A'. 
A'B' parallèles à BC, ('.A, Ali. Los trois droites en même temps 
tangentes au cercle l„l/,l, déterminent un triangle A' B'C horao- 
thétique avec ABC par rapport au centre S. Les coordonnées y', 
z' du sommet A' étant — r b , — r c , la droite AA' a pour équation 



■— — — ou 


Y ~ 


B C 

tiiii» — tans; — 

■ •> ■> 



On en conclul que les droites AA', U\Y . CC concourent au 
point 

x y z 

A ~ B ~ C ' 

I ; n i H — lanu- — laue; — 

2 2 2 

inverse du point f page 2.'î<S . et l'on observe que les points y' e1 S 
sont identiques. 

b) A propos de la lettre de M. Harold Hilton page 2.'>7 . 

M. Hilton remarque que les triangles ABC, DEF sont réci- 
proques par rapport à une circonférence de cercle. Il s'ensuit qu'on 
peut r'egarder comme donné l'un ou l'autrq des deux triangles. 

Si Ton choisit DEF pour triangle de référence, k étant le rayon 
de son cercle circonscrit, et qu'on désigne par £?, /?. £ les distances 
d'un point quelconque aux côtes EF, FI), DK, on trouvera que la 
droite AD a pour équation 

n(k cos F cos 1) -f- /• cos E) — £'/< cos I) cos E -\- r cos F) 

ei que Al), BE, CF, passent par le point P 

hkvos F cos F -\- rcos l)i r=ijj/cos F cos I) -|- rvos E)=rÇ(£ cos DcosE-j- rcos F] 

En faisant /• = U. /• = oc , /• — /,■ le point P coïncide avec les 
points suivants du triangle DEF : le centre () du cercle circons- 
crit, l'orthocentre H, le point de LemoineK. Supposons les points 
D,E,F fixes; si l'on fait varier /"le point P décrit une conique qui, 
passant par les sommets du triangle DEF et par son orthocentre, 
est une hyperbole équilatère. Son inverse est la droite d'Euler 
qu'elle coupe aux points 11. O. 

C. Stolp. 

XII. La Géométrie du triangle est une mine inépuisable de 
constructions et de propriétés des pins intéressantes. Les lettres 
qui nous sont adressées à propos de l'article de M. Kariya le 
prouvent suffisamment. Nous devons nous borner à mentionner 



CHRONIQUE :>\ 

encore les lettres de MM. Ani. Plesrot Pilsen et Aug. Tapel- 
macher Saut iago du Chili . 

M. Pleskot fait intervenir le triangle À 1 B 1 C 1 , polaire réciproque 
du triangle ABC par rapporl à une conique arbitraire. Il prend 
ensuite pour conique un cercle <le centre (): puis envisageanl 
pour quelques positions particulières, il obtient quelques pro- 
priétés très simples et les propriétés corrélatives en vertu du 
principe de Dualité. L'une de ces propriétés est précisément celle 
qu'exprime le théorème énoncé par M. Kariya. 

M. Tafelmachek nous signale une.Note ski- les coordonnées ho- 
mogènes obliques, destinée à la Zeitschrift f. math. //. naturw. 
Unterricht, dans laquelle il donne une démonstration du théo- 
rème de Kariya. On y trouvera, entre autres, l'expression de la 
puissance de point K par rapport au cercle circonscrit au triangle 
ABC. 

La Rédaction. 



CHRONIQUE 



Paul Tannery. 

Les sciences mathématiques et historiques viennent de faire 
une grande perte en la personne de M. Paul Tanne///, directeur 
de la manufacture des tabacs de Pantin, décédé le 27 novembre 
dernier à l'âge de 61 ans. Sa mort subite a été une douloureuse sur- 
prise pour tous ceux qui l'ont connu et tout particulièrement pour 
ceux qui ont encore eu l'occasion de l'approcher au Congrès des 
mathématiciens à Heidelberg et au Congrès de philosophie et 
d'histoire des sciences à Genève. 

Ancien élève de l'Ecole polytechnique de Paris, Tannery sortit 
dans le corps des ingénieurs des tabacs, où il suivit régulièrement 
la carrière, ce qui ne l'empêcha pas de rester en contact avec la 
science pure. Il consacra ses loisirs principalement à l'histoire 
des sciences et à la philosophie. D'une remarquable érudition 
pour tout ce qui touche à l'histoire des sciences, il était connu 
aussi bien des mathématiciens et des physiciens, que des hellénis- 
tes et des philologues. Il fut l'un des principaux organisateurs des 
congrès d'histoire des sciences. Ses travaux ont été publiés no- 
tamment dans le Bulletin des sciences mathématiques, VArchivfûr 
Geschichte der Philosophie, la Revue de philosophie, la Revue 
des Etudes grecques, la Revue de Philologie, et dans Bibliotheca 



52 CHRONIQUE 

mathematica. Parmi les ouvrages mathématiques, on lui doit une 
Géométrie grecque (1887 . el des Recherches sur l'Histoire de l'As- 
tronomie ancienne L893 : il préparait une Histoire générale des 
sciences. Il y a lieu de mentionner sa collaboration très active à 
la publication des œuvres de Fermât et des œuvres de Descartes. 

Tannery a appartenu à l'enseignement supérieur, à deux repri- 
ses, d'une façon temporaire, pour autant que ses fonctions d'ingé- 
nieur \v lui permirent. 11 donna, pendant deux ans. un cours libre 
a la S'orbonne sur l'Histoire de l'Arithmétique, et fut chargé de la 
suppléance de M. Ch. Lévêque, au Collège de France, pour la 
chaire de philosophie grecque et latine. 

Paul Tanner) 7 était le frère de M. .Iules Tannery, professeur à 
la Sorbonne et sous-directeur de l'Ecole normale supérieure de 
Paris. 

II. Fehr. 



Le Congrès international des Sciences ; S^Louis, Etats-Unis. 

L'Enseignement mathématique 1 a déjà donné le plan général de 
ce congrès pour ce qui concerne particulièrement les sciences 
mathématiques. Nos lecteurs savent que les travaux mathématiques 
«•ut ete repartis sur trois sections: I" Algèbre et Analyse; "2° Géo- 
métrie; .î" Mathématiques appliquées, et (pie. dans chaque section 
il devait être présenté', outre les communications spéciales, deux 
rapports, l'un sur les liens entre la branche envisagée et les bran- 
ches qui s'y rattachent, l'autre sur les problèmes de l'heure actuelle. 
( lomme introduction aux séances de ses trois section s. le département 
• les mathématiques a tenu une séance consacrée aux Rapports de 
M. Bocher 2 Harvard sur les conceptions et méthodes fondamen- 
tales des mathématiques et de M. Pierpoxt -2 , l aie sur l'Histoire des 
mathématiques pendant le \ IX e siècle. 

\ oici quelques indications, très incomplètes faute de renseigne- 
ments suffisants, sur les rapports présentes aux séances de section. 

I.es deux Rapports de la section d'Algèbre et Analyse on1 été 
rédigés par MM. E. Picard Paris et Maschke Chicago . Celui de 
M. Picard a pour titre : Sur le développement de l'Analyse mathé- 
matique et ses rapports avec quelques autres Sciences ; . 

Les Rapports de la Section de Géométrie ont été présentés par 
MM. Dabroux Paris ci Kasner Columbia l'n.. New- York). Le 
Rapport de M. Darboux est intitule : Etude sur le développement 
îles méthodes géométriques '. 



1 Voir <;■"■ année, p. .">s et p. :ini. 

- Ces deux rapports <>ni été reproduits in-extenso dans le Bull. •>/' the American math. 
vol. XI, N° 3. décembre 1904. 

'■'■ Reproduit in-extenso dans le Bull, des Se. math., I. SXVIII, octobi 1 nov. 1904. 

4 Reproduit in-extenso dans !<■ Bull, des Se. math., 1. XXVIII. sept. 1904. 



CHR0N1Q I I. 53 

Quant aux rapports de la Section des Mathématiques appliquées, 
ils sont dus à MM. II. Poixcaré Paris <•! Boltzmanîs Vienne. 
Ainsi que nous le disons <l autre part, la conférence «le M. l'oin- 
caré a été publiée par la Revue des Idées uuméro «lu 15 novembre, 
Paris, l'.in'i : elle es1 intitulée ; ï' état actuel et V avenir de la Phy- 
sique mathématique '. 

Grâce à l'obligeance de M. J.-W. Young \orthwestern ( niver- 
sity. Evans ton . nous pouvons donner un aperçu des travaux rie 
la section d'algèbre et analyse. 

La Rédaction. 

Section d'algèbre et analyse. — La première séance eul lieu 
le 22 septembre 1904, immédiatement après la séance commune 

aux trois sections. Elle débuta par un remarquable rapport île 
M. Picard sur le développement de l'analyse mathématique et 
ses rapports avec quelques autres sciences. Il serait téméraire de 
vouloir résumer en quelques lignes cette brillante conférence 
très substantielle par le fond et d'une raie élégance par la 
forme. Nous en recommandons vivement la lecture. M. Picard 
jette d'abord un coup d'oui sur le développement de l'algèbre a 
travers les âges, il rappelle les idées nouvelles introduites au 
\\ II"" et au X\ NI"" siècles par les fondateurs de la géométrie 
analytique, de la science du mouvement et de l'analyse. Le XIX 
siècle, qui fut caractérisé par l'introduction d'une plus grande ri- 
gueur scientifique, tient naturellement une grande place dans cet 
exposé. La conférence s'attache surtout aux relations de l'analyse 
avec la géométrie, la mécanique, la physique mathématique et 
fait ressortir l'influence que ces dernières sciences ont eue sur 
son développement. Les sciences chimiques, biologiques et éco- 
nomiques sont également prises en considération : là encore 
M. Picard l'ait ressortir l'origine et la raison des liens qui nui- 
sent les sciences à l'analyse. « Il semble, dit-il. que la chimie soit 
sortie aujourd'hui de la. méthode prémathématique, par laquelle 
débute toute science, et qu'un jour doive venir où s'ordonneront 
de vastes théories, analogues à celles de notre physique mathé- 
matique actuelle, mais bien plus vastes et comprenant l'ensemble 
des phénomènes physico-chimique^ 

Après cette belle conférence vint le Rapport de M. Maschke sur 
les problèmes actuels <!<■ l'algèbre cl de l'analyse. Mais le confé- 
rencier s'est borné à un très petit nombre de problèmes. Il a 
d'abord donné un intéressant aperçu de l'état actuel du problème 
des invariants des formes quadratiques différentielles, et il a ex- 
posé sa propre notation symbolique pour les invariants différen- 
tiels, analogue à la notation des invariants algébriques. Le Rap- 



1 Se trouve également dans le Bull, des Se. math., t. XXVIII. duc. 1904. 



54 CHRONIQUE 

poil se termina par une table contenant les invariants différentiels 
connus dans leur notation symbolique et par un théorème don- 
nanl la condition pour qu'une expression symbolique soil un in- 
variant différentiel, d'une manière analogue a ce qui existe pour 
1rs i h variants algébriques. 

(les Rapports ont été suivis de communiai lions d'une durée de 
dix minutes chacune. Nous ne pouvons en donner ici qu'un résumé 
très bref, pour autant qu'il est possible de le taire sans avoir eu le 
mémoire en main. Quelques résumés seront donc très courts sans 
que nous ayons l'intention de faire ressortir davantage lune ou 
l'autre des communications. 

4. M. K.-Y. IIi x i ixotox Harvard University a présenté une 
série de postulats indépendants définissant VA Igèbre des quantités 
réelles et les groupes abéliens; ils semblent offrir certains avan- 
tages principalement au point de vue pédagogique. 

2. — M. .1. IIitciiixsox Cornell University dans son mémoire 
sur les problèmes actuels de l<i théorie <lcs fondions automorphes 
montre qu'il est désirable que l'on développe la théorie arithmé- 
tique des groupes discontinus des substitutions linéaires d'une 
variable. 

3. — M. B. Porter University of Texas : Sur les fondions dé- 
finies pqr une série infinie de fonctions analytiques. 11 s agit dune 
généralisation d'un théorème dû à Osgood. lui l'absence de l'au- 
teur le mémoire est présenté par M. Bôcher. 

4. — M. E.-R.Hedrick University of Missouri demande une gé- 
néralisation de lu notion de fonction analytique que l'on obtiendrait 
en remplaçant la condition ordinaire par une autre équation aux 
dérivées partielles du second ordre: il estime qu'en se référant au 
plan non-euclidien, il sera possible de donner une interprétation 
géométrique de la nouvelle condition. 

5. M. \Y. Haskell University of Califôrnia a présenté une 
série de propriétés des collinéations perspectives. 11 a prouvé, entre 
autres, Les théorèmes suivants : 1. Chaque collinéation dans l'es- 
pace a deux dimensions laissant invariable une conique, peut être 
représentée par deux collinéations perspectives. 2 Chaque colli- 
néation est le produit de quatre collinéations perspectives. Puis 
il a présenté quelques généralisations relatives à l'espace a // di- 
mensions. 

6. M. B. Siiwv Milliken University l'ait un exposé de l'état 
actuel de la théorie de V Algèbre linéaire associative. Le mémoire 
comprend trois parties : 1. Développement de la théorie; 2. For- 
mes particulières; .5. Applications. 

7. — M. G.-A. Mu. i. i:i! L. Stanford University a adressé une 
Note sur la portée d'un théorème fondamental des groupes d'or- 
dre //" dans ses relations avec des problèmes actuels. 

.I.-W. Young. 



CHRONIQ II: 



Les mathématiques au II e Congrès international de dessin 
à Berne ; août 1904. 

Etanl donné les liens intimes <l<' la géométrie el du dessin géo- 
métrique et même du dessin technique toul entier, nous aurions 
pensé que les mathématiques seraienl un peu pins en honneur au 
Congrès de Berne. ïl en a, cependant, été quelque peu parlé dans 
deux conférences, niais fort peu dans les discussions générales. 
Les divers pays représentés avaient organisé des expositions 
dont quelques lurent magnifiques;- mais, a paît les collection'- 
françaises, le dessin mathématique tombait très à L'arrière-plan. 

Conférence J.-.l. Pillet. La première conférence, celle de M..I.-.I. 
Pillet, inspecteur honoraire du dessin à Paris, avait pour objet 
le développement «les méthodes d'enseignement du dessin géomé- 
trique et du dessin technique dans les écoles françaises. Le cours 
de M. Coquelet au Collège Rollin, à Paris, et celui de M. Bécourl 
au Lycée Saint-Louis, égalemenl a Paris, formaient le fond de la 
brillante causerie de M. Pillet. Tout ce qu'il nous a présenté, modè- 
les muraux et collections, était très beau et tout ce qu'il nous a dit, 
plein de iinesse et de bon sens. Il a quelque peu malmené les pro- 
fesseurs de mathématiques chaînes de cet enseignement. Il leur 
reproche de faire, de ce cours, une annexe de la descriptive. M. Pil- 
let ne veut pas que le dessin soit lié aux mathématiques : ce sont 
deux branches qui doivent se suffire à elles-mêmes et qui peuvent 
quasiment vivre l'une sans l'autre. 11 voudrait ne voir enseigner 
dans cette direction que des artistes connaissant a fond la techno- 
logie et préparant déjà des ingénieurs et des architectes dans I en- 
seignement secondaire général. 

Conférence L. Crelier. Dans la deuxième conférence I auteur de 
ces lignes a traite l'enseignemenl du dessin de projection dans les 
écoles suisses. J'ai déjà entretenu les lecteurs de V Enseignement 
m<il/tem<iti(/iie { de mes idées a ce sujet. Je me suis trouvé en op- 
position, amicale et comtoise, avec M. Pillet. Le dessin géométri- 
que et le dessin de projection doivent aider l'enseignement des 
mathématiques, tout en se basant sur lui. Ils forment l'intuition et 
L'application de celles-ci. (le sont des études parallèles qui ne peu- 
vent que gagner a un contact journalier bien compris, a la condition 
évidente qu'aucune des deux n absorbe L'autre. Le dessin doit se 
détacher des mathématiques à chaque instant, pour appliquer im- 
médiatement les constructions géométriques a des modèles sim- 
ples et nombreux tirés du monde technique. Contrairement aux 
vues de l'auteur précédent, nous estimons que la technologie doit 
être laissée aux écoles d'arts et métiers. L enseignement général 



1 N» du 1.-, juillet 1904, p. 300 à 304. 



56 CIIK UNIQUE 

doit se contenter de mettre l<'s élèves à même de représente] 1 ex- 
actement ce <|ii"ils voienl et ce qu'ils peuvent comprendre dans les 
différentes directions techniques. C'est pour cela qu'on ne peul 

et quoi) ne (luit |>;is aborder des constructions trop compliquées. 

Séances ordinaires. Dans les séances ordinaires le dessin géo- 
métrique n'a pas donne lieu à de longues diseussions. M. Kaiser, 
de La Chaux-de-Fonds, rapporteur sur la question du dessin dans 
l'enseignement secondaire, axait présenté diverses conclusions 
spéciales relatives au dessin mathématique, mais elles n'ont pas 
été adoptées. Le congrès s en est tenu à des généralités. Les con- 
clusions de M. Kaiser étaient : 

I. Le dessin mathématique est enseigné dans les classes du de- 
gré secondaire, dès le moment on les élèves oui atteint l'âge de 
I rei/.e ans. 

'2. Le luit de cet enseignement doit être de donner les connais- 
sances générales sur tous les modes de représentation des objets 
par le dessin mathématique. 

.'!. Dans le degré secondaire cet enseignement ne doit revêtira 
aucun moment un caractère professionnel, mais préparer les élè- 
ves a leur entrée dans les écoles spéciales. 

Suivant nous, toutes ces conclusions sont très logiques, sauf la 
lin de la troisième. L'enseignement secondaire ne prépare pas ex- 
clusivement aux écoles spéciales, mais il doit, en première Ligne, 
donner les hases d'une bonne culture générale. Nous estimons 
donc que le dessin mathématique de ce degré ne doit pas être 
conçu comme première partie d'un cours spécial. 

Le Congrès a adopte, pou r le dessin dans sou ensemble, li l'école 
primairecomme a l'école secondaire, le vœu que celui-ci devienne : 

Evolutif, Réaliste, Général, Spontané et Esthétique ». 

Signalons pour terminer une conférence magistrale de M. F.-.l. 
Pillet, ingénieur à Paris : Codification internationale des signes 
employés dans le dessin. Ici encore les mathématiciens ont en- 
tendu des choses très intéressantes touchanl toutes les applica- 
tions de leur hranche d'études. Le Congrès a du reste adopte ce 
superbe travail comme hase d'une ( ; tude approfondie de la ques- 
I ion . 

L. Crelier Bienne cl Berne . 



Congrès des mathématiciens allemands; Breslau, 1904. 

L'Association allemande (les mathématiciens a tenu sa dernière 
réunion annuelle à Breslau. du I -S au l'\ septembre 1904, en même 
temps que le Congrès annuel des naturalistes et médecins alle- 
mands. Comme on pouvait s'y attendre, la participation a été moins 
forte (pie de coutume, en raison du '.Y Congrès international qui 
axait eu lieu a Heidelbcrg quelques semaines auparavant. 



<■ ir no .x i o il. 



A côté des communications mathématiques, au nombre dd onze, 
la réunion de Breslau présenta un attrail toul particulier pour 

ceux qui s'intéressent à l'enseignement scientifique. \ oici d'abord 
la liste (les communications présentées : 

1. Lampe Berlin-Charlottenbourg : Quelques exemples em- 
pruntés aux exercices du Calcul intégral faits a l'Ecole technique 
supérieure de Charlotten bourg. 

2. Gutzmer léna : Contribution a la théorie des équations dif- 
férentielles linéaires et homogènes. 

.'i. Kowalewskj Greifswald : Sur une généralisation <lu second 
théorème de la moyenne dans le Calcul intégral. 

4. Stiiîm Breslau : Sur les transformations crémoniennes pour 
lesquelles aux plans d'un espace correspondent des surfaces géné- 
rales du 3 e ordre de l'autre espace. 

5. Pclfrich léna : a) Sur un nouveau mode de comparaison de 
photographies d'étoiles; l> sur un appareil pour la mesure de la 
dépression de l'horizon : c) Relevé stéréo-photogrammétrique des 
côtes, effectué sur un navire ;d) nouveau théodolite el photo-théo- 
dolite démontable. 

(i. Lanosbebg Heidelberg : Sur les analogies entre les théories 
des nombres algébriques cl des fonctions algébriques. 

7. Steinitz Berlin-Charlottenbourg : Représentation colli- 
néaire de polyèdres trigonauxet l'analyse situs dans l'espace pro- 
jectif. 

8. Lupwio Karlsruhe : Contribution a la théorie des affinités 
cycliques. 

'.». \\ iessner Silesie : Sur la possibilité de compléter la théorie 
de Kant-Laplace. 

10. Franz Breslau : Formation de la surlace lunaire. 

11. Gutzmer léna : Contribution à la théorie des équations dif- 
férentielles adjointes. 

Conformément à une décision adoptée à la réunion annuelle 
précédente, sur la proposition de M. le prof. Klein, les sections 
scientifiques (\u Congrès des naturalistes et médecins allemands 
avaient à consacrer une séance commune aux Rapports et débats 
sur l'enseignement îles sciences mathématiques dans les établisse- 
ments secondaires supérieurs*. Quatre rapports ont été présentés: 

1. K. Fricke Brème : La position actuelle de l'enseignement des 
sciences naturelles et mathématiques dans les établissements secon- 
daires supérieurs. I.e rapporteur se place à un point de vue tout a 
fait général et montre quelle est la position qui a été faite à l'en- 
seignemenl scientifique dans les plans d'études adoptés en 1901. M 
ne s'agit pas, dit-il. d'envisager l'enseignement scientifique a un 

: Voir lt;s Verhandlungeu der Breslaucr Naturforscher—Versamnilung iiber </<•// mit tira- 
it. mathematisch.cn Unterricht un den hôheren Schulen, heransgegeben von A. Wangerin 
Verlag Vogel, Leipzig. 



:„s CHRONIQUE 

point de vue professionnel ou d'une façon étroite comme branche 
d'instruction, mais nous voulons considérer l'enseignement des 
sciences mathématiques et naturelles au point de vue de l'instruc- 
tion générale, en rapport avec la vie moderne et tel qu'il paraît 
désirable de le voir se développer, afin de permettre à la jeunesse 
d'aujourd'hui de contribuer à son tour aux progrès de la culture 
moderne, a 

2. F. Ki.kix Gôttingue : Remarques concernant l'enseignement 
des Mathématiques et de la Ph ysique. Le conférencier rappelle 
d'abord un certain nombre de publications dans lesquelles il in- 
dique ses vues sur l'enseignement des mathématiques. Nous nous 
bornerons à mentionner son récent mémoire Sur une transforma- 
tion, conforme aux besoins actuels, de l'enseignement mathématique 
dans les établissements secondaires supérieur:;, que nous avons déjà 
eu l'occasion <le signaler, (L : 'Enseignement mathématique, 6 e année, 
p. ,')<S<), numéro du 15 septembre 1904.) M. Klein demande que Ton 
introduise dans l'enseignement algébrique des classes supérieures, 
quelques notions de Calcul différentiel et intégral, afin de per- 
mettre à tous ceux qui ont suivi les établissements secondaires su- 
périeurs de comprendre la portée générale des mathématiques 
dans les domaines les plus divers et d'en tirer parti. Parlant de la 
préparation du corps enseignant, le rapporteur estime qu'il est dé- 
sirable que les professeurs obtiennent régulièrement des congés 
afin qu'ils puissent reprendre contact avec la science pure et ses ap- 
plications. 

.'>. M. Fr. Merkel Gôttingue) présente des vœux concernant 
renseignement biologique. Cet enseignement doit : !" apprendre à 
observer; 2° fournir les notions essentielles sur les fonctions i\u 
corps humain. 

4. Le quatrième rapport, dû à M. G. Lecbuscher Meiningen , est 
consacré aux intérêts de l'hygiène, notamment de l'hygiène sco- 
laire. 

Ces rapports ont été suivis d'une discussion à laquelle ont pris 
part MM. Pietzker Nordhausen), v. Borries (Berlin), Grïmsehl 
Hambourg), Schotten (Halle), Classen Hambourg), Archenhold 
Treptow . Rebmann (Karlsruhe), Klein et M"" Rabinowitsch. Ils 
serviront de bas» 1 a une étude générale qui a été confiée à une com- 
mission de 12 membres. 

La prochaine reunion annuelle aura lieu à Meran Tyrol), en 

septembre 1905. 

Association des maîtres de mathématiques 
des écoles moyennes suisses. 

Le 17 décembre 1904 a eu lieu a Zurich, sous la présidence de 
M. le I) 1 ' E. Gubler, la réunion annuelle des maîtres de mathéma- 



CHRONIQUE :.'.• 

tiques des établissements secondaires supérieurs suisses. \ I ordre 
du jour figuraient, à côté des questions puremenl administra- 
tives, un rapporl de M. le prof. II. Fehr sur lu notion de fonction 
<l(tns l'enseignement mathématique des écoles moyennes el un i ; 1 1 > — 
port, présenté par MM. Gubleu e1 Fehr, sur le IH m ' ! Congrès inter- 
national des mathématiciens. 

La conférence de M. Fehr sera reproduite dans un prochain 
numéro de cette Revue; nous pouvons donc nous borner a donner 
un résumé très bref. Le conférencier a insisté sur la nécessité qu'il 
y a d'introduire lu notion de fonction (huis les diverses catégories 
des écoles moyennes. Il ne s'agit pas seulement de la représenta- 
tion graphique des fonctions simples, mais de L'étude de leur 
variation à l'aide de la notion de dérivée; celte notion doit être 
étudiée principalement en vue de ses applications fondamentales 
en géométrie analytique problème de la tangente et en cinéma- 
tique notion de vitesse . La question n'est du reste pas nouvelle 
et M. Fehr a rappelé les efforts qui se font actuellement dans ce 
sens en Allemagne, pins il a montré dans quelle mesure la notion 
de fonction est représentée dans les nouveaux programmes fran- 
çais. Après une intéressante discussion, à laquelle ont pris pari 
MM. W'ili) par une lettre datée de h'-('.all . Scher'rer, Kiïsnacht- 
Zurich, Brandenberger, Zurich, Suter, Kilchberg-Zurich, Butzber- 
<;er, Zurich. Flatt, Bàle, Gubler, Zurich, Ji/.i. Bienne, et Fehr, 
les thèses proposées par le conférencier ont été adoptées a l'una- 
nimité. L'assemblée a en outre exprime le vœu que dans cette pre- 
mière initiation une large part soit accordée au développement 
historique, principalement dans les établissements classiques. 

A l'occasion des propositions individuelles M. le prof. Otti, 
Aarau. a attiré l'attention de ses col ténues sur la question suivante, 
qui pourrait être examinée dans une prochaine assemblée : Est-il 
désirable, dans l'enseignemenl géométrique des établissements 
secondaires supérieurs, de renoncer à la division sexagésimale de 
l'angle pour adopter la division décimale? 

Médaille Guccia. 

Nous avons déjà annonce qu'à 1 occasion .du l\ ' Congrès Inter- 
national di:s Mathématiciens, qui se tiendra à Rome en l'année 
h)U8, le Circolo Matematico di Palermo décernera un prix inter- 
national de Géométrie. Ce prix, qui sera appelé «médaille nucci \ 
du nom de son fondateur . consistera en une petite médaille por- 
tative en or et en une somme de 3000 francs. Voici les détails 
complets des conditions du concours d'après la circulaire arrêtée 
par M. Albegiani, président ^\u Circolo Matematico : 

On sail que, depuis les travaux auxquels a donné lieu le prix Steixer 
décerné eu IK82. la théorie des courbes gauches algébriques > été plutôt 



60 CHRONIQUE 

délaissée, el que même les grands progrès de la Gé< ;tric moderne, obtenus 

par les méthodes synthétiques, ou algébriques, ou fonctionnelles, ont laissé 
de côté celte théorie; de sorte que les questions fondamentales, qu'on 
avait abordées dans les travaux cités, et d'autres questions encore que l'on 
pourrail se poser, a ont pas fait l'objet de travaux ultérieurs. Si d'ailleurs 
on passe <le l'espace ordinaire aux espaces supérieurs, on rencontre poul- 
ies courbes algébriques ivn particulier pour leur classification, pour l'élude 
des courbes canoniques de genre donné', etc.) une foule de questions impor- 
tantes dont personne encore ne s'est occupe. D'autre part, l'on connaît bien 
peu de propositions sur les courbes gauches algébriques obtenues en se 
limitant au champ réel. OU bien à un champ rationnel donne. 

C est en s'inspiranl de ces considérations (mais sans vouloir d'ailleurs 
limiter d'avance, en aucune manière, les problèmes et les méthodes de 
recherche), que le Circolo Matematico di Palermo, conformément aux 
intentions du fondateur du prix, décernera la » médaille guccia d à un 
mémoire qui fera faire un progrès essentiel à la théorie des courbes gauches 
algébriques. 

Dans le cas ou. parmi les travaux envoyés au concours, aucun mémoire 
relatif a la théorie ci-dessus ne serait trouvé digne du prix, celui-ci pourra 
être adjugé à an mémoire qui fera faire un progrès essentiel à la théorie des 
surfaces, ou autres variétés, algébriques. 

Les mémoires destinés au concours devront être : inédits, rédigés en 
italien, ou français, allemand, anglais et écrits (sauf les formules) avec la 
machine à écrire. Munis d'une épigraphe, ils devront parvenir, en trois 
exemplaires, au Président du Circolo Matematico di Palermo avant le l>'juil- 
jel 1907, accompagnés d'un pli cacheté contenant sur l'enveloppe l'épigraphe 
adoptée et à 1 intérieur le nom el l'adresse de l'auteur. Le mémoire cou- 
ronné sera inséré dans, les Hendiconli », ou autre publication, du Circolo 
Matematico di Palermo. L'auteur en recevra 200 lirages-à-part. 

Dans le cas où aucun des mémoires présentés au concours ne sérail trouvé 
digne du prix, celui-ci pourra être adjugé à un mémoire, sur les théories 
ci-dessus, qui aura été publié après la publication de ce programme et avanl 

li' I e ' juillet 1907. 

Le prix sera décerné par le Circolo Matematico di Palermo conformément 
a la décision d'une Commission internationale de trois membres, composée 
de MM. Max Noether (Erlangen), Henri Poincaré (Paris) et Corrado Segre 
(Turin). 

La lecture du rapport de la Commission, ainsi que la proclamation du 
nom du savant couronné et l'attribution du prix, auront lieu à Rome, en 1908, 
dans une des séances du IN ■• Congkès International des Mathématiciens. 



Monument au mathématicien Véga. 

I ue souscription ' est ouverte à Laibach Autriche pour l'érec- 
tion d'un monument à la mémoire du mathématicien Véga L754- 
1804 autour do Tables de logarithmes. 

Mais Véga n'a pas seulemen! été l'auteur d'une Table de loga- 



1 Envoyer les dons a M. le Capitaine Joli. Kramarsic, lui. Rcg. •-'7. à Laibach, Autriche 
ou ,i M. le Prof. Krazer, Wostends.tr. 57. Karlsruhe, Allemagne. 



CHRONIQUE 61 

rithmes (|iii en esl aujourd'hui ;i sa 80 e édition, il a laisse en 
(Mitre, plusieurs traites de mathématiques qui onl atteint un 
grand nombre d'éditions et dont l'un d'eux est reste en usage à 
l'Ecole d'Artillerie pendant plus d'un demi-siècle. Véga est pré- 
cisément l'un fies premiers qui ait compris la nécessité d'intro- 
duire une forte culture scientifique dans les écoles militaires. Il 
est également le premier qui, en Autriche, ait l'ait de la propa- 
gande en faveur du système métrique pour les poids et mesures. 
Nous empruntons ces quelques renseignements à l'intéressante 
étude biographique de M. le Capitaine Fridolin Kaucic, intitu- 
lée Georg Freiherr von Vega, 2 ,c verbesserte illustrierte Auflage 
58 p. . Vienne 1904. On y trouvera non seulement un aperçu de 
la carrière scientifique de Véga, mais aussi de 1res belles pages 
consacrées a sa carrière militaire qui lut des plus brillantes. 

Académie des Sciences de Paris. 

Prix décernés. Dans la séance publique annuelle du 19 dé- 

cembre, l'Académie a décerné les prix dans la liste desquels nous 
signalons les suivants ayant trait aux Sciences mathématiques. 

Grand prix des Sciences mathématiques. ■ — Le prix n'est pas 
décerné. 

Prix Bordin. - Le prix n est pas décerné intégralement; un 
prix de 2000 fr. a été attribué à M. Servant. 

Prix Vaillant. — Le prix est partagé entre MM. Borel "t Ijiii- 
cAiii). L'Académie avait proposé le sujet suivant : Détermination 
et Etude de tous les déplacements d'une figure invariable dans 
lesquels les différents points de la figure décrivent des courbes 
sphériques. 

Prix Francœur. — M. L. Lemoine, pour l'ensemble de ses tra- 
vaux de Géométrie. 

Prix Poncelet. — M. I). André, pour l'ensemble de ses travaux 
sur l'Analyse combinatoire. 

Prix Manliion. — M. ( 1. Richard, Ingénieur civil des Mines, pour 
l'ensemble de ses travaux relatifs a la Mécanique. 

Prix Lalande. — M. S.-W. Bcrnham, pour ses travaux sur les 
(•toiles doubles. 

Prix I a/z. — M. de Campos Rodrigues, directeur de l'Observa- 
toire royal astronomique de Lisbonne. Détermination de la Paral- 
laxe solaire au moyen de la planète Eros. Autres recherches sur la 
détermination d'ascensions droites d'un groupe d'étoiles; obser- 
vations pendant l'opposition de 1002. sur la planète Mars. 

Médaille Janssen. — M. Haxskv. pour l'ensemble de ses obser- 
vations. 

Prix Hébert. — M. ('.. Claude, pour son ouvrage, I' Electricité 
a la portée de tout le monde ». 



62 CHRONIQ I i: 

Prix Hughes. -- M. le Lieutenant-Colonel E. Ariès, pour ses 
publications sur la Théorie de la chaleur el la Statique chimique. 

Prix Kastner-Boursault. ■- M. le Capitaine Fermé, pour l'en- 
semble de ses travaux relatifs aux conditions les plus favorables 
îles appareils destinés a la Télégraphie sans fil, et pour ses nom- 
breuses expériences. 

Prix Leconte. — M. René Blondlot, Correspondant de l'Acadé- 
mie des Sciences. Professeur a la Faculté des Sciences (le \ane\. 
pour l'ensemble de ses travaux. 

Prix SaintOur. — M. C. FrÉmont, pour. I ses expériences sur 
la définition pratique de la limite d'élasticité des métaux; '1" ses 
expériences sur la détermination approchée de la pression maxi- 
mum produite par un choc, et des applications. 

Prix Montyon Statistique . — Le prix est partagé cuire MM. V. 
Low ix i mai. et P. Razous. Des mentions sont accordées à MM. 11. 
Guégo; E. Mai hy et On. 

Prix Lapiace. — Œuvres de M. Laplace remises à M. Léauté, 
sorti premier de l'Ecole polytechnique et entré, en qualité d'élève 
ingénieur, à l'Ecole nationale des Mines. 

Prix Félix Rivot. — Partagé entre MM. Léauté et Dubois, entres 
premiers a l'Ecole nationale des Mines et MM. Hecker et Le Ver- 
rier, entrés premiers à l'Ecole des Ponts et Chaussées. 

Prix proposés. — Prix Francœur 1905; 1000 IV. . - Découver- 
tes utiles au progrès des Sciences mathématiques pures et appli- 
quées. 

Prix Poncelet 2000 fr. . — Pour l'Ouvrage le plus utile aux Ma- 
t hématiques appliquées. 

Grand prix des Sciences mathématiques 1906; 3000 fr. . — Per- 
fectionner, en quelque point important, l'étude de la convergence 
des fractions continues algébriques. 

Prix Bordin L907 : 3000 fr. . — Reconnaître d'une manière gé- 
nérale si les coordonnées des points dune surface algébrique peu- 
vent s'exprimer en fonctions abéliennes de deux paramètres, de 
telle sorte qu'à tout point de la surface corresponde plus d'un sys- 
tème de valeurs des paramètres aux périodes près . Etudier en 
particulier le cas où l'équation de la surface sciait de la forme 

z* = /' x, y 

/'étant un polynôme, et donner des exemples explicites de telles 
surfaces. 

Prix Vaillant 1907; 4000 fr. . — Perfectionner, en un point im- 
portant, le problème d'Analyse relatif à l'équilibre des plaques 
élastiques encastrées, c'est-à-dire h- problème de l'intégration de 
I'équa1 ion 

b*a i> 4 « 5*« _ . 



CHRONIQl E 63 

avec Les conditions que la fonction n el sa dérivée suivanl La uor- 
male au contour de la plaque soient nulles. Examiner plus s j > < '■ - 
cialemenl Le cas d'un contour rectangulaire. 

Prix Montyon L905; Too Fr. . — Invention ou perfectionnemenl 
d'Instruments u • i 1 <-s aux progrès de L'Agriculture, «les Arts méca- 

uiques OU «les Sciences. 

Prix Fourneyron L905; L000 fr. . — Etude théorique ou expé- 
rimentale des turbines a vapeur. 

Prix Pierre G uzman 100,000 fr. . — Communiquer avec un astre 
autre que Mars. — Les intérêts du capital non décerné s'accumu- 
lent et forment un prix quinquennal qui sera décerné, s'il y a lien. 
en 1905, à un travail faisant progresser l'Astronomie. 

Prix Lalande 540 fr.). — Observation, mémoire ou travail le 
plus utile aux progrès de l'Astronomie. 

Prix Valz 460 fr.). — Observation astronomique la plus inté- 
ressante de l'année. 

Prix G. de Pontêcoulant 700 fr. . — Recherches de Mécanique 
céleste. 

Prix Damoiseau 2000 fr. . — Les comètes à orbites hyperboli- 
ques étaient-elles telles avant leur entrée dans Le système solaire ? 

Prix Janssen. — Médaille d'or; progrès important en Astrono- 
mie physique. 

Faculté des Sciences de Paris ; thèses soutenues en 1904. 

Thèses soutenues en 1904 en vue du Doctorat es sciences mathé- 
matiques. 

A. Doctorat d'Etat. — 1. (I'Adiikm.U! M. M. : Sur une classe 
d'équations aux dérivées partielles du second ordre, du type hy- 
perbolique, à 3 ou 4 variables indépendantes. Soutenue le 23 avril. 

2. Bkiîxstkix Serge : Sur la nature analytique des solutions des 
«'([nations aux dérivées partielles du second ordre. Soutenue le 
10 juin 1904.; 

3. Esclangos (Ernest] : Les fonctions quasi-périodiques. Soute- 
nue le 25 .juin L904. 

4. Potron : Le groupe d'ordre/? 6 . Soutenue le 28 juin 1904. 

B. Doctorat d'Université. — 1. Vaxdechex Pierre : Théorie des 
champs continus bilinéaires. Soutenue le 24 juin 1904. 

2. Dumas Gustave : Sur les fonctions à caractère algébrique 
dans le voisinage d'un point donne. Soutenue le 29 juin 1904. 

Notre enquête sur la méthode de travail des mathématiciens. 

La collahoration de nombreux mathématiciens, appartenant aux 
divers pays où se cultivent les sciences exactes, donne à notre en- 
quête un intérêt qui surpasse nos espérances premières. Les ré- 
ponses, très développées pour la plupart, constituent des docu- 



61 CHRONIQUE 

inciits profondément instructifs dont nous ferons bénéficier nos 
lecteurs. Nous nous empressons <l exprimer notre vive reconnais- 
sance à Ions ceux qui n'ont pas reculé devant la longueur du ques- 
tionnaire. .Nous comptons recevoir encore des réponses et nous 
ne saurions trop engager ceux de nos lecteurs qui n'ont pas encore 
répondu, de bien vouloir nous retourner le questionnaire 1 le plus 
tôt possible. Il semble en effet que, par suite d'une fausse inodes- 
lie, bien des lecteurs hésitent encore à répondre. Mais nous leur 
rap pèlerons (pie la collaboration de tous les mathématiciens, depuis 
les simples professeurs de mathématiques élémentaires jusqu'aux 
savants des grandes I niversités et Académies nous est également 

Utile. 

Le dépouillement de l'enquête est nu travail qui exige beaucoup 
de soin et le concours de plusieurs personnes. Nous plions donc 
nos lecteurs de bien vouloir prendre quelque peu patience. 

La Rédaction. 

Nominations et distinctions. 

M. Boehm, privat-docent, est nommé professeur extr. a II ni- 
\ ersité de Heidelberg. 

M. A. DoMMi-.ii, prof, extr., est nomme professeur ord. à II ni- 
versité de Lausanne. 

M. .I. Grunwald est admis en qualité de privat-docent de mathé- 
matiques à l'Université de Vienne. 

M. F. Jung est admis en qualité de privat-docent de mécanique 
a l'Ecole technique supérieure allemande de Prague. 

M. Kneseh a accepte un appel en qualité de professeur ord. 
a l'Université de Breslau en remplacement de M. London. 

M. <',. kowAi. i:\vski, de l'Université de Greifswald, est nommé 
professeur extraordinaire à l'Université (le Bonn. 

M. Liebmann, privat-docent , est nommé professeur extr. à l'Uni- 
versité de Leipzig. 

M. F. London, de II niversité de Breslau. est nomme professeur 
extr. ;i l'Université de Bonn en remplacement de M. Heffter. 

M. Lossieb est admis eu qualité de privat-docent de statique 
graphique à l'Ecole polytechnique fédérale de Zurich. 

M. Russjan est nommé professeurord.de mécanique à l'Ecole 
technique supérieure de Lemberg. 

M. Th. \ V.HLEN, (le I l II i\ e rsi I é de KOlligsberg, est iioinine pro- 
fesseur extraordinaire a l'Université de Greifswald. 

M. Vieille est nommé membre de l'Académie des Sciences de 
Paris, Section de mécanique, en remplacement de M. Sarrau, dé- 
cédé. 

: Demander le questionnaire .. I un des rédacteurs ou .i l'un <!<'- éditeurs. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Sous ce titre nous publions des renseignements relatifs à l'organisation de 
de l'enseignement : créations nouvelles programmes et règlements d un in- 
i •rit général, liste îles cours des principales Universités el Ecoles supé- 
rieures, etc. \ ■ \ lu i'A( tion. 



Le Séminaire d'Histoire des mathématiques à l'Ecole polytechnique 

de Munich. 

A la suit»- d'une communication que j'ai présentée au Congrès 
international des mathématiciens à Heidelberg, la Rédaction 
de l' Enseignement mathématique m'a prié de lui adresser quel- 
ques notes sur l'organisation «lu Séminaire d'Histoire des mathé- 
matiques que j'ai inauguré, en 1894, à l'Ecole polytechnique de 
Munich. 

Il s'agit d'un Séminaire de deux heures pur semaine, consacrées 
à des entretiens sur des sujets nouveaux. L'un des étudiants fait 
une conférence sur une question que je lui ai donnée plusieurs 
semaines à l'avance et qu'il traite par écrit. La conférence est sui- 
vie d'une discussion qui permet de corriger la forme et le fond et 
de compléter la bibliographie. Le travail des recherches biblio- 
graphiques est généralement fait par moi-même, parce que les 
étudiants ne le possèdent pas encore suffisamment. Quelquefois je 
présente moi-même une conférence sur des sujets récents ou sur 
îles recherches que j'ai développées dans un article spécial. 

Depuis 1899 j'ai arrangé des cycles de conférences, embrassanl 
deux semestres. Le premier cycle traita de l'histoire de la quadra- 
ture du cercle depuis les temps les plus reculés jusqu'à nos jours: 
le second cycle eul pour sujet l'histoire des origines du calcul 
infinitésimal. Il commença de l'antiquité et finit avec l'invention 
de Newton et Leibniz. Le troisième cycle donna l'histoire du 
Calcul différentiel et intégral depuis Newton et Leibniz jusqu'à 
(lauss. le quatrième traita de l'histoire de la Géométrie dans les 
seizième et dix-septième siècles et tout spécialement de l'origine 
de la Géométrie analytique. Enfin le cinquième cycle développa 
l'histoire des séries infinies depuis Mercator et Newton jusqu'à 
nos jours. 

Les plus avancés de mes élèves onl déjà publié quelques petites 
Notes sur des questions nouvelles, ('/est le cas des mémoires de 
MM. Heinrich, H aller, Bjohxbo, Kltta el principalement des 

L'Enseignement mathém., 7 e année: 1905. 5 



66 N O I I. s E I DOCU M E X T S 

beaux travaux de M. Wallneb sur l'origine du Calcul infinitésimal. 
Ces mémoires ont paru dans la Bibliotheca mathematica de M. G. 
Enestrôm, et ils ont été présentés, en partie, dans les conférences 
de mon Séminaire. A. v. Braunmuhl. 



FRANCE 

LA RÉFORME DES PROGRAMMES D'ADMISSION 
AUX GRANDES ÉCOLES ■ 

II. Programme de la classe de mathématiques spéciales'-. 

Le ministre de l'instruction publique et des beaux-arts, 
Sur la proposition de la commission interministérielle instituée 
par arrêté du 3 août L903, 

Arrête ainsi qu'il suit le programme de la classe de mathéma- 
tiques spéciales : 

Mathématiques. 

A. ALGÈBRE ET ANALYSE 

Nombres incommensurables. — Notion de coupure. 

Division des polynômes entiers. — Plus grand commun diviseur de deux 
polynômes. — La condition nécessaire et suffisante pour que deux poly- 
nômes f (x) et g (x) de degrés respectifs p el q aient un diviseur commun 
de degré n est qu'il existe deux polynômes A et B de degrés respectifs p — n 
et q — n tels que l'on ail : 

A g (x) + B /• {x) = 0. 

Arrangements, permutations, combinaisons sans répétition. 

Formule du binôme dans le cas de l'exposant entier et positif. 

Calcul des valeurs arithmétiques des radicaux. — Exposants fractionnaires 
et négatifs. (On réservera pour la définition de a x le cas de l'exposant in- 
commensurable, i 

Déterminants. — Définition, développement suivant les éléments d'une 
même ligne. — Echange des lignes avec les colonnes. — Permutation de 
deux colonnes ou de deux lignes. — Addition de lignes ou de colonnes. — 
Produit de deux déterminants. — Résolution d'un système d'équations 
linéaires s . 



1 La Première Partie, consacre au Rapport de M. Appell, a été publiée dans L'Eus, math, du 
15 novembre 1904, |>. i85 et suivantes. 

2 Extrait du Journal officiel du 27 juillet lOo'i. 

En s'inspirant de ce nouveau programme la Revue de Mathématiques spéciales (Rédacteur en 
chef: M. E. Humbkrt, Paris] a élaboré un programme, ([nulle public dan:; son numéro do 
décembre )9o'», et qui diffère en plusieurs points i\\\ nouveau programme. Tout en tenant 
compte des applications, elle donne plus de détails dans les développements théoriques de 
quelques chapitres. Nous reproduirons ce projet dans un prochain numéro. 

3 Le*, élèves devront être exercés à la résolution des équations numériques sans employer 
les déterminants. 



NOT E S E T DOCU M E N T S 67 

Formes linéaires et homogènes à deux, trois ou quatre variables. — Con- 
ditions d'indépendance. 

Nombres complexes. — Formule de Moiyre. 

Séries. — Séries à termes positifs : caractères de convergence ou de 

divergence tirés de l'étude des expressions M ~*~ — , //~ /if — Séries 

Un * ' 

absolument convergentes. — Convergence des séries à termes alternative- 
ment positifs et négatifs dont le terme général décroît constamment en 
valeur absolue et tend vers zéro. 

Exemples numériques. 

Fonctions. — Fondions d'une variable réelle, représentation graphique, 
continuité. — Définition et continuité de la fonction exponentielle et de la 
fonction logarithmique. Limite de 



quand m grandit indéfiniment en valeur absolue. — Dérivée d'une fonction : 
pente de la courbe représentative. — Dérivée d'une somme, d'un produit, 
d'un quotient, d'une puissance entière, d'une fonction de fonction. — Déri- 
vées des fonctions circulaires directes et inverses. — Dérivées de ax et de log x 
(logarithmes vulgaires et logarithmes népériens). — Usage des tables de 
logarithmes et de la règle à calcul. 

Théorème de Rolle, formule des accroissements finis, représentation 
graphique. 

Fonctions de plusieurs variables indépendantes, dérivées partielles, 
formule des accroissements finis. — Dérivée d'une fonction composée. — 
Dérivée d'une fonction implicite. (On admettra sans démonstration l'existence 
de cette fonction et de sa dérivée.) 

Emploi de la dérivée pour l'étude de la variation d'une fonction : maxima 
et niinima. 

Fonctions primitives d'une fonction donnée, leur représentation par l'aire 
d'une courbe. 

Fonction définie par une série entière en x à coefficients réels. — Inter- 
valle de convergence. — Addition et multiplication. — A l'intérieur de l'in- 
tervalle de convergence, on obtient la dérivée ou les fonctions primitives de 
la fonction en prenant la série des dérivées ou des fonctions primitives. (On 
ne s'occupera pas de ce qui se passe aux extrémités de l'intervalle.) 

Exemples : développements en série de 

1 I t , r ! — ■'' 

arc taner x; JL 1 1 — x) ; L 



1 — x ' 1 + -r 2 ' & ' < i ' i + r • 

Série exponentielle, série du binôme; les équations 

y = y et y' (1 -}- x) = m y 

permettent de déterminer les sommes de ces deux séries. — Développements 
en série de a x ; arc sin x. 



68 Y () T E S E T DOCV M E N T S 

Formules de Mac La'urin el il<' Taylor : 

f(a + ,r) = f(a) + j f («) + ^ /"' (a) H- . . . . + p^ /'(") (fl + h x). 

Développements eri série de sin x e1 de cos X- 

Application de la formule de Taylor à l'étude «lu quotient de deux fonc- 
tions tl«' » dans le voisinage «l'une valeur donnée de x; cas où les deux 
fonctions de x s'annulent pour cette valeur. — Diverses formes d'indétermi- 
nation. 

Croissances de «"' cl L.r comparées à celle de x m . Application à la recher- 

e x 

die de la liniile (le - — - pour x i 11 fini et (le .*'" L.r pour x = 0. 
X m 

Fonctions e z . cos s, sin z pour ; complexe. — Egalités : 

e z x e 2 ' = c~ + -•', e x + '// = e x (cos v + i sin vi. 

Sinus et cosinus hyperboliques, leurs relations avec le sinus el le cosinus 
ordinaires. 

Propriétés générales des équations algébriques. — Nombre des racines 
d Une équation. — Relations entre les coefficients et les racines. — Toute 
fonction rationnelle et symétrique des racines s'exprime rationnellement en 
fonction des coefficients. — Elimination d'une inconnue entre deux équations 
an moyen des fondions symétriques. 

Propriétés spéciales des équations à coefficients réels. — Racines imagi- 
naires conjuguées. — Indications que fournissent les signes des résultats 
de la substitution de deux nombres réels. 

Conditions pour qu'une équation ait des racines égales. — Recherche des 
racines coiuniensurables. 

Théorème de Descaries. 

Infiniment petits. — Infiniment petits équivalents. — Ordre relatif de 
<\<-ux infiniment petits. — Valeur principale. — Exemples. 

Différentielle première d'une fonction d'une variable. 

Différentielle totale d'une fonction f(x, r, ) définie par la formule : 

df=f' x dx + f'y dy + 

Transformation de celle expression lorsqu'on remplace x, y, par «les 

fonctions d'autres variables. 

Intégrales. — L'aire <\'un segment de courbe esl la limite de la somme 
des rectangles inscrits; emploi des symboles 



/ f(x) d x : | f(x) </ x. 



Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle. — Changement de l;i 
variable. — Intégration par parties. 

Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. — Intégra- 
tion «les différentielles rationnelles en x et de celles qui s'y ramènent. 

Application des quadratures à la rectification des courbes, au calcul d'un 

volume dfc pose en tranches par des plans parallèles, à l'évaluation de 

I aire d'une surface de révolution el au calcul des moments d'inertie du 



v o T E s /■: r docv m i: .v /' s m 

cylindre de révolution, de la sphère, el «In parallélipipèdc par rapporl ■< 
leurs axes de symétrie. — Aires el volumes des solides de la géométrie 
élémentaire. 

Intégration des équations différentielles du premier ordre: 

1° Dans le cas où les variables se séparent immédiatement ; 

"2" Dans le cas où l'équation est liqéaire. 

Intégration de l'équation différentielle linéaire «lu second ordre a roeffi- 
cienis constants sans second membre; cas dû le second membre esl un 
polynôme ou une somme d'exponentielles de la tonne A <■"•'. 

Résolution numérique des équations algébriques ou transcendantes. — 
Méthode d'approximation de Newton et méthode des parties proportion- 
nelles établies par des considérations géométriques. — Extension de la 
méthode de Newton à la résolution numérique de deux équations simultanées 
qu'on remplacera par deux équations linéaires approchées. 

Calcul approché d'une intégrale définie par la méthode des trapèzes. 

II. TRIGONOMÉTRIE 

Fonctions circulaires. — Angles correspondanl à une fonction circulaire. 

Théorème des projections. 

Relations entre les f'onclious circulaires d'un même angle. — Formules 
relatives à l'addition, à la soustraction, à la multiplication et à la division 
des angles. 

Divisions sexagésimale el centésimale de la circonférence. (On fera usage 
de tables trigonométriques centésimales à cinq décimales.) 

Résolution des triangles rectilignes. 

Résolution trigonométrique de l'équation binôme. 

Formule fondamentale de la trigonométrie sphérique : 

Cos a = Cos b Cos c -\- Sin b Sin c Cos ./. 

III. — GÉOMÉTRIE A.NALYTÏQU1 

1" Géométrie plane. 

Constructions d'expressions algébriques. — Homogénéité. 

Coordonnées rectilignes. — Représentation d'une ligne par une équation. 

— Formules de transformation des coordonnées rectilignes. Ordre d'une 
courbe algébrique. Distance de deux points. 

Ligne droite. — Equation de la ligne droite. Problèmes simples relatifs à 
sa détermination. — Formules donnant la distance d'un point à une droite 
et la tangente de 1 angle de deux droites, en supposant les axes rectangu- 
laires. Applications. — Notions succinctes sur les points à L'infini au moyeu 
des coordonnées homogènes et sur les éléments imaginaires. — Relation 
homographique; relation involutive; l'apport anharnionique de quatre nom- 
bres. Application au rapport anharnionique de quatre points en ligne droite 
et. de quatre droites appartenant à un même faisceau linéaire. 

Cercle. 

Lieux géométriques. 

Courbes dont l'équation est résolue ou résoluble pur rapport it l'une des 
coordonnées. Tracé. — Equation de la tangente en un point; sous-tangente. 

— Normale; sous-normale. — Concavité; convexité; points d'inflexion. — - 



70 NOTE S E T /) C V M E Y T S 

A.symptoles. Application à des exemples simples H en particulier à des 
coniques el à des courbes dont l'équation est du second degré par rapport 
à l'une des coordonnées. 

Courbes définies par l'expression des coordonnées d'un de leurs points 
eu fonction d'un paramètre. — Tracé. — Exemples numériques. — Les 
courbes <lu second ordre el celles du troisième ordre à point double sont 
unicursales. 

Comités de finies pur une équation implicite. — Equation <le la tangente 
et de la normale en un point. — Tangentes à l'origine dans le cas où l'ori- 
gine esl un point simple ou un point double. Recherche des asymptotes sur 
des exemples numériques de courbes du second el du troisième ordre. 

Courbure. — Enveloppes. — Développées. 

Intersection d'une courbe algébrique donnée, définie par une équation 
entière el homogène : f(x, y, ".) = 0, avec une droite arbitraire menée par 
un point quelconque donné sur celte courbe; point simple; tangente en ce 
point, (las particulier où le point est rejeté à l'infini : asymptote définie 
comme tangente à la courbe en ce point. 

Courbes du second ordre. — Division en trois genres d'après la nature 
des points à l'infini; asymptotes. — Etablir les différentes tonnes réduites 
cpie peut prendre l'équation d'une conique en appliquant la méthode de 
décomposition en carrés à des exemples numériques; figurations géométri- 
ques correspondantes. — Condition pour que deux points soient conjugués 
par rapport à une conique; polaire dun point. — ■ Condition pour que deux 
droites soient conjuguées; pôle d'une droite. 

Centres ; diamètres ; directions conjuguées ; diamètres conjugués. — 
Directions principales et axes de symétrie en supposant les coordonnées 
rectangulaires. — Recherche des formes réduites ; calcul des coefficients 
des formes réduites dans le cas où les coordonnées sont rectangulaires. 

Foyers d une courbe du second ordre. — Directrices — Excentricité. — 
Paramètre. — Recherche des foyers et des directrices sur les équations 
réduites en coordonnées rectangulaires. 

Equation trinôme : y 2 = 'Ip.x -\- q.r 2 , commune aux trois courbes du se- 
cond ordre. 

Etude des courbes du second ordre sut' les équations réduites. — Inter- 
section avec une droite ; condition de contact; problèmes simples relatifs 
aux tangentes. — Propriétés focales et tracés qui en résultent; tangente et 
normale. — Questions relatives à l'ellipse et à l'hyperbole; diamètres; cordes 
supplémentaires; diamètres conjugués; théorèmes d'Apollonius. — Tracés 
spéciaux pour l'ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle. 
— Propriétés spéciales de 1 hyperbole relativement aux asymptotes. — Pro- 
priétés spéciales de la parabole relativement aux diamètres, à la sous- 
tangente el à la sous-normale. 

Homothétie. 

Rapport ankarmonique de quatre points ou de quatre tangentes sur une 
conique. — Divisions homographiques et divisions en involution sur une 
conique. 

Deux coniques ont, en général, quatre points communs réels ou imagi- 
naires à distance finie ou infinie. — Notions succinctes sur les coniques 
appartenant au faisceau linéaire ponctuel défini par deux coniques données; 
les coniques de ce faisceau découpent sur une droite quelconque deux divi- 
sions en involution. 



.XO TES E I DOCUMENTS 71 

Coordonnées polaires. — Leur transformation en coordonnées rectilignes. 
Equation de ta ligne droite. 

Construction des courbes; tangentes. — Asymptotes. — Applications 
ion se bornera au cas ou l'équation esl résolu'' par rapport au rayon vecteur 

-- (!;is des coniques. 

2, Géométrie dans l espace. 

Coordonnées rectilignes. — Représentation d'une surface par une équa- 
tion; représentation d'une ligne par deux équations simultanées. — Formule 
qui donne le cosinus de l'angle de deux directions en supposant les coor- 
données rectangulaires. — Formules de transformation des coordonnées 
rectilignes; formules d'Euler. — Ordre d'une surface algébrique. — Distanci 
de deux points. 

Ligne droite et plan. — Equation du plan; équations de la droite. — 
Problèmes simples relatifs à leur détermination et à leurs intersections. 

Formules donnant le cosinus de l'angle de deux droites ou de deux plans, 
la distance d'un point à un plan, d'un point à une droite et la plus courte 
dislance de deux droites, en supposant les axes rectangulaires. — Applica- 
tions. — Notions succinctes sur les points à l'infini à l'aide des coordonnées 
homogènes et sur les éléments imaginaires. — Rapport anharmonique de 
quatre plans appartenant à un même faisceau linéaire. 

Sphère. (Coordonnées rectangulaires). 

Courbes gauches. — Tangente. — Plan oscillateur. — Courbure. — Appli- 
cations à lhélice circulaire. 

Surfaces en général. — Plan langent; normale. — Marche à suivre pour 
trouver l'équation d'une surface définie géométriquement. Application aux 
cylindres, aux cônes et aux surfaces de révolution. 

Surfaces du second ordre. — Intersection d'une surface du second ordre 
donnée avec une droite arbitraire menée par un point quelconque donné sur 
cette surface; point simple; plan tangent en ce point ; son intersection avec 
la surface. — Cas où le point est à l'infini; plan asymptote défini comme 
plan tangent en ce point. — Classification des surfaces du second ordre 
d'après la nature des points à l'infini. 

Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une surface du second ordre 
possède un ou plusieurs points doubles à distance finie ou infinie. 

Etablir les différentes formes réduites que peut prendre l'équation d une 
surface du second degré en appliquant la méthode de décomposition en 
carrés à des exemples numériques ; formes géométriques des surfaces 
correspondantes. — Condition pour que' deux points soient conjugués par 
rapport à une surface du second ordre; plan polaire d'un point. — Condi- 
tion pour que deux plans soient conjugués; pôle d'un plan. — Droites 
conjuguées. — Centres; plans diamétraux; directions conjuguées; diamè- 
tres, diamètres conjugués. (Toutes les discussions relatives à la distribution 
des plans asymptotes, des centres, des plans diamétraux et des diamètres 
seront faites sur les formes réduites.) 

Démontrer que dans toute surface du second ordre il existe au moins trois 
directions conjuguées rectangulaires i en coordonnées rectangulaires); calcul 
des coefficients des carrés des variables lorsqu'on prend des axes parallèles 
à ces directions; calcul des autres coefficients des tonne- réduites par la 
translation de ces axes. 



; 2 A' o r e s i; r docuMe n t s 

Homothétie. 

Etude des surfaces du second ordre sur les équations réduites. — Condi- 
tion de contacl d'un plan avec la surface; problèmes simples relatifs aux 
plans tangents. — Normale. — Propriétés «les diamètres conjugués; théorè- 
mes d'Apollonius pour l'ellipsoïde et les hyperboloïdes. — Sections circu- 
laires. — Génératrices rectilignes. — Les surfaces du second ordre sont 
unicursales. 

Variation de la courbure des sections normales en un point simple d'une 

surface (on supposera le point à l'origi I la surface tangente au plan 

xoy). — indicatrice. — Courbure d'une section plane quelconque au même 
point. — Théorème de Meusnier. — Surfaces convexes, surfaces à courbures 
opposées en un point. 

IV. MÉGANIQUE 

Cinématique du point. — Mouvement rectiligne d'un point. — Relativité 
du mouvement. — Vitesse, accélération. — Mouvement uniforme, uniformé- 
ment varié, vibratoire simple. 

Mouvement curviligne. — Vitesse. — Hodographe. — Vecteur accélération. 

Accélérations tangentielle et centripète. — Diagrammes des espaces, des 
vitesses, des accélérations tangentielles. 

Mouvement rapporté à des axes de coordonnées rectangulaires ou obliques 
ei à des coordonnées semi-polaires. 

Cinématique d'un système invariable. — Translation. — Rotation autour 
d'un axe fixe. — Mouvement hélicoïdal. 

Changement du système de comparaison. — Composition des vitesses ; 
composition des accélérations bornée au cas OÙ le mouvement du système 
de comparaison esl un mouvement de translation. 

Dynamique. 

I. Point matériel libre. — Principe de l'inertie. — Définition de la force 
el de la masse 1 . — Relation entre la masse et le poids. — Invariabilité de 
la masse. — Unités fondamentales. — Unités dérivées. — Mouvement d'un 
point sous l'action d'une force constante en grandeur et en direction ou 
sous l'action d'une force issue d'un centre fixe : 1° proportionnelle à la 
dislance. 2« en raison inverse du carré de la distance. 

Composition des forces appliquées à un point matériel 2 . 

Travail d'une force, travail de la résultante de plusieurs forces, travail 
d'une force pour un déplacement résultant. — Théorème de la force vive. — 
Surfaces de niveau. — Champs et lignes de force. — Energie cinétique el 
énergie potentielle d'un point placé dans un champ de force. 

II. Point matériel non libre. — Mouvement d'un point pesant sur un plan 
incliné avec el sans frottement, la vitesse initiale étant dirigée suivant une 
ligne de plus grande pente. — Pression totale sur le plan ; réaction du plan. 
— Petites oscillations d un pendule simple sans frottement, isochronismè. 

Homogénéité. — Dimensions d'une vitesse, d'une accélération, d'une force, 
d'un travail, d une quantité de mouvement, d'une force vive. 



1 On admettra qu'une force appliquée à un point matériel esl égale géométriquement au 
produit de la masse du point par l'accélération qu'elle lui imprime. 

2 <)n admettra que si plusieurs forces agissent sur un point, l'accélération qu'elles lui 
impriment esl La somme géométrique des accélérations que chacune d'elles lui imprimerait 
si elle agissait seule. 



xo tes i: t doc um i: \ i s ;:; 

Statiom . 

Statique du point. — Equilibre d'un point matériel Libre, d'un poinl ma- 
lériel assujetti à rester sur une courbe fixe ou sur une surface fixe, avec ou 
sans frottement. 

Moments . — Moment vectoriel par rapport à un poinl. — Moment par 
rapport à un axe. 

Statique des systèmes de points matériels. — Démontrer qu'il existe six 
conditions nécessaires d'équilibre indépendantes des forces intérieures. — 
Démontrer que, pour les systèmes invariables, ces -~i\ conditions smii suffi- 
santes. Cas particuliers. 

Equivalence de deux systèmes de forces appliquées à un corps solide. — 
Application à la réduction d m> système de forces. - Composition des 
couples. — Centre des forces parallèles; centre de gravité; moments des 
forces parallèles par rapport à un plan. 

Equilibre d'un solide invariable qui n'est pas libre. — Cas d'un point fixe, 
d'un axe lixe avec ou sans glissement le long de cet axe. de un, deux ou trois 
points de contact avec un plan lixe. — Réactions. 

Mac/unes simples. — Levier, poulie lixe avec ou sans frottement . bascule, 
treuil, cabestan, poulie mobile, moufle sans frottement. 

Vérifier sur chacune de ces machines que, pour un déplacement élémen- 
taire à partir d'une position d'équilibre, la somme algébrique des travaux 
élémentaires de la puissance et de la résistance est nulle, si Ton fait abstrac- 
tion du frottement . 

\ . GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 

Problèmes sur la droite et le plan. 

Représentation et intersection de prismes et de pyramides. 

Sphères. — Section plane. — ■ Intersection avec une droite. — Plan tangent ; 
cône circonscrit ; ombres. 

Résolution des trièdres. 

Cônes et cylindres. — Plans tangents', contours apparents et ombres. — 
Intersection avec une droite. — Sections planes. — Développement. 

Surfaces de révolution. — - Plans tangents; contours apparents et ombres. 
— Sections planes. — Intersection avec une droite. 

Surfaces réglées du second ordre. — Hyperboloïde de révolution et para- 
boloïde hyperbolique. — Mode de génération. — Intersection avec une droite. 

Plans tangents; contours apparents et ombres. — Sections planes. 

Intersections de surfaces. — Deux cônes ou cylindres, cône ou cylindre 
et surface de révolution ; deux surfaces de révolution dont les axes sont 
dans un même plan. 

Projections cotées. — Problèmes sur la droite et le plan. — Surfaces 
topograpliiques. — Lignes de niveau et de plus grande pente; ligne d'égale 
pente ; sommet ; fond; col; ligne de faite; ligne de thalweg. 

Sections planes; profils; intersection avec une droite. Intersection de 
deux surfaces. 

Applications de géométrie projective. (Prog. de math. A.). 

Plan du tableau. — Perspective d'un point, d'une droite, d une lieue. 

Rapport anharmonique de quatre points en ligne droite. — Sa conserva- 
tion par projections. — Rapport harmonique. 

Point de fuite d'une droite. — Perspective de deux droites parallèles. — 
Ligne de fuite d'un plan. — Conception de la droite de l'infini d un pi. m. 



7 '. NO TE S ET DOC l ME A T S 

Nota. — Le professeur de géométrie descriptive devra se servir des 
notions de géométrie projective <pii Ggurent au programme de géométrie 
analytique. 

Physique. 

Image d'un point par rapport à un système optique. — Aplanétisme. — 
Miroirs plans, surfaces du second degré. — Transformations successives 
il une surface aplanétique par la méthode de Foucault. 

Aplanétisme approché d'une surface sphérique refléchissante. — Rappel 
des formules des miroirs sphériques. — Aberrations longitudinale et trans- 
versale 1 . — Expériences mettant en évidence les aberrations, les caustiques 
et les droites focales. 

Aplanétisme par réfraction. — Points aplanétiques de la sphère. — 
Rappel des formules des lentilles minces. — Etude expérimentale des 
aberrations, «les caustiques et des droites focales 2 . — Lentilles de Fresnel; 
projecteur catadioptrique. 

Montrer géométriquement l'existence et les propriétés des plans princi- 
paux dans tout système optique centré 2 . — Formule fondamentale <j>*'rr:/ 2 . 
Détermination expérimentale des foyers et des plans principaux. — Cons- 
truction des images. 

Convergence ; dioptrie. 

Prismes. — Déviation minima. — - Conditions de l'aplanétisme vrai et 
approché. 

Aberrations de réfrangibilité. — Lentilles achromatiques. 

Instruments d'optique. — Instruments destinés à aider l'œil dans l'obser- 
vation soit des petits objets soit des objets éloignés. — Puissance, grossis- 
sement, pouvoir séparateur, clarté, champ. — Marche des rayons. — Loupe ; 
oculaires, microscope, lunette astronomique; lunette terrestre, lunette de 
Galilée. — Télescope de Foucault. — Objectif photographique. 

Indices de réfraction des solides et des liquides. — Goniomètre. — Mé- 
thode de la réflexion totale. 

Mesure de la vitesse de la lumière par la méthode de Foucault et celle 
de li/.eau. 

MESURl s 

Vernier. — Vis micrométrique : machine à diviser; microscope micromé- 
trique; sphéromètre. — Cathétomètre 8 . — Comparateur. 

Pesanteur. — Champ de force, direction. — Lois de la chute des corps : 
plan incliné'-, machine d'Atwood, appareil de Morin. 

Balance; conditions de sensibilité suivant que les trois axes de suspension 
parallèles sont ou non dans un même plan; Imites de poids; méthodes de la 
double pesée et de la pesée à charge constante. — Description d'une pesée. 

Pendule simple: pendule composé*. — Réciprocité des axes de suspension 
et d oscillation. — Application du pendule à la mesure de l'intensité de la 
pesanteur. — Méthode des coïncidences. 



1 Sans calculs. 

2 On se bornera au cas où lis milieux extrè s -ont identiques. 

8 (in n'insistera pas sur le réglage du cathétomètre. 

4 Voir dans le cours d'algèbre Les formes de pendules composés dont on peut calculer 
If moment d'imil ie. 



N I E S E 7 DOCV M E N TS 

Indication des résultats obtenus pour le champ terrestre. 

Extension de la formule du pendule au cas d une force proportionnelle à 
l'écart. — Horloges H chronomètres. — Notions 1res sommaires sur I amor- 
tissement et la résistance. 

Unités et étalons. — Unités fond a me ni al es. — Unités dérivées mécaniques : 
dimensions. — Système C. G. S. — Unités mécaniques pratiques. 

Masses et poids spécifiques. — Densités des solides et des liquides par 
la méthode du flacon, avec les collections. — Densité des gaz ; poids du 
litre d'air. 

Capillarité : étude expérimentale ; tension superficielle. 

Baromètre normal. — Baromètre métallique. — Manomètre à mercure — 
Manomètre métallique. 



Mesure des températures. — Thermomètre normal. — Thermomètre à 
mercure. — Détermination de l'intervalle fondamental. — Déplacement du 
zéro. 

Mesure d'une quantité de chaleur. — Méthode de la fusion «le la glace 
(calorimètre de Bu n sein. — Méthode des mélanges (calorimètre de Berthelot). 
— Idée générale'des corrections calorimétriques. 

Chaleurs spécifiques des solides, des liquides et des gaz à pression cons- 
tante 1 . — Résultats généraux. 

Détermination de l'équivalent mécanique de la calorie; expériences fonda- 
mentales de Joule. — Unité C. G. S. de quantité- de chaleur. 

Dilatations ; courbes de dilatation : coefficients de dilatation. 

Méthode du comparateur pour la dilatation linéaire des solides. 

Dilatation absolue du mercure. — Principe de la méthode de Dulong et 
Petit et de Regnault*. 

Méthode des thermomètres comparés. — Cas particulier de I eau. 

Lois de compressibilité et de dilatation des gaz. — Lois de Mariotle el 
de Gay-Lussac comme première approximation: résultats des expériences 
de Regnault, Cailletel, Amagat ; réseaux d'isothermes. 

Changements d'état. — Enoncé de la règle des phases et des lois du 
déplacement de l'équilibre. 

Vaporisation, liquéfaction. — Courbe des forces élastiques de la vapeur 
d'eau. 

Courbes d Andrews. — Point critique. — Liquéfaction des gaz. 

Ebullition. — Distillation. — Caléf action. — Chaleur de vaporisation. — 
Formule de Regnault pour l'eau 8 . 

Densité des vapeurs. 

Fusion et solidification. — Chaleur de fusion. — Dissolution. — Mélangi s 
réfrigérants. 

Influence d'un corps dissous sur le point de fusion et sur le point d ebul- 
lition. — Lois de Raoul!. 



1 Là. comme ailleurs, on insistera sur l'exposition des méthodes et non sur la description 
des appareils. 

2 Là comme ailleurs, en insistera sur l'exposition des méthodes et non sur la description 
des appareils. 

3 Résultats sans la description des expériences. 



N O T E S E I DOC l M E N T S 



ELECTKOS I A I loi I 



Rappel des notions Fondamentales. — Mesure relative «les quantités 
il électricité par le cylindre de Faraday. — Elude expérimentale de la dis- 
tribution. — Densité électrique. — Influence. — Principe des machines à 
influence. 

Loi de Coulomb. — Quantité d'électricité. 

Champ électrique. — Lignes de force, flux de force. — Théorème de Gauss. 

— Théorème <!<■ Coulomb. — Eléments correspondants. — Applications à 
1 influence. 

Notions élémentaires sur le potentiel. 

Capacité électrostatique. — Condensateur, c lensaleur plan, cylindrique. 

— Pouvoir inducteur spécifique. 
Energie électrique d'un condensateur. 

Electromètre absolu. — Electromètre à quadrants. — Mesure des diffé- 
rences de potentiel. — Distances explosives en fonction du potentiel dans 
l'air à la pression ordinaire. 

Unités électrostatiques C. G. S.; unités pratiques. 

MAGNETISAI] 

Faits généraux. — Loi de Coulomb. — Champ magnétique. — Lignes de 
force: flux de force à travers une surface. 
Champ terrestre; déclinaison, inclinaison. 

Mesure du moment d un barreau par la méthode des oscillations. 
Composition de deux champs uniformes. — Méthode du magnétomètre. 
Mi sures absolues; méthode de Gauss. 

Chimie 

Nous nous bornons à reproduire ici les principaux titres, i Lu Réd. 

Phénomènes physiques. Phénomènes chimiques. Lois qui régissent les 
combinaisons. Notation chimique l . Principes fondamentaux de Hermo- 
chimie. Caractères généraux des fonctions chimiques. F.lude des métalloïdes 
et de leurs principaux composés. 

Fait à Paris, le 26 juillet 1904. J. Chaumié. 



Cours universitaires. 
Semestre d'hiver 1904-1905 (suite). 

Oxford; University. Lecture List for Hilarv Terni. 1905 (à partir du 

23 janvier). Malhematics. — W. Essor . Comparison of Analytic and Syn- 
t lu tic methods in the Geometry ol Coniçs, - h. Synthetic Geomelry of 
Cubics, 1. — E. B. Ei. mot : Eléments of Elliptic Funclions, 2. Substitu- 
tions and Resol vents, I. — H. H. Turner : Elementary Mathematical Astro- 
nomy, 2. — The Professorand II. C. Plummer : Practical Work. — A. E. H. 



1 l.i notation atomique est obligatoire. 

Observation générale. On supprimera la description de tous les appareils qui n'ont plus 
qu'un intérêt historique, pour s'en tenir ■< ce qu'il y ;i de plu- récent. 



BIBLIOGRAPHIE ", 

Lowe : Theory "I Potential, 2. Eléments of 1 1 » « » Calcùlus (for Studenls of 
Science), 2. — J. W. Russell : Algebra of Quantics, 2. — P. .1. Kirkby : 
Higher Algebra, 1. — A. L. Dixon : Calcùlus of Finite Différences, I. — 
.1. E. Campbell : Geometry of Surfaces, 1. — C. H. Sampson : Higher Solid 
Geometry (continued), 1. — C. II. Thompsok : Dynamics of a l'article. 3. — 
H. T. Gerrans : Hydrodynamics, 2. — C. E. Haselfoot : Theory of Equa- 
tions, 1. — A. L. Pedder : ïrigouonielry, 1. — C. Leudesdorf : Geometry 
(Maxima and Minima, Inversion, &c), 2. — A. E. Jolliffe : Analytical Geo- 
metry (continued). 2. — C. H. Sampson : Solid Geometry, 2. — II. F. 
McNeile : Integra! Calcùlus. 2. — E. H. Hayes : Elemenlary Mechanics. 3. 

Paris; Collège de France (Cours du I er semestre 1904-1905). — Mécanique 
analytique et Mécanique céleste: M. Hadamard, suppléant: Equations de 
l'Elasticité (2 leçons par semaine). — Mathématiques; M. Humbert, sup- 
pléant: Fonctions abéliennes (2 leçons par semaine). — Mathématiques 
(Fondation Claude Antoine Peccot) : M. Henri Lebesgue, chargé «lu cours: 
Séries trigonométriques il leçons par semaine). 



BIBLIOGRAPHIE 



Annuaire pour l'an 1905, publié par le Bureau des Longitudes. Avec des 
Notices scientifiques. — 1 vol. in-l(i de près de 800 payes avec figures : 1 fr. 
50 franco, 1 fr. 85: s'adr. à la Librairie Gauthier-Villars, 55, quai des Grands- 
Âugustins, Paris). 

Nous venons de recevoir l'Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1904. 
— Ce petit volume compact contient, comme toujours, une foule de rensei- 
gnements indispensable à l'ingénieur et à l'homme de Science. Parmi les 
Notices de cette année, signalons tout spécialement celle de M. I'. Hatt, 
Explication élémentaire des marées. 

Gino Loria. — Spezielle algebraische und transcendente ebene Kurven. 
Théorie und Geschichte. Autorisierte, nacli dem Italienischen Manuskript 
bearbeitete deutsche Ausgabe von Fritz Scuùtte. Mil 17 i Figuren und 
17 lithographierten Tafeln. — 1 vol. in 8° de 7ii pages. Prix M. 28. — . 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Le présent ouvrage est un catalogue méthodique de toutes les courbes 
planes que les géomètres ont eu à considérer depuis les temps les plus re- 
culés de l'antiquité jusqu'à nos jours. La publication d'un tel ouvrage était 
dans l'air depuis longtemps, et Fauteur lui-même se plaît à rendre hom- 
mage à ceux qui. avant lui. ont contribué à cette rude besogne. 

Dans ces dix dernières années, la chose était revenue a maintes reprises sur 
le tapis. Des questions turent posées dans Y Intermédiaire des Mathémati- 
ciens à son sujet, notamment par M. Haton de la Goupillière, E. Lemoine, 
P. Tannery, et peu après l'Académie des Sciences de .Madrid en taisait 
l'objet d un concours. Il n'en aurait pas fallu tant pom' montrer l'importance 



78 H 1 1! L ÏOGRA PHI E 

d u m sujet sur lequel les meilleurs imités de géométrie analytique étaient 
bien peu complets. 

En L897, une première et magistrale réponse fut faite par M. 11. Brocard. 
Ce géomètre publia deux volumes autographiés, sous le titre de Notes de 
bibliographie des Courbes géométriques qui montraient l'extrême compé- 
tence de leur auteur et. dans la préface de l'ouvrage qu'il publie aujourd'hui, 
M. Gino Loria rend un juste hommage à M. Brocard, en déclarant que cet 
éminent géomètre tient incontestablement la première place parmi tous ceux 
qui ont étudié le sujet. 

L'ouvrage de M. Brocard était un dictionnaire où les courbes avaient 
leurs noms rangés par ordre alphabétique-, celui de M. Loria en diffère à 
ce point de vue. Ici les courbes sont groupées géométriquement, en com- 
mençant tout d'abord par les courbes algébriques de degré inférieur. 

On y passe rapidement sur la droite et les coniques, car ces lignes sont 
bien étudiées dans tous les ouvrages élémentaires. Quelques mots histori- 
ques et philosophiques sur l'impossibilité de nettement définir la droite 
sont cependant très intéressants. Quant aux coniques, admirablement étu- 
diées par les Grecs et cependant complètement délaissées par le Moyen 
Age, leur étude fut, pour ainsi dire, l'origine de toutes les méthodes de la 
géométrie moderne. 

L'ouvrage commence véritablement par l'étude des courbes du troisième 
degré. 

L auteur part d'un point de vue très général et remarque que l'étude peut 
se présenter sous trois aspects différents. Ou bien on étudiera les cubiques 
d après la manière de les construire géométriquement, ou bien on partira 
de la configuration de leurs points singuliers, ou enfin du célèbre théorème 
de Salmon, relatif à la constance du rapport anharmonique de quatre tan- 
gentes menées à la courbe par l'un de ses propres points supposé non sin- 
gulier. 

En parlant notamment de la configuration des points singuliers, on arrive 
facilement à montrer que toute courbe du troisième degré peut toujours se 
représenter par une équation de la forme 

r 2 = <7.r s -f- bx- -\- ex -f- d 

puis, sur la forme paramétrique, au moyen de fonctions elliptiques très 
simples d'un paramètre. 

Signalons aussi la possibilité de transformer une cubique quelconque en 
une cubique à centre par une transformation projective. 

Après ces généralités, nous voyons les classifications de cubiques tentées 
dans le passé et notamment la riche et poétique liste qu'en fit Newton en 
empruntant presque tous les noms à la botanique et à l'architecture, mais 
la première classe véritablement délimitée de façon méthodique que M. Loria 
nous présente est celle des cubiques rationnelles, c'est-à-dire de celles qui 
sont paramétriquement définies par des équations de la forme 

pxi = «toÀ 3 -f- a t \l 2 -+- aa'k + cii3. (i = 1,2,3.) 

puis immédiatement ensuite les cubiques circulaires, c'est-à-dire celles qui 
passent par les points ombilicaux. Le chapitre suivant étudie la cissoïde de 
Dioclès 

- , - + v 2 i - Irr 2 



Hl lil. 10GRA PHIE 79 

qui, comme nette équation le montre immédiatement, est précisé ni une 

cubique circulaire. 

On connaît les rapports remarquables de la cissoïde el <le la parabole. 
Signalons aussi d'élégantes et fort simples quadratures qui nous donnent de 
très remarquables théorèmes : Si. par exemple, la cissoïde est engendrée à 
l'aide d'un cercle de la façon élémentaire bien connue, l'aire comprise entre 
la branche à point de rebroussement et l'asymptote est égale à trois Ibis celle 
du cercle générateur et le volume engendré par cette aire tournant autour 
de l'asymptote est égal à celui du tore engendré par le cercle précédent. 

Signalons aussi la rectification de la courbe et le fait que la différence de 
sa longueur totale et de celle de 1 asymptote est une quantité finie. 

Nous voyons ensuite les généralisations de la cissoïde, puis les courbes 
connues sons le nom de parabole el de foliuni de Descartes, la première d< 
de ces deux n'ayant pas grande importance, mais la seconde en ayant, au 
contraire, une très grande, surtout au point de vue historique. 

L'analogie de forme du folium el de la strophoïde nous conduit à l'étude 
de cette dernière courbe qui peut rentrer comme la cissoïde dans la classe 
des cubiques circulaires. Elle possède un point double où les tangentes sont 
rectangulaires. Elle est comme la cissoïde susceptible de certaines généra- 
lisations. 

La conchoïde de Sluse est aussi une cubique circulaire; elle possède une 
asymptote et deux points d'inflexion à dislance finie. Le lieu de ces points 
pour l'ensemble des conchoïdes que l'on peut construire avec la même 
asymptote et le même pôle est une cissoïde de Dioclès. 

La versiera est une cubique rationnelle dont l'équation peut s écrire : 

a 3 

y 



a 2 -\- x 2 



la visiera est encore une cubique circulaire et ces deux courbes compren- 
nent, elles aussi, entre elles et leurs asymptotes des aires en rapport très 
simple avec celui d'un certain cercle générateur de la courbe. 

Voici encore la trisectrice de Maclaurin, puis celle de Catalan qui est la 
podaire négative d'une parabole, par rapport à son foyer, puis celle de 
de Longchamps qui, exception faite pour cette dernière, sont encore des 
cubiques circulaires. 

Après les triseclrices viennent les duplicatrices et les feuilles paraboliques 
représentées par des équations de la forme 

x s = a tx 2 — y 2 ) -f- bxy, 

ce qui termine la partie consacrée aux courbes du troisième ordre. 

On voit déjà par ce qui précède que l'ouvrage de M. Loria est loin de 
ressembler à quelque sèche nomenclature ; à côté du souci de rappeler toutes 
les courbes considérées et nommées par les géomètres, on sent celui non 
moins sérieux de ne pas faire un exposé disparate et de relier par la géo- 
métrie analytique et le calcul intégral les propriétés les plus belles de ces 
courbes. 

La place limitée dont nous pouvons disposer dans ce journal ne nous 
permet pas de continuer avec autant de détails 1 analyse des autres sections 
de l'ouvrage. Bornons-nous à décrire rapidement leur plan. Voici 124 pages 
consacrées aux courbes du quatrième ordre. La classification de ces courbes 



80 BIBLIOGRAPHIE 

«■si exposée avec concision. Celles qui se présentent le plus naturellement 
soui celles qui on) leur maximum de points doubles et que des construc- 
tions simples permettent de faire dériver des coniques. Nous considérons 
ensuite celles qui oui deux points doubles sur la droite de l'infini; ce sont 
les quartiques elliptiques; si ces deux points sont les points ombilicaux, 
lirais obtenons les quartiques bicirculaires, telles, par exemple, que les sphé- 
riques de Perseus Ces dernières courbes sont de grande importance ; elles 
comprennent les lignes isopliques des coniques, les lemniscates, les ovales 
de Cassini. 

Comme quartique simplement circulaire, nous considérons la conchoïde 
rectiligne de Nicomède à laquelle un chapitre est spécialement consacré, 
puis les généralisations de cette courbe, et notamment la conchoïde à hase 
circulaire qui nous mène naturellement à la cardioïde. Après celle-ci, voici 
l'hypo-cycloïde triangulaire, merveilleuse entre toutes, et un chapitre spé- 
cial consacré à l'étude de ses podaires. Signalons aussi les ovales de Des- 
caries, remarquables quant à leurs propriétés focales et les courbes dites 
polvzomales définies par des équations de la forme 

VÂ+VÂ + VA = ° 

les /étant des premiers membres d'équation de coniques; ensuite les quar- 
tiques possédant un point double à tangentes confondues, telle que celle 
qui ressemble au y. grec et porte pour celte raison le nom de celle lettre; 
les courbes de Cassini, quartiques bicirculaires nées d'un problème d'as- 
tronomie; les quartiques dont les points singuliers sonl des points d'in- 
flexion, tels cpie la lemniscate de Bernoulli. Cette importante section se 
termine par l'étude de la courbe nommée Muschellinie (ligne en coquille) 
par Durer, laquelle est encore rationnelle et simplement circulaire, par la 
liiséi aille qui est clans le même cas, et enfin par quelques généralités sur 
les quartiques considérées comme lieux géométriques attachés à de cer- 
taines coniques. 

Dans une quatrième section, nous éludions des courbes de degré supé- 
rieur au quatrième. Cette étude est certainement plus restreinte que les 
précédentes, car, comme le remarque l'auteur, les courbes du troisième 
ordre forment un territoire bien défini dans l'empire mathématique, celle 
du quatrième un domaine dont certaines frontières sont encore imprécises. 
et, quant à celles de degré supérieur, quelque chose comme un pays dont 
quelques rares routes seulement soûl tracées, cela en dépit d'efforts d'émi- 
uenis géomètres comme. M. Brocard, qui ont surtout trouvé, comme courbes 
remarquables du cinquième ordre, celles qui se rattachaient à des problèmes 
posés sur les coniques. 

Voici, <l'auire part, l'aslroïde (hypocycloïde à quatre re.broussements 
réels i ei la scarabée, la courbe de Walt, issue de considérations cinématique», 
la néphroïde, sextique bicirculaire, l'atriphtaloïde qui est dans le même cas 
el qui esl née de la considération d'une surface des mers simplifiée par 
quelques abstractions. Signalons encore parmi les sexiiques le trifolium pra- 
tense ; la section se termine par l'élude sommaire de courbes du neuvième 
ri du vingt-cinquième ordre, issues de considérations relatives à la théorie 
des fonctions d une variable complexe. 

La cinquième section <\\\ livre est consacrée à des combes algébriques 
spéciales qui, par exemple, ne sonl pas forcéraenl d'ui) degré déterminé. 



// / 1: 1. 1 G i: API/1 E s i 

Elles soni surtout nées de courbes de faible degré donl on veut généraliser 
e( élever le degré de l'équation en conservanl cependant la Forme de celle-ci 
Telles sont, par exemple, la parabole h les hyperboles généralisées 

f = p n - l x . *V = «" + '. 

Ir>- courbes dites <• perles 

a r + s 

x*(a -+- xf= ,P 

— ifl ■ 

qui, pour 5 r= I . / = 1, /> = 2 soni des coniques rapportées à un axe et à 
la tangente en un sommet, les courbes de Lamé 



©+(ï) 



+ T = 1 



les courbes polyzomales dont il a déjà été question plus haut dans un «m-. 
particulier. 

Signalons encore 1rs courbes de Darbons présentant 'les propriétés imi- 
tées de relies de la parabole et de ses tangentes et celles de Serrel dont les 
asymptotes passent toutes par un même point en y faisant des angles 
égaux. Si ces angles sont droits on retrouve l'hyperbole équilatère. 

Nous ne pouvons que signaler les élégantes rosaces et plus généralement 
les feuilles géométriques dont les noms viennent de comparaisons botani- 
ques, les ovales, les courbes triangulaires et toutes les courbes nées du pro- 
blème du partage de 1 angle en parties égales Voici un chapitre intéressant 
et tcés général sur les combes possédant un centre ou un axe de symétrie, 
un autre sur les courbes qu'une transformation géométrique déterminée 
change eu elles-mêmes (courbes antipolaires, anallagmaliques. etc...). 

Sous le titre de géométrie des polynômes, nous étudions maintenant spé- 
cialement les courbes donl les équations s'obtiennent en égalant séparément 
à zéro la partie réelle et la partie imaginaire d'un polynôme de variable 
complexe. On sait qu il y a là un moyen général d'obtenir «les familles de 
courbes orthogonales. 

L'important problème de la rectification des courbes nous conduit ensuite 
à considérer celles qui sont rectifiables au moyen d'arcs de courbes sim- 
ples, notamment par arcs de parabole, de cercle, d'hyperboles, d'ellipses 
(courbes de Serret), de lemniscates (courbes qui conduisent notamment aux 
spirales sinussoïdes). Nous terminons avec les courbes de Lissajou, nées 
rinématiquemenl de la combinaison de deux mouvements harmoniques et 
obtenues expérimentalement en acoustique par une méthode optique bien 
connue. 

Nous quittons alors les courbes algébriques et pénétrons dans la sixième 
section consacrée aux courbes transcendantes. L'intégration d'équations dif- 
férentielles dune extrême simplicité conduit à de telles courbes et M.Loria 
montre rapidement que quelques considérations relatives à cette voie pour- 
raient permettre un essai de classification. Beaucoup de ces courbes sont 
nées aussi de considérations géométriques spéciales et voici, par exemple, 
le problème de la quadrature du cercle qui en fait naître de liés intéres- 
santes, dites quadralrices. 

L'Enseignement mathém.. 7" année : 1905. •• 



82 BIBLIOGBAPHIE 

Passons rapidement sur 1rs courbes transcendantes les plus connues, telles 
que le> spirales algébriques el transcendantes, la clolhoïdè, dont le rayon 
de courbure est inversement proportionnel à Lare, toutes les roulettes; si- 
gnalons les pseudocycloïdes moins connues ei que l'on déduit des véritables 
roulettes en donnant des valeurs imaginaires à certains paramètres cons- 
tants; les courbes de Delaunay et Slurin qui sont des roulettes d'ellipses, 
les courbes syntrépentes el isotrépenles, nées de considérations cinémati- 
(|ues et propres, en effet, à transformer un mouvement circulaire en divers 
mouvements non uniformes; les courbes de Debeaune, nées d'un problème 
posé par ce géomètre à Descaries, les courbes de Ribaucour dont te rayon 
de courbure est proportionnel à la normale, les courbes de Norwich ou de 
Slurm et celles d'Euler dont le rayon de courbure est proportionnel au rayon 
vecteur. 

Signalons encore les courbes trigonométriques v=sin;r, tango;, etc .., la 
courbe logarithmique el leurs généralisations dites courbes hypertrigono- 
mét tiques et courbes bypergéométriques. Sous le nom de courbes extraordi- 
naires, M. Loria a rassemblé la courbe sans tangente de \\ eierstrass, les 
courbes qui remplissent une aire, celles dans l'équation desquelles figurent 
des fonctions numériques, etc.. 

Un très intéressant chapitre est consacré aux courbes de Klein et Lie dont 
1 équation en coordonnées homogènes est de la forme icayi>z c — constante. 
Nous voyons ensuite les courbes qui, sur une carte de Mercator, représen- 
tent les sections planes de la sphère. 

L'étude des courbes transcendantes se termine par celles de ces courbes 
qui sont liées à des questions de stalique.de physique mathématique, etc. 
Voici les tractrices, les chaînettes, les courbes élastiques, les polhodie el 
herpolhodie et différentes autres, telles que les courbes magnétiques. 

La septième et dernière section de l'ouvrage est consacrée aux courbes 
dérivées de courbes primitivement connues, au moyen de certaines transfor- 
mations, telles, par exemple, que celles que l'on obtiendrait en partant d'une 
même équation entre deux variables, en convenant que ces variables peu- 
vent être tour à tour coordonnées cartésiennes, tangenlielles, polaires, etc... 

Signalons ensuite les courbes de poursuite, les développées, dévelop- 
pantes et leurs généralisations, les courbes parallèles, les courbes radiales, 
lieux des extrémités d'un segment issu d'un point fixe et équipollent au 
rayon de courbure d'une courbe donnée, les caustiques, les podaires et anli- 
podaires, les courbes isopliques des points desquelles on voit une courbe 
donnée sous un angle donné et, comme cas particulièrement intéressant, les 
courbes orthoptiques. 

Voici, de plus, les courbes différentielles et intégrales d'une courbe don- 
née y = f(x\ dont les équations s'obtiennent en remplaçant f\.r) dans la pré- 
cédente, soit par la fonction dérivée, soit, au contraire, par la fonction pri- 
mitive. 

Signalons encore les anticourbes ( Gegencurven) qui s'obtiennent quand on 
fait correspondre à un point \.v, ri iWwxk: courbe quelconque l'autre point 
d'intersection de deux cercles passant au point i.r. y) et admettant respecti- 
vement pour centres les pieds des coordonnées x et v sur les axes. 

Le dernier chapitre est consacré aux courbes dérivées «l'un groupe de 
plusieurs courbes, par exemple celles dont l'ordonnée est une fonction 
donnée des ordonnées d'autres courbes. 

Apres ce dernier chapitre, l'auteur a ajouté quelques notes el notamment 



/://:/. IOGRA PHIE 8:: 

une postface étendue el prodigieusement intéressante an poinl «le vue histo- 
rique el philosophique. Il y fait remarqner que, contrairement .1 ce que l'on 
ponrrail croire au premier abord, les courbes transcendantes ne formenl 
pas un ensemble beaucoup plus confus < t u<- 1rs courbes algébriques el que 
beaucoup d entr elles, et notamment les plus connues, -oui telles que le co- 
efficient angulaire y' de la tangente s'exprime algébriquement en fonction 

des coordonnées x, y. On péul uvaevpanalgebriqu.es les courbes dé cette 

nature. 

La longue analyse qui précède esl incomplète et la décuplerait-on que ce 
défaut ne disparaîtrait pas, car dans un livre comme celui «le .M. Loria, cha- 
que page appelle une réflexion; nous l'aurons, <lu moins, signalé comme un 
recueil d'une prodigieuse richesse et d'une admirable variété. 

A. Buhl 1 Montpellier). 

Galdeano (Dr. Zoel.G. de). — Tratado de Anâlisis Materaâtico; tomoprimero 
Câlculo différenciai. (Nueva Enciclopedia matemâtica) — 1. IV. I vol. in s 
(XII - "270 p.); Prix : ~> pesetas; Zaragoza, Casanal. 1904. 
Le présent Ouvrage constitue le tome IV d'une Encyclopédie mathématique 
dont M 1 de Galdeano a entrepris la publication. Dans sa prélace, le savant 
professeur de lUniversilé deSaragossese plaint avec amertume de la décadence 
lamentable de l'Enseignement supérieur en Espagne sous l'influence de pro- 
grammes arriérés. Ceux-ci, dit-il, semblent dater de l'époque glorieuse, 
mais déjà bien lointaine, de Lagrange, de Lacroix el de Sturm. Tous les 
progrès modernes, réalisés à l'Etranger, en ont été soigneusement exclus. 
M' de Galdeano proteste, avec éloquence, contre un pareil étal de choses, si 
néfaste à l'avenir scientilique de sa patrie. El, il se propose de réagir, dans 
la mesure du possible, en taisant paraître ce manuel de Calcul différentiel 
première partie d'un Traité complet d Analyse. 

En effet, l'Auteur s'est efforcé, dans ce petit volume, d'introduire, sons 
une forme 1res élémentaire, les principes les plus essentiels de la théorie 
actuelle des fonctions d'une variable réelle. C'est ainsi que, dés le début, 
après avoir parlé des nombres irrationnels. îl donne des notions 1res claires 
sur les ensembles. La même préoccupation de rigueur el de simplicité se 
constate à propos des infiniment petits {triangles infinitésimaux), des séries, 
des dérivées [dérivées des fonctions implicites — déterminants fonctionnels] 
qui donnent lieu a autant de chapitres spéciaux. Puis, viennent les change- 
ments de variables, l'élimination des constantes et les fonctions arbitraires. 
le calcul des différences, et. enfin, quelques mots sur la recherche des fonc- 
tions primitives. Tous ces sujets sont accompagnés de nombreux exemples 
ou exercices, fort heureusement choisis. 

La seconde partie du volume de M r dc Galdeano esl consacrée aux appli- 
cations analytiques du Calcul différentiel 1 formule de Tàylor — réversibi- 
lité des séries. — formule de Moivre et conséquences. — ■ Fonctions hyper- 
boliques. — Séries de Laplace el de Lagrange. — Décomposition des frac- 
tions algébriques. — Expressions indéterminées. Maximums et minimums . 
On retrouve, dans l'exposé de ces diverses questions, les qualités d'élégance 
et de précision qui caractérisent le talent de M 1 ' de Galdeano. Elles contri- 
bueront, nous l'espérons, non seulement au succès de son œuvre, mais en- 
core à la réalisation des idées qui lui sont (dures, pour le plus grand bien 
de l'Enseignement universitaire de son pays. M. Godefroi (Marseille). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. Sommaire des principaux périodiques: 

American Journal of Matheraatics, ediled by Frank Morley, published 
under the Auspices of the John Hopkins University. Vol. xxvi. Baltimore. 
N° :>. July 1904. - Edm. Landau: Bemerkungen zu Herrn Lehmer's 

Abhandlung. — H.-E. Hawkes : On Hypercomplex Number Systems in Seven 

l nits. — L.-E. Dickson : Memoir <>n Abelian Transformations. 

X i. Octobre 1904. — K.-J. Wilczynski : Invariants of a System of Liu- 

ear Partial D.ifferential Equations, and the theory of CongruencevS of Rays. 

— C. de Polignac : On Eléments Gpnnected eacb l<» e,ach 1)\ Dne or the 
other of ïwo Reciprocal Relations. 

Annali di Matematica pura ed applicata, publiés par L. Blanchi, U. Dini, 

G. Jung, C. Segre. Série III«; Rebescbini, Milan. 

T. IX. Fasc. 3 e1 i. — Niels Nielsen : Recherches sur le carré de la dé- 
rivée logarithmique de la fonction gamma et sur quelques fonctions ana- 
logues. — Note sur quelques séries de puissances trouvées dans la théorie 
de la fonction gamma. — Recherches sur des généralisations d'une fonction 
«le Legendre el d'Abel. — Evaluation nouvelle des formules de Binet, En- 
dermann et Raabe concernant la fonction gamma. — Bianchi : Sulla defor- 
mazione dei paraboloidi. — Brusotti : Sulla curva ra/.ionale normale dello 
spazio a quattro dimensioni. 

T. X. Fasc. I. — Fi bim : Sulle funzioni aulomorfe e<l iperfuchsiatïe di 
più variabili indipendenli. — Tedone : Saggio di una teoria générale délie 
equazioni dell'equilibrioelastico per un corpoisotropo. — Yitali : Sopra le 
série <li funzioni analitiche. 

Fasc. 2. — Niccoleti : Su un'equazione a radici reali. — Bianchi : Sopra 
alcune classi di congruerize rettilinee negli Spazî di curvalura cos tante. — 
Niels Nielsen : Sur quelques transformations d'une série de puissances. 

Fasc. -i <■! ï. — Gebbia : Le déforma zioni Lipiche dei corpi solidi elastici. 

— Gii.dberc : Mémoire sur les congruences linéaires aux différences finies. — 
Bigiavi : Sopra alcune equazioni differenziali lineari riducibîli. — ■ Lekzi : 
Sulla ricerca di un quarto intégrale di 2° grado dei sistema <li equazioni 
differenziali de moto <li un corpo solido in un liquido indefinito. — Fano : 
Ricerche sulla varielà cubica générale dello spazio a quattro dimensioni c 
sopra i siioi spazi pluritangenli. — Niels Nielsen . Recherches sur les po- 
lynômes ei le> nombres dé Stirling. — Note sur quelques applications ana- 
lytiques des polynômes de Stirling. 

Bulletin des sciences mathématiques, rédigé par G. Darboux, E. Picard eJ 
.1. Tannery, 2 me série. T. xxviii. l'.IH'i. Gauthier- Villars, Paris. 
Juillet. — Painlevî : Le problème moderne de l'intégration des équations 

différentielles. 

Août. — Dolbnia : Sur la liaison entre la théorie de la transformation des 

fonctions elliptiques el la théorie analytique de la réduction îles intégrales 

abélienues. 



B l I. 1. 1: I I .V B 1 II 1. I <) G II APH1QV E 85 

Septembre. — < '•■ Darboux Etude sur le développement des méthodes géo- 
métriques, lue le 2'i septembre 1904 au Congrès des sciences <le St-Louis. 

Octobre el aovembre. — E. Picard: Suc le développement «le l'analyst 
mathématique <•« ses rapports avec quelques autres science-. (Rapport pré- 
senté au Congrès de St-Louis.) 

Décembre. — - H. Poincaré : L'état actuel et l'avenir 'le la Physique ma- 
thématique. (Rapport présenté au Congrès de St-Louis). 

Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, pub.liés par les se- 
crétaires perpétuels. Gauthier- Villars, Paris, 1904. Tome « xxxix. 
r t juillet. — E. Picard : Suc certaines équations fonctionnelles et sur une 
classe «le surfaces algébriques. — H. Lebesgi i : Sur l«'s fondions représen- 
tables analytiquement. — E. Martin : Sur la théorie générale «lis réseaux 
el des congruences. — \\ . Steklofi : Suc une égalité générale commune à 
toutes les fonctions fondamentales. 

11 juillet. — L. Raffy : Suc deux problèmes relatifs aux surfaces isother- 
miques. — E. Jol'guet : Suc l'onde explosive. 

18 juillet. — Pi»s de communication mathématique. 

25 juillet. — Ë. Picard: Suc une équation fonctionnelle. — I'. Boutroux : 
Suc les singularités «le l'équation y' = Ao + Ai y + A_> y- -)- A3 y s ■+- ••• 

1 er août. — H. Deslandres : Organisation générale des recherches solai- 
res. — P. Boutroux: Sur les zéros des fonctions entières d'ordre entier. 

8 août. — • J. Bolssinesq : Equations générales du 1 vement des nappes 

d'eau infiltrées dans le sol. — A. Demoilin : Suc l'emploi d'un tétraèdre <l<- 
référence mobile en géométrie cavleyenne. — M. Potron : Suc les groupes 
d'ordre p"> \p premier) dont Inns les sousrgroupes d'ordre p'"-- sont 
abéliens. — M. Rémoundos: Suc un théorème de M Borel dans la théorie 
des fonctions entières. 

16 août. — J. Bolssinesq: Equation «le deuxième approximation pour 
l'écoulement des nappes d'eau infiltrées dans le sol et à faibles pentes. — 
E. Mathis : Note sur u\w méthode d'intégration. — l> de Su ssure : Mémoire 
sur les grandeurs «le la mécanique. 

22 août. — J. Boussinesq: Petites dénivellations «I une masse aqueuse 
infiltrée dans le sol, de profondeurs quelconques, avec ou sans écoulement 
au dehors. 

29 août. — H. Perrotis : Suc la chute «les Perseïdes en 1904. — F. Ries/.: 
Sur la résolution approchée de certaines congruences. 

5, 12 et L9 septembre. — Pas de communications mathématiques. 

26 septembre. — J. Bigourdan : Sur une cause de variabilité «les erreurs 
de division dans certains cercles gradués. — L. Libert : I .es Perseïdes en 1904. 

3 octobre. — Pas de communications mathématiques. 
10 octobre. — J. Maillard: Suc I expérience «le Perrot. 

17 octobre. — L. Bianchi : Sur les équations «le Moutard avec des grou- 
pes de solutions quadratiques. — E. Pascal: Sur les équations différentielles 
auxquelles satisfont les résultants et discriminants de forme binaire. 

2'i octobre. — H. Poincaré présente le T. xin «les « Œuvres complètes 
de Laplace ». — - L. Leau : Sur les fonctions entières de genre fini. — 
S. Berns i fin : Sur certaines équations aux dérivées partielles «lu second 
ordre. 

7 novembre. — Traînard: Suc nue surface byperelliptique 
I '1 et 21 novembre. — Pas de communications mathématiques. 



86 BVLLETI N H I li I. I G R A P II 1 Q U E 

28 novembre. — D. Pompein : Sur les singularités des fonctions analyti- 
ques uniformes. 

."> décembre. — E. Picard : Sur la formule générale donnant le nombre 
des intégrales doubles de seconde espèce dans la théorie des surfaces algé- 
briques. — V. Voi. terra : Sur les équations différentielles du type para- 
bolique. — Potron : Sur les groupes d'ordre p"> [p premier, w^>4) dont tous 
les diviseurs d'ordre j>"'-- sont abéliens. 

12 décembre. — P. Faton : Sur l'approximation des incommensurables et 
les séries trigonométriques. — L. Vavasseur : Sur les groupes continus, 
finis ou infinis, de l'espace. — Padé : Remarques sur une méthode pour 
l'étude île la convergence de certaines fractions continues. 

19 décembre. — Prix décernés et prix proposés (voir plus haut. pp. fil à 63). 

26 décembre. — Painlevé : Sur le théorème des aires et des systèmes 
conservât ifs. 

Revue générale des sciences pures et appliquées, dirigée par 1, Olivier, 

15""' année, 1904. Armand Colin, Paris. 

15 décembre. — Em. Picard : Les principes de la mécanique (à propos 
d'un livre de M. Maehi 

Revue de métaphysique et de morale, dirigée par Xavier Léon. 12"" an- 
née, 1904. Armand Colin, Paris. 

N° 4. Juillet. — L. Coutcrat : Les principes de mathématiques : IV. Le 
Continu ; V. L'idée de grandeur. — A. Rey : La philosophie scientifique de 
M. Duhem. — L. Weber : La question de l'Ecole polytechnique. 

X" 5. Septembre. — Vailati : Sur une classe remarquable de raisonne- 
ments par réduction à l'absurde. — L. Coi ri kat : Les principes des ma- 
thématiques; VI. La Géométrie. — G. Lechalas : lue nouvelle tentative de 
réfutation île la Géométrie générale. 

A" 6. Novembre. — E. Boctroix : Sur la notion de correspondance dans 
I analyse mathématique. — Hartmann : Définition physique de la force. — 
L. Couturat et F. Kaiii : La section de logique et philosophie «les scien- 
ces au II" 10 Congrès international de philosophie. 

Unterrichtsblàtter fur Mathematik und Naturwissenschaften, heraus- 
gegeben von F. Pietzker. X. Jahrg., 1904; Otto Salle, Berlin. 

Nr. 1. — M. Latrille : Isi auch fur Mathematiker und Natùrwissen- 
schaftler ein làngerer l rlaub zur wissenschaftlichen Weiterbildung wûn- 
schenswerl ? — Kurt Geissler : Eine neue Behandlung der Unendlichen im 
malhematischen Unterrichte. — F. Ebner : Die Schubkurbel. — Karl Bo- 
ciiow : Zur Behandlung der regelmassigen Vielecke (Fortsetzung). — Otto 
Schneider: Planimetrische Ableitung der cubischen Gleichung fur die Win- 
keltrisect ion. 

Nr. 2. — Kurt Geissler : Eine neue Behandlung des Unendlichen im 
mathematischen Unterrichte (Schluss). — K. Franz: Zur Frage des Unter- 
richtes in der Infinitesimalrechnung au (lew hoheren Lehranstalten. — W\ 
Brusch : Inl'ormalions-Kurse und -F«eiscn ii\v .Mathematiker und Naturwis- 
senschaftler. — E. Pullër : Elementare Behandlung von Maximum- und 
M ininiiim-A ufgaben. 

Xi-. 3. — E. Grimsehl : Ueber den Betrieb der Physik als Naturwissen- 
schaft. — IL Bodenstedt : Geometrographische Funf-und Zehneckscons- 



BULL E T I y B I BLIOG U . ! P Il I Q U E .s 7 

tructioneu. — F. Ebxer und A. Schulke : [nfinitesimalrechnung im 1 uler- 
richte. 

N os \. 5 ci 6. — M. Nath : Die Bildungsaufgabe «1er Mathematik im 
Lehrplan der hôheren Schulen. — \Y. Koch : Weitere Untersuchungen iïber 
Xaheruugsformeln zur Berechnung der Ludolfschen Zahl. — K Geisslef : 
])cr anschauliche Zusammenhang der Kegelschnitte durch «lie unendliche 
Kegelschnittkugel. — Diskussion iiber die Bildungsaufgabe der Mathematik. 

2. Livres nouveaux : 

Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften, 

begrùndet von Mur. Cantor ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

Heft xviii. — Heiberg : Mathematisches /u Aristoteles. — Cour. H. Mil- 
ler : Studien z. Geschichte des math. I nlerrichts an der Universitàl 
Gôttingen im 18. Jalirh. — Rich. Lindt : Das Princip ilev virt. Geschwin- 
digkeit, seine Beweise und die Unmôglichkeit seiner l nikehrung bei Ver- 
wenduDg des Begriffes « Gleichgewicht eines Massensystems ». — Un vol. 
in-8° de 196 pages, prix: Mk 6. 

Heft xix. — Heiur. Liebmann : N. J. Lobatscheiskijs Imagina re Géomé- 
trie und Anwendung der imaginaren Géométrie auf einige Intégrale, aus 
dem R_ussische*h ùbersetzt. — Un vol. in-8° de 188 pages avec 1 planche ; 
prix : Mk 8. 

Annuaire pour l'an 1905, publié par le Bureau des Longitudes, avec une 

Notice de M. -P. Hatt : Explication élémentaire des marées. Prix : 

1 fr. 50. Gaulhier-Yillars, Paris. 

W.-M. Baker and A. -A. Bourne. — Elementary Algebra. Paît n. with or 
without Answers, 2 s. 6d.; George Bell and Sons, London. 

W.-M. Baker and A. -A. Bourne. — Exemples in Algebra. Extracted 
from the above. Complète with or without Answers 3 s.; Part i, without 
Answers. 1 s. 6d,; Part n. without Answers, 2 s.; George Bell and Sons, 
London. 

Fr. Brimer. — Leitfaden der Physik fur die oberen Klassen der Realan- 
stalten. mit besonderer Berùcksiclitigung von Aufgaben und Laboratoriums- 
ùbuDgen. — Un Mil. cart., 29'i p., prix : Mk. 3,20. B. G. Teubner, Leipzig. 

A. -H. Blcherer. — Mathematische Einfiihrungin die Elektronentheorie. 
— Un vol. cari. iu-8°. 1 i8 p.. prix : Mk. 3,20. B. G. Teubner. Leipzig. 

E.Carvat.lo. — Leçons d'Electricité. — 1 vol. XIV, 259 p.; prix:Fr. 10. — . 
Librairie polytechnique Ch. Béranger, Paris. 

E. Cesaro. — Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der 
Infinitesimalrechnung, mit zahlreichen Uebungsbeispieleii. Deutsch von 
G. Kowalewski. — Un vol. relié, 894 p.. prix : 15 M.; B.-G. Teubner, Leipzig. 

J.-C. Classen. — Théorie der Elektrizitàt und des Magnetismus, i h; 
Sammlung Schubert. — Un vol. cart. 251 p.; prix: Mk. 7. — G. J. Gœschen, 
Leipzig. 

L. Coutirat et L. Lku . — Extraits de l'Histoire de la langue univer- 
selle. — \~'n vol. in-16. 82 p.; Librairie Hachette, Paris. 

Irv. Fisher. — Kurze Einleitung in die Differential und Integralrechnung, 

deutsch von X. Pixels. — Un vol. cart. 72 p.; prix : Mk. 1,80; B. G. Teub- 
ner, Leipzig. 
A. Fehrmann. — Aufgaben aus der analytischen Mechanik. I. Aufgaben 



88 B U A L E T I N H IBLIO <. U A PHI QUE 

ans der analyt. Sialik tester ELûrper. .'> 1( ' verb. u. vermehrte Auflage. — [H 
vol. cari. m. t., 206 p.-. prix : Mk. 3,60; B. C . Teubner, Leipzig. 

Frid. Kaucic. — Georg Freiherr von Vega. Zweite verbesserte illustrîrie 
Auflage. 58 p. ; im Selbstverlage des Verfassers, Wien. 

Georges Lechalas; — Introduction à la Géométrie générale. — Un vol. 
in-16, IX. 58 p.; prix : 1 fr. 75 ; Gauthier-Villars, Paris. 

II Mullf.ru. M. KiTMwsKï. — Sammlung von Aufgaben aus der Arith- 
metik. Trigonométrie und Stéréométrie. II Teil. AusgabeA, fur Gymnasien. 
Zweite verbesserte u. slark gekùrzte Auflage. Un vol. cari. in-8°, 273 p.; 
prix : Mk. 2.21) ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

Eni. Picard. — Sur le développement de l'Analyse ei ses rapports avec 
diverses sciences. Conférences faites en Amérique. — 1 vol., 168 p. ; prix : 
Fr. 3,50; Gauthier-Villars, Paris. 

Salv. Pincherle. — Lezioni di Analisi Algebrica dati nella R. Università 
di Bologna e redatte per uso degli studenti. Fasc. I. — Un vol. 143 p.; prix : 
L. i. — ; Zanichelli, Bologna. 

Reusch. — Planimetrische Konstruktionen in geometrischer Àusfùhrung. 
■ — Un vol. broché, prix : Mk. 1. — B. G. Teubner, Leipzig. 

Y lc dk Salvkrt. — Sur une classe «le quadratures de fonctions elliptiques 
par rapport à leur module. — Lu fasc. de 142 p., en vente à la Librairie 
Gauthier-Villars. Paris. 

Fr. Schilling. — Ueber die Anwendungen der darstellenden Géométrie 
insbesondere iiber die Phologranimelrie. Vortrage gehalten bei Gelegenheil 
des Ferienkurses fur Oberlelirer der Mathemalik und Physik, Gôttingen, 
Ostern, 1904. — Un vol. br., 198 p. et 5 planches ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

O. ScHi.oMii.eu. - Uebungsbuch zum Studium der hôheren Analysis. 
Erster Teil : Aufgaben ans der Differentialrechnung. 5 te Auflage, bearbeilel 
von E. NiETSCH. — Un vol. cari. in-8". o72 p.: prix : M. 8. — ; B. G. Teub- 
ner. Leipzig. 

Rob.-Fors. Scott. — The Theory Of Déterminants and their applications. 
Second Edition, revised by G. B. Mathews. — l'n vol. 288 p.; prix ; 9 s. 
University Press, Cambridge; Clay and Sons, Londres. 

Dav.-Eug. Smhh. — The Outlook for Arithmetic in America. — (Copies 
of tliis pamphlet will be sent postpaid on request.) — Une brochure de 11 
payes. Ginn and Comp., New- York. 

O. Stolz u. J.-A. Gmeiner. — Einleitung in die Funktionentheorie. 
In 2 Abteilungen. I. Abteilung. (Sammlung Teubner B. XIV). — Un vol. 
relié. 242 p.; prix : M. 6. — B. G. Teubner. Leipzig. 

.Iules Tannery. — Introduction à la théorie des fonctions d'une variable 
Deuxième édition entièrement refondue. — T. I. Nombres irrationnels, en- 
sembles, limites, séries, produits infinis, fonctions élémentaires, dérivées. — 
l'n vol. gr. in-8°. 422 p.; prix : \\ fr.; Librairie Hermann, Paris. 

\Y. Yoigt. — Thermodynamik, II Teil. (Sammlung Schubert). — l'n vol. 
cart.. 370 p. et une planche; prix: Mk. 10. — G.-J. Gœschen, Leipzig. 

IL de Vries. — Die Lehre von der Zentralprojection im vierdimensionalen 

Paume. — In vol. 78 p.: prix : Mk. :!. — • C .) . Gœschen, Leipzig. 

E.-T. Whittaker. — A Treatise on the analytical Dynamics of Particles 

and Rigid Bodies ; with an Introduction lo llie Pioblem of lliree Bodies. — 
l'n vol. gr. in-8". relié, 414p.; University Press, Cambridge; Clay and Sons, 

Londres. 



SUR LES FONDEMENTS DE LA LOGIQUE 
ET DE L'ARITHMÉTIQUE * 



Si dans la recherche des fondements de la Géométrie nous 
sommes aujourd'hui d'accord, quanta l'essentiel, sur les voies 
à prendre et les buts à poursuivre, on ne saurait en dire au- 
tant des fondements de l'Arithmétique : ici les opinions les 
plus différentes se dressent encore en face les unes des au- 
tres. 

Effectivement, lorsqu'on passe de la Géométrie à l'Arith- 
métique, on rencontre des difficultés qui sont en partie d'une 
espèce nouvelle. Dans l'analyse des fondements de la Géo- 
métrie on peut laisser de côté certaines difficultés, de nature 
purement arithmétique ; mais dès qu'il s'agît de fonder 
l'Arithmétique, il semble qu'on n'a pas le droit de s'appuver 
sur une autre discipline. Pour mettre clairement en évidence 
les difficultés fondamentales qui se présentent, je ne saurais 
mieux faire que de soumettre à une brève revue critique les 
points de vue adoptés par divers savants. 

L. Kronkcker voyait, comme on sait, dans le concept de 
nombre entier le fondement propre de l'Arithmétique. Il con- 
sidérait le nombre entier, en tant que concept général (valeur 
paramétrique comme directement et immédiatement donné; 
ce qui l'empêcha d'apercevoir que le concept de nombre en- 
tier doit, cependant, et peut être fondé. A cet égard, Kro- 
necker est un dogmatique. Il reçoit comme un dogme le 
nombre entier doté de ses propriétés fondamentales et il ne 
cherche pas à remonter plus arrière. 

H. Hklmholtz représente le point de vue empiriste. Mais 



1 Communication faite par M. D. Hilbert (Gôttingue), au III ra<; Congre- international des 
mathématiciens, à Heidelberg. le 12 août 1904: traduction de M. P. BOUTROUX l'arisl. 

L'Enseignement m.itht-m.. 7 e année; 1905. 7 



90 D. H1LBERT 

toute tentative d'explication empirique me parait échouer 
devant ce fait que jamais l'expérience ne saurait rien nous 
apprendre relativement à l'existence possible ou actuelle 
d'un nombre arbitrairement grand. Le nombre des choses 
qui sont objets de notre expérience reste en effet toujours, 
quelque grand qu'il soit, inférieur à une limite finie. 

E.-B. Christoffel et quelques autres adversaires de Kro- 
necker ont eu le juste sentiment que le concept de nombre 
irrationnel est nécessaire à l'Analyse, si Ton ne veut pas 
quelle soit tout entière frappée de stérilité ; dès lors, soit en 
s'efforçant de déterminer des caractères « positifs » de ce 
concept, soit par d'autres moyens analogues, ils ont taché 
de sauvegarder le nombre irrationnel. Ce sont, à cet égard, 
des opportunistes. Ils n'ont toutefois pas réussi, selon moi, à 
ruiner radicalement le point de vue de Kronecker. 

Parmi les savants qui ont pénétré plus avant dans l'essence 
du nombre entier, je citerai les suivants : 

G. Fregk se propose de fonder les lois de l'Arithmétique 
en s'appuvant sur la Logique (au sens usuel du mot). Il a eu 
le mérite de discerner les propriétés essentielles du concept 
de nombre entier, comme aussi la signification du principe 
de l'induction complète. Mais sa doctrine soulève quelques 
difficultés. Fidèle à son plan, il admet, entr'autres principes, 
qu'un concept (un ensemble) se trouve défini et immédiate- 
ment utilisable dès que l'on sait dire d'un objet quelconque 
s'il rentre ou ne rentre pas dans cet ensemble (le concept de 
« quelconque », lui non plus, n'est pas autrement déterminé). 
Mais alors Frege se trouve désarmé devant les paradoxes de 
la théorie des Ensembles, paradoxes dont la considération 
de lEnsemble de tous les Ensembles nous fournit un exem- 
ple et qui établissent, selon moi, que les notions et les mé- 
thodes de la logique usuelle n'ont pas encore la précision et 
la rigueur réclamées par la théorie des Ensembles. Or, ce 
devrait être, au contraire, l'un des objets principaux pour- 
suivis, de prime abord, par celui qui étudie le concept de 
nombre, (pie d'échapper a ces contradictions et d'éclair cir ces 
paradoxes. 

R. Dkdekind a clairement reconnu les difficultés d'ordre 



LOGIQUE ET ARITHMÉTIQUE 91 

mathématique que Ion rencontre lorsqu'on cherche à fondre 
le concept de nombre et, le premier, avec une rare pénétra- 
tion, il a construit une théorie des nombres entiers. Je qua- 
lifierai, cependant, sa méthode de transcendantale, car, vou- 
lant prouver l'existence de l'Infini, Dedekind s'engage dans 
un raisonnement qui repose sur des idées métaphysiques 
comme en invoquent souvent les philosophes. C'est là une 
voie que je ne saurais regarder comme praticable, ni comme 
sûre; car elle nous accule à une contradiction insurmontable 
en faisant appel au concept de « l'ensemble de tous les ob- 
jets ». 

G. Cantor a bien senti cette contradiction, et c'est ce qui 
l'a conduit à établir une distinction entre les Ensembles 
« consistants » et les Ensembles « non-consistants ». Mais il 
ne me parait pas avoir fondé cette distinction sur un crité- 
rium suffisamment précis. Force m'est donc de déclarer que 
sur ce point, le point de vue de M. Cantor laisse encore 
place à l'appréciation subjective et qu'il ne saurait nous four- 
nir une certitude objective. 

J'estime, pour ma part, que toutes les difficultés ainsi sou- 
levées sont surmontables et que l'on peut fonder le concept 
de nombre d'une manière parfaitement rigoureuse et satis- 
faisante. La méthode que j'emploie à cet effet est une mé- 
thode axiomatique dont je voudrais brièvement faire con- 
naître le principe. 

On regarde d'ordinaire l'Arithmétique comme une partie 
de la Logique et, lorsqu'on cherche à fonder cette science, 
on prend généralement pour point de départ les notions 
reçues dans la Logique usuelle. Cependant, si nous y regar- 
dons de près, nous constatons que dans les principes logi- 
ques, tels que l'on a coutume de les présenter, se trouvent 
impliquées déjà certaines notions arithmétiques, par exemple 
la notion d'Ensemble et, dans une certaine mesure, la notion 
de Nombre. Ainsi, nous nous trouvons pris dans un cercle, 
et c'est pourquoi, afin d'éviter tout paradoxe, il me parait 
nécessaire de développer simultanément les principes de la 
Logique et ceux de l'Arithmétique. 

Comment je me représente ce développement simultané. 



92 I). HUBERT 

je ne puis que l'esquisser clans ces quelques pages. Que Ton 
veuille bien m'excuser si je me borne à indiquer sommaire- 
ment dans quelle direction j'ai poursuivi mes recherches. 
Encore, afin d'être plus facilement compris, ferai-je usage de 
la langue ordinaire ainsi que des lois logiques qui y sont im- 
pliquées; il faudrait procéder autrement si Ion voulait ren- 
dre parfaitement rigoureuse la construction synthétique qui 
va suivre. 

Soit un objet de notre pensée que nous appellerons d'un 
seul mot : Objet. Nous le représenterons par un signe. 

Prenons tout d'abord en considération l'Objet 1 (un). Les 
groupes formés avec cet Objet, deux, trois ou plusieurs fois 
répété, c'est-à-dire les groupes tels que : 

11, 111. llll. 

sont appelés Combinaisons de l'Objet 1 avec lui-même. De 
même, toute combinaison de ces Combinaisons, par exemple : 

(1) (H), (11) (H) (11), ((11) (11)) (11), (illl) ili) ili. 

est également une Combinaison de l'Objet i avec lui-même. 
Les Combinaisons seront à leur tour regardées comme des 
Objets ; afin de distinguer l'Objet initial 1, nous l'appellerons 
Objet simple. 

Donnons-nous maintenant, avec 1, un second Objet simple 
que nous représenterons par le signe =, et considérons les 
Combinaisons formées avec nos deux Objets, par exemple : 

1 =, 11 =, iii i= 1) (—==), (illi i h (=))(—=) . 1= l. iUi = ili ili. 

Nous dirons que la Combinaison a des Objets simples 1, 
= diffère de la Combinaison />, si ces deux Combinaisons se 
distinguent de quelque manière (ne sont pas identiques), soit 
que l'ordre et l'arrangement de leurs termes soient diffé- 
rents, soit que les Objets i et = n'y entrent pas de la même 
manière. 

Cela posé, imaginons que les Objets 1 et = et leurs Com- 
binaisons soient, par un procédé quelconque, répartis entre 



L () C, IQU K ET A II I I II M Ê TIQUE 93 

deux classes, la classe des êtres et la classe des non-êtres. Un 
Objet quelconque appartenant à la classe des êtres diffère 
d'un Objet quelconque appartenant à la classe des non-êtres. 
Toute Combinaison des deux Objets simples 1, = appartient 
à lune ou à l'autre des deux «lasses. 

Soit a une Combinaison des deux Objets fondamentaux 1 
et = : nous désignerons également par a la Proposition af- 
firmant que a appartient à la classe des êtres, et nous repré- 
senterons par a la Proposition affirmant que a appartient à la 
classe des non-êtres. Nous dirons que a est une Proposition 
exacte, si a appartient effectivement à la classe des êtres; de 
même a sera une Proposition exacte, si a appartient à la 
classe des non-êtres. Les Propositions a et a sont contradic- 
toires entre elles. 

L'ensemble de deux propositions A, B, que Ion représente 
par le symbole 

A | B . 

et qui s'énonce : « A entraîne B » ou « Si A est exact, B est 
exact», est à son tour une Proposition, dans laquelle A est la 
prémisse et B la conclusion. La prémisse et la conclusion 
peuvent elles-mêmes comprendre plusieurs Propositions, 
telles que Ai, A2... ou Bi, B2, B3...; l'on a alors, par exem- 
ple : 

Al et A 2 | B! ou B 2 ou Bs 

ce qui s'énonce : « Ai et A2 entraînent Bi, ou B2, ou B3 ». 

L'emploi du symbole 0.(011) nous permettrait, puisque la né- 
gation a été également introduite, de nous passer du sym- 
bole | . Si je continue à faire usage de ce symbole, c'est uni- 
quement afin de me rapprocher le plus possible du langage 
courant. 

Par Ai, Aa,... nous désignerons les Propositions que l'on 
obtient en substituant à V indéterminée .r, dans une même 
Proposition A (x); les Objets 1, = et leurs diverses Combi- 
naisons. Les Propositions 

Ai ou A2 ° u As . ... Ai et Aa »t As , ... 



94 D. H IL H EUT 

seront aussi respectivement désignées par les symboles : 

A (x '°'), c'est-à-dire « au moins pour un x » ; 
A •->■'" i, c'est-à-dire « pour un x quelconque » : 

c'est là une simple abréviation d'écriture. 

Cela posé, avec les deux objets 1, = que nous nous sommes 
donnés, nous formons les Propositions suivantes : 

i 1 1 x = x 

(2) | x = y et w{x) | | w(y) . 

Dans ces Propositions, x (mis pour .r<"'), représente l'un 
des deux Objets fondamentaux ou Tune quelconque de leurs 
Combinaisons. Dans (2), y (c'est-à-dire y^) représente éga- 
lement l'un de ces deux Objets ou l'une de leurs Combinai- 
sons, et w (x) est une Combinaison arbilraire formée avec 
V indéterminée x, (c'est-à-dire x {u] ). La Proposition (2) s'énonce 
en ces termes : Si l'on a x = y et w (r, on aura w (y). 

Les Propositions (1) et (2) constituent la Définition du con- 
cept = (égal}, et sont pour cette raison appelées Axiomes. 

Lorsque dans les Axiomes I et (2) on substitue aux indé- 
terminées x et y les Objets simples 1 et = ou certaines de 
leurs Combinaisons, on obtient des Propositions que nous 
appellerons Propositions déduites des Axiomes. Soit une série 
de Propositions supposée telle que la dernière Proposition 
ait des prémisses identiques aux conclusions des précé- 
dentes : si nous prenons comme prémisse les prémisses des 
Propositions initiales et comme conclusion la conclusion de 
la Proposition finale, nous obtenons une nouvelle Proposi- 
tion qui sera également considérée comme Proposition dé- 
duite des Axiomes. L'emploi répété du même procédé nous 
permettra toujours d'obtenir des Propositions nouvelles. 

Parmi ces Propositions je choisis celles qui ont la forme 
dune Proposition simple a (sans prémisse), et je les situe 
dans la classe des êtres; je laisse de côté tous les autres Ob- 
jets, lesquels pourront appartenir à la classe des non-êtres. 
Nous voyons que de (1) et (2 on ne pourra tirer que des Pro- 
positions de la forme « = a, oii « est une Combinaison des 



/. OGI Q V E ET AU IT H M E TIQUE 9 5 

Objets 1 et =. Les Axiomes (1) et (2) doivent donc être consi- 
dérés comme vrais relativement à la répartition adoptée en- 
tre la classe des êtres et celle des non-êtres; je veux dire que 
ces Axiomes sont des « Propositions exactes ». En consé- 
quence, nous regarderons le concept de l'égalité, que défi- 
nissent ces Axiomes, comme un concept exempt de contra- 
diction . 

11 est bon de remarquer k ce propos que dans les Axiomes 
(1) et (2) ne sauraient en aucun cas figurer des Propositions 
de la forme «, c'est-à-dire des Propositions affirmant que 
telle ou telle Combinaison appartient à la classe des non- 
êtres. Nous pourrions donc satisfaire à ces deux Axiomes 
lors même que nous rangerions dans la classe des êlres 
toutes les Combinaisons des deux Objets simples 1 et =, et 
laisserions vide la classe des non-êtres! La répartition adop- 
tée plus haut est cependant préférable, car elle montre com- 
ment on devra procéder lorsqu'on sera en présence de cas 
plus difficiles. 

Nous allons maintenant poursuivre notre reconstruction 
logique de la pensée mathématique en adjoignant aux deux 
Objets 1 et= trois nouveaux Objets représentés par les sym- 
boles suivants : // signifiant «infini» ou « ensemble infini », 
/"signifiant «conséquent», et/ y signifiant «opération corres- 
pondante ». Nous poserons relativement à ces Objets trois 
nouveaux Axiomes : 

(3) f(ux) = u{f'x) 

(4) f(ux) = f[uy) | ux == uy 
i5) flux) = «1 

Dans ces Axiomes, l'indéterminée x au sens de x' u >) re- 
présente l'un quelconque des cinq Objets fondamentaux dont 
nous disposons maintenant, ou l'une quelconque de leurs 
Combinaisons. Donnons au symbole n le nom d'Ensemble 
infini, et appelons élément de cet Ensemble u la Combinai- 
son ux 'par exemple, wl, ou u (11), ou ///' . Alors l'Axiome 3 
signifie que tout élément ux admet comme conséquent un 
Objet déterminé / ux), lequel est lui-même un élément de 
l'Ensemble // et est représenté par // (f'x). L'Axiome (4 ex- 



96 D. HUBERT 

prime ce fait que si deux éléments de l'Ensemble // ont le 
même conséquent, ces deux éléments sont égaux entre eux. 
L'Axiome 5 nous apprend que l'élément ni n'a pas de con- 
séquent : l'élément ni sera dès lors considéré comme étant 
le premier élément de //. 

Cela posé, les nouveaux Axiomes doivent être soumis au 
même examen que tout à l'heure les Axiomes (1) et (2). Ces 
deux premiers Axiomes, eux aussi, doivent être éprouvés a 
nouveau, puisque nous avons accru leur extension en dési- 
gnant désormais par x et y les Combinaisons formées avec 
cinq Objets simples au lieu de deux. 

Demandons-nous donc s'il peut y avoir contradiction entre 
Propositions déduites des Axiomes (L,... (5), ou si l'on réussira 
au contraire à répartir de telle manière entre les classes des 
êtres et des non-êtres) les cinq Objets fondamentaux et leurs 
Combinaisons, que toute Proposition déduite des cinq Axio- 
mes soit une «Proposition exacte» relativement à la répar- 
tition adoptée. Pour répondre à cette question, nous remar- 
querons que T Axiome (5) est le seul qui ait la forme a, c'est- 
à-dire le seul Axiome affirmant qu'une certaine Combinaison 
appartient à la classe des non-êtres. Une Proposition contre- 
disant cet Axiome devrait donc être de la forme 

(6) f(ux (o) ) = u\ 

Or, je vais montrer qu'on ne saurait déduire des Axiomes 
(1).., (4 aucune Proposition de cette forme. 

Je donnerai le nom d'égalité homogène par égalité j'en- 
tends une Combinaison de la forme a = h) à toute égalité 
dans laquelle les deux membres n et b sont composés du 
même nombre d'Objets simples deux, trois, quatre Objets 
simples, ou davantage . Par exemple, les égalités 

(11) = (/ii), (ff ) = (»/') , (/*H) = («1 =) , 

i/l, i/'li = illlli . [fiff'u)) = il«« Il 

sont des égalités homogènes. Des Axiomes (1) et (2) on ne 
saurait tirer, ainsi que nous l'avons déjà remarqué, que des 
égalités de la forme o. = a, c'est-à-dire des égalités homo- 



/. (. I Q V i: E I A II I T II M E TIQUE 97 

gènes. De même l'Axiome (3), lorsqu'on y remplace x par un 
Objet quelconque, ne donne que des égalités homogènes. Et 
il en est encore ainsi de l'Axiome (4), à condition que la pré- 
misse de cet Axiome soit elle-même une égalité homogène. 

Ainsi toute Proposition déduite des Axiomes (1 \ est une 

égalité homogène. Au contraire légalité (6), qui seule pour- 
rait contredire l'Axiome (5), n'est pas homogène, puisque 
l'on doit y remplacer x par une certaine Combinaison, en 
sorte que le côté gauche est une Combinaison de trois Objets 
simples au moins, tandis qu'au côté droit ne figurent jamais 
que les deux Objets simples u et 1. 

Tel est le principe de la méthode qui me permet de dé- 
montrer la légitimité des Axiomes 1 ,...,(5 . Pour donner une 
démonstration complète, il faudrait faire appel au concept de 
nombre ordinal fini et établir quelques propositions sur le con- 
cept d'égalité numérique (appliqué aux deux membres d'une 
égalité ); au point où nous en sommes, nous n'aurions pas de 
difficulté à obtenir ces propositions. Il faudrait également, 
pour être complet, tenir compte de certaines considérations 
sur lesquelles je reviendrai à la fin de cet article voir V). 

Nous sommes ainsi conduits au résultat suivant : On ob- 
tient une répartition satisfaisant aux conditions voulues si 
l'on range dans la classe des êtres tous les Objets a qui sont 
des Propositions déduites des Axiomes (11,..., (4), et dans la 
classe des non-êtres tous les autres Objets, en particulier 
les Objets de la forme f (ux) = ul. Les cinq Axiomes posés 
plus haut jouissent, en conséquence, de cette propriété qu'ils 
ne sauraient conduire à aucune contradiction. C'est pourquoi 
les Objets définis par ces axiomes seront considérés comme 
des concepts ou opérations exempts de contradiction ; ils se- 
ront regardés comme existant. En particulier, par la mé- 
thode qui vient d'être exposée, l'affirmation de Y existence de 
l'Infini u se trouve légitimée; car elle acquiert une signifi- 
cation définie et un contenu auquel nous pourrons nous tenir 
désormais. 

Les considérations que je viens d 'esquisser, sont le premier 
exemple d'une démonstration directe établissant qu'il n'y a 
pas contradiction entre différents Axiomes. La démonstration 



98 />. HII.IIERT 

directe s'imposait ici, puisqu'il était interdit de recourir à la 
méthode ordinaire — employée principalement en Géométrie 
— laquelle consiste à considérer des cas particuliers conve- 
nablement choisis, et à former des exemples. 

Le succès de la démonstration directe tient ici principale- 
ment à cette circonstance que nous n'avons à considérer 
qifune seule Proposition de la forme a (Proposition affirmant 
qu'une certaine Combinaison appartient à la classe des non- 
ètres) : c'est à savoir la Proposition qui figure dans l'Axiome 
(5). 

Nous pouvons maintenant poursuivre notre synthèse. Ex- 
primant toujours dans le même langage les Axiomes bien 
connus relatifs à l'Induction complète, nous constatons que 
ces Axiomes peuvent être, sans contradiction, adjoints aux 
précédents; ce qui établit que Y Existence du plus petit In- 
fini 1 (c'est-à-dire du type ordinal défini parla suite 1, 2, 3...) 
est exempte de contradiction. 

Il n'y a aucune difficulté à fonder le concept de nombre 
ordinal fini à laide des principes que nous avons posés. On 
s'appuiera pour cela sur l'Axiome suivant : Etant donné un 
Ensemble qui contient le premier élément du nombre ordi- 
nal, et qui, au cas où il en contient un élément (quelconque), 
contient aussi l'élément suivant, cet Ensemble contient né- 
cessairement le dernier élément du nombre ordinal. Que cet 
axiome peut être sans contradiction adjoint aux précédents, 
la considération d'un exemple (soit du nombre deux) le mon- 
trera facilement. 11 faudra montrer ensuite qu'il est possible 
d'ordonner les éléments du nombre ordinal fini de telle ma- 
nière que tout Ensemble partiel formé avec ces éléments ait 
un premier et un dernier élément. Nous établirons ce point 
en définissant un nouvel objet < au moyen de l'Axiome 

[x < y et y < s) | x < z , 

et en montrant que cet Axiome peut, sans contradiction, être 
joint aux précédents, lorsque .r, y, z désignent des éléments 



1 Voir la communication que j'ai présentée au II e Congrès International des Mathéma- 
ticiens, l'aria. 1900 : Problèmes mathématiques. 2° De ta non-contradiction des Axiomes de 
I Arithmétique. 



LOGIQUE ET ARITHMETIQUE 

quelconques du nombre ordinal fini. Après quoi nous pour- 
rons prouver, en nous appuyant sur l'existence du plus petit 
infini, qu'étant donné un nombre ordinal fini quelconque, 
il existe un nombre ordinal qui lui est supérieur. 

J'énoncerai maintenant brièvement les principes que nous 
devrons prendre pour guides si nous poursuivons la recons- 
truction des lois de la pensée mathématique selon le point 
de vue que j'ai adopté. 

I. Supposons que Ton soit arrivé à un stade déterminé de 
révolution de la théorie : la condition nécessaire et suffisante 
pour qu'une Proposition nouvelle soit considérée comme 
exacte est que, si on l'adjoint en tant qu'Axiome aux Propo- 
sitions déjà reconnues exactes, on ne rencontre pas de con- 
tradiction. En d'autres termes, l'adjonction du nouvel Axiome 
doit conduire à des Propositions qui ne soient pas en contra- 
diction avec la répartition de l'ensemble des Objets entre la 
classe des êtres et celle des non-êtres. 

II. Les indéterminées qui figurent dans les Axiomes — en 
place du « quelconque » ou du « tous » de la logique ordinaire 
— représentent exclusivement l'ensemble des Objets et des 
Combinaisons qui nous sont déjà acquis en l'état actuel de la 
théorie, ou que nous sommes en train d'introduire. Lors donc 
qu'on déduira des Propositions des Axiomes considérés, ce 
sont ces Objets et ces Combinaisons seules que l'on sera en 
droit de substituer aux indéterminées. Il ne faudra pas non 
plus oublier que, lorsque nous augmentons le nombre des 
Objets fondamentaux, les Axiomes acquièrent du même coup 
une extension nouvelle et doivent, par suite, être de nouveau 
mis à l'épreuve et au besoin modifiés. 

III. "Nous avons défini l'Ensemble en général, en le consi- 
dérant, comme étant un Objet de la pensée, m. Les éléments 
de l'Ensemble sont les combinaisons m.r ; en sorte que, con- 
trairement à l'usage établi, nous regardons la notion d'Elé- 
ment comme postérieure à la notion d'Ensemble. 

Comme on a procédé avec la notion d' « Ensemble ». on 
procédera avec les notions de «correspondance», de «trans- 
formation », d' « association », de «fonction». On les regar- 
dera comme des Objets au sujet desquels on posera certains 



too D . il il. m: ni 

Axiomes appropriés : si l'on ne rencontre pas d'impossibilité 
en cherchant à répartir les Combinaisons de ces Objets entre 
la classe des êtres et celle des non-êtres, on sera en droit 
de considérer les notions correspondantes comme « existant 
sans contradiction». 

Le Principe I est le principe fécond et créateur (jui nous 
donne pleine liberté pour créer de nouveaux concepts, à la 
seule condition que nous évitions la contradiction. Les Prin- 
cipes Il et III permettent d'éehapperaux Paradoxesmentionnés 
au début de cet article, et de triompher, en particulier, du 
Paradoxe relatif à l'Ensemble constitué par tous les Ensem- 
bles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément. 

Afin de montrer que la notion définie dans III ne cesserait 
pas, dans une théorie plus complète, de coïncider avec la 
notion usuelle d'Ensemble, j'établirai le théorème suivant : 

A un stade déterminé de l'évolution de la théorie, soient 1,... 
a,., /»• les Objets dont nous disposons, et soit a ; une Com- 
binaison de ces Objets, laquelle renferme une indéterminée £. 
Soit de plus a oc) une « Proposition exacte » ce qui veut dire 
que a a appartient à la classe des êtres . Alors il existe sû- 
rement un Objet m tel que a (mx soit, quel que soit r. une 
Proposition exacte (c'est-à-dire que a (mx) appartienne, 
pour un x quelconque, à la classe des êtres), et tel que, réci- 
proquement, tout Objet £ pour lequel la Proposition a (|) est 
exacte, soit égal à une Combinaison m.v° ] . [En disant que £ 
est égal à /^.r", j'entends que la Proposition 

v (01 

t, = ni.r 

est exacte, en d'autres termes que les Objets £ pour lesquels 
a £i est une Proposition exacte sont, selon la définition don- 
née plus haut, les éléments d'un Ensemble m.\ 

Pour démontrer ce théorème, nous procéderons comme 
il suit : 

Nous poserons d'abord ce nouvel Axiome : « L'Objet m est 
tel que les deux Propositions 

Ci a(Çi | ,»Ç = l ■ 
(8) «(Çj | //»f = a 



/. () (, IQV E E T A R 1 TU M ÉTIQV E loi 

soient exactes. En d'autres tenues, si a | appartient à la 
classe des êtres, on aura, d'après le nouvel Axiom<\ t)i£ = £ ; 
et, en cas contraire, on aura ///£ = a. » Nous adjoindrons cet 
Axiome aux Axiomes antérieurement adoptes relativement 
aux Objets 1,.., a,., /.\ et. nous imaginerons pour un instant que 
cette adjonction conduise à une contradiction; autrement dit. 
nous supposerons que nous puissions déduire de nos divers 
Axiomes deux Propositions de la forme 



/) m étant une certaine Combinaison des Objets 1,.., /.'. m. 

Nous raisonnerons alors ainsi : Partout où, dans p in). 
l'Objet m ligure combiné avec un Objet £, appliquons les 
Axiomes (7) ou 8 , en tenant compte de (2), et remplaçons 
ainsi jw£, soit par g. soit par oc. p (m) se transformera en q (/«), 
et dans q m il n'y aura plus aucune Combinaison de la forme 
m\. Il en résulte que la Proposition q m) aurait pu être dé- 
duite des Axiomes relatifs aux seuls Objets 1,.., a,., A', dont 
nous disposions avant d'introduire (7) et (8 . Dès lors, elle 
restera exacte si nous substituons à m l'un quelconque de 
ces Objets, soit, par exemple, i. Le même raisonnement s'ap- 
plique à p m . Notre hypothèse initiale conduit donc à cette 
conclusion qu'au stade de l'évolution de la théorie où l'on se 
trouvait avant l'introduction de ni, on devait rencontrer une 
contradiction de la forme 

q(ï) et ^lïj, 

ce qui ne pouvait avoir lieu, puisque l'existence (sans contra- 
diction) des Objets i,.., k a été admise. Nous devons donc 
rejeter notre hypothèse et admettre l'existence sans contra- 
diction de l'Objet m. 

IV. Eprouver la validité d'un système donné d'Axiomes re- 
vient à effectuer la répartition des Objets correspondants en- 
tre la classe des êtres et la classe des non-êtres, en considé- 
rant les Axiomes comme des règles auxquelles la répartition 
doit satisfaire. La difficulté consiste alors à reconnaître la 
possibilité d'une telle répartition. La question posée équi- 
vaut encore à la suivante : les Propositions que l'on peut dé- 



102 D. HUBERT 

cl m i re des Axiomes, lorsqu'on les spécialise ou qu'on les 
combine d'après la méthode exposée plus haut, peuvent- 
elles oui ou non conduire à une contradiction? Cela, lorsque 
l'on adjoint aux Axiomes les règles logiques classiques telles 
que 

j [a | 6) ^ (a | b) j | b 

| (« ou b) et (a ou C) j | la ou {b et C) { 

Il y aura deux manières de prouver qu'un système donné 
d'Axiomes est exempt de contradiction. Ou bien Ton montrera 
que s'il y avait contradiction à un moment donné, cette con- 
tradiction devrait déjà s'être manifestée à un stade antérieur 
de la théorie. Ou bien, supposant qu'il existe une déduction 
permettant de tirer une certaine contradiction des Axiomes 
donnés, on établira qu'une telle déduction implique elle- 
même contradiction et est par suite irrecevable. C'est de cette 
dernière manière que nous avons prouvé l'existence (sans 
contradiction) de l'Infini : nous avons montré qu'il était im- 
possible de déduire l'égalité (6) des Axiomes (1), (4). 

V. Lorsque dans les pages précédentes il était question 
de plusieurs Objets ou Combinaisons, de plusieurs indéter- 
minées, de Combinaisons multiples, ces mots s'appliquaient 
toujours à un nombre limité de choses. Après avoir défini le 
« nombre fini », nous sommes en état de leur donner le sens 
général qu'ils comportent. De même, en nous appuyant sur 
la définition du nombre fini, nous pourrons, conformément 
au Principe de l'Induction complète, définir explicitement à 
laide dune méthode récurrente ce qu'il faut entendre par 
« Proposition déduite quelconque » ou par « Proposition dif- 
férant de toutes les Propositions d'une certaine espèce ». En 
particulier, nous pourrons compléter la démonstration don- 
née plus haut, laquelle tendait à prouver que la Proposition 
/ iu:y°)) = ul diffère de toute Proposition qui se laisserait 
déduire des Axiomes (1),..., (4) à l'aide d'un nombre fini d'opé- 
rations. A cet effet, nous regarderons la démonstration elle- 
même comme une notion mathématique : c'est un Ensemble 
fini dont les éléments sont reliés par des Propositions, les- 
quelles affirment que la dite démonstration permet de con- 



LOGIQUE ET ARITH M E T IQU E 103 

dure des Axiomes (1),..., (4) à la Proposition 6 . Tout renient 
alors à montrer qu'une semblable démonstration implique 
contradiction et ne saurait par suite, selon nos conventions, 
être considérée comme existante. 

Comme on a prouvé l'existence du plus petit Infini, on prou- 
vera l'existence de F ensemble des nombres réels : les Axiomes 
relatifs aux nombres réels (tels que je les ai énoncés ail- 
leurs *), se laisseront, en effet, représenter par des formules 
analogues à celles qu'on a vues plus haut. La méthode s'ap- 
pliquera en particulier à Y Axiome des Systèmes Complets 
(Vollstândigkeitsaxiom), d'après lequel l'ensemble des nom- 
bres réels se trouve contenir (en ce sens qu'il existe entre 
les éléments des deux ensembles une correspondance uni- 
voque et réciproque) tout Ensemble dont les éléments satis- 
font aux mêmes Axiomes. Cet Axiome des Systèmes Com- 
plets pourra être exprimé par des formules du type défini 
plus haut, et, d'une manière générale, les Axiomes relatifs à 
l'ensemble des nombres réels ne se distinguent pas qualita- 
tivement des Axiomes invoqués pour la définition du nombre 
entier. C'est là le fait qui me parait porter un coup décisif à 
la doctrine de Ixronecker sur les fondements de l'Arithmé- 
tique, doctrine qu'au début de cet article je qualifiais de 
dogmatique. 

En employant toujours la même méthode, on établira que 
les notions fondamentales de la théorie des Ensembles de 
Cantor, en particulier, la notion d'Alef doivent être consi- 
dérées comme existant sans contradiction. 

D. Hii.bert (Gôltingue). 



1 Grtuidlagcn der Géométrie, 2 e Ed.. Leipzig, 1903, pp. 2 'i - 2 G . 



DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS 
MATHÉMATIQUES 



Quand on demande si une nolion est définissable ou si 
une proposition est démontrable, ces questions n'ont pas de 
sens, ou du moins elles sont indéterminées. Pour savoir si 
une notion est définissable, il faut savoir quelles sont les 
notions dont on dispose, soit comme indéfinissables, soit 
comme définies au moyen des indéfinissables. De même, pour 
savoir si une proposition est démontrable, il faut savoir 
quelles sont les propositions qu'on possède, soit qu'on les 
ait admises comme indémontrables, soit qu'on les ait démon- 
trées au moyen des propositions premières. Ainsi une notion 
n'est définissable, une proposition n'est démontrable, que 
par rapport à un certain ordre assigné aux notions et aux 
propositions, et, en définitive, par rapport à un certain sys- 
tème de notions premières ou de propositions premières *. 
I ne notion pourra être définissable, une proposition pourra 
être démontrable dans tel système, et ne pas l'être dans tel 
autre. Ainsi les propriétés d indéfinissable et à' indémontra- 
ble ne sont pas intrinsèques et absolues, mais essentielle- 
ment relatives. On a donc le choix, théoriquement, entre 
une multitude de systèmes de notions premières et de pro- 
positions premières. 

Quel système doit-on préférer? Le bon sens répond : celui 
où les notions premières sont les plus simples, et où les pro- 



1 Dans la logique symbolique un symbole qu'on no peut définir que d'une manière verbale 
(par des mots) est considéré comme indéfinissable. C'est (pie la traduction verbale qu'on en 
donne ne peut être qu'un nom équivalent (par exemple N = nombre entier) ou une para- 
phrase ; dans les deux cas, on ne peut pas réduire cette traduction en symboles, car, si on le 
pouvait, le symbole en question serait défini, et en fonction de nouveaux symboles qui, eux. 
seraient indéfinissables. Les traductions verbales des symboles non définis ne font qu'en 
donner une interprétation; elles ne font pas partie de la théorie, comme les définitions sym- 
boliques. 



/. E S I) I: F I Y / T I V s .)/ AT H E M ATI Q I E S 105 

positions premières sont, les plus évidentes. Mais il n'y a pas 
de critérium logique de la simplicité des notions et de 
l'évidence des propositions. Pour pouvoir déterminer abso- 
lument les notions les plus simples, il faudrait que toutes les 
notions lussent composées (Tune manière univoque de quel- 
ques-unes d'entre elles, comme les nombres entiers sont 
tous composés et chacun dune seule manière de nombres 
premiers '. Mais il n'en est pas du tout ainsi, et, dans 
une certaine mesure, les notions simples peuvent se défi- 
nir les unes par les autres. De même, pour pouvoir appré- 
cier l'évidence des propositions autrement que par un senti- 
ment tout subjectif, et par suite sujet à caution car il peut 
être le produit de l'habitude . il faudrait que toutes les pro- 
positions fussent des conséquences de quelques-unes d'en- 
tre elles, bien déterminées, et c'est ce qui n'a pas lieu. Les 
notions premières et les propositions premières se relient et 
s'enchaînent, non dans un ordre linéaire ramifie -. mais dans 
un ordre circulaire, ou plutôt dans un réseau complexe où il 
n'y a ni premier ni dernier. C'est pourquoi on peut partir indif- 
féremment d'un point ou d'un autre, c'est-à-dire choisir entre 
divers ordres également admissibles au point de vue logique. 
Toutefois, à défaut de raisons strictement logiques, on 
peut avoir et on a en général) des raisons méthodologiques 
de préférer tel ordre à tel autre. Ainsi, si la rigueur logi- 
que est satisfaite dès qu'on énum ère explicitement toutes les 
notions premières et toutes les propositions premières dont 
on se sert pour définir et démontrer les autres, l'élégance 
logique demande que le nombre de ces notions et de ces 
propositions soit le plus petit possible ; elle demande aussi 
que ces notions et ces propositions soient, autant que pos- 
sible, indépendantes entre elles nous allons définir bientôt 
cette expression). Ce ne sont pas là des exigences absolues 
de la logique, comme l'indiquent les locutions mêmes : le 
plus possible, autant <pie possible. Ce sont simplement des 
desiderata d'ordre quasi esthétique, qui peuvent être plus ou 



1 Cette hypothèse, ou plutôt cette analogie, était le fondement (ruineux) de toute la logique 
de Leibniz. V. notre ouvrage sur La logique de Leibniz, chap, II. 

2 Analogue aux arbres généalogiques. 

L'Enseignement mathéni.. T« année : 1905. 8 



106 L. COU TU II A T 

moins satisfaits sans que la valeur logique dune théorie en 
soit affectée. 

On dit que des notions sont indépendantes entre elles, 
quand aucune délies ne peut être définie au moyen des 
antres. On dit que des propositions sont indépendantes entre 
elles, quand aucune d'elles ne peut être démontrée au moyen 
des autres. Dans les mêmes cas, on dit que ces notions ou 
ces propositions forment un système irréductible. Il ne faut 
pas perdre de vue ce l'ail qu'une même théorie déduelive peul 
être fondée sur plusieurs systèmes irréductibles de notions 
et propositions premières, de sorte que même celte condition 
peut ne pas suffire pour déterminer un système unique '. 

Pour prouver que dans un système de propositions pre- 
mières lune d'elles est indépendante des autres, il ne suffit 
pas d'alléguer qu'o/2 n'a pas pu démontrer cette proposition 
au moyen des autres; un tel argument n'a évidemment aucune 
valeur logique, parce qu'il est empirique et ne peut justifier 
une proposition universelle négative. Il faut (et il suffit) qu'on 
trouve un cas (un seul où la proposition en question soit 
fausse alors que toutes les autres sont vraies; car ce cas ex- 
clut l'hypothèse que celles-ci impliquent celle-là. Or, puis- 
que le sens des notions premières est indéterminé, il suffit 
de trouver une interprétation des symboles non définis, qui 
vérifie toutes les propositions premières, moins celle dont 
on veut prouver l'indépendance. D'où cette règle: 

Pour qu'un système de propositions premières soit irré- 
ductible, il faut et il suffit qu'on puisse trouver pour chacune 
d'elles une interprétation du système des symboles non dé- 
finis qui vérifie toutes les propositions premières sauf celle-là. 

Dans ce cas, on dit qu'on a démontré X indépendance abso- 
lue des propositions premières entre elles. Il arrive en effet 
qu'on puisse seulement démontrer leur indépendance ordon- 



1 II est clair que si une même théorie peut être fondée sur deux systèmes irréductibles de 
postulats, chacun di' ces systèmes doit pouvoir se déduire de l'autre, puisqu'il contient en 
tout cas des propositions (premières ou non) de la théorie. En d'autres termes, les deux sys- 
tèmes doivent être logiquement équivalents (s'impliquer mutuellement). De même, si une 
théorie peut recevoir deux systèmes irréductibles de notions premières, chacun de ces deux 
systèmes doit pouvoir se définir au moyen de l'autre, puisque chacun d'eux permet de définir 
toutes les notions de la théorie qu'il ne contient pas. 



LES DEFINITIONS MATHÉMATIQUES 107 

née, c'est-à-dire que chacune délies est indépendante des 
précédentes. Cette démonstration a d'ailleurs lieu suivant la 
même méthode. 

D'autre part, pour prouver que (huis un système de notions 
premières lune d'elles est indépendantes dos autres, il ne 
suffit évidemment pas d'alléguer qu'on n'a pas pu la définir 
au moyen des autres. Bien entendu, on doit considérer ces 
notions comme liées entre elles par un ensemble de postu- 
lats qui déterminent leurs relations; et quand on dit que 
l'une d'elles est indépendante des autres, il faut entendre que 
le système des postulats ne permet pas de la définir au moyen 
des autres. Par conséquent, ce système des postulats consti- 
tue une donnée du problème, et l'indépendance mutuelle des 
notions premières sera relative à ce système de postulats. 
Or, pour prouver qu'un symbole non défini est indépendant 
des autres, c'est-à-dire que son sens n'est pas déterminé par 
celui des autres, il suffit de trouver deux interprétations qui 
ne diffèrent que par le sens de ce symbole, et qui vérifient 
toutes deux le système des postulats, puisque ce système for- 
mule les conditions qui relient les unes aux autres les notions 
premières, et qui contribuent à déterminer à limiter leur 
sens. On aboutit ainsi à formuler la règle suivante : 

Pour qu'un système de notions premières soit irréductible 
par rapport à un système de propositions premières, il faut 
et il suffit qu'on puisse trouver, pour chaque notion pre- 
mière, une seconde interprétation qui vérifie, comme la pre- 
mière, le système des propositions premières, toutes les 
autres notions conservant le même sens 1 . 



Outre les définitions nominales, dont il a été question jus- 



1 A. PauoA, Essai d'une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d'une introduction 
logique a une théorie dèductive quelconque, ap. Bibl. du Congrès de Philosophie, 190(1. t. 111 
(Paris. A. Colin. 1901.) Cette méthode logique a été récemment appliquée par M. Huktington 
dans les mémoires suivanls : A complète set of postulâtes for the theory of absolute continuons 
magnitude : Complète sets of postulâtes for the théories of positive intégral and positive ratio- 
ii al numbers (Transactions of the Ameri.an Mathematical Society, t. III, 1902); Two défini- 
tions of an Abelian group by sets of independent postulâtes [ibid., t. IV. 19o:i> ; Sets of indépen- 
dants postulâtes for the Algebra of Logic [ibid., t. V. 1904) : et par M. Oswald Viin KN 1 
System tif axioms for Geometry [ibid., t. V. 1904 . 



108 I. COUTURA T 

qu'ici, on a trouve en Mathématiques deux autres espèces de 
définitions qui semblent irréductibles à eette forme, à savoir: 
les définitions par postulats et les définitions par abstrac- 
tion K 

La définition par postulats s'applique, non à une seule no- 
tion, niais à un système de notions ; elle consiste à énumérer 
les relations fondamentales qui les unissent et qui permettent 
de démontrer toutes leurs autres propriétés : ces relations 
sont des postulats, c'est-à-dire les propositions premières 
dune théorie. Or une telle définition n'est pas à proprement 
parler une définition, car elle suppose au contraire que les 
notions en question sont indéfinissables. Admettre que des 
postulats puissent définir les notions premières qui y figu- 
rent, c'est admettre que tout peut se définir ; car les notions 
définies seraient définies nominalement, et les notions non 
définies seraient définies par postulats. C'est donc là un 
abus du mot de définition ; tout ce qu'on peut dire, c'est que 
les postulats déterminent le sens des notions premières, au 
moins dans une certaine mesure ; car nous avons vu qu'en 
général ils ne le déterminent pas complètement, puisque le 
même système de postulats peut recevoir plusieurs inter- 
prétations. 

S'il n'y avait qu'une seule notion à définir, on pourrait 
aisément transformer une définition par postulats en une 
définition nominale ; il suffirait de dire : « le terme à définir 
— un objet qui vérifie tels et tels postulats, » ce qui est tou- 
jours possible, au moyen du svmbole : X9 (.;.)*. Mais quand 
il y a plusieurs notions à définir, il n'est pas possible, en 
général, de « résoudre » ainsi le système des postulats par 
rapport à ces notions, et d'en tirer leur « valeur » sous la 



1 C. Burali-Forti, Logica matematica, cap. IV. §£ S, 7 (Milan, Hœpli, 18941; Sur les dif- 
férentes méthodes logiques pour la définition du nombre réel, § 1, ;ip. Bibliothèque du Congrès 
de Philosophie, t. III (Paris, A. Colin. 1901). 

- C'est ce qui a lieu, par exemple, pour l'idée de grandeur. M. Burali-Forti a commencé 
l>.ir la « définir » au moyen de huit postulats qui portent sur cette notion < Formulaire de Ma- 
thématiques, t. I. eh. IV [1895] j Les propriétés formelles dis opérations algébriques, ap. Revue 
de Mathématiques. I. VI, p. 141 [1900]); puis il a défini nominalement la grandeur, ou pins 
exactement, la clos se de grandeurs homogènes, comme un ensemble d'objets qui vérifie ces 
huit postulats si, lia Teoria générale délie (irandezzc e dei Numeri, ap. Ait/ deW Accademia 
délie Scienze di Torino, t. :!'.> [1904]). Cf. notre ouvrage Les principes des mathématiques. 
chap. V. 



/. I. S /) E F I X I T10 .Y S MA T II E STATIQUES U >9 

l'orme explicite de définitions nominales. Toutefois, il suffira 
de les définir toutes, sauf une. pour avoir la définition nomi- 
nale de cette dernière; car alors elle sera la seule, el l'on 
retombera dans le cas précédent. Les postulats deviendront 
de simples conséquences logiques de la définition, non pas 
que celle-ci puisse jamais être érigée en « vérité » ou en 
principe, mais parce que la notion définie vérifiera ces pos- 
tulats par définition. C'est ainsi que l'on peut transformer 
les principes on hypothèses dune théorie en une définition 
de l'objet fondamental de cette théorie; par exemple, les 
axiomes de la géométrie, ou plutôt d'une géométrie, en une 
définition de l'espace correspondant ! . 

La définition par abstraction s'applique à une fonction 
logique ou mathématique. Elle consiste, au lieu de définir 
nominalement cette fonction, à indiquer la condition néces- 
saire et suffisante à laquelle cette fonction prend la même 
valeur pour deux valeurs différentes de la variable 2 . Ce pro- 
cédé est très fréquemment emplové en mathématiques. Par 
exemple, beaucoup d'auteurs M. Georg Cantor définissent 
le nombre cardinal comme suit : « Deux ensembles ont des 
nombres cardinaux égaux, quand on peut établir une corres- 
pondance univoque et réciproque entre tous leurs éléments. » 
De même, on ne définira pas le vecteur, mais on dira : « Deux 
vecteurs sont égaux, lorsqu'ils ont même longueur, même 
direction et même sens. » On ne définira pas la direction, 
mais on dira : « Deux droites ont la même direction, lors- 
qu'elles sont parallèles. » De même en phvsique : on ne défi- 
nit pas nominalement la niasse, la température, le potentiel. 
maison indique dans quelles conditions « on dira » que deux 
corps ont la même niasse, la même température, le même 
potentiel 3 . En général, toutes les fois qu'on peut établir entre 
deux objets d'une certaine classe une relation symétrique et 



1 V. Les principes des mathématiques, cfaap. VI, j B. fin. 

2 V. Burali-Forti, Sur l'égalité et sur l'introduction des éléments dérivés dans ht science. 

ap. L'enseignement mathématique, 1899. 

3 Les définitions par abstraction sont si fréquentes, que certains auteurs, par une géné- 
ralisation excessive, affirment qu'il n'y en a pas d'autres en mathématique. En quoi ils se 
trompent ; car on définit nominalement beaucoup de notions, comme celles de nombre pre- 
mier, de limite, de dérivée, d'intégrale, de triangle, de cercle, de vitesse, d'accélération, de 
quantité de chaleur, etc. 



1 m /.. COVTURA T 

transitive (comme le parallélisme des droites, l'équilibre 
des corps sur une balance , on conçoit cette relation comme 
une espèce d'égalité, à savoir comme l'identité d'une pro- 
priété abstraite de ces deux objets l . On est ainsi conduit à 
déterminer et à définir cette propriété au moyen de la rela- 
tion en question; d'où le nom de définition par abstraction. 
Au point de vue formel, une définition par abstraction 
s'énonce comme suit : 

aeCls.x.yea.o : fx= <pv. = ./7 

« L'égalité yx _= ©y, où la fonction ® est la notion à définir 
et où x et y sont des éléments d'une même classe a, équivaut 
à la proposition p relative à x, y. » 

Mais cette définition peut être ramenée à la forme d'une 
définition nominale de la manière suivante. La proposition 
p, „ est une relation entre x et y ; écrivons-la : xRy. Cette 
relation est symétrique et transitive par hypothèse ; et son 
champ est la classe a. En vertu du principe d'abstraction 2 , 
on peut en conclure l'existence d'une relation uniforme S 
entre chacun des termes .r. y et un même terme z, de telle 
sorte qu'on ail : 

xRy. = ..rSz.ySz 

Ce terme z est fonction de x et fonction de y\ c'est son 
existence et son identité qui fondent l'égalité: yx = yy. On 
peut donc définir nominalement la fonction <p comme suit : 
c'est la relation qui unit le terme z à chacun des éléments 

x, y de la classer/ entre lesquels existe la relation R. Ainsi 

la logique des relations permet de réduire les définitions par 
abstraction à des définitions nominales. 



Pour illustrer ces considérations théoriques, nous ne pou- 
vons trouver un meilleur exemple que la théorie du nombre 



1 C'est en cela que consiste le principe d'abstraction, qui peut s'énoncer comme suit : Toute 
relation symétrique et transitive peut >e ramener a une espèce d'égalité. 
1 V. Les principes des mathématiques, chap. I. j C. 



/. E S D /• F I N I I I () Y S M I I II I. M I II Q I I s III 

entier, où l'on verra le nombre entier défini tour à tour par 
postulats, par abstraction et enfin nominalement. 

La définition par postulats * consiste à prendre 3 notions 
indéfinissables: X nombre entier positif, (zéro;, et seq (le 
suivant de) 2 : N est une classe. un individu et seq une fonc- 
tion. Puis on pose les cinq postulats suivants: 

I. 0e.\ 
«Zéro est un nombre 3 . » 

II. xe X . •>,. . >•<'<[. * ■ x 

« Le suivant d'un nombre est un nombre 4 . » 

III. iiN.d seq* - =r 

« Zéro n'est le suivant d'aucun nombre. » 

IV. x, jsN .seqx = seqj . o x . x = y 

« Deux nombres, dont les suivants sont égaux, sont égaux 3 .» 

V. Osa: xeN n a.o x .seqxea: o .No a 

«Si une classe a contient 0, et si, dès qu'elle contient un 
nombre .r, elle contient le suivant de œ, elle contient tous les 
nombres. » Ce dernier postulat est ce qu'on appelle le prin- 
cipe de l'induction complète. On le formule d'ordinaire comme 
suit: « Si une proposition est vraie pour 0, et si, dès qu'elle 
est vraie pour n, elle est vraie pour n -\- 1, elle est vraie pour 
tous les nombres entiers 6 . » 



1 G. Pkano, Arithmetices principia nova methodo exposita iTuriu, Boeca. 1889) ; Sul concetto 

di numéro, ap. Rivïsta di Matematica, t. I (1891) : Formulaire de Mathématiques, toutes les 
éditions ; Aritmetica générale e Algebra elementare (Turin. Para via, 1902 

* Ces notions sont indéfinissables, malgré la traduction verbale que nous en donnon- 
parce que cette traduction n'est qu'une interprétation des 3 symboles X. 0, seq, et que leur 
sens doit être déterminé uniquement par les postulats suivants. 

3 Nous dirons « nombre » pour abréger, aucune confusion n'étant possible. 

4 Ceci implique que la fonction seq est uniforme, c.-à-d. que : 

x,yt N ..* — v. o. seq x = seq y 

(cf. le postulat IV). 

5 Autrement dit, la fonction seq est réciproque. (Cf. la note 2 . 

6 L'équivalence des deux énoncés est évidente, si l'on remarque que toute proposition dé- 
termine *ie classe, à savoir l'ensemble des individus qui la vérifient. 



112 /.. COVTURA T 

De ces cinq postulats on peut déduire toutes les proposi- 
tions de rArithmél ique des nombres entiers positifs ; ils suffi- 
sent donc à «définir » les nombres entiers, c'est-à-dire qu'ils 
en expriment les propriétés fondamentales et caractéristiques. 
De plus, ils sont tous nécessaires, car ils sont indépendants 
les uns des autres. C'est ce qu'on peut prouver au moyen des 
interprétations suivantes, dont chacune vérifie tous les pos- 
tulats, sauf celui dont elle porte le numéro: 

I. La classe N ordonnée par la l'onction seq se compose 
de tous les nombres entiers positifs non nuls : 1, 2, 3, 4, ;">,... 

Llle ne contient pas I) l . 

II. La classe N se compose des 10 premiers nombres en- 
tiers: 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (le nombre 9 n'a pas de suivant). 

III. La classe N se compose des nombres 0, 1, 2, formant 
une période: 0, 1, 2, 0, I. 2, 0, 1, 2,... (le nombre est le sui- 
vant d'un autre nombre . 

IV. La classe N est 0, 1, 2. 1, 2, 1, 2,... le suivant de est 
1, comme le suivant de 2. 

V. La classe Nestla suite des nombres, mais seq .v = œ + 2 
(et non plus ce + 1). Le postulat Y se trouve en défaut si l'on 
prend pour s l'ensemble des nombres pairs, car cette classe 
vérifie l'hypothèse, et non la thèse 2 . 

Ainsi le système des cinq postulats est irréductible. On peut 
dire que le système des 3 notions premières: N, 0, seq se 
trouve défini comme vérifiant le système de postulats. Mais. 
bien entendu, ce n'est pas là une définition nominale. On 
peut traduire le principe d'induction en disant que N est la 
plus petite classe qui vérifie les postulats 1 et II : en effet, 
elle est contenue dans toute classe qui vérifie ces deux pos- 
tulats ;0e.v, et ûCss.o.seq.ves . 

La définition par abstraction des nombres entiers est toute 
autre 3 . Elle consiste à considérer le nombre entier comme 
une propriété des classes ce qu'on appelle leur nombre car- 



1 On peut évidemment faire commencer la suite des nombres à 1 ion à un nombre quel- 
conque), mais alors il faut substituer 1 à dans les postulats I, III et V. 

'- A. Pauoa. Conférences sur la logique mathématique, p. .">1 (1898); G. Pbano, Formulain 
1899, p. :so. 

3 Ci. Peano, Formulaire 1903, § 56. • 



/. e s i) i: F i N i r i o v > m a ru r: m a t i q u e s i i 3 

dinal et à définir par abstraction les nombres cardinaux 
comme des fonctions logiques Num x en définissant seu- 
lement leur égalité : 

a,b%C\s.o: Num a = Numl». = . g(/»fa)rcp IJI 

« a et b étant des classes, on dit que leurs nombres cardi- 
naux sont égaux, s'il existe entre ces classes une correspon- 
dance univoque et réciproque. » 

On peut alors définir comme suit : 

=r Num A 

« Zéro est le nombre cardinal de la classe nulle. » 
D'où Ion peut déduire: 

a e Cls . .) : Num a == . = . a = A 

Si l'on désigne suivant la délinition générale de cette nota- 
lion) par « Num 'Gis », l'ensemble des nombres dune classe 
quelconque, c'est-à-dire des nombres cardinaux, on pourra 
définir la somme de deux nombres cardinaux comme suit : 

.»■. ys Num'Cls. o\a; -f- y == 1Z9 [ a * 6*Cls.Numa = x. 

Numi = y,<ï"h =z A.o ( i.z — Num(a u 6)] Df 

« Si .v et y sont les nombres cardinaux respectifs des classes 
a et b qui n'ont aucun élément commun, leur somme x -\- y) 
sera, par définition, le nombre cardinal de la classe a»b . 
somme logique des classes a et b. » Ainsi l'addition arithmé- 
tique se trouve définie, d'une manière générale, au moyen 
de l'addition logique. 

Gela posé, on pourra définir seq n par // + li somme du 
nombre cardinal n et de i. On aura en conséquence : 

ReNum'Cls.aeCIs.o.'. Num« = n. -\- l. = : 3a: xea.o . Xumu/- m = // 

« Dire que la classe a a pour nombre cardinal 11 + 1, c'est 
dire qu'elle n'est pas nulle, et que, si x est un de ses élé- 
ments, la classe des a différents de x a pour nombre cardi- 
nal n. » En d'autres termes, une classe a le nombre n + 1, 
quand on peut l'obtenir en ajoutant un élément à une classe 
qui a le nombre n. 



Mi A. < O L TU RAT 

On ne peut nier que eetle manière de définir le nombre 
cardinal ne soit plus naturelle et plus conforme à la concep- 
tion ordinaire : elle donne aux symboles N, 0, seq un sens 
plus concret et plus immédiat que ne faisait la définition par 
postulats. Seulement cette définition s'applique à tous les 
nombres cardinaux, même infinis, et non pas seulement aux 
nombres de la suite naturelle (dits finis) que nous avons dé- 
signés jusqu'ici par N. Or l'essence des nombres finis con- 
siste précisément dans le principe d'induction, car celui-ci 
équivaut-à la définition qu'on donne des classes finies, par 
opposition aux classes infinies (qui peuvent être équivalentes 
à une de leurs parties intégrantes 1 . On pourra donc définir 
les nombres entiers finis comme suit: «N est la classe des 
nombres cardinaux qui appartiennent à toutes les classes qui 
contiennent 0, et qui contiennent n -j- 1) dès quelles con- 
tiennent //. » 

On a par là même une définition nominale du nombre en- 
tier fini ; seulement cette définition repose sur la notion de 
Num, qu'on n'a définie que par abstraction. Mais si l'on appli- 
que le principe d'abstraction à cette fonction, on pourra en 
conclure que la relation d'égalité de nombre ou à' équivalence 
entre deux classes se réduit à une relation uniforme de ces 
classes à un même terme, qui sera leur nombre cardinal. Et 
comme chaque concept est représenté par son extension, le 
nombre cardinal, conçu comme la propriété commune à toutes 
les classes équivalentes, sera représenté par la classe de ces 
classes. En d'autres termes, on peut répartir toutes les classes 
possibles en classes telles que, dans une même classe, toutes 
les classes ont le même nombre cardinal ; on a ainsi une cor- 
respondance univoque et réciproque entre les nombres car- 
dinaux et les classes de classes, et Ton peut substituer ou 
identifier celles-ci à ceux-là. En résumé, on peut définir 
Num a nominalement comme suit : 

«eCls.o.Numa = Cls".ra[g(;»f«)rcp] 

« Le nombre cardinal de la classer est la classe des classes 



1 W iii:ad. On cardinal numbers, ;i\>. American Journal of Mathematics, t. XXIV (1902), 

sect. III. 



LES DEFINITIONS MATHEMATIQUES 115 

équivalentes à a » ; el alors, dire qu'une classe b a le même 
nombre que la classe <y, c'est dire qu'elle appartient ;i la 
classe des classes équivalentes a a : 

Numè =: Numa.rr:,&«Cls'*a'3[g(jrfifl)rcpJ 

= [aiAf<7i repj 

On peut donc se passer du symbole de fonction Niim, de 
sorte qu'au lieu d'écrire [a étant une classe et // son nombre : 
Num a = 11, on écrira : 



c'est-à-dire: « la classe a appartient à la classe de classes //. » 
On définira les nombres cardinaux eux-mêmes comme des 
classes de classes, sans le secours du symbole Num. On défi- 
nira d'abord zéro comme suit : 

= tA 

« Zéro est la classe qui comprend la seule classe nulle. » 
Puis on définira le suivant d'un nombre: 

«sN.o.seqn = Cls"«3(ga: xsa.o .a- ixen) Df 

« n étant un nombre, n -\- 1 est la classe des classes a 
telles que, si x est un élément de a, la classe des a non 
égaux à x a le nombre n. » 

Cette formule permet de définir progressivement tous les 
nombres cardinaux finis puisque ceux-ci, par définition, sont 
ceux qu'on obtient en ajoutant toujours 1 au nombre précé- 
demment obtenu . En particulier, 1 se définira comme le sui- 
vant de : 

1 = C1s«im(;j«: xeu.o _.«- txeO) 



Or: 
Mais : 

Donc 



IX bO. = .ii - i.r =z A. = .u.) i» 



.) ut . j x . n - IX s : r= : x tu . .i x ■ V i u . -iy . y = X 
= : xtu . y su .Ox,y.y = x : =r : x,yeu.Ox,y-y = 



lit; L. cour IRA T 

Substituons dans la définition de 1 : il vient : 

1 = Cls"«3|3« : ,r.reii.o x ,y.r = .«'i Df 

On trouve ainsi la définition de la classe singulière: « 1 est 
la classe des classes u non nulles et telles que, si .r, y sont 
des éléments de m, ils sont identiques. » 

On définira de même : 

2 = Cls « U3 ( .[u : .*'£ u . .), • a - tr s 1 1 

3 = Cls " «3 ( ^[ii : x z ii . .>.,• . il - tx e 2 1 

et ainsi de suite. Enfin on pourra définir nominalement l'idée 
de nombre cardinal : 

Xc == Gis 'Gis «s» [gCls~B»(s = Xum m] Df 

« Un nombre cardinal est une classe de classes z telle qu'il 
y a des classes u qui ont pour nombre cardinal z. » 

Et Tidée de nombre cardinal fini sera définie au moyen du 
principe d'induction : 

Ncfin = Nc>ns[seCls . Oes : mjNc«s . o wl .7« -f- I £.s : o.nss] Df 

« L'ensemble des nombres cardinaux finis est une classe n 
de nombres cardinaux qui vérifie le principe d'induction ; » 
et celui-ci pourra alors être affirmé de la classe Ncfin : 

1 1 nduc i s t Cls . Oes : m e Ne « s . .)m . m -\- 1 e s : j . Ncfin e s 

On peut démontrer que 0, 1, 2,... sont des nombres finis, 
et que, si // est un nombre fini, n + 1 l'est aussi l . 



Les considérations précédentes nous amènent à examiner 
ce qu'on appelle les définitions et les démonstrations par 
induction, ou encore par récurrence. Une définition par in- 
duction consiste à définir un concept (fonction d'un nombre 
entier indéterminé) pour le nombre ou i, ou tel autre 
nombre entier déterminé, puis à définir le même concept 
pour le nombre n -\- 1 en fonction de sa valeur supposée 
connue! pour le nombre n ; on dit alors que ce concept est 



1 WHITKHEAD, mémoire cité. 



/. E S D É F INITION S M A T H E M ATIQV E S 117 

défini pour tous les nombres entiers (à partir du premier 
nombre visé dans la définition '. De même, une démonstra- 
tion par induction eonsiste à démontrer une proposition où 
ligure un nombre entier indéterminé pour le nombre 
ou L, ete. , puis à démontrer que, si cette proposition est 
vraie pour le nombre /?, elle est encore vraie pour le nombre 
n + 1 ; d'où l'on conclut qu'elle est vraie pour tous les nom- 
bres entiers à partir du premier nombre visé dans la dé- 
monstration 2 . Ces deux méthodes, dont l'analogie est rriani- 



1 Exemples de définitions par induction : 

I. Définition dé la somme de deux nombres entiers : 

^ a g N ..».«+ = a 1 

/ a, ôeN.D.a -)- seq l> = se<( [a -\- b) J 

don : a -f- 1 = seq t« -|- 0) = seq a 

et alors (2 devient : « -\- (b -\- 1 1 = i« + b -\- 1 

II. Définition du produit de deux nombres entiers : 

| a £ X . J . a X = il) 

i s.ieN.s.aX (* + 1) = (a X *) + a - 

don : « X 1 = i« X "I + « = -f « = a . 

III. Définition «les puissances entières d'un nombre entier : 

[<zgN.a.«° = l (Il 

I r,./, £ X.O.rt' i + 1 =rt n X« 2) 

(Tort : «' =z ri x « = tXû= « • 

- Exemples de démonstrations par induction : 
i. Loi associative de l'addition : 

a,fv,ceN.o.(a -f ^ i H~ c — a + (^ "H c I 
Dem: Hp.c = O.j.Ts 

u Le théorème est vrai pour c =: 0. » 

llj). i« + &) + c = a + [b + c).o.(a + b) -f (c + 1) = [(a + Al -(- c] + 1 = 

[a + (A + c)] + I =« +'[(«• + c) + !]=« + [6 -(- (c + 11] 2) 

« En supposant le théorème vrai pour c, on démontre, par des transformations permises, 
qu'il est vrai pour c -f- 1. i 

hulucl. (1 j. (2). 3. P 
« En vertu du principe d'induction, (1) et (2) démontrent le théorème, • 



Ils /.. COUTVRA T 

teste, reposent sur le principe d'induction. Gomme une défi- 
nition joue dans les raisonnements le rôle d'une proposi- 
tion, on comprend que le principe d'induction s'applique 
aux définitions comme aux propositions. Nous nous borne- 
rons donc, pour simplifier, à étudier les démonstrations par 
induction. 

Ce mode de raisonnement était considéré autrefois comme 
une induction, parce que, semblait-il, il permettait de con- 
clure de quelques cas à tous ; mais, s'il en était vraiment ainsi, 
il ne serait pas logiquement probant. On a essayé de corriger 
cette conséquence en qualifiant cette induction de complète, 
pour indiquer qu'elle épuise tous les cas possibles. Mais il y 
a là une équivoque : tous les cas possibles figurent-ils dans 
les prémisses ou dans les conséquences? S'ils ne figurent 



II. Loi commutative de l'addition : 

a. b e N . a . a -f- b =: b -\- a 

Déni : Df + .o.O-L. = (1) 

+ a = a. o . + [a + 1) = (0 -{- a) + 1 = a -f- î (2) 

Indue. (1) . (2) . o .0 + a = a (3j 
Df + . .) . 1 + = + l = 1 
l -f- a = a + 1 . a . 1 + (a + 1) = (1 ■+■ a) + 1 = {a + lj + 1 (5) 

Indue. (4) . loi . .) . 1 + a = a + 1 (6) 

a + b = b + a. o . a + (b + 1) = (a -|- b) + 1 =± (b -f- a) -f- 1 

= />+ (a + l) = b + (1 + a) = (6 + 1) + a (7) 

Indue. (6) . (7) . O . P 

Dans cette démonstration, on applique trois fois le principe d'induction : d'abord, pour 
conclure de (1) et (2) à (3) ; puis pour conclure de (4) et (5) à (6) ; enfin pour conclure de (6 el 
7 le théorème à prouver ; :t sert à prouver(4). La loi associative est employée pour prouver 
2 ... : : elle est invoquée :t fois dans 7 . 

III. Loi distributive de la multiplication : 

fl,i,c(N,3.(a -f* h) c = aç -)- bc 

Hp.c = O.o.Ts (Il 

Hp.(a - fe)c = ac -j- be.o.(a -+- b)(c + t) = (a + A)c -f- (a + *)/= 
ac + bc -\- a + b =z lac + a) -f- (fre + ft) = a (c + 1) -J- b (c -\- 1) (2) 

Indue, i l).(2).o.P 

On pourrait multiplier ces exemples: la plupart des luis fondamentales de la théorie des 
nombres finis se démontrent par induction. V. le Formulaire de M. Peano. 



/ /•: s n i: F INITIO x s m . i T. il i: MA ri q i i: s 1 1 9 

que dans les conséquences, il y a inférence illégitime de 
quelques cas à tous, et par suite L'induction est ordinaire el 
incomplète. S'ils figurent aussi dans les prémisses, le raison- 
nement se réduit presque à une tautologie : « Si le théorème 
est vrai de chaque nombre entier pris à part), il est vrai de 
tous les nombres entiers en général). » Mais, en réalité, il 
n'est pas une induction : sans doute, que le théorème soit vrai 
pourO ou 1), c'est là une vérité particulière ; niais que, si 
le théorème est vrai pour /?, il soit vrai pour // -f- l, c'est là 
une vérité universelle, puisque // peut prendre dans cet énonce 
n'importe quelle valeur entière. C'est cette seconde prémisse 
qui iàit l'universalité du théorème considéré : et il n'y a là au- 
cune inférence du particulier à l'universel. 

On a prétendu 1 que le raisonnement par induction enve- 
loppe « une infinité de syllogismes», et par suite repose sur 
quelque principe extra-logique « irréductible au principe de 
contradiction » 2 . On dit : Le théorème est vrai pour ; s'il 
est vrai pour 0, il est vrai pour 1 ; s'il est vrai pour I, il est 
vrai pour 2; et ainsi de suite indéfiniment 3 . Et il parait que 
cette infinité échappe (on ne sait pourquoi aux prises de la 
Logique, comme si le nombre infini nombre cardinal des 
nombres entiers finis n'était pas susceptible d'une définition 
logique. A cela on peut répondre d'abord que, pour prouver 
le théorème en question pour un nombre entier quelconque, 
il suilit d'un nombre fini de syllogismes, ou plutôt de déduc- 
tions simples: c'est ce qu'indique le nom de raisonnement 
par récurrence. Et si le théorème général enveloppe une in- 
finité de cas particuliers à savoir l'infinité des nombres en- 
tiers), c'est parce que la prémisse : « Si le théorème est vrai 
de //, il est encore vrai de //+l », enveloppe cette même in- 
finité, et possède exactement la même généralité. Tous les 
théorèmes généraux de l'Arithmétique ont la même portée 
infinie, en tant que tous valent pouvtous les nombres entiers. 



1 H. Poincark, Sur la nature du raisonnement mathématique, api Revue de Métaphysique et 
<ic Morale, t. II, p. :i71 (189i| : l.a science et l'hypothèse, |>. 19 sqq. 

2 Comme si le principe de contradiction étail le seul principe de la logique, selon un pré- 
jugé inexplicable qui a cours chez, les philosophes. 

* Ce ne sont p;is là d'ailleurs des o syllogismes », mais des raisonnements hypothétiques 
enchaînés île telle sorte que la thèse du précédent esl l'hypothèse >lu suivant. 



120 /. . COUT UR AT 

II n'y a là rien d'illogique ni de mystérieux, mais simplement 
ce fait qu'un concept (ici celui de nombre peut avoir une ex- 
tension infinie, sans que cela empêche de raisonner logique- 
ment sur lui. Dans tous les cfls, la conclusion n'est pas plus 
générale que la prémisse ; le passage de la prémisse à la con- 
clusion est donc parfaitement logique 1 , et il n'enveloppe pas 
« une infinité de syllogismes » : tout au contraire, la pré- 
misse universelle: « Si le théorème est vrai pour //. il est vrai 
pour re-f-1 » dispense de celte prétendue suite infinie de dé- 
ductions et les remplace par u\\(^ seule, grâce au principe 
d'induction. 

D'autre part, on a voulu voir 2 , dans la démonstration par 
induction, le type dvi raisonnement mathématique, lequel 
sciait étranger à la logique. Mais d'abord, le raisonnement 
par induction n'est nullement une méthode générale des 
mathématiques ; il est spécial à l'arithmétique des nombres 
entiers finis; et pour s'en rendre compte, il suffit de remar- 
quer qu'il repose sur le principe d'induction, lequel l'ait par- 
tie de la définition des nombres finis 3 . Une peut s'appliquer 
qu'aux propositions (ou définitions où figure quelque fonc- 
tion d'un nombre entier fini ; hors ce cas, relativement res- 
treint, il n a plus d'application ni même de sens. Cette opi- 
nion erronée n'a pu provenir que de Yarithmétisation exces- 
sive à laquelle on a soumis les mathématiques ; elle ne se 
justifierait que dans la thèse où non seulement l'Analyse, 
mais toute la Mathématique reposerait entièrement sur la 
seule notion de nombre entier. Mais cette thèse, qui a été 
assez longtemps a la mode, est à présent dépassée et réfutée 4 ; 
et en tout cas, il suffit sans parler de la théorie des ensem- 
bles et des nombres infinis de citer In Géométrie pour mon- 
trer un domaine où le raisonnement mathématique le plus 



1 D'ailleurs, c'est une erreur de croire que la déduction logique ne puisse passer du par- 
ticulier au générai ; nous l'avons montré au Congrès de philosophie de Genève (1904), V. les 
Comptes rendu- du Congrès, el la Revue d<- Métaphysique et de Morale, novembre 1904. 

2 H. Poincari':. ibid. 

3 Cette remarque a été faite par M. Bubali-Forti, I.c ciassi finite, p. 3. note ô. ap. Atti 
dell'Accademia délie Scienze di Torino, t. XXXII 18:><; : et mémoire déjà cité du Congrès dt 
Philosophie (1900). 

* V. notre ouvrage : Les principes des mathématiques. 



/. E S /> E /•' / TV ITIO N S M I TU E M A I IQV E s 1 2 1 

rigoureux règne, sans prendre laformede l'induction (si ce 
n'est dans les cas où un concept esl l'onction d'un nombre 
entier, comme le concept de polygone w-gone . ce qui con- 
firme notre thèse). 

Enfin, etc'est là lepoint le plus important, le raisonnement 
par induction n'est nullement étranger ou réfractaire à la 
Logique; et la preuve en est que nous avons pu le formuler 
symboliquement en termes purement logiques. Le principe 
d'induction n'est pas, comme on le croit, un principe original 
et extra-logique que les Mathématiques seraient obligées 
d'adjoindre aux principes de la Logique pour pouvoir dé- 
montrer leurs propositions; c'est, on l'a vu, une partie essen- 
tielle de la* définition du nombre entier. Dira-t-on qu'il y ;i 
quelque chose d'artificiel et d'arbitraire à transformer un 
principe en une définition, ce qui semble lui enlever sa « valeur 
de vérité» N h' réduire à une simple convention ? A cela il 
est facile de répondre que, si l'on retranchait le principe d'in- 
duction delà définition du nombre, le nombre ne serait plus 
défini, puisqu'on ne pourrait plus déduire ses propriétés de 
sa définition. Il faut donc bien que le principe d'induction soil 
incorporé à sa définition; et il n'y a là rien d'arbitraire, si l'on 
veut définir, non un concept quelconque qu'on appellerait 
nombre, mais l'idée du nombre entier fini, qui esl la base 
traditionnelle de l'Arithmétique ordinaire. Concluons donc 
que ni les Mathématiques en général, ni l'Arithmétique en 
particulier n'ont besoin, pour se constituer déductivement, 
de principes spéciaux, d' « axiomes propres », et que les prin- 
cipes généraux de la Logique leur suffisent, quand on leur 
adjoint, bien entendu, les définitions logiques des concepts 
propres aux mathématiques. La méthode mathématique n'est 
pas autre que la méthode logique, et la Mathématique elle- 
même n'est pas une science spéciale et autonome, mais une 
branche ou une application de la Logique. Telle est la con- 
clusion philosophique la plus importante des recherches re- 
latives à la Logique mathématique. 

Louis CoUTURAT Taris . 



L'Enseignement mathém., 7" année: 1905. 



LA LOI DES GRANDS NOMBRES 



Pour la plupart, les idées philosophiques prêtent à discus- 
sion, doue au doute. Le mathématicien j lui, exclut le doute 
et nous verrons par quels procédés. 11 construit une science 
logique, adéquate à la réalité jusqu'à preuve contraire, 
et de celte tour d'ivoire il descend, si nécessaire, mais par 
occasion seulement, à la réalité. Il se garde alors de conser- 
ver la belle assurance qui, tout à l'heure, relevait au-dessus 
du monde fuyant des contingences. Deux hommes sont en 
lui el des deux le logicien l'emporte. 

Plus conséquent avec lui-même, le philosophe veut éta- 
blir l'équilibre entre les deux hommes et, pour le faire, il 
tente de pénétrer l'inconnaissable. Nous ne le suivrons pas 
ici dans les tentatives qu'il a laites pour expliquer le hasard; 
nous ne nous poserons pas avec lui ces questions: le hasard 
existe-t-il? qu'est-ce que le hasard? Nous tenterons seule- 
ment d'édifier avec le mathématicien une théorie purement 
logique du hasard et de conclure à la valeur morale de cette 
théorie. 

Conséquence ou non de l'éducation, l'esprit cherche ins- 
tinctivement la cause de tout événement : pas d'effet sans 
(anse, dit l'adage, et au cas où deux événements se rencon- 
trent sans que la cause de cette rencontre apparaisse, il y 
aura hasard. Pour certains esprits, le mol hasard est donc 
synonyme de « cause inconnue », mais existante : si nous 
connaissions parfaitement les lois qui régissent l'univers, 
disent-ils, le hasard ne serait plus qu'un mot. C'est fonder 
la philosophie sur un déterminisme incompatible avec le libre 
arbitre, car, dans l'ordre phvsique, le libre arbitre supprime 
la relation de cause à effet. Je ne veux pas dire cependant 



/. .4 LOI DES GRANDS NOMBRES \ï-\ 

<| ne le libre arbitre soit Tunique loi du monde créé. Je ne 
conçois pas l'uni vers non régi pardes lois. Mais on peutadmet- 
tre que le libre arbitre soit le fait d'un choix possible entre 
plusieurs modes d'action définis au moins négativement — 
je puis aller de mille moyens différents de Paris à Versail- 
les, je ne puis y aller par la poste — et laisser place ainsi au 
déterminisme. Dans ce déterminisme mitigé, la relation de 
cause à effet tient pour une part du libre arbitre et ne saurait 
plus, en conséquence, être constamment réduite en formu- 
les. Nul esprit, si puissant fût-il, ne pourrait dès lors con- 
clure en toute circonstance de cause à effet ; tout au plus lui 
serait-il loisible de définir les effets possibles d'une cause 
donnée et de poser des inégalités, non des égalités, selon le 
langage des physiciens de l'Ecole moderne. 

Pour d'autres le hasard est le résultat d'un concours de 
circonstances étrangères les unes aux autres 

J'en passe : il n'empêche que le mot hasard ne corresponde 
à un sentiment bien défini et que plusieurs définitions corres- 
pondant au sentiment de hasard soient également possibles: 
et je veux simplement remarquer ici que les unes et Les autres 
sont indifférentes au Mathématicien, me réservant de re- 
prendre et de développer dans la suite Isiihéoriephilosophifjue 
du hasard. 

Le mathématicien, disions-nous, exclut le doute et il y par- 
vient en construisant une science logique, algorithme plus ou 
moins parfait de la réalité. Que fera-t-il au sujet du hasard? 

J'ai besoin d'un point de comparaison. 

Il est en mécanique rationnelle une notion qui a torturé 
bien des esprits : la notion de force. 

Qu'est-ce qu'une force ? 

Pour le philosophe stoïcien, la force est le principe uni- 
versel des choses. Pour Bûchner, la force est un attribut de 
de la matière. Spencer pense que la force est le principe in- 
définissable qui, dans son évolution, produit tous les phé- 
nomènes de l'univers. 

Ces conceptions métaphysiques n'offrent aucune prise à 
l'analyste. Aussi nous voyons Aristote, Archimède, Léonard 



1 2 '. // ■ D E M O N T E S S ( s 

de Vinci et leurs successeurs immédiats fonder la Mécani- 
que «uf Vidée de poids qui, dérivée de l'idée de force, mais 
non adéquate à celle-ci, est du moins précise et féconde. 
Bientôt apparaît en Stévin l'idée du principe que nous appe- 
lons le « parallélogramme des forces », principe que Newton 
énonce enfin explicitement. 

On connaît désormais une propriété fondamentale de la 
force. Quelle est, sur l'idée de force, l'influence de cette dé- 
couverte ? que devient avec lui la notion de force ? Bernoulli 
tient le parallélogramme pour une vérité géométrique. Il en 
donne une démonstration géométrique. Toutefois, sa dé- 
monstration suppose implicitement: 1° que l'intensité et la 
direction de la force sont les causes déterminantes de son 
action ; 2° que plusieurs forces appliquées en un même point 
ont une résultante ; 3° que les forces considérées n'ont au- 
cune influence les unes sur les autres, propriétés qu'il fau- 
drait tout d'abord établir. Bernoulli préjuge donc de la na- 
ture de la force et, en fait, il se réfère à cette idée du temps 
que la force peut être assimilée à une traction qui, en toute 
circonstance, peut être remplacée par la traction que produi- 
rait un poids. » 

Varignon, au contraire, remarque que les forces sont pro- 
portionnelles aux mouvements qu'elles produisent en des 
temps égaux et, définissant la force comme la cause du 
mouvement, il déduit la composition des forces de la compo- 
sition des mouvements. 

Voici que les idées se précisent. Désormais, le parallélo- 
gramme est un principe d'expérience en ce qui regarde les 
« tractions » ; que l'expérience soit directe ou qu'elle soit 
basée sur des expériences antérieures, telles que « l'indé- 
pendance des effets de tractions », il n'importe. Or le paral- 
lélogramme est une conséquence logique de cette autre ex- 
périence ; que les tractions sont proportionnelles aux accé- 
lérations qu'elles produisent. .Nous définirons donc la force, 
généralisation de lidée de traction, comme « la cause du 
mouvement » et nous justifierons cette définition en mon- 
trant que le principe du parallélogramme en est une consé- 
quence. 






/. . / LOI I) E S G R . I X I) S \ O M B II E S 1 25 

Nous sommes partis d'un l'ail d'expérience, plutôl médiate 
qu'immédiate, il n'importe — le parallélogramme — et nous 
avons pose une définition qui en tient lieu. 

Cette définition complète le principe et, féconde de sa na- 
ture, elle dépasse le principe. Elle permet en effet d'étudier 
des forées qui ne sont plus assimilables à des poids ou plutôt 
de l'aire abstraction de l'idée de poids. 

Cette définition a cependant à sa base un point faible. 
Qu'est-ce qu'une cause ? que veut dire : la cause d'un mouve- 
ment ? Parler de la cause d'un mouvement nous renseigne-t- 
il sur ce mouvement ? Il semble bien que non. En fait, le 
mouvement nous est accessible, mais la cause du mouve- 
ment nous est cachée. 

Aussi bien, dernier stade, perdant de vue Vidée concrète de 
force et n'en retenant que le concept abstrait, le géomètre 
définira la force qui produit un mouvement par l ? accélération 
qu'il observe dans ce mouvement. Désormais, l'étude de la 
force sera conjointe à l'étude du mouvement, rien ne distin- 
guera la force du mouvement. 

Est-ce à dire que la mécanique est une science formelle et, 
par là, vaine ? Non. 

J'ai défini une force par l'accélération du mouvement 
qu'elle produit et cette définition, excluant la métaphysique 
des considérations mathématiques, me permet d'édifier un 
système logique. Ce système est adéquat à la réalité pour au- 
tant que la définition de la force l'est et, si nécessaire, je 
passe sans effort de l'algorithme a la réalite. 

La Mécanique est un schéma approximatif, mais logique 
de la réalité. Ce n'est donc pas une science purement for- 
melle. 

Ne suis-je pas résolu d'ailleurs à modifier l'algorithme qui 
représente l'insaisissable réalité, dès (pie le miroir déforme 
l'image ? La physique nous offre des exemples connus de ces 
modifications et si le jour est proche où la Mécanique ration- 
nelle sera profondément remaniée, c'est que cette science 
s'éloigne en de trop nombreux points de la réalité. 

J'ai retracé à grands traits l'histoire de la Mécanique, mon- 



126 H. DE MONTE SS 1 75 

tré comment cette science se séparant peu à peu de la méta- 
physique est devenue science logique. 

C'est l'histoire de toute science exacte et demain ce sera 
l'histoire du Calcul dks probabilités qui, lui, est encore 
discuté. 

Il peut paraître étrange de vouloir codifier le probable et le 
ramener, dans une certaine mesure, au certain. Tel est ce- 
pendant l'objet du Calcul des probabilités. 

Voici un stratégiste en campagne. 11 sait qu'il a devant lui 
un corps de l'armée ennemie et ses espions lui ont rapporté 
que le corps est cantonné à tel endroit. Il déploie sa carte, il 
étudie le terrain. L'ennemi a pour objet la ville qui s'étend 
vers la gauche, mais il en est séparé par un fleuve. Ici, cepen- 
dant, est un gué, tandis qu'un peu plus bas les rives sont 
resserrées au point qu'on y peut jeter un pont volant. Quel 
point de passage choisira l'ennemi ? Quelle est la probabilité 
qu'il essayera de jeter un pont et non pas de franchir le 
gué ? 

Tous les jours nous avons à résoudre des problèmes de ce 
genre et, d'ordinaire, nous nous décidons au petit bon- 
heur. C'est ainsi qu'on remplace le tracé exact des dents 
d'un engrenage par un tracé approximatif, plus facile à éta- 
blir. 

Il est des cas, cependant, où il est possible de faire le cal- 
cul avec précision, de peser toutes les chances favorables et 
toutes les chances contraires, en un mot de calculer une 
probabilité. Les jeux de hasard, par exemple, se prêtent à ce 
calcul. Si l'on me promet dix francs chaque fois que je tire- 
rai un roi d'un jeu de 32 cartes et qu'on ne me demande 
qu'un franc quand il sortira une autre carte, j'ai intérêt à 
souscrire aux conditions posées. 

En effet, sur les 32 cartes, 4 sont des rois. J'ai donc 1 chance 
sur 8, une chance contre 7, de tirer un roi. On devrait donc, 
dans un jeu équitable, où les mises sont proportionnelles aux 
chances, me donner 7 francs et non pas 10 et si je joue long- 
temps à. ce jeu je gagnerai : j'en suis sur. Aujourd'hui, peut- 
être perdrai-je, demain aussi, cette semaine encore. Mais 
dans un an, deux ans, j'aurai un bénéfice assuré. Nul ne sau- 



/. . / LOI I) E S C H . I V l> S N O M II H I. s 127 

rait contredire cette constatation, car c'est une constatation.. 
Nous savons tons, par expérience, que la balance penche du 
côté où les chances sont les plus nombreuses. 

Vn examen attentif montre même de quel angle penche la 

balance. Dans le jeu précité je gagnerai, en moyenne, les - 

des sommes totales que j'aurai jouées. Sur 32 coups, en effet, 
je gagnerai en moyenne 4 l'ois et je perdrai en moyenne 28 fois. 
Sur 32 coups, je paierai donc 28 francs, mais on me paiera 
10 X 4 ou 40 francs : j'aurai donc comme bénéfice moyen 

12 3 

les ^ ou les - des 32 francs engagés et la loi étant évidem- 
ment générale, mon bénéfice moyen sera les — de la somme 

totale eno-agée. 

Je prends un livre où se trouvent des tables numériques, 
des statistiques, par exemple; tel est l'Annuaire du Bureau 
des Longitudes pour l'an 1903. A la page 438, est indiquée la 
superficie des arrondissements de France. La colonne de 
gauche ne renferme que les chiffres 0, 1, 2 : ces chiffres ne 
ressortissent donc pas du pur hasard. Le souci de former des 
divisions administratives d'étendues à peu près égales a fait 
que les arrondissements ont été limités à 300,000 hectares en- 
viron. La colonne qui suit, au contraire, renferme tous les 
chiffres de à 10, mais j'admets, pour m'assurer un résultat 
exact, que ces chiffres sont, comme les précédents, soumis a 
une certaine loi, conséquence de la première. 

D autre part, dans les chiffres des unités, peuvent figurer 
certaines erreurs systématiques provenant des équations per- 
sonnelles aux statisticiens, car ces ehilfres ne sont qu'approxi- 
matifs et, pour la plupart, s'éloignent de la réalité. On le 
comprendra par la comparaison aux ehilfres des unités rela- 
tifs à la Population. Chacun sait que les recensements ne se 
font que par à peu près et que les petites erreurs y sont fré- 
quentes. Ces erreurs ne portent que sur des nombres peu 
élevés, mais enfin elles laissent place à l'équation personnelle 
relative à chacun des individus chargés du recensement, par 
exemple à la manie de tel ou tel d'arrondir les nombres. 

Des chiffres donnés par l'Annuaire, je retiens donc seule- 



128 /.'• DE MONTE S S US 

ment comme soumis au pur hasard, ceux des dizaines, cen- 
taines, mille, dizaines de mille. 

A priori, combien de ces chiffres seront pairs <>. 2. '», 6, 8 et 
combien seront impairs I. 3, 5, 7. 9) ou, plutôt, quel sera le 
rapport du nombre des chiffres pairs au nombre des chiffres- 
impairs ? 

Je ne crois pas m'avancer beaucoup en disant que pour 
tout esprit non provenu — il semble (pie discuter le sujet 
l'obscurcisse parfois — ce rapport sera, à peu de chose près, 
l. car je ne vois pas de raison pour que les chiffres pairs 
soienl plus nombreux que les chiffres impairs. Il y aura ce- 
pendant quelque différence de l'un à l'autre cl. pour ce mo- 
tif, le rapport ne sera pas exactement 1. 

Celte idée que je prête à un esprit non prévenu lui vient 
d'une expérience de tous les jours. Il a pu constater, par 
exemple, (pie s'il jouait tous les jours la même somme avec 
des joueurs de la même force que lui, la perle d'un jour était 
compensée par le gain du lendemain ; qu'au jeu de roulette, 
la rouge soit à peu près aussi souvent que la noire ; que s'il 
marque habituellement la page de son livre de lecture, le 
chiffre en est tantôt pair, tantôt impair — Il serait peut-être 
nécessaire de compter les chiffres de la statistique des super- 
ficies et de calculer le rapport que nous estimons devoir 

s'écarter peu de 1 ce décompte n'a pas été fait. Je doute 

(pion le fasse. Au fond je suis persuadé que le résultat serait 
celui que j'annonce et je suis même persuadé que le rapport 
du nombre des chiffres 3 au nombre total des chiffres serait 

l 
environ -- . 

On a voulu compter des chiffres soi-disant pris au hasard : 
ceux qui interviennent dans les logarithmes et même ceux 
qui donnent l'expression approchée du nombre -. Ces chif- 
fres ne sont pas pris au hasard. Dune part, la différence 
d'un logarithme à un autre est constante dans une échelle 
assez étendue, d'autre part, les chiffres (pion rencontre dans 
le développement de n peuvent être soumis à une loi, puisque 
leur ensemble représente le rapport de la circonférence à 
son diamètre. 



/. . / LOI 1) E S G It . i Y 1) s .Y O M i: l; E S 1 29 

Que je compte ou non les chiffres de mou annuaire recon- 
nus comme procédant du seul hasard, me voici, je suppose, 
persuadé que Le rapport du nombre des chiffres pairs au 
nombre des chiffres impairs est à peu près I. que le rapport 
du nombre des chiffres 3 au nombre total des chiffres est 

environ — . La question de cet à peu près, de cel environ, ne 

vient-elle pas dès lors se poser et son intérêt ne prime-t-il 
pas? Sans doute. Et comment la résoudre? Le principe de 
raison suffisante m'en donnera-t-il la solution ? Je n'oserais 
l'affirmer. Qu'on en juge. 

La différence entre l'unité et le rapport du nombre des 
chiffres pairs au nombre des chiffres impairs décroit et tend 
vers zéro à mesure que croit le nombre des chiffres décomptés. 

De même, la différence entre la fraction — et le rapport du 

nombre des chiffres .'! au nombre total des chiffres décroît et 
tend vers zéro à mesure e/ue croît le nombre des chiffres dé- 
comptés. Il i/ aura des exceptions à la règle, mais la règle 
s'affirmera dans le plus grand nombre des cas. Telle est la 
règle, règle que nous regarderons comme un principe d'expé- 
rience, au moins médiate, comme procédant dune induction 
savante, basée sur l'expérience, connue un fait, analogue au 
principe du parallélogramme. 

Que je vérifie d'ailleurs la règle sur 10, L00, 1000... suites 
de chiffres, pourrai-] e l'affirmer sans induction ? non, sans 
doute. Sans induction, je ne puis inférer du particulier au 
général, puisque, seul, le particulier est susceptible d'expé- 
riences. Sans induction, je n'aurais pu affirmer que si 10, 2<>. 
50 « ronds » paraisssent jouir de cette propriété qu'ils ont 
même courbure en chacun de leurs points, tous les ronds 
ont partout même courbure. Si je vérifie qu'un cheval hàlant 
un bateau exerce un effort proportionnel au cosinus de l'angle 
que l'ait le câble avec l'axe du bateau, ce qui n'est qu'une ma- 
nière d'énoncer le principe du parallélogramme, je ne puis 
non plus sans induction passer de là au principe général du 
parallélogramme. Ainsi du calcul des Probabilités. 

Désormais, nous possédons une base d'opérations et le 
raisonnement logique va intervenir. 



130 /{ . DE MONTE S S US 

Je considère des événements contradictoires Ei, E2, E3, et 
je sais qu'il n'y a pas de raisons pour que l'un se produise 
plutôt que l'autre dans telle ou telle expérience. Que devien- 
dra le principe relativement à ces événements ? 

Faisanl d'abord abstraction des événements E3, qui n'in- 
fluent pas sur les événements E2, je sais, d'après le principe 
énoncé, que la différence entre l'unité et le rapport du nombre 
des arrivées des événements E2 au nombre des arrivées des 
événements Ei tend vers zéro. De même, la différence entre 
l'unité et le rapport du nombre des événements E3 au nombre 
des événements Ei tend vers zéro. Donc la différence entre 
deux fois l'unité et le rapport du nombre des arrivées des 
événements E2 et Es au nombre des événements Ei tend vers 
zéro et la différence entre 3 fois l'unité et le rapport entre 
du nombre total des événements au nombre d'arrivées de 
l'événement Ei tend vers I. Autrement dit, si les nombres 
d'arrivées des événements Ei, E2, E3, sont respectivement /1, h, 

h de ce que 1 — t < [ ~ t tendent vers zéro, je conclus (pic 

- — —. — ou S tend aussi vers zéro et enlin que 

'1 '1 

. — .' , tend vers ^ ; le rapport du nombre des arrivées de 

l 'événementiel an nombre total des événements tend ver s ^ . Nous 

sommes donc logiquement en mesure de donner au principe 
énoncé l'extension (pie voici : Si des événements contradic- 
toires Ei, E2,..., E„ sont en présence et s'il n'y a pas de raison 
pour que l'un se produise plus souvent que l'autre, le rapport, 
dans un nombre donné d'épreuves, du nombre d'arrivées de 
l'un quelconque d'entre eux au nombre total des événements 

différera d'autant moins de ta fraction — que le nombre 

d'épreuves sera plus considérable. 

Celte proposition est connue sous le nom de loi des 
grands nombres. Elle a lait l'admiration des poètes qui ont 
voulu y voir une « loi immuable de la nature. » Elle a fait le 
désespoir des géomètres, qui ont voulu la démontrer à 
priori. Nous savons désormais qu'elle est un principe d'expé- 



LA LOI I) E s GRANDS NOMBRES 131 

rience, c'est-à-dire un principe < 1 1 1 * - l'induction déduil de- 
quelques expériences particulières. 

Nous ne sommes pas au terme Le principe souffre une 
dernière extension logique : Etant donné des événements con- 
tradictoires E„ E : E B , si les événements E, peuvent être 

partagés en classes E tl E 12 ,..., E ip contradictoires et ayant 
égale chance de se produire, si les événements E t peuvent à 
leur tour être partagés en classes E M , E^,..., E 2(/ contradic- 
toires aussi et ayant égales chances encore de se produire, et 
ainsi des autres, les événements E n se partageant en classes 

E»!, E n2 , E„, de même nature, si, de plus, les événements 

partiels E u , E 12 ,.., E ip , E 21 , E 22 E, g ,... E B1 . E„,.... E, 1S . qui 

sont contradictoires, ont égales chances de se produire, le 
rapport dans un nombre donné d'épreuves du nombre d'ar- 
rivées de l'événement E, au nombre total des événements dif- 
férera d'autant moins de la fraction —. \- ; — que le 

P + <7 + ••■ + s 

nombre des épreuves sera plus grand et ainsi des autres 
événements E„, E 3 ,.., E„ pour lesquels il faudra considérer 

les rapports — ; p — , ... , — . — . 

p + q + ■■■ + s p + q + ■ ■ ■ + * 

L'étude du problème que voici nous servira de démons- 
tration. On lance deux dés sur une table. On peut amener 
ainsi les points 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9. 10, 11, 12. Combien de 
l'ois sortira, en moyenne le point 8? vers quel nombre tendra 
le rapport du nombre d'arrivées du point 8 au nombre de 
coups joués ? 

L'événement Es. c'est-à-dire la sortie du point 8 se décom- 
pose en les événements Esi, sortie des points 2et6,Es2, points 
3 et 5, E83, points 4 et 4, Es4, points 5 et 3, Es5, points 6 et 2 : 
on trouve ainsi 1 événement Ei, 2 événements E3, 3 événe- 
ments E4, 4 événements Es. 5 événements Eô, 6 événements 
E7, 5 événements Es, 4 événements E9, 3 événements E10. 2 
événements Eu, 1 événement E12, soit, en tout, 36 événe- 
ments partiels également possibles. Le point 8 sortira donc. 

en moyenne, 7^ lois. 

Xous sommes en possession <\\\ principe, principe d expé- 



132 /.' . DE MONTE S SU S 

rience. Ce n'est qu'au prix de vingt ans de réflexion que Jean 
Bernoulli le mil au jour. Nul ne saurait doue d'un coup 
s'élever à sa hauteur. Regardons le principe comme une 
vérité que tout jusqu'ici a tendu à confirmer et préoccupons- 
nous de fonder sur celte hase le Calcul des Probabilités. 
l'osons à cet effet une définition renfermant le principe. 

Je remarque que sur les p -j- q -J- ... -\- s événements con- 
tradictoires, mais également possibles E„, E, 2 E ip , E 2l , 

E 22 E 2(/ E fll , E„ 2 E MS , P sont favorables à l\ : ce 

sont les événements E n , E u , E 17 ; en sorte que le rapport 

- est le rapport du nombre p des événements favo- 
p + q + • • • + s I r ' ' 

râbles à E, au nombre total p-\-q -\- ...-\-s des événements dif- 
férents qui peuvent se produire. Je puis donc énoncer comme 
il suit la loi des grands nombres : le rapport du nombre 
d'arrivées de l'événement Ei au nombre, total d'épreuves tend. 
si le nombre des épreuves croit, vers le rapport du nombre 
des cas favorables à XL t au nombre des cas possibles. 

Sur N épreuves, l'événement Ei devant se produire, d'après 

la loi de Bernoulli, — ; — — fois, le rapport du nombre 

p + ? + ...+* ri 

des ras favorables au nombre des cas possiblespourra donc se r- 
vir a définir la probabilité, définition qui viendra se substituer 
au Principe de Bernoulli. Elle le suppose d'ailleurs et c'est 
essentiel: si le rapport du nombre d'arrivées de l'événement 
Ei au nombre total des événements ne tendait pas vers le 

rapport - — 7— du nombre des cas favorables au nombre 

p + q + ■■■ -\- s 

des cas possibles, la définition ne répondant à aucune réalité 
sérail sans objet. Enfin cette définition doit contenir le Prin- 
cipe de Bernoulli, en ce sens qu'elle doit le restituer par 
voie logique. Il en est bien ainsi, mais là, je laisse la parole 
aux analystes. 

L'induction, basée sur l'expérience, montre que si des 
événements contradictoires E t , E 2 ont égale chance de se 
produire, le rapport du nombre d'arrivées de l'événement E, 
au nombre total d'épreuves tend vers la fraction x ji et en 
diffère d'autant moins que le nombre d'épreuves est plus 
grand. 



LA LOI DES GRANDS NOMBRES 133 

J'en déduis par un raison nemenl Logique que si des évé- 
nements contradictoires E,. I'., E„ <>ni égale ehanee de se 

produire, le rapport du nombre d'arrivées de l'événemenl Ei 

au nombre total d'épreuves tend vers la fraction - el en 

diffère d'autant moins que le nombre d'épreuves est plus 
grand, au point que, pour un nombre assez grand d'épreuves, 
la différence sera moindre que toute fraction, si petite qu on 
puisse l'imaginer. 

J'en déduis encore que si des événements contradictoires 

E„ E 2 E„ n'ont plus chances égales de se produire mnis 

peuvent être partagés en elasses d'événements contradic- 
toires E u , E„ Ey,, E M1 E M E 2 E fll , E ns E m ayant. 

eux, égales chances de se produire, le rapport du nombre 
d'arrivées de l'événement E, au nombre total d épreuves 

tend vers la fraction — ; f — . principe qui au cas de 

p + q + ...-}-* l ' ' 

nombres égaux p,q ç. c'est-à-dire d'égale probabilité des 

événements E„ E s E„, se réduit au premier et par suite, 

est général. 

J'infère de ce principe que le rapport du nombre d'arrivées 
de l'événement Ei au nombre total d'épreuves est une quan- 
tité - — ?— indépendante du nombre d'épreuves tentées 
p + q -f • • • 4- ••>■ ' 

et je définis dès lois la probabilité de V événement E\ par celte 
quantité que j'observe être le rapport du nombre des cas fa- 
vorables au nombre des cas possibles. 

Cette définition, posée en vertu du principe, doit le ren- 
fermer. Sinon, elle n'aurait aucune raison d'être. Le principe 
doit donc en être une conséquence logique et il l'est. 

Si le principe était reconnu inexact, la définition tomberail 
dans la mesure de cette inexactitude. Elle subsisterait dans 
les cas où le principe subsisterait, elle serait illusoire dans les 
autres cas. 

Enfin, je note que la définition ne tient pas plus compte 
que le Principe des cas d'exception. J'en conclus que le calcul 
des Probabilités ne nie renseigne que dans une certaine 
mesure, mesure que la définition même posée au début me 
permet d'apprécier en me donnant, par voie logique, la loi de 



\A4 /.'. DR MONTE S SI/ S 

Yécarl. c'est-à-dire la loi de la différence (ilu nombre pro- 
bable d'arrivées ~ • De l'événemenl Ei, dans une 

l> + 7 + • ■ + s 
suite de N épreuves, au nombre réel de ses arrivées). 



Le Calcul des Probabilités atteint donc son but, qui est de 
donner des renseignements mot/eus. Si Ton se proposait 
d'obtenir des résultats exacts, le Calcul des Probabilités 
n'aurait plus sa raison d'être. 

Est-il logiquemenl constitué ? Dois-je rappeler ici encore 
l'évolution de la Mécanique Rationnelle? rappeler qu'en der- 
nière analyse la notion de force : cause du mouvement, étant 
inaccessible à la pure logique, cette notion a cvdé la place à 
celle-ci: la force est le produit de la niasse par l'accélération, 
la masse même étant un nombre, un coefficient, disent les 
analystes ? N'est-il pas clair que le Calcul des Probabilités 
présente encore un point qui défie lu logique ? Et qu'est-ce 
donc, au point de eue logique, que «les événements avant 
égale chance de se produire? Des événements tels qu'il 
n'existe pas de raison pour que l'un se produise plutôt que 
l'autre? Comment savoir qu'il n'est pas de raison en faveur 
de l'un ou l'autre? .le ne vois pas de raison pour... est-ce à 
dire qu'il n'y a pas de raison pour ? 

Newton ne vovait pas de raisons pour que la théorie de 
l'Emission lût contraire a la réalité. Newton cependant se 
trompait. Iresnel. lui. a trouvé ces raisons que Newton ne 
voyait pas. 

C'est que le principe de raison suffisante, valable dans les 
circonstances ordinaires de la vie ou. à défaut d'autre base 
dans les sciences physiques, doit être rejeté des sciences ma- 
thématiques. Celles-ci doivent être uniquement fondées sur 
le principe de contradiction et l'induction savante. 

Voici donc (pie le Calcul des Probabilités est édilié sur une 
appréciation à priori et par cela même douteuse des cas à 
examiner: si des événements E M , E H , — E„„ disions-nous 
ont égale chance de se produire... El quels seront ces évé- 
nements connus ainsi qualitativement à priori? Le dilemme 
est-il impossible à résoudre '.' Non. sous condition de se 



/. . / LOI I) E s r, Il . I Y /) S Y M i: H E S 1 35 

borner à l'étude d'événements idéaux, aussi peu matériels 
que le sont les lignes géométriques sans épaisseur. 

Dès lors, la définition de la probabilité: rapport du 

nombre des cas favorables au nombre des cas possibles se 
réfère à un attribut qualitatif «les événements étudiés, 
attribut qui, dans le cas présent, définit les événements. .li- 
sais que tels et tels événements sont également possibles; 
pourquoi? il n'importe, je le sais; cela su (lit . Si Ton veut : 
je définis les événements que j'étudie par celte condition qu'ils 
sont également possibles, qu'il n'existe aucune raison per- 
mettant d'affirmer que l'un plutôt que l'autre se produira. Si 
je prends un billet de loterie, je ne choisirai pas le billet : 
aujourd'hui, tous les billets se valent, 

Au reste le mot Probabilité posé au début est une cause 
de confusion en ce sens qu'il présuppose trop visiblement le 
théorème de Bernoulli. Je le remplacerai donc pour un temps 
par le mot relativité et désormais je dirai : 

« I. Le calcul des Probabilités a pour objet l'étude d'évé- 
nements avant chance égale de se produire ou pouvant se 
ramener à des événements ayant chance égale de se produire, 
étant sous-entendu que de tels événements existent » 

« II. Si/? est le nombre des cas favorables à l'apparition de 
l'événement E, si P est le nombre des cas qui peuvent se 

produire, le rapport ~ est appelé la relativité de l'évé- 
nement ». 

Théorème. « Le rapport du nombre d'arrivées de l'événe- 
ment E au nombre des épreuves tentées tend vers un 
nombre fixe R indépendant du nombre des épreuves, quand 
le nombre des épreuves croît indéfiniment». 

En conséquence, ce nombre fixe R peut être regardé 
comme définissant la probabilité de l'événement E. En effet. 
sur N épreuves, l'événement E se produira, en moyenne, 
RxN fois. 

Théorème. « Le nombre fixe R n'est autre que la relativité ^ ». 

En conséquence, la relativité, ou le rapport du nombre des 
cas favorables au nombre des cas possibles, définit la pro- 
babilité. » 



136 /.'. DE MONTE S SU S 

De la science idéale, ainsi constituée et basée enfin sur le 
seul principe de contradiction, nous passerons, quand il sera 
nécessaire, à la réalité, tout comme le géomètre qui applique 
au cours des astres les principes de la Mécanique Rationnelle; 
du moins nous serons assurés que la ruine (\\\ Principe de 
Bernoulli n'infirmerait plus le Calcul des Probabilités. Elle 
en supprimerait la raison <l être, elle ne ferait pas qu'il devint 
science fausse. 

Le Calcul des Probabilités a termine son évolution. Il n est 
plus qu'un chapitre de l'Algèbre. 

Revenons à la question philosophique et tirons une con- 
clusion de l'étude que nous avons faite. Voici le Calcul des 
Probabilités fondé sur la « loi des grands nombres. » re- 
gardée comme principe d'expérience, en ce sens que j'ai 
admis comme plus probable, dans un eboix d'événe- 
ments, l'arrivée de l'événement qui, sur un grand nombre 
d'épreuves se produit le plus souvent. 

Et d'abord quelle est la raison d'être de la loi des grands 
nombres ? simplement ceci : cpie dans une série suffisamment 
étendue d'événements, comparables les uns aux autres, les 
causes déterminantes se neutralisent. Dans l'ensemble des 
propriétés foncières, les parcelles de telle ou telle étendue 
prédominent en vertu de ces causes que j'appelle détermi- 
nantes, ici les degrés de richesse des propriétaires et aussi 
les degrés de leur affection au sol. Groupez ensemble toutes 
les propriétés qui ont même superficie, à un hectare près, 
cela de I à 100 hectares: ces dernières seront encore en 
nombre assez grand et cela nous importe, nous allons en 
effet prendre des moyennes : compare/ ensuite les chiffres des 
dizaines des 100 nombres obtenus par addition des super- 
ficies de mêmes espèces : vous trouverez à peu près autant 
de chiffres impairs que de chiffres pairs. Les chiffres des di- 
zaines n'ayanl rien à voir avec les causes déterminantes, 
rien d'étonnant a ce résultai . 

Quelquefois même, les causes déterminantes n'existent 
pas. La subdivision régionale en arrondissements ne s'est 
nullement préoccupée, par exemple, du chiffre des dizaines 



LA LOI I) E S G i: . t /V h s .Y M n i: /•; S 137 

des superficies. Tout au plus a-t-elle voulu que les super- 
ficies totales soient comprises entre certaines Limites qui ne 
peuvent affecter que les chiffres de rang élevé des nombres 
en question. 

Dans lun et l'autre cas, la loi des grands nombres s'im- 
pose en ce sens qu'on ne voit pas pourquoi elle ne serait pas 
vérifiée. Principe de raison suffisante? Sans doute, niais 
principe aussi d'expérience et cela est mieux. 

Que conclure ? 

Je joue tous les soirs au baccara. J'ai intérêt à connaître 
les résultats que nie donne le Calcul des Probabilités quant à 
l'opportunité de tirer à 7 ou à 8 et encore je dois combiner 
ces résultats avec la méthode de jeu de mon adversaire; 
niais si, égaré par hasard dans la salle de jeu, je joue pour 
la première fois, étant décidé, au surplus, à ne plus jamais 
prendre une carte en mains tous les coups ne sont-ils pas 
d'égale valeur, puisque le Calcul des Probabilités ne s'ap- 
plique qu'aux suites étendues d'événements ? 

La question est oiseuse. Mille événements se rencontrent 
où la loi des grands nombres intervient et ces événements 
sont, dans une certaine mesure, comparables les uns aux 
autres. Le joueur qui, chaque jour, jouerait à un jeu dif- 
férent aurait intérêt à jouer chaque jour les coups que la 
théorie donne comme les plus favorables : son gain serait la 
moyenne des gains théoriques relatifs à chaque coup. 

Je conclus donc qu'il existe des suites d'événements dont 
les causes se neutralisent; ces suites d'événements obéissent 
en conséquence à la loi des grands nombres ou loi des 
moyennes. 

Je pars de cette conclusion pour m'imposer comme règle 
de conduite le choix de la détermination que le Calcul des 
Probabilités m'indique correspondre à l'événement qui, sur 
une suite étendue, se présente le plus souvent. 

Je reconnais donc au Calcul des Probabilités une valeur 
morale. 

Pratiquement, une suite relative à deux événements con- 
tradictoires tombe sous le coup de la loi des grands nombres 
quand le nombre d'épreuves atteint 40. On dit qu'à Monaco 

L'Enseignement mathéni. 7 e année ;. 1905. lu 



138 F. G. TEIXEIRA 

la série de 30 rouges ou 30 noires consécutives n'est pas 
encore sortie. De rail la probabilité de l'événement est 

. »~., r... oo, et il y a peu de chances qu'il se produise 
1 0;3 741 824 j i il 

avant qu'on ait joue un nombre de coups comparable au 

chiffre 1 073 741 &2\, disons égal au quotie.n1 I 073 741 £24 : 

40. 

R. DE MONTESSUS 

Maître de Conférences à la Faculté Libre 
des Sciences de Lille. 



SUR LE NOMBRE DES TANGENTES 

QU'ON PEUT MENER A UNE COURBE PAR UN POINT 
SITUÉ SUR LA COURBE 



1. — Le problème qui a pour but la détermination du nom- 
bre des tangentes qu'on peut mener à une courbe algébrique 
par un point situé sur la courbe se résout d'une manière 
presque intuitive quand on considère seulement les tangentes 
réelles, comme on peut voir dans l'ouvrage de Basset, An 
elemenlary Treatiseon cubic and quàrtic curves (Cambridge, 
1901, j). 17). Mais, quand on veut étudier cette question 
d'une manière générale , en considérant les tangentes 
réelles et imaginaires, sa résolution est moins facile. C'esl ii 
ce point de vue général que s'est place Salmon dans son ou- 
vrage sur les courbes planes (édit. française, Paris, 1884, p. 89 . 
où il a donné à cet égard un théorème important, qu'il a ob- 
tenu par une élégante méthode algébrique. 

Or, nous allons nous occuper de cette question, en nous 
plaçant aussi au point de vue algébrique général, pour don- 
ner une démonstration, que nous croyons nouvelle, condui- 



\ u r 1. 1: y o y s r /■: i> /. s / . / v c /•; n tus 139 

saat par une méthode plus élémentaire au résultat obtenu 
par l'éininent géomètre anglais. 

2. — Soit : 

/'ir.vl = 

l'équation de la courbe considérée et /// son degré. 

L'équation de sa première polaire, par rapport au point 
'.ri, y\ . est. comme on le sait, la suivante : 

bx by ' 

et son degré est é^al à /// — l. 

Cela posé, nous allons démontrer le lemine suivant : 

Si .n, jjx est un point multiple d'ordre k de la courbe con- 
sidérée, il est aussi un point multiple de même ordre de sa 
polaire, et les k brandies de la courbe qui se coupent en ce 
point sont tangentes aux k brandies de la polaire qui s'y 
coupent aussi. 

On peut considérer comme compris dans cet énoncé le cas 
où .n, yx] est un point simple de la courbe, en supposant 
alors k = 1. 

Pour démontrer le lemme précédent, écrivons l'équation 
de la courbe de la manière suivante : 

f(Xt + X — A\ . Vj 4- v — jj = . 

et ensuite développons son premier membre suivant les puis- 
sances de .c — xi et y — y\ ; ce qui donne 



.>/■ 1 fd a f , o 2 /' 
( . r _ a- 1 _| r _ Vl , _|_ I _i ,.,- _ x j" j_ •? [ x — », .v — y t ) 

i\t\ .M'i • J \_àX* < v »'i'V'i 



àf 

i.t — .*i' r — H — ni -f ; 

ou symboliquement 



11 = m 



y — L— * — *d + 7- iv - '-i> = ° 



>l = 1 



L'équation de la polaire de cette courbe peut être écrite d<- la 



140 F G. TE1XEIRA 

manière suivante, en ordonnant aussi son premier membre 
suivant les puissances de x — xi <■! y — //i : 



V 



*i + 7- (y — r» + r^ (* — *■») + 2 r— r <■*' - *«) (y — rO 



+ — a '.v- .m 2 ! + 



ou symboliquement 

_1 ,., _ j,., _(_ _L (v _ ,.) — 

L«\r t ôri 



/i = m 

V 



Ces équations montrent, en premier lieu, que si [xi, yx) est 
un point simple de la courbe considérée, la droite dont l'équa- 
tion est 

'7' àf 

-L [x — x t ) + — iv — r,l = 

< j sl tangente à cette courbe et à sa polaire. 

On voit ensuite que, si (xx, yx) est un point double de la 
courbe considérée et si. par conséquent, ses coordonnées 

xx et 1/1 satisfont aux équations — = 0, ~L = , les deux 

droites représentées par les équations 

5*/" ^ 2 /' > 2 /' 

-7, •■'• — *,)" + 2 — -J- {x — .»-,( |y — Vil + — i lv - v,, 2 = (» 

''•'1 bx t t\v, .\Vj 

sonl tangentes au point xx, ij\ à la courbe et à sa polaire. 

En continuant de la même manière on démontre le lemme 
énoncé précédemment. 

• t. — En nous basant sur le lemme ci-dessus, nous allons 
déterminer le nombre des tangentes qu'on peut mener à une 
courbe donnée par le point x\. y\ . 

Supposons d'abord que la courbe a seulement u\\ point 
multiple, qui coïncide avec xi, i/\ i, et que l'ordre de ce point 
est égal à k. 

La courbe donnée et sa polaire se coupent alors en 
m m— l) points <-t l'un de ces points coïncide avec (xi, y\ . 



S V R I. /•; .Y M li I! E /> E s TA N G E X T E S I '. 1 

Or, ce point étant multiple d'ordre k sur la courbe et sur la 

polaire, il compte pour k 2 intersections. Mais, comme les 
k branches de la courbe sont tangentes aux k branches de la 
polaire, chaque branche de celle-là a encore un autre 
point, consécutif à n, y\ , en commun avec la polaire. Donc 
le nombre des intersections de la courbe et de sa polaire, 
distinctes de (.n, yi , est égal à 

m {m — li — k {k -f- 1 ) . 

Or, ces points coïncident avec les points de contact des 
tangentes à la courbe menées par .n, i/i ; et on a, par consé- 
quent, en représentant le nombre de ces tangentes par /, 

t = m (m — 1) -^ k (k -\- l) , 

résultat qui coïncide avec celui qui a été obtenu par Salmon. 

Si .n, ?/i est un point simple, cette formule a encore lieu, 
en supposant alors k = 1. 

Si la courbe donnée a $ points doubles et y points de re- 
broussement, distincts de .n, y\ . la valeur de / peut être en- 
core obtenue facilement, en employant la méthode dont on 
fait usage habituellement pour démontrer celle des formules 
de Pliïcker qui détermine la classe de la courbe Salmon. /. c, 
p. 77-78 et le lemme précédemment démontré. On trouve 
ainsi. 

I =z m idi — l| — 2<£ — ov — X' !/. + 1 1 . 



F. Gomes Teixeira Porto . 



CHRONIQUE 



Le Congrès international des Sciences; S^Louis, Etat-Unis. 

Section de Géométrie. — Pour compléter le compte rendu que 
nous avons publié ' sur les travaux mathématiques du Congrès de 
S'-Louis, nous avons à donner encore un court aperçu des séances 
de la Section de Géométrie. Les rapports, au nombre de deux, 
comme pour toutes les autres sections, ont été présentés, l'un par 
M. Darboux Paris sur le développement des méthodes géométri- 
ques, l'autre par M. Kasner (Columbia Un., New-York) sur les 
problèmes actuels de lu Géométrie. 

La conférence de M. Darboux vient de paraître en librairie" 2 et 
nous ne saurions trop recommander la lecture de cette magistrale 
étude qui donne, sous une forme très élégante, un aperçu des 
progrès de la Géométrie pendant le siècle qui vient de finir. Après 
avoir jeté un coup d'œil rapide sur l'état des Sciences mathéma- 
tiques au commencement du XIX me siècle, le savant conférencier 
montre comment la Géométrie moderne est venue contribuer dans 
une large mesure au renouvellement de la Science mathématique 
tout entière. 11 passe en revue les principaux travaux des mathé- 
maticiens illustres qui ont pris part au mouvement géométrique 
et dont les uns. tels que Poncelet, Chasles, Poinsot, Steiner, 
v. Staudt, etc., se rattachent plus spécialement aux méthodes delà 
Géométrie pure, tandis que les autres, tels que Monge, Dupin, 
Gauss, Pliicker, etc., adoptent des méthodes mixtes qui ont con- 
tribué au développement des Géométries analytique et infinitési- 
male. Voici le passage concernant les éléments de Géométrie'. 

« Ils oui reçu depuis cenl ans des accroissements qu'il convient de ne pas 
oublier. La théorie «les polyèdres s'est enrichie de belles découvertes de 

l'oinsol suc les polyèdres ('toiles et de celles de Mohius sur les polyèdres 
a une seule face. Lis méthodes de I ransformal ion ont élargi l'exposition. 
On peut dire aujourd'hui que le premier Livre contient la théorie de la 
translation et «le la symétrie, que le deuxième équivaut à la théorie de 

« la rotation et du déplacement, que le troisième repose sur l'homothétie et 

n I inversion. 

Mais il faut bien reconnaître que c'est grâce à l'Analyse que les Elc- 

« ments se sont enrichis de leurs plus helles propositions. C'est à l'Ana- 



1 L'Ens. math.. 7 m « année, \>. 52-54, n« du là janvier 1905. 

- 1 broch. in-8° de 34 p. : prix 1 li-. 50. Librairie Gauthier-Villars. Paris. 



i II R0N1 Q I I. 143 

« [yse la plus haute i|u«' nous devons l'inscription des polygones réguliers 
s de 17 côtés et des polygones analogues. C'est à elle que nous devons les 
» démonstrations si longtemps cherchées de l'impossibilité de La quadra- 
i ture du cercle, de l'impossibilité de certaines constructions géométriques 

« à l'aide de la règle et du c ipfts. Cesl à elle enfin que nous devons les 

« premières démonstrations rigoureuses des propriétés de maximum el de 
'( minimum de la sphère. Il appartiendra à la Géométrie d'intervenir sur ce 
■< terrain où l'Analyse l'a précédée. 

•■ One seront les éléments de la Géométrie an cours du siècle qui vient de 
i commencer? Y aura-t-il un seul Livre élémentaire de Géométrie? C'est 

peut-être l'Amérique avec ses écoles affranchies de ton! programme el de 
< toute tradition, qui nous donnera les meilleures solutions de cette impor- 
(i tante et difficile question. On a quelquefois appelé v. Staudt, VEuclide du 
•' XIX* sii'dc; je préférerais l'appeler VEuclide de la Géométrie projective : 

mais cette Géométrie, quelque intéressante qu'elle puisse être, est-elle 
« appelée à fournir la base unique des futurs éléments? . 

Les communications, d'une durée de dix minutes chacune, 
cl aient au nombre de sept : 

1. II. -F. Blichieldt Standford Un.. Cal. : Sur quelques pro- 
priétés géométriques des surfaces de révolution. 

2. G.-A. Bliss (Un. of Missouri : Sur un problème du calcul des 
variations d'après la méthode géométrique de Jacobi. 

:>. L.-YY. Dowling (Un. of Wisconsin : Sur la génération de 
certaines courbes unicursales. 

4. Arn. Emch Un. of Colorado : Sur les points d'inflexion d'une 
cubique plane et ses polaires. 

5. G.-B. Halsted Ken yon Collège, Ohio : La sphérique non 
euclidienne. 

6. H. Hancock Purdue University, Ind. : Surfaces minima algé- 
briques. 

7. IL-P. Maxxim; Brown University : Représentation des va- 
riables complexes dans l'espace à quatre dimensions. 

L'étude de M. Halsted sur la sphérique non euclidienne a un in- 
térêt direct pour l'enseignement ; nous en donnerons le résumé 1 
ci-après : 

Ce mémoire traite un point déjà abordé par l'auteur dans sa 
RationalGeometry 3 . L'indépendance de la trigonométrie sphérique 
à l'égard du postulat des parallèles ayant été mise en évidence 
parla création de la géométrie non euclidienne, la sphérique pure, 
qui est si importante, ne doit pas être euclidienne. Ceci montre 
la nécessite de s'affranchir, pour la traiter convenablement, de 
tout théorème de géométrie solide que l'on transporterai! ensuite 

1 Rédigé par notre distingue' collaborateur, M. V. Barbarin [Bordeaux), d'après 1.- manuscrit 
île l'auteur. 

2 Voir l'analyse dans la Bibliographie de ce N". p. 160-16*2. 



m chronique 

à la surface de la sphère. Donc, plus de ligne droite, plus de grand 
cercle, mais à leur place un être géométrique nouveau qui n'esl 
autre que la géodésique sphérique et que M. Halsted nomme 
s traîghtest. On pourrait la définir comme la ligne que déterminenl 
deux points suffisamment rapprochés, mais ce dernier terme 
n'étanl pas clair, l'auteur préfère lui substituer l'axiome d'asso- 
cial ion. 

I. A tout [)oint A on peut associer un point B et un seul qui avec 
A ne détermine pas v\no droite sphérique. B est dit oppose à A. 

Les trois points A, B. C d'un certain circuit présentent ou ne 
présentent pas d'ordre déterminé selon que le circuit est ouvert 
ou fermé. De là les trois axiomes d'ordre : 

II. 1. Aucun point de la sphère n'est entre deux points op- 
posés : 

2. Aucun point n'est entre son opposé et un troisième point ; 

3. Entre deux points non opposes il y a toujours un troi- 
sième point. — Notion du segment. 

III. Axiomes de congruence, suivant les idées de M. Hilbert ; on 
peut prouver qu'un segment est congruent à lui-même. Figures 
symétriques. M. Halsted l'ait une distinction entre la symétrie sur 
le plan et celle sur la sphère; mais on peut l'annihiler en plaçant 
la sphère dans un espace approprié où elle est retournable. 

Reste l'axiome de continuité; il parait plus nécessaire sur la 
sphère (pie sur le plan, pourtant l'auteur a réussi à s'en affran- 
chir dans sa Rational Geometry qui est une œuvre fort intéres- 
sante. 

Distinction. — ■ Le Jury international de l'Exposition universelle 
de S'-Louis a décerné a M. Ernest Lebon Paris une Médaille 
d'Argent pour l'ensemble de ses Publications Mathématiques. 

Jubilé Lejeune Dirichlet. 

Apres les jubilés d'Abel et de Jacobi, c'était le lourde Lejeune 
Dirichlet 1805-1859), dont les profondes recherches n'ont cesse 
d'exercer une influence sur le développement de la Théorie des 
nombres, de l'Analyse et de la Physique mathématique. Après 
avoir l'ait ses éludes à la Sorbonne et au Collège de France, Di- 
richlet professa successivement les mathématiques a l'Ecole mili- 
taire de Berlin, à l'Université de Berlin, puis à Gœttingue où il fut 
appelé à succéder a son illustre maître Gauss. 

Les mathématiciens de Gœttingue ont commémore le centenaire 
de la naissance de leuréminent compatriote, le 13 février dernier, 
en une séance, organisée pai- la Société mathématique, et dans la- 



CHRONIQUE 145 

quelle M. le Prof. Mixkowski a donné un aperçu de la vie et des 
travaux de Dirichlel . 

D'autre part, le Journal f tir die reine and angewandle Mathe- 
matik, qui comptait Dirichlet au nombre de ses collaborateurs, a 
consacré le premier fascicule du tome I2i>, « a la mémoire de Le- 
jeune Dirichlel « voir le sommaire à la fin « If ce numéro . 

Monument Lalande. 

11 vient de se former un comité' dans le but d'élever, à Bourg- 
en-Bressé, un monument a Jérôme Lalande 17.'>2-ltto7 . à l'occa- 
sion du centenaire de sa mort. Les services rendus à la science 
par ce grand astronome sont considérables. Grâce à ses nombreux 
écrits et à ses tables, il est encore aujourd'hui Universellement 
connu dans le monde des astronomes et des mathématiciens. 

Né en Bourg-en-Bresse en 17.'ï2. Lalande fui reçu à l'Académie 
des Sciences de Paris déjà en 17").'! et devint professeur au Collège 
de France en 1762. Parmi ses nombreux travaux, rappelons son 
Truite d'astronomie, plusieurs fois réimprimé : son Histoire céleste 
française, sa bibliographie astronomique et ses Tables de loga- 
rithmes a cinq décimales. 

Réunion des maîtres de mathématiques des Ecoles moyennes 

autrichiennes. 

Le 17 décembre 1904 a eu lieu à Vienne, sous la présidence de 
M. IL Januschke, une réunion commune des sociétés ■ Ecole 
moyenne i et « Ecole réale ». ayant pour objet une conférence de 
M. le Prof.-D 1 ' C. Zahradmcek sur la nécessite d'introduire les 
(déments de calcul infinitésimal dans les programmes de renseigne- 
ment secondaire supérieur -. Le conférencier a insisté sur les 
avantages qu'en retirerait l'enseignement de la Physique, dans 
lequel bien des notions, telles que la vitesse, l'accélération, gagne- 
raient en précision: beaucoup de démonstrations pourraient être 
considérablement simplifiées, par exemple tout ce qui concerne 
le centre de gravité, le moment d'inertie. Il a donne ensuite quel- 
ques indications sur ce qui se fait dans ce domaine dans les éta- 



' Les souscriptions seront reçues par le trésorier, M. Huteau, ■>». boulevard Victor-Hug 
à Bourg-en-Bresse Ain . France. 

2 11 est à remarquer qu'à la même date du 17 déc.. la même question a été traitée à Zurich. 
à la reunion annuelle (les maîtres de mathématiques des Ecoles moyennes suisses, donl nous 
avons rendu compte dans notre dernier numéro. Cette coïncidence montre bien que les vœux 
émis de part et d'antre résultent d'un be^'ùn qui se t'ait -sentir dans l'enseignement secondaire 
supérieur des divers pays. A tous ceux qui s'intéressent à ce mouvement, nous signalerons 
à nouveau les divers articles de M. F. Klein. Voir notamment les Nette Beitriige zur • 
des tnathematischen utid physikalischen Vnterrichts an den hoher,n Schulcn, gesammelt f>n 
F. Ki.i:in ii. E. Rieckiî, Leipzig. 1904. 



146 CHRONIQUE 

blissements allemands, anglais el américains. Dans la discussion, 
M. D r Ign. Wallentin, inspecteur, lit remarquer qu'en réalité, déjà 
maintenant, quelques notions de mathématiques supérieures se 
sont glissées, sous une forme déguisée, dans l'enseignement des 
Mathématiques el de la Physique. Saut' une certaine opposition 
provenant de représentants des gymnases, l'assemblée était favo- 
rable à un remaniement des programmes; elle a accepté le prin- 
cipe de l'introduction des éléments de Mathématiques supé- 
rieures, et elle a nomme une commission chargée d'examiner 
dans quelle mesure cette introduction est désirable el réalisable. 

Cours de vacances pour les maîtres de l'enseignement secondaire 

en Autriche. 

Le ministre autrichien de l'Instruction publique vient de déci- 
der la création de cours de vacances pour les maîtres de sciences 
de l'enseignement secondaire. Ces cours seront organisés d'une 
manière analogue à ceux qui existent déjà dans divers pays. Leur 
but est de permettre aux maîtres de compléter et d'approfondir 
leurs connaissances conformément à l'état actuel de la science. Ils 
auront lieu dans plusieurs villes universitaires et comprendront 
des cours théoriques et des exercices pratiques. Pour cette pre- 
mière année, les cours seront organisés à (ira/., Prague et Lem- 
berg. 

Nominations et distinctions. 

M. Km. Borel, chargé d'un cours de théorie des fonctions à la 
Faculté des Sciences de Paris, est nommé professeur-adjoint. 

M. Moi'. Caxtoh est nommé membre honoraire de la Royal 
Society d'Edinbourg. 

M. L. Courvoisier, de l'Observatoire de Heidelberg, est nommé 
astronome à l'Observatoire de Berlin. 

M. Esclangon est nommé astronome-adjoint à l'Observatoire de 
Bordeaux, en remplacement de M. Péraud. décédé. 

M. H.-B. Evans est nommé professeur-adjoint de mathématiques 
a l'Université <l<- Pensylvanie. 

M. E.-D. Erant est nommé professeur-adjoint de mathématiques 
a l'Ecole des Mines de Michigan. 

M. E. Jahnke est nommé professeur de mathématiques à l'Ecole 
des Mines de Berlin, en remplacement de M. Kneser. nomme a 
Breslau. 

M. E. Janisch, prof, extr., est nomme professeur ordinaire à 
l'Université de Prague. 

M. M. Lerch, professeur a l'Université de Fribourg Suisse . esl 
nomme Membre correspondant de la Société royale des Sciences 
• le Liège. 



i h /,' o .v i <j r /; i '. : 

M. W.-F. Meyer el A. Schœnflibs, professeurs a l'Université de 
Konigsberg, sont nommés Membres correspondants de la Société 
royale des Sciences de Liège. 

M. Paim.kvk. répétiteur d'Analyse a L'Ecole polytechnique de 
Paris, est nommé professeur de Mécanique, en remplacemenl de 
M. Léauté, retraité, et nommé professeur honoraire. 

M. .1. Ste&bins est nommé professeur-adjoint d'Astronomie a 
l'Université de l'Illinois. 

M. C.-P. YYkstox est nommé professeur-adjoinl de Mécanique 
a l'Université du Maine. 

M. H. -II. Williard est nomme instructeur a l'Université du 
Maine. 

M. A. -11. \\ n.sox est nomme instructeur de mathématiques a 
l'Université de l'Illinois. 

M. Zsicmoxdi est nomme prof. ord. a l'Ecole techn. sup. allem. 
de Prague. 

Nécrologie. 

J.-C.-V. Hoffmann. — Le 21 janvier dernier est mort a Leipzig, 
l'un de nos anciens confrères qui, par ses écrits et son journal, a 
rendu de grands services à l'enseignement scientifique en Alle- 
magne. Nous voulons parler de M. J.-C.-V. Hoffmann, fondateur 
• le la Zeitschrift fur mathemàtischen mut naturwissenschaftlichen 
Unterricht, dont il fut le directeur pendant trente-deux ans: il 
prit congé de ses lecteurs à Noël 1Ï)01 et remit la direct ion du 
journal à M. II. Schotten, directeur de l'Ecole réale supérieure de 
Halle. Hoffmann est mort dans sa quatre-vingtième année, après 
une carrière bien remplie. 

L. v. Tetmajer. — L'Ecole technique supérieure de \ ienne vient 
d'être douloureusment frappée par la mort de deux de ses plus 
illustres professeu i s. MM. L. v. Tetmajer, recteur, et L. Ditscheiner, 
décédés à la lin de janvier 190.). 

Né en Hongrie le 14 juillet 1850, v. Tetmajer lit ses études ISC.S- 
IS72 à l'Ecole polytechnique fédérale de Zurich où il fonctionna 
ensuite successivement comme assistant et comme privat-docent, 
après avoir pris contact avec la pratique en qualité d'ingénieur au 
chemin de fer d\\ X.-E. En 1881, il fut nomme professeur de Tech- 
nologie à l'Ecole polytechnique de Zurich et, grâce à ses impor- 
tants travaux et à son brillant enseignement, il ne tarda pas à être 
placé parmi les meilleurs professeurs de cet établissement. Ses 
recherches sur la résistance des matériaux sont bien connues des 
ingénieurs; elles lui valurent, en 1901, un appel à l'Ecole technique 
de Vienne. Tetmajer accepta cet appel et ne tarda pas à entre- 
prendre la création d'un laboratoire d'essai, analogue à celui qu'il 
avait installe à Zurich. 



I i S V <) T E s /•' /' DOCUM E N I S 

L. Ditscheiner. — Le .'îl janvier, le lendemain de la mort de 
M. v. Tetmajer, mourut son collègue, M. Léandre Ditscheiner, 
professeur de Physique mathématique et de Cristallographie à 
l'Ecole technique supérieure de Vienne. Ditscheiner était né le 
4 janvier 1839; c'était un savant très estimé et très populaire: ses 
principaux travaux appartiennent au domaine de la théorie des 
ondes et de la théorie optique des couleurs. 

Nous apprenons, d'autre part, la mort de : 

M. Fr. Chizzoni, professeur de Géométrie à l'Université de Mo- 
dena. décédé à l'àye de .*><» ans : 

M. Pi:i!\i n. astronome-adjoint à l'Observatoire et professeur- 
adjoint de mathématiques à la Faculté des Sciences de Bordeaux, 
décédé subitement le 7 janvier dernier; 

M. Folie, ancien directeur de l'Observatoire de Bruxelles; 

M. Guido Hauck, professeur de Géométrie descriptive à l'Ecole 
technique supérieure de Berlin, décédé le 25 janvier 1900. dans sa 
(>()""' année ; 

M. James-W. Mvsov. ancien professeur au Collège of the City 
of New-York ; 

M. Ilob. Tucker, ancien secrétaire de 1867 à 1901 de la Société 
mathématique de Londres. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Sous ce litre nous publions des renseignements relatifs à l'organisation de 
de 1 enseignement : créations nouvelles, programmes et règlements d'un in- 
térêt général, lisie des cours des principales Universités et Ecoles supé- 
rieures, etc. La Rédaction. 

FRANCE 

Projet de programme pour la classe de mathématiques spéciales' 
publié par la Revue de Mathématiques spéciales. 

A. ALGÈBRE ET ANALYSE 

Nombres imaginaires. — Calcul algébrique. Applications à la racine carrée 
d'un nombre négatif, ;'i la résolution de l'équation <lu second degré el à la 
résolution de l'équation bicarrée. 



1 Ce projet émane de notre éminent routière M. I,. Humbert, professeur de spéciales au 
Lycée Louis-le-Grand, à Paris. Nous serons reconnaissants » nos lecteurs des réflexions et 
des remarques qu'ils jugeraient utiles de nous communiquer à ce sujet. 



.Y () T E S E I DOC U M E NT S I S 9 

Arrangements, permutations el combinaisons sans répétition. 

Polynômes entiers. — Addition el soustraction. — Multiplication 

Formule du binôme dans le cas de l'exposant entier el positif. 

Division des polynômes entiers. — Plus grand c mu diviseur de deux 

polynômes. — Conséquences relatives à la théorie de la divisibilité. — 
Identité Ah + Bc = I OU Aa+Bv=0. 

Division par r — a. — Conséquences. — Polynômes identiques. 

Enoncé du théorème de d'Alembert. — Décomposition d'un polynôme en- 
tier en Facteurs primaires. — Nombre des racines. — Relations entre les 
coefficients et les racines. 

Diviseurs d'un polynôme entier. — P. g. c. d. el p. p. c. m. de plusieurs 
polynômes. 

Racines Imaginaires des polynômes à coefficients réels. — Indication que 
fournissent les signes des résultats de la substitution de deux nombres 
réels. 

Fonctions. — Définition d'une fonction. — Exemples. 

Limites. — Limites d'une somme, d'un produit, d'un quotient. 

Continuité et représentation graphique d'une fonction. 

Fonction croissante ou décroissante dans \m intervalle (définitions). — 
Exemples. 

Fonction exponentielle. — Calcul des radicaux arithmétiques. — Expo- 
sants fractionnaires, négatifs. — - Propriétés de la fonction a . — Limite 

du rapport — \a^> l) pour x infini et positit. 
à ■■' 
Fonction logarithmique. — Propriétés. — Les diverses fonctions loga- 
rithmiques. — Logarithmes vulgaires. 

Etude sommaire des fonctions e" . log u, X . u . -r . u . 

Séries. — Séries absolument convergentes. — Convergence d'une série 
alternée dont le terme général décroît constamment en valeur absolue et 
tend vers zéro. 

Séries à termes positifs : caractères de convergence ou de divergence 

• - j 1. - j j • "«-l-i " 

tires de 1 étude des expressions — 2_, , / — „ ,, 

1 «„ V"n, " P "»- 

Calcul des k premiers chiffres du développement décimal de la somme 
dune série numérique. 

Addition, soustraction, multiplication des séries. 

/ i V" 

Nombre e. — Limite de ( 1 -\- — ) pour »i infini. — Logarithmes népé- 
' m J 

liens. 

Infiniment petits. — Ordre relatif de deux infiniment petits. — Partie 
principale. — Infiniment petits équivalents. 

Dérivée dune fonction. — Différentielle première. — Représentation géo- 
métrique. — Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une fonc- 
tion de fonction. — Dérivées des fonctions simples : .<"'. a x , lo^ x, sin .r, 
cos x. tg ■ •' '. cot .r. arc sin .r, arc cos x, arc tg X, arc col x. 

Théorème de Rolle, formule des accroissements finis. — Fonction 
constante, croissante ou décroissante dans un intervalle m. Ii . — Etude 
d'une fonction en un point. — Maximum, minimum. 

Etude des variations d une fonction. — Exemples variés. 



1 5\ i y o t i: s et doc v m i: y r s 

Ponctions de plusieurs variables indépendantes. — Dérivées partielles. 
notations. 

Dérivée et différentielle d'une fonction composée. — Dérivée des divers 
ordres, cas où les composantes sont linéaires. 

Différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables. — Transformer 
son expression quand on effectue un changement de variables. 

Dérivée d'une fonction implicite Ion admettra sans démonstration l'exis- 
tence de cette fonction et de sa dérivée.. 

Théorème des fonctions homogènes. 

Fonctions primitives d une fonction donnée, leur représentation par l'aire 

d'une courbe.— Intégrale définie. — Symboles / /' |.r| dx et f f[x)dx. 

— Tableau des intégrales immédiates. « 

Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle. — Changement de la 
variable. — Intégration par parties. — Applications simples. 

Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. — Intégra- 
tion des différentielles rationnelles en .r et de celles qui s'y ramènent 1 . 

Dans la suite du cours, on appliquera les quadratures à la rectification 
des courbes, au calcul d'un volume décomposé en tranches par des plans 
parallèles, au calcul des moments d'inertie du cylindre de révolution, de la 
sphère et du parallélépipède rectangle par rapport à leurs axes de symétrie. 

Séries entières. — Intervalle de convergence. — Intégration et dérivation 
d'une série entière à l'intérieur de son intervalle de convergence. (On ne 
s'occupera pas de ce qui se passe aux limites de cet intervalle). 

Développement en série de 

1 ' T , T 1 — r 

L (1 — x) ; arc tang x: L 



1 _. r - l + . r 2' ' "' ""S ! + x ■ 

Série exponentielle, série du binôme; on peut trouver leurs sommes à l'aide 
des équations 

y' = y et y' \ 1 -|- x) = my 

Développement en série de a' et arc sin x. 

Formules de Taylor et de Maclaurin. — Développements en séries. — 
N appliquer qu'à e x , sin .r, cos ./ . 

Appliquer la formule de Taylor à 1 étude dune fonctiou en un point, à 
I étude du quotient de deux fonctions qui s'annulent pour une même valeur 
de x au voisinage de cette valeur. — Diverses formes d'indétermination. 

Formule de Taylor dans le cas de plusieurs variables indépendantes. — 
Insister sur le cas où la fonction est un polynôme entier. 

Déterminants. — Définition, développement suivant les éléments d'une 
même ligne. — Échange des lignes avec les colonnes. — Permutation de deux 
lignes. — Addition de lignes. 

Equations linéaires. 

Formes linéaires. — Conditions d indépendance. — Multiplication des dé- 
terminants. 

Homogénéité. — Rendre un système d équations entières homogène. — 



1 Chacune do ces questions sera traitée à In place toute marquée qu'elle a dans le cours. 



.Y T E S E T DOCU M E Y TS 151 

Solution finie, solution infinie d'un système. — Définition générale «lu ré- 
sultant d'un système de // 4- 1 équations entières à ri inconnues. 

Application de ee qui précède aux équations linéaires. 

Fonctions symétriques et rationnelles des racines d'une équation entière 

— Leur calcul à laide des sommes des puissances semblables des racines. 

— Notion de poids. 

Élimination d'une inconnue entre deux équations entières au moyen des 
fonctions symétriques. — Théorème de Bezout, sans examen d aucun cas 
particulier. 

Racines égales. — Conditions pour qu'un nombre a soit racine multiple 
d'ordre p d'un polynôme entier. — Discriminant. 

Abaissement d'une équation entière ayant des racines multiples. 

Autre exemple d'abaissement : équations réciproques. 

Théorème de Descartes. 

Recherche des racines commensurables. 

Résolution numérique des équations algébriques ou transcendantes. — 
Méthodes d'approximation de Newton et des parties proportionnelles expli- 
quées par des considérations géométriques. 

If. TRIGONOMÉTRIE 

Vecteurs. — Somme géométrique de vecteurs. — Valeur algébrique d'un 
vecteur. — Théorème des projections. 

Arcs positifs, arcs négatifs. — Diverses valeurs de l'arc AB. 

Définition du cosinus, du sinus d'un arc. — Projection orthogonale d'un 
vecteur sur un axe. — - Produits géométriques. 

Formules d'addition : cos [a -\- h), sin [a -\- l>\. 

Fonctions circulaires. — Relations qui existent entre elles. Variation des 
fonctions circulaires. 

Résolution des équations sin ,r=a, cos ,r = fl, etc. 

. 7T k on 

Formules relatives aux arcs x, — + .*'. n -f- x, tz — x, — + x, etc. 

X 

— Ramener un arc au premier quadrant. — Limite du rapport — — (pour 

sin.r 

a? = 0). 

Addition, soustraction des arcs (deux ou trois). — Multiplication des arcs. 

— Cas où l'on multiplie par 2 et par 3. 

Division des arcs. — Cas où l'on divise par 2 et par 3. — Résolution tri- 
gonométrique de l'équation du troisième degré. 

I sage des tables de logarithmes. — Formules logarithmiques. 

Résolution des triangles rectilignes. — Equivalence des systèmes de for- 
mules. 

Forme trigonomélrique et représentation géométrique de l'imaginaire. 

Addition, soustraction, multiplication et division des imaginaires. 

Formule de Moivre. 

Séries imaginaires. — Fonctions e" , cos c et sin r. 

Somme de sinus ou de cosinus de n arcs en progression arithmétique. 

Expression de sin",r, cos" x en fonction des sinus et cosinus des mul- 
tiples de x. — Applications au calcul intégral et aux développements en séries. 

Addition, soustraction, multiplication et division des arcs. 

Résolution trigonomélrique de l'équation binôme. 



I 5 2 N T E S ET DOC V M E N T S 

III. — GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 

1° Géométrie plane. 

Coordonnées rectilignes. — Représentation d'une ligne par une équation. 

— Exemples simples. 

Homogénéité. — Construction d'expressions algébriques. 

Formules fondamentales : cosinus directeurs d'une direction, paramètres 
directeurs. — Angle d'une droite avec o.r. — ■ Cosinus de l'angle de deux 
directions. — Distance d'un point à l'origine. 

Transformation des coordonnées. — Distance «le deux points. — Ordre 
d'une courbe algébriqne. Equation de la droite. 

Mouvements dans un plan : translation, rotation, glissement. 

Coordonnées homogènes et points à 1 infini. 

Ligne droite. — Équation. — Parallélisme. — Angle d'une droite avec 
ni . angle de deux droites. — Dislance d'un point à une droite. — Applica- 
tions. — Problèmes simples relatifs à la détermination d'une droite. — In- 
tersection de deux droites. — Faisceau linéaire. 

Aire d'un triangle. — Signes des aires. — Evaluation algébrique d une 
aire centrée. Applications aux polygones. 

Notions sur les éléments imaginaires. 

Systèmes de droites issues de 1 origine. — Droites isotropes. — Faisceau 
de droites joignant l'origine aux points de rencontre de deux lignes. 

Rapporl anharmonique. — Le rapport anharmonique est projectif. — 
Expression algébrique du rapport anharmonique. — Rapport anharmonique 
de quatre nombres. — C'est un invariant. — Condition pour que quatre 
(déments soient harmoniques. — Applications. 

Correspondance entre les points de deux séries, les rayons de deux 
faisceaux, les points d'une série et les rayons d'un faisceau. — Relation 
homographique. — Séries el faisceaux homographiques (étude sommaire). 

Cercle (coordonnées rectangulaires 1 . — Involution. 

Généralités sur les lieux géométriques. 

Etude simultanée des courbes définies par deux équations paramétriques 
x=zf(t), y = g(t),ov bien dont l'équation est résolue par rapport à l'une 
des coordonnées. ■ — Définition des courbes unicursales. — Ordre. — Tan- 
gente; normale. — Problèmes simples relatifs aux tangentes el aux normales. 

— Sous-tangente, sous-normale, tangente et normale. — Les cubiques à 
point double et les quartiques ayant trois points doubles sont unicursales. 

Construction de ces lignes. — Concavité, convexité, points d'inflexion. — 
Asymptotes. 

Arc d'une courbe. — Orientation d'une ligne. — Cosinus directeurs de 
la tangente. 

Courbure. — Rayon de courbure, centre et cercle de courbure. — Déve- 
loppée. 

Courbes algébriques. — Généralités sur les courbes du second degré : 
dérivées partielles, discriminant; mineurs du discriminant; solutions 
doubles; conditions pour qu'une courbe du second ordre se réduise à deux 



1 Je n'ai pas détaille les questions a traiter dans ce chapitre, parce qu'il m'a semblé 
qu'une étude sommaire du cercle ne prête a aucune confusion. — Même remarque pour la 
sphère. (Voir plus loin. 



.\ o / E s E t docv m i: v r s 1 53 

droites distinctes, à deux droites confondues; la forme adjointe; intersec- 
tion d'une conique avec une droite; points à l'infini; tangentes en ces 
points; les trois genres de coniques. — Intersection d'une courbe algébrique 

avec une droite. — Point simple. — Point double. — Tangente en un point 
simple. — Problèmes sur les tangentes. — Équation tangentielle. — Nor- 
males. — Appliquer ce qui précède aux coniques el donner la classification 
à l'aide des points doubles. 

Enveloppes. — Ce que représente nue équation tangentielle. 

Etude très sommaire d une courbe autour d'un de ses points. — Tan- 
gentes à l'origine. 

Recherche des asymptotes sur des exemples simples. 

Courbes du second ordre. — Classification en appliquant la méthode d<' 
décomposition en carrés; tonnes réduites; exemples numériques. — Pôle 
et polaire. — Discussion. — Transformation par polaires réciproques. — 
Centres. — Diamètres. — Directions conjuguées, diamètres conjugués. — Di- 
rections principales, axes principaux en supposant les axes rectangulaires. 
— Recherche des formes réduites; calcul des coefficients de ces formes dans 
le cas où les coordonnées sont rectangulaires. 

Foyers et directrices. — Excentricité. — Paramètre, — Recherche des 
foyers et des directrices sur les équations réduites en coordonnées rectan- 
gulaires. — Equation focale. — Sécante envisagée par rapport à un foyer 
et à la directrice correspondante. — Polaire d'un point de la directrice. 

Etude des courbes du second ordre sur leurs équations réduites. — Dia- 
mètres, diamètres conjugués, théorèmes d'Apollonius. — Cordes supplé- 
mentaires. — Tangentes, problèmes sur les tangentes. — Normales. — 
Propriétés focales et tracés qui en résultent. — Tracés spéciaux relatifs à 
l'ellipse envisagée comme projection orthogonale du cercle. — Tracés spé- 
ciaux relatifs à l'hyperbole définie par ses asymptotes et un point. — Pro- 
priétés spéciales de la parabole relativement aux diamètres, à la sous-tan- 
gente et à la sous-normale. 

Rapport anharmonique de quatre points ou de quatre tangentes d'une coni- 
que. — Divisions homographiques et divisions en involution sur une conique. 

Une conique est déterminée par cinq points ou par cinq tangentes. — 
Théorèmes de Pascal et de Brianchon. 

Deux coniques se coupent, en général, en quatre points, réels ou imagi- 
naires, distincts ou confondus, à distance finie ou infinie. — Notions suc- 
cinctes sur 1rs coniques d'un faisceau linéaire ponctuel. — Théorème de 
Desargues. 

Homothétie et similitude. 

Coordonnées polaires. — Equation de la droite. — Tangente à une 
courbe. — Asymptote. — Construction d'une courbe dont l'équation est ré- 
solue par rapport à p. 

Aire décrite par un rayon vecteur qui tourne autour de 1 origine et dont 
l'extrémité glisse sur une courbe 



i rp i r*t 

p 2 dot ou — f ut' — yx)dt. 

2 J a '- J 'o 



2. Géométrie dans l'espace. 

Coordonnées rectilignes. — Représentation d'une surface par une équa- 
tion, d une ligne par deux équations. 

L'Enseignement mathém., '" annôe . 1905 11 



1 5 1 n <> 1 1: s /■: r doc u m e n t s 

Formules fondamentales. — Les trouver avec des axes quelconques el in- 
sister sur le cas où les axes sont rectangulaires. 

Transformation des coordonnées, — Distance de deux points. — Ordre 
d'une surface algébrique; — Equation du plan. — Formules d'Euler. 

Coordonnées homogènes el points à l'infini. 

Plan. — Equation du plan. — Parallélisme. — Angle de deux plans. — 
Intersection de deux plans. — Faisceau linéaire. — Intersection de trois 
plans. — Condition pour que quatre plans passent par le même point. — 
Problèmes simples de détermination. — Distance d'un point à un plan 
(toutes les questions relatives aux angles et aux distances se traiteront avec 
des axes rectangulaires). — Applications. Rapport anliarmonique de quatre 
plans appartenant à un même faisceau linéaire. 

Volume du tétraèdre. — Signe d'un tel volume. 

Ligne droite. — Equation. — Parallélisme. — Angle de deux droites. — 
Angle d'une droite et d'un plan. — Applications. — Intersection d'une 
droite et d'un plan. — Condition pour que deux droites se rencontrent. — 
Distance d'un point à une droite. — Perpendiculaire commune à deux 
droites, plus courte distance. 

Etude sommaire de la sphère (axes rectangulaires). 

Courbes gauches. — Ordre d'une courbe algébrique. — Courbes unicur- 
sales. — Cône projetant une ligne d'un point de l'espace. — Cubique 
gauche. — Tangente. — Plan oscillateur. — Courbure. — Plan tangent à une 
surface en un point. 

Surfaces algébriques. — Intersection d'une surface algébrique avec une 
droite qui tourne autour d'un point. — Point simple. — Point double ou 
conique. — Plan tangent en un point simple, tangentes inflexionnelles. — 
Applications aux surfaces du second ordre. — Problèmes simples relatifs 
aux plans tangents. — Cône ou cylindre circonscrit. — Applications aux 
surfaces du second ordre et, en particulier, les classer à l'aide des points 
doubles qu'elle peuvent avoir. 

Génération des surfaces. — Quelques généralités. — Enveloppes. — No- 
tions sur les surfaces réglées et les surfaces développables. — Cylindres. 

— Cônes. — Surfaces de révolution. 

Surfaces du second ordre. — Intersection avec une droite. — Points à 
l'infini. — Plans asymptotes. — Cône directeur. — Homothétie. — Sections 
planes. — Classification en genres d'après la nature du cône directeur. — 
Classification en espèces par la décomposition en carrés. — Equations ré- 
duites. — Construction des cinq formes principales. 

Pôle et plan polaire. — Discussion. — Points conjugués. — Plans con- 
jugués. — Droites conjuguées. 

Centres. — Discussion. — Distribution des plans asymptotes. 

Plans diamétraux. — Discussion. — Diamètres. — Directions conjuguées 

— Diamètres conjugués. — Formes des équations réduites. 

Directions principales ; plans principaux. — Axes principaux. — Equation 
en S. — Calcul des formes réduites principales par une transformation de 
coordonnées (axes rectangulaires). 

Conditions pour qu'une surface du second ordre soit de révolution. 

Plans cycliques. 

Etude des surfaces du second ordre sur les équations réduites. — Cons- 
truction. — Sections planes. — Sections circulaires. — Plans diamétraux. 

— Diamètres. — Théorèmes d'Apollonius. — Plan polaire. — Plan tangent 



Y T E S E l DOCXJ M E \ / S I 55 

— Normale. — Problèmes relatifs aux plans tangents. — Génératrices 
rectilignes. — Les surfaces du second ordre soni unicur sales. 

Etude géométrique de L'intersection de deux quadriques. 

Problèmes simples de détermination. 

IV. — MÉCANIQUl 

Cinématique du point. 

Idée de mouvement, système de comparaison, relativité du mouvement. 

— Temps positifs et négatifs. 

Mouvement rectiligne d'un point, uniforme, varié, uniformément varié. — 
Vitesse. — Accélération. — Mouvement vibratoire simple. 

Mouvement curviligne. — Vitesse. — Hodographe. — Vecteur accélé- 
ration. 

Accélérations tangentielle et centripète. — Diagrammes des espaces, des 
vitesses, des accélérations tangentielles. 

Mouvement rapporté à des axes de coordonnées rectangulaires ou obliques 
et à des coordonnées semi-polaires. 

Changement du système de comparaison. — Composition de> vitesses; 
composition des accélérations bornée au cas où le mouvement du système 
de comparaison est un mouvement de translation. 

Dynamique. 

Point matériel libre. — Principe de l'inertie. — Définition de la force et 
de la masse : F =/«y.. — Relation entre la masse et le poids. — Invaria- 
bilité de la masse. — Unités fondamentales. — Unités dérivées. 

Equations fondamentales de la dynamique. — Mouvement d'un point sou- 
mis à l'action d'une force constante en grandeur et en direction. — Mouve- 
ment d'un point sous l'action d'une force issue d'un centre fixe : 1° propor- 
tionnelle à la distance; 2o en raison inverse du carré de la distance. 

Principe de l'indépendance des effets des forces. — Composition des 
forces appliquées à un point matériel. 

Travail d'une force, travail d'une résultante, d'une force pour un dépla- 
cement résultant. — Théorème de la force vive. — Surfaces de niveau. — 
Champs et lignes de force. — Energie cinétique et énergie potentielle d'un 
point placé dans un champ de force. 

Point matériel non libre. — Mouvement d un point pesant sur un plan 
incliné avec et sans frottement, la vitesse initiale étant dirigée suivant la 
ligne de plus grande pente. — Pression totale sur le plan ; réaction du plan. 
— Petites oscillations d'un pendule simple sans frottement ; isochronisme. 

Homogénéité. — Dimensions d'une vitesse, d uue accélération, d'une force. 
d'un travail, d une quantité de mouvement, d'une force vive. 

Statique. 

Statique du point. — Equilibre d'un point matériel libre, d'un point ma- 
tériel assujetti à rester sur une courbe fixe ou sur une surface fixe, avec ou 
sans frottement. 

Statique du corps solide — Systèmes en équilibre. — Systèmes équiva- 
lents. — On peut appliquer à un corps solide, sans changer son état, deux 



1 56 -Y T E S E T DOCUM E N T S 

forces égales, opposées el ayanl la même ligne il action. — Déplacement du 
poinl d'application il nue force. — Forces équivalentes. 

Composition des forces parallèles. — Centre des forces parallèles. — 
Centre de gravité. — Moments par rapport à un plan. — Conditions d'équi- 
libre d'un système de forces parallèles. 

Théorie <les couples. 

Moment vectoriel d'une force par rapport à un point. — Moment par rap- 
port à un axe. — Moment résultant d'un système. 

Réduction des forces appliquées à un corps solide. — Résultante générale, 
couple résultant ou moment résultant. — Conditions d'équilibre. — - Condi- 
tions d'équivalence. — Réduction à deux forces. 

Équilibre d'un solide invariable qui n'est pas libre. — Cas d'un point 
lixe. d'un axe fixe avec OU sans glissement le long de cet axe. de un. deux 
ou trois points de contact avec un plan — Réactions. 



E. II. 



Cours universitaires. 



Paris; Faculté des siences (Cours du 2 me semestre, à partir du mercredi 
1 er mars 1905). — E. Picard: Des fonctions de plusieurs variables (2 leçons 
par semaine). — Goursat: Des Equations différentielles et des Equations 
aux dérivées partielles (2 leçons et une conférence). — Paul Painlevé : Lois 
générales du mouvement des systèmes, la mécanique analytique, l'Hydros- 
tatique et l'Hydrodynamique (2 leçons). — P. Appell : Eléments de la méca- 
nique il leçon), (progr. du certif. de math, géuér.i. — M.L. Raiey: Les mé- 
thodes d'Intégrations (quadratures et équations différentielles), et leurs prin- 
cipales applications (2 leçons) — Axdoyer : Ensemble des matières com- 
prises dans le programme du Certificat d'Etudes supérieures d'Astronomie 
(2 leçons). — J. Boussinesq : De l'Equilibre de l'Elasticité de la sphère. 
Propagations du mouvement à partir d'un centre dans un milieu élastique et 
homogène indélini (2 leçons). — G. Kœnigs : Des principes de I Elasticité. 
Essais mécaniques et résistances des matériaux (2 leçons). 

Hadamard : Coiiférence sur le calcul différentiel et le calcul intégral (une 
leçon). — Rai iv . Conférence sur la Géométrie supérieure en vue du cerli- 
lirat il leçon). — ■ Hadamard: Conférence sur l'analyse supérieure en vue du 
certificat il leçon). — Hadamard el Borel: Conférence sur la mécanique ra- 
lionellc (2 leçons;. — Blutel : Conférence de mathématiques préparatoires au 
certificat des Siences physiques. — Servant: Conférence et travaux pra- 
tiques .le mécanique physique et expérimentale. 

Copenhague; Université (l re semestre de 1905, I lévrier au 9 juin). — 
T.-N. Tiiiei.e : Astrophysique, 2 h. ; Calcul numérique, 'i h. — C. Christi- 
wxin: Capillarité, 2 h. — H. -G. Zeuthen : Calcul infinitésimal. 6 h. ; Coor- 
données homogènes, I h.-. Excercices sur l'histoire des Mathématiques, 1 h. 

— Julien l'i iuma: Théorie générale des groupes, i h. — Niels Nielsen : 
La fonction gamma, \ h. — C. Juel: Courbes algébriques et graphiques, 2 h. 

— P. II égard : Hydrodynamique, 2 h. — M.-C. Engell: [{élevés de plans el 
arpentages anciens du Danemark, 1 h. 



BIBLIOGRAPHIE 



Atti del Congresso internazionale di Scienze storiche (Roma, L-9 Aprile 
1903) Vol XII. Ani délia Sezioni \ III : Si. nia délie Scienze bsiche, mate- 
matiche, uaturali e mediche. — Un vol. in 8°, XXIV 330 p., prix : 
L. 10. — : Tipbgrafia d. H. Accademia dei Lincei, Revue, 1904. 

L'Enseignement mathématique a publié un rapport 1res complef sur les 
travaux mathématiques (in Congrès des Sciences historiques, tenu " Rome 
en 1903; il avait été rédigé par notre distingué collaborateur M Ernest 
Lebon. Délégué par le ministre français de l'Instruction publique. Nous pou- 
vons donc nous borner à signaler simplement par leur litre les mémoires 
mathématiques contenus dans le l. XII des Comptes rendus du Congrès. 
Nous relevons d'abord dans les rapports les titres suivants: 

Tankery : Propositions ayant pour but d activer le progrès de l'Histoire 
des sciences. 

Bardizzi, Giacosa, Lokia : In quale modo ed in quale mesura la Storia 
délia science possa costituire oggetto di un corso universitario. 

Loria : Un' impresa nazionale di universale intéresse (publicazione délie 
opère di Ev. Torricelli). 

Daiis les communications : 

Cantor (Moritz) : Hieronymus Cardanus, ein wissenschaftliches Lebens- 
bild aus dem XVI. Jahrhunderl. 

Dakvai (M.): Vita di Giovanni Bolyai. 

Vacca iGiov.i: Sulla Storia délia numerazione binaria. 

Lrbon (Ern.l: Plan d'une bibliographie analytique dis écrits contempo- 
rains sur l'histoire de 1 Astronomie. 

Lampe iEui.i: Das Jahrbucb ûber die Fortschrilte der Mathematik ; Rùck- 
blick u. Ausblick. 

MciiKi; (Felixj : Ueber mat lieinatische Zeitschriften. 

Loria & Enestrôm : Ueber kulturhistorische und rein fachmàssige Be- 
handlung der Geschichle der Mathematik. 

Tannery iP.i : Sur 1 Histoire des mots analyse el synthèse en mathémati- 
ques. 

Vailati : La dimostrazione del principio délia leva data da Archimede nel 
libro primo sull equilibrio délie figure piane. 

Pittarelli: Intorno al libro «De perspettiva pingendi » di P. dei Fran- 
ceschi. 

v. Braunmûhl : Beilrage zur Geschichle der Integralrechnung. 

IL F. 

Eugenio Beltrami. — Opère Matematiche, publicate per Cura délia I •".!- 
cultà di Scienze délia R. Università di Roma. Tomo secondo. — 1 vol. _ 

in-4". 486 p. : prix L. 25. — : Ulr. Hcepli. Milan. 1904. 

Le tome II des Œuvres de Beltrami contient les mémoires publiés par le 
savant géomètre de 1867 à 187o dans divers périodiques, principalement 



1 5 8 />' I H LIO G RA P H I E 

ilans les Memorie deli Accademia délie Scienze deli Istituto di Bologna, 
dans le Rendiconti del Renie Istituto Lombardo, dans le Giornale di Ma- 

tematiche, etc — Ces mémoires, au nombre de dix-neuf, peuvent être ré- 
partis en trois catégories. Les uns, el ce sont les plus nombreux, ont 
pour objet la Géométrie des surfaces, où Beltrami a laissé tant de beaux 
travaux. On y trouve notamment quelques-unes des remarquables rerher- 
ches sur les paramètres différentiels. D'autres mémoires traitent de la 
théorie des formes algébriques ; c'est d'abord le grand travail intitulé 
Ricercke sulla (ieonietria délia forma binarie cubiche, puis un mémoire 
salle funzioni bilineari. .Mais on sait que Beltrami a également laissé d'im- 
portants travaux appartenant au domaine de la Physique mathématique. On 
trouvera réunis dans ce volume une série de belles recherches sur la ciné- 
matique des fluides et divers mémoires d'éleelrod ynamique. 

H. F. 

C. Block izu Côpeuick). — Lehr-und Uebungsbuch fur den planimetrischen 
Unterricht an hôheren Schulen. I. Teil ; Quarla, 1 vol. cari., 70 p., prix: 
M. 1.— ; B. G. Teubner, Leipzig, 1904. 

Le petit manuel, très soigné au point de vue typographique, l'est égale- 
ment pour ce qui est de la coordination et de l'exposition des matières qu'il 
renferme. Il comprend: I. Notions fondamentales (révision des notions étu- 
diées dans la classe V) ; IL des angles et couples d'angles; III. le triangle ; 
IV. le quadrilatère. Le texte, à la fois clair et concis el sans développements 
inutiles, est accompagné d'un grand nombre (691) d'exercices el de pro- 
blèmes. La notation est uniforme el appliquée d'une manière logique ; tou- 
tefois nous ne comprenons pas l'avantage qu'il y a décrire « compl. « » et 
« suppl. p » à la place de « 90°-a » et de 180°-/3 » (p. 6). Il est regrettable 
d autre part que les récents manuels de Géométrie aient amené une certaine 
confusion dans la dénomination des divers groupes d'angles déterminés par 
deux parallèles et une transversale. Ainsi, M. Block désigne sous le nom de 
Stufenwinkel « les angles généralement appelés « Gegenwinkel » (angles 
correspondants), tout en conservant ce terme dans une signification nou- 
velle. Quant au reste, ainsi que nous l'avons dit au début, ce petit manuel 
est très bien conçu et rendra de grands services dans les classes auxquelles 
il est destiné. Ernest Kali.er (Vienne). 

E. Carvallo. — Leçons d'électricité. 1 vol. XIV, 259 p., 203 ûg., Prix 
10 fr. : Librairie polytechnique Ch-. Béranger, Paris, 1904. 

Parmi toutes les branches de la Physique, I Electricité est incontestable- 
ment la plus importante à 1 heure actuelle au point de vue des applications 
De là. pour les jeunes gens qui se destinent à la carrière d'électricien, 
résulte I impérieuse nécessité de s'assimiler les éléments de la science qui 
les intéresse. La chose ne va pas sans quelque difficulté ; une préparation 
mathématique préalable esl assurément nécessaire; mais il ne s'agit pas de 
tonner des savants, et ce n est pas à des savants qu'on s'adresse. Le but esl 
de former des ingénieurs capables de comprendre et de résoudre les pro- 
blèmes que la pratique leur posera ; ils ne doivent être, ni de simples pra- 
ticiens, ni des savants de laboratoire. 

Or, dans la littérature pourtant si considérable de l'électricité, depuis 
quelques années, il serait bien difficile de signaler un ouvrage d'enseigne- 
ment qui réponde véritablement au besoin que nous venons de signaler. 



BIBL 10 GRAPHIE 159 

Plusieurs sonl fort remarquables ; mais les uns doivent être regardés 
comme des livres de haute science, exigeant des connaissances antérieures 
dépassant de beaucoup la moyenne des lecteurs auxquels ils s'adressent ; 
"d'autres se présentent comme de. simples manuels, utiles assurément, mais 
insuffisants pour foi-mer des ingénieurs. 

Le livre de M. Carvallo vient combler la lacune. Il a deux grands mérites, 
à notre avis ; le premier, c est de présenter le tableau d'un enseignement 
effectif, car les Leçons dont il s'agit ont été professées et non pas seulement 
écrites; le second, c'est d'inaugurer une méthode nouvelle cpii — nous citons 
les expressions mêmes de l'auteur- — « cherche la clarté dans une exposition 

bien ordonnée des lois expérimentales, et dans leur identification avec les 
■ lois de la mécanique ». 

Cette méthode est suivie d un bout à l'autre <l<- l'ouvrage avec une attention 
soutenue qui se révèle dès les premières pages. Le chapitre de début, inti- 
tulé « Le courant électrique ». commence en effet par un paragraphe, lès 
Lois de la Mécanique, auquel on se référera sans cesse ensuite. La préoccu- 
pation d'établir un rapprochement, une identification pour ainsi dire, entre 
le fonctionnement dune installation électrique et celui d nue machine, est 
constamment visible. 

Une analyse minutieuse apprendrait peu de chose au lecteur, et m- tarde- 
rait pas à présenter un caractère fastidieux. Il nous paraît préférable d'ap- 
peler 1 attention sur un certain nombre d'observations pouvant avoir une 
certaine utilité. 

La première a trait à l'ensemble du premier chapitre, dont nous venons 
de dire un mol. Il faut y voir une sorte d'introduction générale, et ne pas 
se laisser rebuter par quelques passages dont la concision pourrait laisser du 
doute dans l'esprit à une première lecture. Tout s'élucidera, tout s éclairera 
ensuite. Et il faut bien reconnaître qu'en procédant autrement, 1 auteur 
ii aurait pu jeter dès le début sur l'ensemble cette lumière philosophique 
qui l'éclairé, si je puis ainsi parler. Pour trop soigner les détails, il eût plus 
ou moins sacrifié 1 ensemble. 

Il est bon d'avertir aussi les lecteurs en possession de la Mécanique ration- 
nelle, qui pourraient se sentir dès 1 abord uu peu dérangés de leurs habitudes 
classiques. Ils ne retrouveront pas ici le point matériel, cm ne leur définira 
pas la masse comme un quotient; mais ce qui fait le fond de la Mécanique 
reste solide et inattaquable. La forme seule est changée — heureusement 
changée à notre avis. C est ici une Mécanique de bon sens, vraiment ration- 
nelle celle-là, fondée sur l'expérience, sur l'observation des faits, et appelant 
le calcul à son aide quand elle en a besoin. 

Les mathématiciens se sentiront particulièrement intéressés parla lecture 
du S 1 er du Chapitre III, intitulé vecteurs, cycles et flux. On y trouve en 
quelques pages les éléments essentiels d'un calcul géométrique inspiré à la 
lois des idées de Hamilton et de Grassmann, et sous lequel certains chapitres 
de la Physique ne peuvent guère être soumis à l'analyse mathématique san> 
s'exposer à de grandes et inutiles complications. 

J'ai, à ce sujet, retrouvé (p. 95) une notion que j'avais indiquée moi-même 
il y a quelques années, celle d'un cycle gauche, .le la croyais alors nouvelle, 
et je me (rompais ; d'autres, avant et après moi. ont commis la même erreur. 
I. idée, intéressante au point de vue purement géométrique, d'attacher à 
toute courbe formée une grandeur et une orientation qui viennent se con- 
fondre avec Faire si la courbe devient plane, me semble plus qu utile dans 



1 60 /; / /,' LfO C. R A P NIE 

les théories physiques qu'étudie M. Carvallo ; il la présente en quelques 
lignes avec une simplicité et une clarté extrêmes. 

En terminant, je me bornerai à reproduire les titres des cinq chapitres qui 
composent L'ouvrage: I Le courant électrique: — II Distribution des cou- 

rants el des forces électro-motrices; — III Electi tagnétisme : — IX ln- 

duction électro-dynamique ; — V Electrostatique. 

Je souhaiterais que ers rapides réflexions pussent amener des lecteurs à 
une œuvre originale, bien ordonnée, el qui m'a paru correspondre aux besoins 
d'un enseignement nouveau. Avec un peu d'attention el de persévérance, ils 
trouveront, je le crois, grand profil à celte méthode d'exposition, el il esl 
souhaitable que l'auteur puisse taire école, que d'autres n'hésitent pas à 
suivre le sillon ipi'il vient de tracer. C.-A. La.isa.kt. 

George Bruce Halsted. — Rational Geometry, a Text-book for the Science 

ot Spaee. — In vol. in 1*2, VIII -\- 285 pages, 247 ûgures, John Wiley 
& Sons, .New- York. 1904. 

Les récents et si remarquables travaux de M. Hilbert sur les fondements 
de la géométrie, magistralement analysés par M. Poincaré dans ses articles 
de la Revue des Sciences et dans son Rapport sur le 3 e concours du prix 
Lobatschefsky (1903), ne pouvaient manquer à bref délai d'éveiller l'atten- 
tion des géomètres et d'exercer une influence profonde et décisive sur leurs 
ouvrages. On devait certainement s'attendre à voir publier des Traités di- 
dactiques dont les hardis el érudits auteurs, rompant résolument avec les 
habitudes el traditions de plus de vingl siècles, essaieraient d'harmoniser 
1 enseignement de la géométrie avec les idées nouvelles. Malgré que M. Hil- 
berl eût pris déjà lui-même soin d'indiquer et de jalonner d'une manière 
précise la roule à suivie, la tâche était loin d'être aisée. Elle devait attirer 
particulièrement M. George Bruce Halsted. le savant professeur de Kenyon 
Collège, un des plus ardents défenseurs de la géométrie générale aux "Etats 
l nis, bien connu par ses nombreuses publications dans les Revues « Science » 
el c American Mathematical Monthly», et surtout par ses belles traductions 
anglaises de Saccheri, Bolyai et Lobatschefsky. La « Rational geometry » 
de M. Halsted, encouragée par M. Hilbert. marque une époque dans l'histoire 
des livres destinés à l'enseignement. Nous allons analyser en détail les 
chapitres de cet ouvrage. 

Pour constituer une géométrie vraiment rationnelle, deux choses étaienl 
indispensables: en premier lieu, établir une liste complète îles axiomes en 
s efforçant de n en oublier aucun; ensuite, supprimer totalement le rôle de 
l'intuition qui a occupé jusqu'ici une place telle en géométrie que nous fai- 
sons dans cette science presque à chaque instant usage de propositions in- 
tuitives sans nous en apercevoir le moins du monde. Dans ce but, les 
axiomes qui expriment les relations mutuelles pouvant exister entre les êtres 

géi ïtriques, point, droite, plan, espace, ont été suivant la méthode de 

.M. Hilbert. répartis en cinq groupes: Connexion ou association, ordre, con- 
gruence, axiome îles parallèles ou d'Euclide, axiome d'Archimède ou de 
continuité. 

Dans le chapitre I. M. Halsted définit les ('•1res géométriques el expose 
les sept axiomes de connexion. De ces axiomes découlent naturellement les 
proposil ions habituelles. 

Deux droites distinctes ne peuvent avoir deux points communs. 

Deux droites distinctes ont un point commun ou n en oui aucun. 



BIBLIOGRA PHIE 161 

Deux plans distincts oui en commun une droite < uni aucun poinl 

commun. 

Un plan el nue droite qui n'y esl pas située oui un poinl commun ou 
aucun. 

Par une droite el un poinl, on deux droites qui oui un poinl commun, on 
peut faire passer un plan el un seul. 

Dans le chapitre II viennent, an nombre de quatre, lis axiomes de l'ordre 
qui précisent l'arrangement des points caractérisé par le mot entre. Ces 
axiomes sont complétés par la définition du segmenl qui ne «loi! éveiller au- 
cune idée de mesure: Deux poinl- A et Bde la droite A définissent le ser- 
inent AB ou BA : les points de la droite situés entre A et B sont les points 
du segment. De là la distinction entre les deux torons d une droite séparés 
par un poinl, entre les deux régions du plan séparées par une droite. — 
Points intérieurs et extérieurs à un polygone. — .Notons pour mémoire 
l'axiome 4 ou axiome de Pasch. Si A, B et C saut trois points non col- 
linéaires et a une droite du pion ne passant par atteint d eux, lorsque a ren- 
ferme un point du segment A B. elle en a un attire sur BC ou sur A C 
Il est évident que si le plus petit rôle était laissé à l'intuition, on ne son- 
gerait pas à énoncer cette proposition dont on fait inconsciemment un si 
fréquent usage. 

Le chapitre III développe les axiomes de congruence : segments, angles, 
triangles, et l'auteur y formule en ces termes précis le théorème général de 
congru ence. 

Si ABC... A'B'C... sont deux figures congruentes. et que P désigne nu 
point quelconque de la première, on peut toujours trouver de façon uni- 
vaque dans lu deuxième un point P' tel que les figures ABC... I*. A'B'C 
.... P' soient congruentes. 

Ce théorème exprime 1 existence d'une certaine transformation unique el 
réversible qui nous est familière sous le nom de déplacement. La notion 
de déplacement est donc basée sur celle de congruence, ce qui est absolu- 
ment logique. 

Le chapitre suivant esl consacré à I axiome de la parallèle unique e1 
aux propositions qui en sont la conséquence. La plupart sont classiques, 
nous n'y insistons pas ; mais il en est d autres que n< us avons en jusqu ici 
l'habitude de considérer comme intuitives et cpii ne le sont pas. M. Halsted 
les démontre avec raison: ce sont celles-ci : Tout segment a un point milieu : 
tout angle a un rayon bissecteur. 

Chapitre Y. — Circonférence. 

Chapitre VI. — Problèmes de Construction. Toutes les constructions dé- 
coulant des théorèmes basés sur les cinq groupes d axiomes peuvent être 
graphiquement résolues par la règle et le transporteur de segments 
(Streckenùbertràger de .M. Hilbert) et ramenées à ces deux tracés fonda- 
mentaux: Tracer une droite: prendre sur une droite donnée un segment 
donné. 

Chapitre VII. — Egalités et inégalités entre côtés, angles el arcs. 

Chapitre VIII. — Calcul des Segments. En se basant sur les axiomes des 
groupes I, II, IV et en mettant systématiquement de côté 1 axiome d'Archi- 
mède dont on s'est passé dans ce qui précède et dont on peut également se 
passer dans ce qui suit, on arrive à créer, indépendamment de toute pré- 
occupation métrique, un calcul de segments où les opérations sont identiques 



I»>2 BIBLIOGRAPHIE 

à celles des nombres. Sommes el produits de segments. Sommes d'arcs et 
d'angles. 

Chapitre IX. — Proportions et similitudes. Deux triangles sont dits 
semblables quand leurs angles sont respectivement congruenls. Il eût fallu 
dire là un mol de l'exislenee de tels triangles: c'est nue lacune bien facile 
i combler. La similitude conduit naturellement an théorème de Thaïes et 
aux proportionnalités qui eu découlent. 

Chapitre X. — Equivalence dans le plan. La mesure îles aires planes peut 
être obtenue sans le secours de l'axiome d'Archimède parce que deux poly- 
gones équivalents peuvent être considérés comme sommes algébriques de 
triangles élémentaires en même nombre et deux à deux congruenls, quoique 
de dispositions différentes. Par définition l'aire d'une triangle égale le demi 
produit de la base par la hauteur; deux polygones équivalents oui même 
aire et réciproquement. Théorème de Pythagore et carrés construits sur les 
côtés d'un triangle. Le chapitre se termine par nue note historique courte, 
mais intéressante sur le nombre 7r. 

Chapitre XL — Géométrie du plan, différant peu de notre cinquième livre 
usuel. 

Le chapitre XII est consacré aux polyèdres et volumes. M. Halsted com- 
mence à bon droit pas le théorème d'Euler ; il appelle par définition volume 
du tétraèdre le tiers du produit de la base par la hauteur, et prouve que 
le volume d'un tétraèdre égale la somme des volumes des tétraèdres en 
lesquels on le partage d'une façon quelconque. L'auteur examine 
quatre méthodes de division particulières, la division la plus générale peut 
être obtenue au moyeu de ces dernières, et il en est de même pour un 
polyèdre. 

Les chapitres XIII et XIV nous donnent l'étude de la sphère, du cylindre 
et du cône, avec le mesure «le leurs surfaces et volumes. Pour le volume 
de la sphère, l'on fait usage de I axiome de Cavalieri: Si deux solides com- 
pris entre deux plans parallèles sont coupés par un plan quelconque paral~ 
lèle aux deux premiers suivants des aires égales, ils ont même volume. 

Chapitre X^ . Sphérique pure ou Géométrie à deux dimensions sur la sphère : 
Ce Chapitre ne pouvait manquer de trouver ici sa place. M. Halsted y pré- 
cise d abord ce que deviennent à la surface de la sphère les axiomes d'asso- 
ciation, d ordre et de congruence, il en déduit simplement et naturellement 
les propriétés élémentaires, trop négligées dans renseignement, des tri- 
angles sphériques. 

Trois notes terminent l'ouvrage, et sont relatives : l'une à un théorème de 
I ordre, la deuxième au compas, et la troisième à la solution des problèmes. 

Ainsi qu'on le voit par celte analyse, le livre de. M. Halsted constitue une 
innovation el une tentative de vulgarisation des plus intéressantes. Pour lui 
donnei plus de poids auprès des étudiants à qui il est destiné, l'éminent pro- 

sseurde Kenyon Collège y a ajouté 700 exercices formant un choix excel- 
lent et varié. .Nous souhaitons à cet ouvrage' de notre distingué ami tout le 
succès qui] mérite. P. Bah.ba.rin (Bordeaux). 

K. Marcolongo. -- Teoria matematica dell' equilibrio dei corpi elastici. 
n os 348-349 des Manuali Hœpli. — 1 vol. in 16°, prix L. 3. — ; Hœpli, 
Milan. 1904. 

Ce n est que depuis peu d'années que la théorie de l'équilibre des corps 
élastiques a commencé à se rendre pratiquement utile ; dans le passé, à 



BIBLIOGRAPHIE 163 

cause «les méthodes mêmes qui La gouvernaient, elle était à peu près réduite 
à une spéculation théorique, à une succession de tentatives qui avaient pour 
lnii la recherche «les valeurs «le résistance de certains corps. El cela devail 
certainement se prolonger jusqu'au momenl dans lequel la mécanique ana- 
lytique n'aurait trouvé une base rationnelle, quittant toute discussion oisive 
sur l'Ecole et le Cartésianisme, sur les théories atomistiques et «elles péri- 
patéticiennes. Beaucoup de savants se consacrèrent à l'étude «les doctrines 
physiques de l'élasticité pour les acheminer sur une voie «pii pouvait les 
amener au progrès ; mais noirs devons arriver jusqu'à Poisson pour aper- 
cevoir une tendance capable de donner des résultats utiles. La définition 
<\rs pressions comme résultantes des actions moléculaires exercées sur une 
partie des points matériels qui composent un système par les autres points 
matériels du même système donnée par ce savant à propos «le la tension di s 
membranes élastiques [Mémoire sur les surfaces élastiques, 181 i) fut celle 
qui contribua surtout aux progrès de la théorie. Celte définition, développe- 
ment «I une pensée de Laplace, permit à Navier d'énoncer pour la première 
fois les conditions de l'équilibre élastique des corps [Académie des Science* 
de Paris, 1821 1 et à Cauchy d'étendre aux corps non isotropes les résultats 
obtenus par Xavier, bien que, au sujet des pressions, ce savant ne laisse de 
manifester sa tendance à retenir équivalentes les idées de Poisson avec 
celles plus anciennes de Lagrange. Jusqu'à nos jours celte conviction fui 
maintenue par beaucoup de savants : Saint-Venant ne cessa jamais de la dé- 
fendre et M. Boussinesq, son disciple fidèle, ne considère en mécanique que 
les résultantes des actions moléculaires et non les forces de liaison [Leçons 
synthétiques de Mécanique générale, Paris, 1889). De nos jours cette théorie 
a fait des progrès très grands, s'acheminant rapidement au perfectionnement 
«les méthodes qu'on applique a l'élude de la résistance des corps : elle 
forme pour ce motif un cours des plus utiles pour les ingénieurs. 

Mais telle qu'on la trouve dans les recherches classiques de Saint-Venant 
sur la flexion el la torsion des prismes, de Boussinesq et de Hertz sur la 
dureté des corps, ou dans celles plus récentes de Cerruti, Levi-Civita, 
Somigliana, Morera, etc., elle ne peut pas former un cours ordonné <■( utile: 
le besoin d un traité résumant en même temps les recherches classiques et 
les travaux modernes se faisait vivement sentir ; il était surtout désirable 
que ce traité se rende particulièrement utile aux ingénieurs dont les connais- 
sances mathématiques ne sont pas très étendues. La tâche bien difficile fut 
entreprise par M. Marcolongo, le savant professeur de l'Université de Mes- 
sine, et le résultat fut ce livre d'une valeur scientifique et didactique très 
remarquable. 

Celui qui jette ses regards sur les litres des chapitres peut tout de suite 
voir que 1 auteur a tenu peu de compte du développement historique du 
sujet, et j'estime qu'en raison même du but de ce manuel il a bien tait de 
préférer l'ordre logique à Tordre historique. 

Les corps élastiques traités dans ce volume sont ceux à trois dimensions ; 
et comme l'auteur désire que le lecteur puisse recouvrer le plus grand 
profit de la lecture du livre, il a consacré trois chapitres, les trois premiers, 
à des théories mathématiques qui. quoique de la plus grande importance en 
physique, ne sont pas assez développées dans les cours universitaires : ce 
sont les théories des fonctions harmoniques el polvharmoniques. Les lem- 
mes de Gauss et de Green sont développés seulement dans ce qui peut inté- 
resser le reste du volume, c'est-à-dire seulement jusqu'à la détermination 



164 /://!/. 10GRAPHIE 

de la fonction de Green d'ans des cas simples ci à la solution de la question 
des valeurs sur le contour pour le cercle, pour la sphère, pour un demi- 
plan el pour un demi-espace indéfini. La transformation de l'équation 
As» = o. fait l'objet d'une étude très approfondie. Puis l'auteur passe rapi- 
dement en revue quelques-uns des principaux résultats obtenus par des 
géomètres el physiciens modernes, signalant particulièrement la question 
proposée el résolue par M. Painlevé ' (déterminer trois Ion ci ions xi, vi, si, de 
X, v. : et une fonction 7'' de u X, v. z, avec la condition que substituant xi, 
etc. aux x, v. etc. dans //. qui vérifie A2 = 0, la fonction F vérifié aussi 

l'équation A2 ^= qui a conduit lord Kelvin à la propriété F ~ —, n 

éiaiii la distance d'un point de l'origine, et à la généralisation suggérée par 
M. Volterra d'un intéressant théorème de M. Levi-Civita, si (/ est une fonc- 
tion des n variables .n. *'« harmonique du degré m, et si I on fait une inver- 
sion définie par les équations x'i = Xi : r 2 , la fonction u = // : r-" 1 —" sera 
elle-même harru inique du degré m par rapport aux x [Atti R. Ist. Veneto, 
1897-98). 

Le deuxième chapitre est consacré à la théorie de la fonction potentielle 
de Green 2 , et que Gauss 8 appelle tout simplement potentiel. Celte théorie, 
d'importance capitale dans toute la physique mathématique et qui doit son 
origine à Laplace, comme Legendre l'affirme dans le t. X des Mémoires des 
savants étrangers, est singulièrement négligée par le plus grand nombre des 
traités d'Analyse et dans les cours universitaires. lien résulte que beaucoup 
d'ingénieurs ne connaissent rien d'une telle fonction, pas plus que des fonc- 
tions harmoniques, ce qui les empêche de tirer parti des théories modernes 
de la Physique. Des formules fondamentales, l'auteur passe rapidement el 
directement aux relations les plus remarquables, parmi lesquelles je veux 
rappeler celle donnée par M. Morera qui conduit directement à la célèbre 
formule de Poisson, 

A.» Vi = A2 Vo = — 4 7T k . 

et au théorème classique de Dirichlet. Cela permet à l'auteur d amener le 
lecteur par une voie plus simple que celle qui est suivie ordinairement, à 
l'étude de la fonction potentielle d'un ellipsoïde homogène par rapport à un 
point intérieur ou extérieur, obtenu par E. Beltrâmi (Mémoires de l'Aca- 
démie de Bologne, 1. 1880) et qui a donné lieu à de remarquables mémoires 
de MM. Pizetti et Morera [Rend. Ac. d. Lincei, 1894). La fonction poten- 
tielle d'une couche simple et d'une couche double donne aussi lieu à rail- 
leur de signaler les belles recherches de Poincaré et Liapounoff el des Ila- 
liens Lauricella et Morera. 

Mais de même que l'auteur a justement estimé nécessaire de parler avant 
tout de la fonction potentielle, il était logique qu'il dût de même s'arrêter 
sur un autre point, également indispensable au développement de la théorie 
des corps élastiques, et c'est pour cela qu'il a voulu consacrer le troisième 



' Travaux el mémoires de la Faculté des Sciences de Lille, I. 1880. 

2 An Essay on the application of mathe/natical Analysis to the théories of Electricity and 
Magnétisai. — Nottingham, 1820. — Réimprimé dans le Journal de Crelle, t. XLIV el 
XLVII. 

3 Allgemeint Lehrs&tze in Beziehung auf die Un verkehrten l'crfuï finisse des Quadrats der 
Entfernnng wirkenden Anziehungs- und Abstossungskràfte. lîesultate ans don Beobach- 
tnngen des inaarnetischen Vereins im Jahre, 1879. 



BIBLIOGRA PHIE 165 

chapitre à la mécanique des corps continus. Ce chapitre, avec le deuxièmi 
sont les plus remarquables du livre pour le soin toul particulier avec lequel 
l'auteur expose dans ''ensemble el dans les détails les plus remarquables, 
dos théories qui ordinairement demandent bien plus de connaissances ma- 
thématiques. 

En parcourant ces trois premiers chapitres, le lecteur constatera combien 
l'auteur a su présenter d'une manière à la fois claire el simple des ques- 
tions qui ne se prêtent guère à une exposition élémentaire. Ces trois cha- 
pitres suffiraient pour assurer le succès scientifique du traité. 

Mais nous voici enfin au sujet du livre, à la théorie mathématique de 
l'équilibre élastique des corps isotropes [ck. IV) el anysotropes (ck. V) dont 
le principe fondamental, « ut tensio sic \'is », complètement expérimental, 
fut. donné par Hooke en 1660 el que Werlheim, Morin, Edlung, etc.. assu- 
jettirenl à de nombreuses expériences. J. O. Thomson, qui dans ces derniers 
temps s'en occupa aussi, suggéra d introduire des termes du troisième 
degré dans les composantes de déformation. .M. Marcolongo déduit les 
(•([nations de l'équilibre des corps isotropes suivant les mémoires classiques 
de Xavier, Lamé, Poisson, Cauchy, c'est-à-dire en fonction des deux 
constantes \ et ft [constantes de Lamé). Tout récemment .M. le professeur 
Cerruti a siibstilué deux nouvelles constantes II et w définies par les 
relations 



qui ont un sens physique très important. — Quant aux corps anysotropes, 
la détermination des équations de leur équilibre peut se faire par un pro- 
cédé dû à Cauchy et qui est une extension de celui de Xavier, ne présuppo- 
sant ni l'analyse des pressions, ni celle des déformations : mais l'auteur 
préfère une méthode plus en relation avec l'expérience et commune à plu- 
sieurs théories physiques. D'après celte méthode les lois de l'élasticité sont 
déduites suivant un procédé indiqué par Green, c'est-à-dire de l'idée de po- 
tentiel d'élasticité et des principes de la thermodynamique. Ce chapitre 
contient un résumé de la théorie moléculaire du professeur Voigt qui sup- 
pose la matière formée d'un ensemble de corps très petits, c'est-à-dire dis- 
continue. M. Marcolongo place à la fin du chapitre le théorème de récipro- 
cité de M. Betti {Théorie de l'élasticité, chap. IV) dans la forme que lui a 
donnée M. Levy : « si un corps élastique est assujetti à deux systèmes de 
forces, le travail accompli par les forces du premier, lorsque les déplace- 
ments sont ceux qui appartiennent au deuxième, est égal au travail accompli 
par les forces du deuxième lorsque les déplacements sont ceux qui appar- 
tiennent au premier ». Ce théorème est l'un des plus importants dans la 
théorie de l'élasticité pour ses uoinbreuses applications et amène à une 
méthode remarquable pour intégrer les ('([nations de l'équilibre des corps 
isotropes et qui prend le nom de ce savant. 

Dans ses lignes générales est aussi considéré le problème de l'équilibre 
élastique quand les déplacements ou les pressions superficielles sont données : 
pour létude complète de la question, dans ce cas et dans beaucoup d'autres 
on peut voir la thèse de doctorat de M. le professeur Lauricella. M. Cerruti 
a aussi obtenu un théorème, mentionné à la page 236, et qui apporte de 
notables simplifications dans plusieurs cas particuliers. Ce théorème, tout 
à fait nouveau, qui fait dépendre tout problème d'équilibre, de la détermi- 



166 BIBLIOGRAPHIE 

nation de trois fondions harmoniques, peul s'énoncer en disant que « les 
composantes de déplacement d'un corps élastique isotrope peuvent toujours 
s exprimer à l'aide de trois fonctions harmoniques seulement ». — Le lec- 
teur trouvera encore dans ce même chapitre un résumé très bien fait de 
certaines recherches modernes sur les équations de l'élasticité, dues à MM. 
Lauricella, E. et F. Goursat, .1. Fredholm, Somigliana, Gebbia et à M. 
Marcolongo lui-même. 

Nous voilà maintenant au problème très intéressant de Boussinesq et 
Cerruti (page 245) : déterminer la déformation d'un solide isotrope indéfini 
lorsqu'on donne sur le plan limite, 1° les déplacements ; 2° les forces ; 3° 
les déplacements normaux et les forces langentielles, ou réciproquement. — 
Ce problème avait été résolu par MM. Lamé et Clapeyron au moyen des 
séries, dans ces dernières années MM. Boussinesq et Cerruti ont pré- 
senté des nouvelles solutions par des formules plus simples et plus élé- 
gantes. L'auteur de ce traité indique encore deux autres méthodes de solu- 
tion, dont l'une est de M. Somigliana qui en fit l'application à des questions 
nouvelles. Toutefois celles-ci pouvaient aussi se résoudre par des intégra- 
tions, comme l'a montré M. Marcolongo (Rend. Ac. Lincei, 1902). 

Au chapitre VIII est traitée une autre question qui depuis Lamé a attiré 
1 attention des physiciens; celle de la déformation d'une sphère isotrope. La 
première solution avait conduit Lamé à mettre en vue plusieurs propriétés 
des séries doubles qui trouvèrent ensuite de remarquables applications 
dans certains problèmes d'astronomie. Lord Kelvin, et peu après M. Chree 
ont considéré la question plus générale de la sphère assujettie à l'action de 
forces dérivables d'un potentiel qui satisfait à l'équation de Laplace, expri- 
mant les composantes orthogonales du déplacement par des séries simples. 
La solution par des intégrales définies fut donnée pour la première fois en 
1873 par M. Borchardt et après par MM. Somigliana et Cerruti, qui indi- 
quèrent des méthodes particulières d'importantes applications. M. Marco- 
longo a lui aussi, indiqué d'élégantes solutions des problèmes composés, 
lorsque, sur la surface limite on donne une partie des déplacements et une 
des forces, ou les déplacements et les forces normales, et réciproquement. 
La méthode de résolution, simple et directe, que l'auteur expose dans ce 
traité, est celle que M. Almansi a indiqué dans son mémoire « Sur la défor- 
mation de la sphère élastique » (Mém. Ac. de Turin, XLVII, 1897); mais il 
signale aussi en peu de mots la solution donnée par M. Lauricella et celle 
plus récente donnée par M. Tedone. — Les nombreuses indications biblio- 
graphiques données dans ce chapitre comme aussi dans les autres, sont un 
ijuide très utile à ceux qui désirent recourir aux sources des théories ou 
approfondir davantage les questions traitées. 

Un autre problème d'élasticité d'une grande importance par ses applica- 
tions pratiques, mais qui présente de remarquables difficultés, est celui de 
la déformation d'une pièce cylindrique. Le cas général avec 1 hypothèse ((iu- 
le cylindre est sollicité par des forces distribuées arbitrairement sur les 
deux bases, n'a pas encore été résolu. L attention des savants s'est limitée 
à la considération de certains cas particuliers, dont l'un porte le nom de 
problème de Saint-Venant. La solution indiquée par M. Marcolongo dans 
son traité est modelée sur celle donnée par Clebsc.h (Théorie der Elasticitdt 
fester Korper, 1862), mais simplifiée et adaptée à ceux qui ont en vue les 
applications pratiques. La question de la déformation des plaques cylin- 
driques, que l'auteur appelle le problème complémentaire de celui de Saint- 



/;//;/. ÏOGRAPHIE 167 

Venant et qui avait été proposé el résolu par Clehsch, for l'objet du 

dixième chapitre. Enfin le dernier chapitre esl entièrement consacré aux 
problèmes de M. le professeur Voigt. Ces problèmes sont une généralisation 
de celui de Saint-Venant ; ils permettent d'assigner «les méthodes générales 

à la détermination des constantes élastiques des cristaux et mil des appli- 
cations très importantes dans l'étude des phénomènes prézoélectriques d un 
cylindre cristallin. 

Dans ce compte rendu, je me suis efforcé à mettre en évidence 1 impor- 
tance des questions abordées par M. Marcolongo et l'excellente coordination 
didactique avec laquelle elles ont été étudiées. Je suis certain que son ou- 
vrage sera accueilli avec beaucoup de faveur par les mathématiciens et les 
ingénieurs. 

Ci;. Alasia (Tempio, Sard.) 

J. Tropfke. — Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer 
Darstellung. Erster Band, 8», VIII-332p., 1902; Mk. S.—. Zweiter Band, 
VIII-496 p.. 1903: Mk. 12.— ; Veil & Co., Leipzig. 

Le Tome Premier de cet Ouvrage comprend deux parties : le Calcul el 
Y Algèbre; le Tome II en comprend douze : Géométrie. Logarithme';. Trigo- 
nométrie plane. Sphérique et Trigonométrie sphérique, Séries. Intérêts com- 
posés, Analyse comhinatoire et calcul des probabilités. Fractions continues. 
Stéréométrie. Géométrie analytique. Sections coniques, Maxima et Minima. 
Sur ces quatorze parties les six premières embrassent 612 pages, tandis que 
les huit dernières n'occupent que 160 pages. Comme on le voit, ces diffé- 
rentes parties n'ont pas été traitées de la même manière, tout au moins au 
point de vue quantitatif. Xous reconnaissons qu il est juste que la plus 
grande place soit accordée au Calcul, à l'Algèbre (étude des équations), à la 
Planimétrie (c'est ainsi que devrait être intitulée la o"' e partie, et non pas 
c Géométrie » ) et à la Trigonométrie, mais nous n'en estimons pas moins 
que la plupart des autres parties sont trop restreintes par rapport aux pre- 
mières. Quant à l'ordre adopté par l'auteur, il soulèvera également des 
critiques de la part de bien des lecteurs. On comprend que les Logarithme* 
précèdent la Trigonométrie : mais on ne s'explique pas pourquoi les Séries. 
les Intérêts composés. l'Analyse comhinatoire et les Fractions out été inter- 
calés entre la Trigonométrie sphérique et la Stéréométrie. 

Quant à la façon dont sont traitées ces différentes parties, notamment les 
six premières, nous ne pouvons exprimer que des éloges ; pour tous ceux 
qui voudront glisser quelques notes historiques, çà et là, dans leur ensei- 
gnement, cet Ouvrage constitue une mine très précieuse ; ils s'orienteront 
très facilement dans les différents chapitres. L'auteur a d'ailleurs eu soin 
d'ajouter une table alphabétique et une analytique : toutefois celle-ci pour- 
rait être encore plus riche; on y omet, entre autres, l'indication des dé- 
monstrations à induction complète. 

Le mode d'exposition adopté par fauteur devait inévitablement donner 
lieu à des répétitions ; mais, il eût été possible d'en diminuer le nombre et. 
par ce fait, l'étendue du volume. Ainsi, on retrouve dans la section C (le dé- 
veloppement de la notion de nombre) de la deuxième Partie les chapitres 
« ie nombre un», «le nombre zéro », « le nombre fractionnaire •>. qui figu- 
rent déjà dans la première Partie, section A (les noms de nombres, les chif- 
fres) et dans la section D (les fractions). Il eût donc suffi de faire entrer les 
nombres négatifs, irrationnels et complexes dans la section C de la deuxième 



168 /;//;/. 10GRAPHIE 

Partie, el de réunir dans la première Partie (le Calcul) lout ce qui concerne 
le zéro, le nombre un el les nombres fractionnaires. En outre l'auteur re- 
prend à la p. I MO (T. Il, sous une forme plus réduite il csl vrai, le dévelop- 
pement de l'Algèbre depuis Diophante aux Cossistes de l'Occident en pas- 
sant par les Hindous, tandis que celle question a déjà été examinée p. 12!) 
à 130, puis de nouveau p. 146-151 ; aux pages 246 et. 247 revient, sous la 
même forme. Valdjebr walmukâbala déjà mentionné p. 152, etc. 

Nous axons enfin à critiquer la façon dont sonl rappelées les notes bio- 
graphiques des mathématiciens; nous nous bornerons à indiquer quelques 
exemples : pour L. Eulek on retrouve 22 fois la note (1707 Bascl-1783. Pe- 
tersburg, Berlin, Petersburg), rédigée de sept manières différentes ; pour 
Lambert on a 12 fois la noie : |J 728-1777, Oberbaural u. Akademiker in Ber- 
Jini, mais ou ne voit nulle part OÙ il esl né, el ce n'est que dans II. p. 133, 
que figure la mention des prénoms « Joli. Heinrich » ; pour Diophante on 
lii 21 lois: (drittes bis viertes Jahrh. n. Chr.), même deux lois de suite 
p. 158 ei 159; pour Gbammateus on apprend seulement p. 190 qu'en réalité il 
s appela Heinrich Schreiber et qu'il était d'Erfurt, bien qu'il ail déjà été 
eité 18 fois. On voit, par ces exemples, qu'une meilleure disposition dans 
lis notes eût permis «le diminuer sérieusement l'étendue du volume. L'au- 
teur aurait pu se borner à donner une seule fois les renseignements biogra- 
phiques, éventuellement un peu plus complets, et d'indiquer ceux-ci dans la 
table alphabétique en accompagnant par exemple le numéro de la page d'un 
astérisque. 

On comprend aisément que dans un Ouvrage tel que»celui-ci où sonl ac- 
cumulés tant de renseignements historiques, il devait se glisser inévitable- 
ment quelques erreurs. Outre celles qui ont déjà été signalées par .M. G. 
Enestrôm et que le lecteur trouvera dans Bibliotheca mathematica 1901!. 
p. 213-218. el 1904, p. 404-412. j'ai relevé encore les suivantes : 

Tome I. /;. 8- " le symbole pour le zéro esl d'origine hindou-arabe»: il 
v a lieu de supprimer •< arabe ». 

P. 35 : Ici l'auteur parle d'un Manuel de calcul de Mohammed ibn Mousà 
Alehvvari/.nii et cite au bas de la page dans la note 119 une traduction an- 
glaise : The algebra of Mohammed hen Musa. éd. F. Rosen, etc.; cette note 
n appartient pas à cette place. 

P. 'il. etc. : » Pergae » n'est pas correct : eu grec ce nom de lieu s'écrit 
Tzeoyy], en lai. Perga ou Perge ; dans l'Ouvrage de Cantor on trouve également 
la forme incorrecte. 

P. 81: •> La dénomination de Fraction f Bi;ucli i remonte au numerus ruptus 
de Léonard : les Arabes possédaient déjà le terme kesrzzz fraction, el c'est 
à eux (pie l'a emprunté Léonard. 

P. 163: Gerhard de Cremona a utilisé, déjà avant Léonard, le terme de 
communicans pour commensurable, el pour irrationnel le mot sur dus (ce 
dernier point a déjà été cité par Enestrôm I. c. p. 216). 

P. Js~: Nous ne nous expliquons pas la note biographique sur Gerhard 
de Cremona <■ 1114 Andalousie — 1187 Tolède)>: d'après une source an- 
cienne ei non contestée Gerhard est de Cremona en Italie. 

P. Q09 .Vous ne comprenons pas pourquoi 1 auteur donne pour l'extraction de 

s/ — bV a 
la racine cubique d après Héron la formule incorrecte \y A z=. a A 7= 

11 v ' A + bVa 

lavec 6 au lieu de l>\ donnée par Curtze (Zeits. f. Math. u. Phvs. Bd. 42, p. 1 19) 

au lieu de donner la formule correcte de Wertheîm libid Bd. 44, p. 2). 



BIBLIOGRAPHIE 169 

P. \! l'J : Gemma Frisius 1 1 < • s t pas le premier qui, dans l'extraction de la 
racine carrée, forme l'expression 'la -\- l> l> en écrivant le quotient h à la 
droite du diviseur ef en multipliant le nombre obtenu par ce quotient . 
c'est ce que fit déjà un Arabe de l'Occident, Abu Zakarijâ al Hassâr, proba- 
blement au XII*' siècle (v. Biblioth. Mathem. 1901. p. 22 et 23 

P. 213 ■ « Avant Stifel, on ne trouve pas de racines portant sur des som- 
mes algébriques > ; ou en rencontre cependant déjà dans l'Algèbre intitulée 
Al-Fakhrî et due à AI-Karchî (v. l'édition publiée par F, VVœpcke, Paris, 
1853. p. 54 et 55 1. 

P. 215 : Il faut lire gho/ia initia au lieu de varga ghaua. 

Ihid. : <• Gubâr — Calculer » n est pas correct : gubâr signifie « pous- 
sière u et hisâbl-gubâr veut dire « calcul sur le tableau à poussière ». 

P. 255 .' La mention d après laquelle des auteurs arabes racontent que 
l'astronome Hipparque aurait écrit un mémoire sur les équations du second 
degré, est vague, sinon incorrecte : d'abord dans les écrits arabes il n'est pas 
question d équations quadratiques, mais d'un « Livre sur l'Algèbre » ; en 
second lieu, on donne des interprétations très variées pour Je nom d'Hip- 
parque dans Ibn al-Qifti et dans le Fihrist, on peut aussi bien lire « Ibn 
labjà » que « Hipparque » : enfin, en troisième lieu, l'article consacré à 
Hipparque dans le Fihrist est entièrement gâté, eu ce qu il a été fondu en 
un seul avec un article sur Diophante (v. Bibl. Mathem. 1903, p. 298 et 299, 
Abhandlgn. z. Gesch. d. mathem. Wissenschaften, VI, p. 54 et 55). 

P. 268 et 'Jfj9 : En parlant de la marche suivie par Viète dans la résolu- 
tion des équations x -j- y = a et xy = b, l'auteur aurait dû rappeler qu'elle 
avait déjà été suivie par Diophante, d'autant plus qu'il en est précisément 
question à la page 248. 

P. 282: L'auteur dit que 1 onn est pas parvenu à reconstruire le procédé de 
Gijàt ad-din al-Kàschî pour la détermination des racines numériques appro- 
chées d'une équation du 3 e degré ; il est cependant fort probable que ce 
procédé ait été reconstitué dans le mémoire de J.-P. Grain, Essai sur la 
restitution du calcul de Léonard de Pise sur léquation i s -\- 'l.r 2 -\- 10. e 
= 20 (dans Owersigt over det K. D. Yidenskab. Selskabs, 1893, p. 18-28). 

P. 296 : Après avoir mentionné 37 fois le nom de « Diophante » l'auteur 
ne devrait plus écrire « nous devons à un mathématicien grec Diophante, etc. 

P. 30i : « ou p est soumis à la condition d'être un nombre impair » n'es! 
|jas correct. 

P. 305 : La remarque que « dans trois nombres de Pythagore l'un est di- 
visible par 3, l'autre par 4 et le 3 e par 5 », n'est pas correcte ; par ex. 5. 12, 
13! 

Ihid . : Il y a lieu de préciser le théorème d'après lequel « il n'y a pas de 
triangle rectangle dont 1 aire soit exprimée par un nombre carré parfait » : 
il s agit naturellement d'un triangle rectangle de Pythagore ou à côtés ration- 
nels ». 

Tome II. P. i3 : Fn parlant de la résolution de la trisection de l'angle par 
Jordanus Nemorarius, l'auteur aurait dû dire qu elle est empruntée pres- 
que textuellement au Liber trium fratrum de Geometria, cité immédiatement 
au-dessus. 

P. 44 . Si d'autre part (I, p- 50 etc.! Josl Bùrgi est mentionné comme 
suisse. Fauteur aurait pu le faire ici pour J. Steiner ; on apprend seulement 
que a le grand géomètre allemand » était à Berlin, mais on ne lit pas où il 
est né, ni où il est mort. 

L'Enseignement mathem.. T 1 annee : 1905. 12 



170 BIBLIOGRAPHIE 

P. .">,')' : Les cinq espères de pentagones que l'auteur indique ici d'après 
H. Wolf ne sonl nullement les seuls ; il manque par exemple le pentagone 
ayant trois couples de côtés qui se croisent; à ce point de vue le mémoire 
cité de Wolf est incomplet. 

P. ~)9 : « D'après Proclus c'est à Thaïes qu'il faut attribuer la découverte 
qu'un cercle est partagé en deux parties égales par tout diamètre; » ce pas- 
sage de Proclus ne devrait plus être cité, car il est évident qu'une vérité 
aussi élémentaire était connue déjà longtemps avant la culture grecque. 

P. Il : « Pour ce qui est de deux droites auxiliaires qui fournissent les 
deux triangles égaux dans la démonstration du théorème «le Pylhagore, des 
auteurs arabes ont montré plus tard qu'elles sonl perpendiculaires entre 
elles » ; mais cela n'est pas démontré à l'endroit cité (Anaritius edid. Curtze, 
p. 78 et suiv.). 

P. 13 : Il y aurait lieu de mentionner ici que la démonstration arabe du 
théorème de Pythagore d'après Anaritius est due à Tàbit b. Qorra. 

P. 11k : Après proportion III il faut lire : « le rapport du rayon au demi- 
côté, etc. ». 

P. 191 : A côté des traductions arabes et hébraïques de la Sphérique de 
Menelaûs, il y a lieu de citer aussi des traductions latines. 

P. 210 : Ici l'auteur parle d'un « ouvrage de Sphérique » de Maurolykus ; 
il aurait dû ajouter que c'est la sphérique de Menelaûs. 

P. 211 : D'après nos connaissances actuelles, on ne trouve chez lui (Abû'l- 
Wafa) aucune table (des sécantes et des cosécantes) pas plus que chez les 
autres, auteurs arabes » ; cela n'est pas juste d'après les recherches récentes 
de C.A. Nallino (Edition d'Al-Battânî, Milan, 1903, T. I, p. 182), car dans 
les tables de Ahmed b. Abdallah al-Habasch il y a une table des cosécantes. 

P. 21k : H n'est pas juste de dire : « Pour le sinus de l'angle complémen- 
taire les Hindous possédaient le terme Kotijyà ; on cherche en vain un pa- 
reil terme chez les Arabes et les mathématiciens du Moyen âge jusqu'au 
16 me siècle. » Cette erreur repose sur ce que l'auteur semble ignorer d'une 
part la signification du mot Kotijyà, d'autre part la terminologie mathéma- 
tique arabe. Ce terme est un mot composé hindou et signifie « sinus de la 
fin (de l'arc) » ou « sinus du complément (de l'arc pour 90°) » ; ceci a été 
traduit par les Arabes d'une manière tout à fait correcte, par «watar 
(corde) at-tamàm» (Al-Battànî), ou djaib (sinus) at-tamàm » (Nassir addin) = 
corde ou sinus de la fin ou du complément (de l'arc) ; et à son tour vient la 
traduction exacte, au moyen âge, en « sinus complementi ». Il n'y a pas de 
meilleure preuve du passage de la Trigonométrie des Hindous aux Ara- 
bes, puis de ceux-ci à l'Occident, que la parfaite coïncidence dans leur si- 
gnification des trois termes : 

Kotijyâ = djaib at-tamàm = sinus complementi (= cosinus). 

P. 234. On a cru jusqu'ici que le principe des sinus dans le cas d'un 
triangle plan remonte seulement à Nassir-ad-din ; mais, d'après C. A. Nal- 
lino, dans son édition du Batlàii!, on voit que ce théorème est signalé comme 
connu déjà dans la Chronologie de Birûni (mort en 1048). (Trad. angl. de 
Sachau, p. 166), il est probable que Al-Baltàni le possédait déjà (v. Bibl. 
math.. 1904, p. 81 et 82). 

P. 253: Il n'est pas aussi évident, comme l'auteur le croit, que la méthode 
numérique dans la résolution des problèmes de la sphérique soit due aux 
Babyloniens. 

P. 32(1: L'affirmation suivant laquelle Omar Alkhayyâniè aurait connu les 



B ULL E TIN BIBLIO G H A l> II I Q UE 171 

puissances supérieures de a -+- l> ne peut pas être acceptée en toute certi- 
tude, 

P. 369-404 : Ces pages sont consacrées à la Stéréométrie ; l'auteur a en- 
core pu tenir compte de la récente édition de la Metrica de Héron (Edid, 
Sehone, Leipzig, 1903), tout au moins pour les annotations ; mais il a omis 
de citer différents points de cet intéressant ouvrage, par ex. les jolies ap- 
plications entièrement exactes, au sabol cylindrique (p. 131) et à la déter- 
mination du volume commun à deux cylindres dont les axes sont perpen- 
diculaires |p. 133) ; toutes deux ont été empruntées par Héron à un écrit 
d'Archimède intitulé Ephodicon, mais qui a été perdu. 

P. 447: Il y a lieu de mentionner qu'il existe aussi des écrits arabes sui- 
tes propriétés optiques des foyers des coniques ; par ex. ceux de Ibn al- 
Haitam (mort en 1039) . 

C'est par ces notes que nous terminerons notre compte rendu de cet ou- 
vrage qui rendra de grands services à tous ceux qui, reculant devant le prix 
élevé des trois volumes de 1 Œuvre de Cantor, désirent avoir sous la main 
un ouvrage sur le développement historique des mathématiques élémentai- 
res : d'une consultation très facile, l'ouvrage de M. Tropfke offre d'une ma- 
nière générale d'excellents renseignements. 

H. Suter I Zurich). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . Sommaire des principaux périodiques : 

Acta Mathematica, Journal rédigé par G. Mittag-Leffier. T. xxix. Beijer, 
Stockholm. 

Fasc. I. — G. Hessenberg : Ueber einen geomelrischen Calcul (Verknû- 
pfungs-Calcùl). — L. Haxni : Ueber die Beziehungen zwischen der Darstel- 
lung eines eindeutigen Zweiges einer monog. Function dure h H. Mittag- 
Leffier, der Méthode der Mittelwerte des H. Borel und der Transformation 
des H. Lindelôf. — A. Gvi.lstrand : Zur Kenntniss der Kreispunkte. 

Fasc. 2. — Mittag-Lei i ler : Sur la représentation analytique d'une 
branche uniforme d'une fonction monogène (cinquième note). — E. Lindelôf : 
Remarques sur un théorème fondamental de la théorie des ensembles. — 
A. Wiman : Ueber den Fundementalsatz in der Théorie der Funktiouen 
E.* É (x). — J. Malixqvist : Etude d'une fonction entière. 

Armais of the raathematics, published underthe Auspices ofHarward Unî- 
versity, second séries, Cambridge. Mass. 

Vol. 5. n° 4. July 1904. — B.-O. Peirce : Some Elementary Theorems 
Concerning the Steady Flow of Eleetrieity in Solid Conductors. — R.-E. Al- 
larcide : On a Linear Transformation, and some Systems of Hypocycloids. 

— G.-D. Birkhoff and H. -S. Vandivek : On the Intégral Divisors of A"-B". 

— Kennely : Two Elementary Constructions in complex Trigonometry. — 
S. -A. Corey : Note on Slirling's Formula. — G. -A. Miller : Note on Sylow's 
Theorem. — P. Saurel : The Condition for a Plait Point. 



172 B U L I. E T I N HIBLIO G li A PHI Q i E 

Vol. 6, n° 1, Octoher 190'». — G. -A. Miller : On the subgroups of an 
Abclian Group — W.-P. Fite : Note <>n the continued Producl ol the Ope- 
rators of any Group of Finitc Order. — IX. -B. Wilson : Réduction of an 
Elliptic Intégra] to Legendre s normal Form. — A.-B. Pierce : The Neees- 
sarv and sufficienl Condition under wich two linear homogeneous diflèren- 
tial Equations bave Intégrais in common. — ■ G Macloskie : A General Method 
of Evaluating Déterminants. — L.-E. Dickson : Application of Groupa to a 
Complex Probleni in Arrangements. — B. Porter : On Formations Defined 
by an Infinité Séries of Analylic Functions of a Complex Variable. 
Atti délia Reale Accademia dei Lincei. Anno CCCI, Rendiconti. V r ol. XIII. 

Juillet-décembre 190î, Rome 

N° 1. — Almansi : Sopra i conduttori, cavi. 

N° 2. — Barbieri : Sulla rappresentazione in modo conforme-coniugato di 
due superficie di rbtazione 1 una sull'altra. — Flbini : Sui gruppi di 
proiettivita. 

N° 3. — Somigliana : Le deformazioni ausiliarie nei groblemi alterni 
d'equilibi'io elastico. 

N° 5. — Severi : Sulle superficie algebriche clie posseggono integrali di 
Picard délia seconda specie. — Fubini : Sui gruppi di prdiettivita. 

N° 6. — Bianchi : Sulle equazioni di Moutard con gruppi di soluzioni 
quadratiche. — Pascal : Sulle equazioni difl'erenziali per i risultanti e dîs- 
criminanti di forme binarie. 

N° 8. — Dell'Agnola : Sulla distribuzione délie radici délia Jerivata di 
una funzione razionale intiera. 

N° 9. — Pascal : Sopra le equazioni differenziali relative a cerli cova- 
rianti di forme algebriche (estensione di alcune ricei-che di Brioschi e 
Betti). 

N° 10. — Boggio : Sulla deformazione délie piastre elastiche cilindriche 
di grossezza qualunque. — Grocco : Sulla stabilita dei dirigibili. 

N° 11. — Millosewich : Osservazioni délia cometa di Eucke. — Oklando 
Sulla deformazione d'un diedro isotropo d'ampiezza sottomultipla di jt. — 
Nielsen : Sur la multiplication de deux séries de coefficients binomiaux 

N° 12. — Ern. Pascal : Snl sistema di certe for mole di Betti estese. — 
Lauricki.la : Sulle foi-mole clie danno deformazione di una siéra elastica 
isotropa. — G. Fubini : Una questione fondamentale per la teoria dei gruppi 
e délie funzioni automorfe. — G. Picciati : Sulle funzioni polenziali elicoi- 
dali. 

Bibliotbeca Mathematica, Zeitschrifl fur Geschichte der mathematischen 
Wissenschaften ; herausgegeben von <i . Enestrôm , in Stockholm. 
B.-G. Teubner, Leipzig. 3 Folge, 5. Band. 

2. Heft. — H. -G. Zeuthen : Sur l'arithmétique géométrique «les Grecs •■! 
des Indiens. — C.-K. VVallm:h : Entwickelungsgeschichtliche Momenle bei 
Entstehung der Infinitesimalrechnung. — (i. Loria : Luigi Cremona et son 
œuvre mathématique. — G. Enestrôm : Isl es zweckmâssig, dass mathema- 
tische Zeitschriflenartikel datiert werden ! 

'.\. Heft. — F. Hultsch : Die Sexagesimali eclmungen in deu Scholien zu 
Euklids Elementen. — E. Gerlanb : Ueber die Erfindung der Pendeluhr. — 
P. Enestrôm : Der Briefwechsel zwischen Leonliard Euler und Johanu I 
Bernoulli. — F. Mûller Das Jahrbuch iiber die Fortschritte «1er Mathe- 
matik 18G9- 1904. — G. Enestrôm : Welche Forderungen sind an Rezensionen 



/; III. g / / .V !i I II I. I O G /.' APHJQUE 17.3 

mathematischer Arbeiten zu stelfen? — ; Kleine Bemerkungeo zur zweiten 
Auflage voo Cantors « Vorlesuogen àber Gescbichte ■1er- Mathematik ». 

'i. Hefl — P. Du hem : In ouvrage perdu cité par Jordanus de Nemore 
le Philotfchnes. — Ant. Favaro : Nuovo ricerche sul matematico Léon. Cre- 
monese. — H. Bosmans : Note sur la trigonométrie d'Adrien Romain. — A. 
v. Braunmûbl : Beitrage zur Geschichte der Integralrechnung bei Newton 
und Cotes. — Er. Hoffmann : Die Entwieklung der verschiedenen Problème 
der Maxima der Anziehung. — G. Ekestrôm : Ein neues Hilfsmittel zur 
Verbreitung mathematiscb-historischer Kenntnisse. 

Bulletin de la Société mathématique de France. T. xxxu, Sorbonne, Paris. 

Fasc. 2. — M. Petbovitcb : Remarques sur les zéros des Fonctions entières. 

— M. Petrovitcw: Sur les fonctions représentées par une classe étendue d'in- 
tégrales définies. — P.-J. Si char : Sur les «quai ions différentielles réciproques 
du second ordre. — J. de Séguier : Sur certains groupes de Mathieu. — 
R. Bairf. : Sur les séries à termes continus el tons de même signe. — G. Fos- 
texê : Les six équations distinctes du triangle en métrique aninvolntive. — 
G. Humbert : Sur les tétraèdres inscrits el circonscrits à des quadriques. 

Fasc. 3. — J. Clairix : Remarques sur l'intégration de certaines équations 
aux dérivées partielles du second ordre. — M. de Mon nui i il : Séparation 
analytique d'un système de rayons incidents et réfléchis [suite). — F. Lu< is 
Sur les dérivées modulaires des polynômes. — F. Lucas : Sur les dérivées 
modulaires des polynômes. — M. d'Ocagxe : Sur la résolution nomogca- 
phique générale des triangles sphériques. — L. Lévy : Sur les déplacements 
d'une figure invariable dans lesquels les différents points de la figure dé- 
crivent des lignes sphériques. — F. Genty : Note de Géométrie vectorielle 
sur les systèmes orthogonaux. 

Fasc. ». — H. Lebesgve : Une propriété caractéristique des fonctions di- 
ctasse un. — J. Hadamard : Résolution d'un problème aux limites pour les 
équations linéaires du type hyperbolique. — R. Bricard : Sur nne certaine 
classe de cubiques gauches et sur des systèmes articulés qui s'y rattachent. 

— G. Fontkné : Siir 1 extension du théorème des polygones de Poncelel à 
1 espace, par des polyèdres de genre un. — M. Potron : Sur quelques 
groupes d'ordre /A — M Potron: Les gp"< ip premier) dont tous les 
g pm-2 sont abéliens. — G. Remoundos : Sur les fonctions entières de genre 
fini. 

Bulletin of the American mathematical Society, New-York, 2 e série. 

Vol. XI. n" 1 (Oct. 1904). — V. Snydkr : On Developable and Tubular 
Surfaces haviûg spherical Lines of Curvature. — G. A. Miilf.fi : Addition to 
a Theorem due to Frobenius. — E. J. Wilczynski : On Self-Dual Scrolls 

— J. L. Coolidge : The Opportunities for Mathematical Study in Italy. — 
E. B. VVilsox : Vector Analysis (Comptes rendus bibliog 

N° 2 (Nov. 1904 1 . — W. Haskkll et H. S. White : The eleventfa Summer 
Meeting of the Ara. math. Soc. — G. A. Miller : The october Meeting of 
the San Francisco-Seclion. — E. B. Wilson : The Fonndations of Mathe- 
matics. (A propos de l'ouvrage de M. Russell.) 

No 'A (Dec. L904). — F. N. Cole : The oci Meeting of the Am. math. - 

— Maxime Bôcher : The Fuodamental Conceptions and Methods of Mat hé- 
maties. — James Pierpont : The History of Mathematics in the Nineteenlh 
Century*. — !.. E. Dickson : De Séguier's Theory of Abstracl Groups. 



I : i B U I. L E TIN B 1 1( I. I O G H A P II 1 Q UE 

Jahrbuch ùber die Fortschritte der Mathematik, herausgegeben von Km. 

Lampe. Band xxxiii, Jahrg. 1902. (i. Reimep, Berlin. 

Heft. 3. — Das Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik. Rûcklick 
u. Ausblick, von Emil Lampe. — Mechanik. — Mathem. Physik. — Geo* 
<l;isie. Astronomie, Météorologie. 

Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, in Monatsheften 
herausgegeben von A. Gutzmer, in Joua. — 13. Band, 1904. 

Heft (>. Juni. — P. Stackel :' Angewandte Mathematik und Physik an den 
deutschen Universitaten. — H. Geissler : Zur Auffassung der unendlieh- 
kleinen Grossen. — F. Bernstein : Erkliirung i u dem Aufsatz von K. Geissler : 

Zur Auffassung der unendlichkleinen Grossen ». — Félix Klelx : Hundert 
lahre mathematischen Unterrichts an den hôheren Schulen Preussens. — 
A. Prikgsheim : Ueber Wert iind angeblichen Unwert der .Mathematik. 

Heft 7-9. Jnli, August, September. — L. Kœnk;sbkkgi:k : Carl-Gustav- 
.lacob Jacobi. — H. -A. Schwarz : Ansprache bei der Jaeobileier. — 
\j. Pkandti. : Ueber die physikalische Richtnng in der Vektoranalysis. — 
F. Marotte: Les récentes réformes de renseignement des mathématiques 
dans l'enseignement secondaire français. — F. Klein : Mathematik, Physik, 
Astronomie an den deutschen Universitaten in den Jahren 1893-1903. - 
M. Ca:vtok : Ueber einen \. Band von Cantor's Vorlesungen ùber Geschichte 
der Mathematik. 

Heft 10-12. Oktober, November, Dezember. — L. Heffter : Dritter inter- 
nationaler Mathematiker-Kongress in Hèidelberg vom 8. bis 13. August 
190i. ■ — Die dem 3. internationalen Mathematiker-Kongress zu Hèidelberg 
vorgesehlagenen Resolutionen. — A. Gutzmer : liber die auf die Anwendun- 
gen gerichleten Bestrebungen im mathematischen Unterricht der deutschen 
Universitaten. — P. Stackel : Die Notwendigkeit regelmassiger Vorlesun- 
gen iiber Elementar-Mathematik an den Universitaten. — W. vow Dyck : 
Einleitender Berichl iiber das Unternehmen der Herausgabe der Encyclo- 
pâdie der mathematischen Wissenschaften. — G.-Z. Giambelli : Sul princi- 
pio délie conservazione del numéro. — A. Calveira : Note sur les rapports 
polygonaux. — L.-E. Dickson : On lbe minimum degree of resolvents for 
the p-seclion of the periods of hyperelliptic functions of four periods. — 
Gutzmer : Berichl iiber die Jahresversammlung in Breslau. 

Journal fur die reine u. angew. Mathematik, herausgegeben von K. Hensel. 
B. cxxix ; G. Reimer, Berlin. 

llitt I (mit einem Bildnis Dirichlets). — R. Dedekind : Ueber binâre tri- 
lineare Formel) u. die Komposition der biniiren quadr. Forinen. — IL Weber : 
Ueber komplexe Primzahlen in Lînearformen. — D. Hilbert . I eber das 
Dirichlet'sche Princip. — K. Hensel : Ueber die zu einem alg. Kôrper ge- 

hôrigen (nvarianten. — Mirimanoff: Sur la- relation ( - ) = (1)"" et la loi de 

réciprocité. 

Mathesis. Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales, publié par 

P. Ma.nsion et J. Neurerg. Gand, Hoste. Paris. (jauthier-Villars. Série 3. 

Tome iv. 190 ». 

Juin. — M. Ai bhy : Deux -théorèmes de Grégoire de St-Vineent. — Exer- 
cices de géométrie élémentaire. 

Juillet. — Une démonstration de Gauss. — C.-E. Wasteels : Sur la 



BUL I. E T I Y H IBL1 G /,* A P H lo CE l 75 

courbure des courbes planes el sphériques. — -J. Neuberg : Exercices de 
géométrie élémentaire. 

Août-septembre — Fr. Coripi Sur un complexe quadratique. — A . Ai bri 

Trois théorè s de maximum. — A. Droz-Farmy : Noies géométriques sur 

le trifolium droit. — J. Neuberg : Exercices sur l'hyperbole xy = 1. 

Octobre. — M. Stuyvaert : Sur les cubiques gauches. — J. Ni ubi rc 
Quelques formules relatives au tétraèdre. 

Novembre. — Fr. Corin ; Sur un complexe quadratique. — A. -11 (Ion- 
vert : Note sur la couchoïde de Nicomède. 

Décembre. — Gauss, sur l'existence «lu plan. — ■ Noies mathématiques. 

Proceedings of the London Mathematical Society, Séries 2. Vol. l et 2. 

Hogson cv Son, London. 

Vol. 1. Fasc. 5 à 7. — Prof. A. E. Love. : The propagation of Wave-Motion 

in an Isolropic Elastic Solid Médium. — Mr. 1'. \V. Woon. : Du (lie Unique 
Expression of Binary and Ternary Forms. — Rev. F. H. Jackson : Forms 
of Maclaurin s Theorem. — D r W. H. Young : On the Distribution of the 
Points of Uniform Convergence of a Séries of Functions. — Rev. F. H. 
Jackson: A Generalization of Neumann s Expansion of an Arbitrary Function 
in a Séries ofBessel s Functions. — Mr. E. T. Whittaker : On an Expression 
of the Electromagnetic Field due to Electrons by means of two Scalar 
Potential Function. — D 1 ' E. W. Hobson : On Modes of Convergence of an 
Infinité Séries of Functions of a Real Variable. — Prof. Blrnside : On Group- 
of Order p a qr . — Mr. W. H. Jackson : On the Diffraction of Light pro- 
duced by an Opaque Prism of Finite Angle. — Prof. A. C. Dixon : On ma.ny- 
valued Newtonian-Potentials. — Prof. J. D. Everett : On a Calculus of Point 
Assemblages. — Mr. H. Bateman : The Solution of Partial Diflerential 
Equations by means ofDefinite Intégrais. — Mr. H. M. Macdonai.d : Electric 
Radiation from Conductors. — Prof. Horace Lamb : On Group- Velocity. — 
Mr. P. W. Wood : On the Irreducibility of Perpétuant Types. 

Vol. 2. Fasc. 1 et 2. — M. G. H. Habdt : On the Roots of the Equation 

; — — — e. — D r W. H. Youkg : Opeu Sets and the Theory of Content. 

r (jt + 1 1 ' 

— D r W. H. Young : On Upper and Lower Intégration. — D r W. H. Younc 
The Tile Theorem. — Mr. P. W. Wood: On the Unique Expression of a 
Quantic in any Order in any Number of Variables, with an Application to 
Binary Perpétuants. — Prof. A. E. H. Love : Some Illustrations of Modes of 
Decay of Vibratory Motions. — Prof. F. Morley : On a Plane Quintic 
Curve. — Mr. T. H. Havelock : Mathematical Analysis of Wave Propagation 
in Isotropic Space of p Dimensions. — Rev. J. Cullen : Note on a System 
of Linear Congruences. — Prof. G. A. Miller. An Extension of Sylow's 
Theorem. — Mr. P. W. Wood : Perpétuant Syzygies of Degree Four. — 
Mr. H. Hilton : On Spherical Curves. Part. IL 

Revue scientifique, paraissant le samedi ; 5 e série, T. ni. Paris, 19U5. 
N° 3 (21 janvier). — C. Bourlet : Revue annuelle des thèses de mathéma- 
tiques. 

Revue semestrielle des publications mathématiques, dirigée par P. -H. 
Schoute, D.-E. Kortkweg, J.-C. Kluyver, W. Kaptein. J. Cardinaal. 
T. xiii, première partie: avril-octobre 1904. — Delsman en Nolthenius, 
Amsterdam, 1905. 



1 76 /; r i.i. i: 1 1 .y /; / /; l i o <; n aphiq ue 

li. Livres nouveaux : 

René Baire. — Leçons sur les fonctions discontinues professées au Col- 
lège de France, rédigées par A. Denjoy. (Collection de monographies sur la 
théorie des fondions, publiée sons la direction de M. E. Borel). — I vol. 
in-8o, 128 p. ; prix : 3 fr. 50; Gauthier- Villars, Paris, 1905. 

Emile Borel. — Leçons sur les fonctions de variables réelles et les dé- 
veloppements en séries de polynômes, professées à l'Ecole normale supé- 
rieure, rédigées par M. Fréchet. (Collection de monographies sur la théorie 
des fonctions, publiée sous la direction de M. E. Borel.) — I vol. in-8°, 
162 p. ; prix : 4 fr. 50; Gauthier-Villars. Paris, 1905. 

B. Baillai d el II Bovkgkt. - Correspondance d'Hermite et de Stieltjes, 

avec une Préface <le Emile PlCARD. Tome I. — I vol. xx-477 p.. avec deux 
portraits ; prix : fr. 16. — ; Gauthier-Villars, Paris, 1905. 

W. M. Bakkk et A. A. Bourne. — Examples in Algebra, selected from 
Elementary Algebra. — I vol. in-16 ; 298 p. ; prix : 15 s. ; George Bell & Sons, 
Londres, 1904. 

Baltin u. Maiwald. — Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik, 
Trigonométrie u. Stéréométrie. I, zweite, verb. Aud. — 1 vol. in-8°, eau., 
110 p., prix: Mk. 1,40 ; B. G. Teubner, Leipzig, 1905. 

G. Darboix. — Etude sur le développement des méthodes géométriques, 
lue le 24 sept. 1904, au Congrès des sciences el des arts à Saint-Louis. — 
I fasc. in-8o, 34 p. ; prix : 1 iv. 50; Gauthier-Villars, Paris. 1904. 

Klein u. Riecke. — Neue Beitrâge zur Frage des mathem u. phys. 
Unterrichts an den hôheren Schulen, von O. Behkendsen, E. Bose, E. Gôt- 
ting, F. Klein, E. Riecke, J. Stakk, K. Schwakzschild, gesammelt u. 
herausgegeben von F. Klein u. E. Riecke. Vortrage gehalten bei Gelegenheil 
des Ferienkurses fur Oberlehrer der Mathematik u. Physik, Gottingen, 
Ostern, 1904. Teil I. — 1 vol., in-8°, 190 p. ; prix : .Mk. :j,o0 ; B.-G. Teub- 
ner, Leipzig, 1904. 

Edm. Maillet. — Essais d'Hydraulique souterraine et fluviale. — 1 vol. 
gr. in-8°, 218 p., avec 31 tableaux numériques et 11 graphiques.; prix: 
fr. 11. — , Librairie Hermann, Paris, 1905. 

IL Mandart. — Cours de Géométrie analytique à deux dimensions (sec- 
tions coniques). — 1 vol. in-8°, 574 p. , prix : fr. 10. — ; Wesmael-Charlier, 
Namur, 1904. 

Maur. d'Ocagke. — Le Calcul simplifié par les procédés mécaniques et 

graphiques. — Histoire et description sommaire des instruments el machines 
a calculer, tables, abaques el nomogrammes, 2 1 ' édition revue et augmentée. 
— 1 vol. cart. viii-228 p., avec 70 lig. ; prix: fr. 5. — ; Gauthier-Villars, 
Paris, 1905. 

Emile Picard. — Sur le développement de l'Analyse el ses rapports avec 
diverses sciences. Conférences faites en Amérique. — 1 vol. iv-168 p.; 
prix : .'J fr. 50 ; Gauthier-Villars, Paris, 1905. 

U r Promit. — Remarques sur le théorème de Fermât. — I broch. in-16, 
:{2 p.: Allier frères, Grenoble. 1905. 

Fr. Schilling. — Ueber die Anwendungen der darstellenden Géométrie 
insbesondere iiber die Photogrammetrie, Vortrage gehalten bei Gelegenheil 
des Ferienkurses fur Oberlehrer der Mathematik und Physik, Gottingen, 
Ostern, 1904. — Un vol. cari., 198 p., 151 lig. el 5 planches; prix : Mk. 5. — ; 
B.-G. Teubner. Leipzig. 



LA NOTION DE FONCTION 

DANS L 1 : N S K I G N E M E N T M A 1 1 1 É M A T KM' 1 ■; 
DES ÉCOLES MOYENNES» 

par II. Fehr 



1. Le principal but que poursuit notre Association est de 
contribuer aux progrès de l'enseignement mathématique 
dans nos écoles moyennes. Mais nos efforts ne doivent pas 
seulement tendre à améliorer les méthodes ; ils doivent 
aussi avoir en vue une meilleure adaptation des program- 
mes aux besoins de notre époque. Dans cet ordre d'idées 
il est une série de questions très importantes qui pourront 
être mises à l'ordre du jour des prochaines réunions an- 
nuelles ; ainsi, outre le sujet que j'ai eu l'honneur de vous 
proposer pour cette séance, il y aurait lieu d'examiner, entre 
autres, l'enseignement de l'arithmétique dans les divers éta- 
blissements secondaires, la fusion de la Planimétrie et de la 
Stéréométrie; d'autre part, il serait bon de provoquer un 
échange de vues sur la préparation scientifique et pédago- 
gique des maîtres de mathématiques, etc. 

Les plans d'études et les programmes doivent suivre l'évo- 
lution de la Science ; aussi n'ont-ils toujours qu'un caractère 
provisoire. Ils doivent être revus de temps en temps, alin 
d'être toujours conformes aux conditions de la science mo- 
derne et de la vie économique. Si l'on examine à ce point de 
vue les programmes actuels pour les diverses parties des 
mathématiques élémentaires, depuis les notions d'Arithmé- 
tique et de Géométrie jusqu'aux éléments des Mathémati- 
ques supérieures, on constate qu'ils contiennent encore bien 



1 Conférence faite à la Piéunion annuelle de l'Association des /naîtra de mathématiques des 
Ecoles moyennes suisses, tenue à Zurich le 17 décembre 1904 : traduction de l'auteur. 

L'Enseignement mathém., ~ c année ; 1905 13 



178 //. FEHR 

des problèmes, des chapitres même, qui peuvent être laissés 
de côté pour faire place à des notions nouvelles plus impor- 
tantes et d'une portée scientifique plus réelle. Telle est la 
notion de fonction, et je nie propose d'examiner ici la place 
qu'il convient de lui accorder dans l'enseignement des écoles 
moyen nés. 

La question n'est pas nouvelle. Elle est de nouveau à 
l'ordre du jour en Allemagne, où elle vient de faire l'objet 
d'une intéressante brochure 1 publiée par M. le prof. Klein 
et dont je vous recommande vivement la lecture. 

2. Je limiterai mon exposé à l'examen des deux points sui- 
vants : 

I. Y a-t-il lieu d'introduire la notion de fonction et ses ap- 
plications fondamentales les plus simples dans le plan d'étu- 
des des différentes sections des écoles moyennes ? 

II. Dans l 'affirmative, comment et dans quelle mesure 
cette notion doit-elle être introduite ? 

Dans les sections techniques (Ecoles industrielles, etc.) la 
notion de fonction est déjà largement mise à contribution. 
D'autre part, dans la plupart de nos gymnases, écoles nor- 
males d'instituteurs ou écoles de commerce, les élèves ont 
l'occasion de pratiquer les représentations graphiques, et il 
ne doit guère exister d'école technique moyenne où la no- 
tion de fonction ne soit pas utilisée dans une large mesure. 
Il y a donc lieu d'envisager principalement les sections et 
les écoles n'ayant pas un caractère technique. 

.'$. La première question revient à demander si la notion de 
fonction fait partie du fonds commun de connaissances géné- 
rales que doivent fournir les différentes sections de l'ensei- 
gnement secondaire. La réponse ne fait pas de doute. En 
effet, si l'on considère les progrès toujours croissants de la 
Science, on constate que les Mathématiques pénètrent de 
plus en plus dans les branches les plus diverses. Le plus 



1 Ueber tint zeitgem&sse Umgestaltung iU-.< mathematischen Unterrichts an den hôheren 
Schulen. Vortrâge gehalten bei Gelegenheit dfs Ferionkurses iïir Oberlehrer der Mathematik 
h. Physik, &ôttingen, Ostern 1904. B.-&. Teubner, Leipzig, 1904. 



LA NOTION DE FONCTION 179 

souvent c'est précisément la notion tle fonction qui joue le 
rôle fondamental. Ainsi, il n'est guère possible d'enseigner 
d'une manière rationnelle les éléments de Mécanique et la 
Physique sans les premiers éléments d'Analyse. On ren- 
contre constamment la dérivée d'une fonction, par exem- 
ple dans la vitesse, l'accélération, la tangente à la trajec- 
toire, la chute de potentiel, etc. Les diagrammes, les 
représentations graphiques, l'établissement de formules em- 
piriques, ne se retrouvent pas seulement dans toutes les 
branches des sciences techniques, on en fait également 
usage dans les sciences naturelles et biologiques et dans des 
questions d'ordre sociologique : qu'il me sufïise de rappeler 
ici les Cours d'Economie politique de'W\\LRAs et de Paheto. On 
peut dire que de nos jours, pour le chimiste comme pour le 
botaniste, pour le médecin et le biologiste comme pour le 
juriste, une connaissance approfondie de la notion de fonc- 
tion est devenue indispensable, car sans elle un grand nom- 
bre de propriétés fondamentales lui restent entièrement 
inaccessibles. C'est dire qu'en raison de sa grande portée et 
de ses applications fondamentales dans les divers domaines 
de la Science, la notion de fonction doit faire partie du pro- 
gramme des écoles moyennes. Telle est ma réponse à la pre- 
mière question. 

4. Nous avons maintenant à examiner la seconde question: 
comment et dans quelle mesure la notion de fonction et ses 
applications fondamentales les plus simples peuvent-elles 
être introduites dans l'enseignement des écoles moyennes ? 

Comme préparation à une première introduction il est bon 
de familiariser l'élève de bonne heure avec la notion de 
coordonnées. Il s'agira d'abord, cela va sans dire, des coor- 
données rectangulaires et leur application à la représentation 
graphique de la relation entre deux variables : temps et tem- 
pérature, temps et pression atmosphérique, temps et niveau 
du lac, tableaux statistiques, etc. Dès les premiers exercices 
l'élève exécutera lui-même quelques graphiques sur du pa- 
pier quadrillé et quelquefois aussi sur du papier millimé- 
trique. Ces exercices constitueront en même temps une pre- 



180 //. F EUR 

mière initiation à la Géométrie analytique; ils peuvent avoir 
lieu, comme cela se fait du reste dans divers établissements, 
immédiatement après la résolution des équations du pre- 
mier et du second degré. 

Jusqu'ici les élèves n'ont guère rencontré que des nombres 
connus et des nombres inconnus, ils acquièrent maintenant 
l'idée de variable, ce qui leur permettra ensuite de se fami- 
liariser avec la notion de fonction. On examinera la repré- 
sentation graphique de fonctions simples en commençant 
par les fonctions 

(1) y — ax -\- h , y. = n.x 2 , y = ax' -\~ It.r -\- c , 

dans lesquelles on attribuera d'abord aux coefficients des 
valeurs numériques très simples. L'élève doit être rendu at- 
tentif au fait que dans 

a.r -f h — , ax* + bx + c — , 

x est une inconnue, tandis que dans 1° x est une variable. 
L'exposé sera complété par la discussion. 

a.r + b > , ax -f b.r + c ^ . 

Puis vient une seconde série de représentations graphiques 
fournie par les fonctions 

12, y = I , - "'• + '' 



x -\- p - a'x -f- b' 

Ce serait là une première étape. Mais, dans la suite, on 
saisira chaque occasion pour utiliser les nouvelles acquisi- 
tions. Par exemple, en Algèbre, on fera suivre l'étude des 
fonctions exponentielle et logarithmique 

(3) y = a x , y = logx , 

de la représentation graphique de ces fondions; en trigono- 
métrie, on construira les courbes 

(4) y = sinx , y z= tang.r . 

Suivant les établissements, il y aura lieu de développer ces 



/. ./ NOTION DE FONCTION 1»1 

exercices en examinant encore les courbes 

(5) y = ax 9 -\- b , ' y = a.r s -f- h.x ; 

a ax -\- h _ aa ' -(- bx -4- c 

et en construisant quelques familles de courbes sur papier 
millimétrique, par exemple, les courbes en coordonnées rec- 
tangulaires : 

1/1 y = X \ pour m = 1. 2. 3, 5, 10 ; V», Vi. */*• ' >" = 
|8i r = a r- w j 

. 1 d'abord pour 6 = 0. 1. 2. 3, 4 ; •' », ' 3. ' 4 ; 
|9) v =r a bx 

• ' ( puis pour h = 0,— 1, — 2, — 3, — 4; l 2, — l s. — ' 4 ; 

(lOi v=«sin.r, j = sin6a: 1 y = sin (a: -f- c) , j*r= asin[bx -\-c) , 

on aura soin de faire ressortir le rôle des coefficients «, b, c; 
on construira aussi quelques courbes en coordonnées po- 
laires, par exemple 

llll p = ad , p = - , p = a b6 , pour a > ; 

(12) p -=z a -f- bcosd , pour a ^ b ; 

(13) p = a -\- b cos nO » pour n = 1, 2, 3, ... 

Mais ce ne sont là que des exemples, et nous n'avons pas 
à entrer ici dans le détail des programmes. 

5. A l'aide d'exemples du genre de ceux que je viens d'in- 
diquer, nous aurons donc familiarisé l'élève avec la repré- 
sentation graphique de fonctions simples. Mais le but n'est 
pas encore atteint. Il faut l'initier maintenant à l'étude des 
deux problèmes fondamentaux qui viennent se rattacher 
à la notion de fonction ou à la courbe correspondant à une 
fonction. L'élève ne possédera suffisamment la notion de 
fonction que lorsqu'il pourra discuter la variation des fonc- 
tions simples, ce qui n'est possible que s'il connaît la déri- 



L82 //. F EU H 

vée. Celte importante notion devra être appliquée à un grand 
nombre d'exemples empruntés aux domaines les plus variés 
de la Science, car il s'agit ici non pas simplement d'exer- 
cices mathématiques, mais avant tout de l'acquisition d'une 
idée nouvelle, celle de dérivée, et des diverses interpréta- 
tions dont elle est susceptible. Il y aura lieu d'insister tout 
particulièrement sur les interprétations géométriques et ei- 
nématiques. 

Quant à la notation, nous dirons avec M. Poincaré (voir 
VEns. malli., 6 me année, p. 277, 1904) qif « il faut dans les 
commencements employer exclusivement la notation de La- 
grange », qui consiste à écrire f(x). 

En dernier lieu viendra le problème inverse, celui de la 
détermination de la fonction primitive d'une fonction don- 
née et son application à la mesure d'une surface plane. Ici 
encore on étudiera des exemples typiques très simples em- 
pruntés aux diverses branches des mathématiques pures et 
appliquées. 

6. Comme vous le voyez, il s'agit en réalité d'introduire 
dans les programmes les deux concepts fondamentaux du 
Calcul infinitésimal, le problème des tangentes et le pro- 
blème des quadratures. Ce sont ces deux applications fon- 
damentales de la notion de fonction qui doivent former le 
couronnement des éludes mathématiques dans les écoles 
moyennes. Au reste, on rencontre déjà maintenant l'idée 
de limite et d'autres notions d'Analyse dans l'enseignement 
moyen des Mathématiques et de la Physique ; mais ces no- 
tions doivent être coordonnées méthodiquement, afin de 
pouvoir être utilisées par les diverses branches scientifiques. 

Ce premier examen des deux problèmes fondamentaux de 
l'Analyse aurait en outre le grand avantage de combler 
l'abîme qui sépare l'enseignement mathématique moyen de 
renseignement supérieur. 

Il n'est guère besoin de dire que dans cette transforma- 
tion du plan des études mathématiques, nous devrons opérer 
avec la plus grande prudence et procéder par améliorations 
progressives. D'une part il faut se borner aux fonctions Les 



LA NOTION DE FONCTION 183 

plus simples et aux notions fondamentales les pins essen- 
tielles; d'autre pari, on ne devra jamais perdre «le vue qu'il 
s'agit d'une première initiation dans laquelle toute théorie 
abstraite doit rire évitée. 

7. Eu France, les plans d'études ont subi une transfor- 
mation dans ee sens il y a (\v\\\ ans. Il me paraît intéressant 
de vous donner, simplement à titre d'exemple, un court 
aperçu des nouveaux programmes français au point de vue 
de la question qui nous occupe en ce moment. La nouvelle 
organisation de l'enseignement secondaire français n'étanl 
probablement pas connue de la plupart d'entre vous, je crois 
indispensable d'en indiquer d'abord les principales divi- 



sions 



L'enseignement secondaire fait suite à un cours à Etudes 
primaires d'une durée normale de quatre années. Il est cons- 
titué par un cours d'études d'une durée de sept ans et com- 
prend deux cycles. 

Premier cycle : Durée : quatre ans; Classes VI, V, IV, III 
(dites de Sixième, de Cinquième, de Quatrième et de Troi- 
sième). Dans ce premier cycle les élèves ont le choix entre 
deux divisions. Dans la Division A le latin et le grec sont 
obligatoires; la Division /?, qui ne comporte pas d'enseigne- 
ment du latin et du grec, donne plus de développement à 
l'enseignement du français, des sciences, du dessin, etc. Ce 
premier cycle conduit à un certificat d'études secondaires du 
premier degré. 

Second cycle : Durée : trois ans; Classes II et l (dites de 
seconde et de première) et Classe de Philosophie ou Classe de 
Mathématiques. Dans ce second cycle les élèves ont le choix 
entre quatre sections : 

Section A. Le latin avec le grec; 

Section B. Le latin avec une étude plus développée des 
langues vivantes ; 

Section C. Le latin avec une étude plus complète des 
sciences; 



1 Pour plus de détails voir le Vlan d'études et Programmes d'enseignement dans les lycées 
et Collèges de garçons. (Arrêtés du 31 mai 19t>2, Delalain frères. Paris. 



18 i //. FEU H 

Section D. L'étude des langues vivantes unie à celle des 
sciences sans cours de latin. 

La section A correspond aux sections classiques de nos 
gymnases, les sections G et D aux sections réaies, tandis que 
la section D (terminée par la Classe de Mathématiques) peut 
être comparée a nos sections techniques (ou industrielles). 

A l'issue de la Classe de Première, les élèves peuvent se 
présenter à la première partie du Baccalauréat de l'ensei- 
gnement secondaire, dont ils subissent les épreuves d'après 
la section qu'ils ont suivie pendant le second cycle. 

Pour la troisième et dernière année du second cycle, les 
élèves ont le droit d'opter entre les cours de la Classe de 
Philosophie et ceux de la Classe de Mathématiques; à la fin 
de ces cours, ils peuvent se présenter à la deuxième partie 
du Baccalauréat dont ils subissent les épreuves correspon- 
dant aux études de la section qu'ils ont suivie. Je tiens à 
vous faire remarquer que tous les diplômes de bachelier con- 
fèrent les mêmes droits. 

Faisant suite à la Classe de Mathématiques vient encore 
la Classe de Mathématiques spéciales l destinée à préparer 
les candidats aux grandes Ecoles : Ecole Polytechnique, 
Ecole centrale des Arts et Manufactures, etc. 

Examinons maintenant les programmes et voyons la place 
réservée à la notion de fonction et aux représentations gra- 
phiques. C'est dans la Classe de troisième (Divis. B) qu'elles 
se présentent pour la première fois : 

«... Variation tic l'expression ax -\- h, représentation graphique... Repré- 
sentation graphique des variations de x 2 , — etc. ...» 

Puis, dans le programme des Classes de seconde, C et D, 
on lit : 

«... Variation du trinôme du second degré; représentation graphique. Ya- 

• • , ,. • (ir + l> . ■ , • 

nation de 1 expression -; — , représentation graphique. » 

1 a ■'.»• -f- // l ' ' 

Notion de la dérivée; signification géométrique de la dérivée... » 



1 Voir [e Rapport de M. Appei.l et le nouveau programme dans l'Ens. Math. 6* année, p. 
485-49Ï, 1904 ; 7« année, p. 66-76, 1905. 



LA NOT/OX DE FONCTIO.\ 185 

Le programme de \&'Classe de Philosophie est de nature à 
nous intéresser tout particulièrement. J'en extrais les pas- 
sages suivants : 

«... Notion de fonction, représentation graphique de fonctions très sim- 
ples... Usage du papier quadrillé... 

« Notion de la tangente et de la dérivée... Notions sur 1 usage de la déri- 
vée pour reconnaître le sens de la Variation d'une fonction. » 

« Problème inverse de la recherche d'une dérivée. Aire d'un triangle, ou 
d'une parabole, obtenue par la recherche d'une fonction dont ta dérivée, par 
rapport à ,r . est ax ou «.r 2 . » 

« Notions sur la méthode infinitésimale; exemples d infiniments petits 
de divers ordres, limites de rapports ou de sommes obtenues en négligeant 
des quantités infiniment petites par rapport à celles que l'on conserve. Appli- 
cation à l'évaluation des volumes ou des surfaces de corps considérés en 
Géométrie élémentaire. » 

Pour avoir une idée exaele de la mesure dans laquelle ces 
différentes notions ont pénétré dans renseignement secon- 
daire français, il suffit de consulter les nouveaux manuels. 
En voici quelques-uns; vous pourrez en prendre connais- 
sance au cours de cette réunion. Rédigés par des hommes 
qui sont à la fois d'excellents professeurs et des savants très 

estimés, ces ouvrages offrent toutes les garanties désirables 

1 c5 es- 

tant au point de vue pédagogique qu'au point de vue scienti- 
fique. Voici les titres de ces manuels et les classes auxquelles 
ils sont destinés : 

Algèbre, premier cycle, par Emile Borel, Maître de Con- 
férences à l'Ecole normale supérieure, Librairie À. Colin, 
Paris, 1903. — Classe de 3 e A, Classes de 4 e et de 3 e B. 

Algèbre, second cycle (du même auteur). — Classes de 2 e 
et de l re C et D. 

Précis d'Algèbre, contenant 557 exercices et problèmes, 
par Carlo Bourlet, Docteur es sciences. Professeur de ma- 
thématiques spéciales au Lycée St-Louis, Librairie Hachette, 
Paris, 1904. — Classes deV et l re C et D. 

Notions de Mathématiques, par Jules Tannery, sous-direc- 
teur des Etudes scientifiques à l'Ecole normale supérieure, 
suivies de Notions historiques par Paul Tannkry, Paris, 1903. 
— Classe de Philosophie. 

Traité d'Algèbre, par A. Grévy, Docteur es sciences, Pro- 



186 //. FEU II 

fesseur agrégé an Lycée St-Louis, Librairie Vuibert et Nony, 
Paris, L905. — Classe de Mathématiques. 

8. Les programmes et les ouvrages que je viens de citer 
montrent que la notion de fonction a été largement prise en 
considération dans toutes les sections de renseignement 
secondaire français. J'attire tout particulièrement votre at- 
tention sur le programme de la Classe de Philosophie tel 
qu'il a été développé dans le bel ouvrage de MM. Tannery. 

C'est maintenant à nous qu'il appartient d'examiner dans 
quelle mesure il est possible de moderniser les programmes 
de nos écoles moyennes en les adaptant aux nécessités de 
l'enseignement scientifique actuel, mais en tenant compte, 
cela va sans dire, des conditions spéciales des divers éta- 
blissements. La discussion ne peut donc porter que sur des 
propositions tout à fait générales. J'en formulerai deux, qui 
sont en quelque sorte les conclusions de mon Rapport. Je 
vous propose de les adopter à titre de voeux : 

I. En raison de leur importance et de leur portée, la notion 
de fonction et les problèmes fondamentaux qui s'y rattachent 
appartiennent au programme de renseignement mathématique 
des écoles moyennes. 

II. Quant ii l'étendue et à la méthode on devra, d'une part, 
se borner aux notions fondamentales et à leurs applications 
typiques les plus simples, et, d'autre part, éviter un exposé 
purement abstrait. 

Discussion. — La conférence a été suivie dune intéressante 
discussion à laquelle ont pris paît MM. Wild par une lettre datée 
de S'-GalL, Schebrer (Kùsnacht-Zurich . Brandenbebger (Zurich . 
Suteb Kilchberg-Zurich . Butzberger Zurich , Flatt Bàle , Ci- 
bler Zurich . Jrzi Bienne et Fehr. Faute de place, nous devons 
nous borner à en donner un résumé très bref. Les divers orateurs 
ont parlé en faveur des deux propositions. M. Suter a recommandé 
(pif, dans l'exposé de ces notions, ainsi que du reste dans l'en- 
seignement mathématique d'une manière générale, il soit tenu 
compte «lu développement historique. 

M. Fehr tient à faire remarquer qu'il a évité à dessein les termes 
d' « Eléments de Calcul différentiel et intégral .paire qu'il craint 
que ceux-ci ne soient mal interprétés dans certains milieux, et 






S / ' R A K S I) f] V H L <) P 1> K M E N T S E N S E 1! 1 1. s I s 7 

qu'en réalité il s'agit non pas d'introduire l'ensemble de ces élé- 
ments dans les programmes de L'enseignemenl secondaire supé- 
rieur, mais de fournir une première initiation à l'aidede quelques 
problèmes fondamentaux très simples. Il se déclare entièrement 
d'accord avec la proposition de M. Suter visant l'introduction de 
notions historiques dans l'enseignement des classes supérieures 
et il propose qu'une phrase dans ce sens soit ajoutée au second 
vœu. L'assemblée décide d'en faire un troisième vœu : 

III. // est désirable que dans l'enseignement secondaire 
supérieur, notamment dans Les Gymnases, une plus grande 
place soit accordée au développement historique des Mathé- 
matiques. 

Ces trois propositions ont été adoptées à l 1 unanimité. 



SUR LES DEVELOPPEMENTS EN SERILS 
de sin«r et cos.r. 



D'après le nouveau programme officiel d'admission à 
l'Ecole Centrale des arts et manufactures, les développements 
en séries des fonctions sin.r et cos.r, nécessaires pour éta- 
blir la formule d'Euler et ses conséquences, doivent pouvoir 
se déduire, par le procédé élémentaire, de l'inégalité 

,._ slll ,.<_. 

Le raisonnement est bien simple : le voici en quelques 
mots : 

I. Considérons en premier lieu les séries alternées 

,2 ,.4 ,.2" . ,.2« + 2 

1 =1 - 27 + T: -•••+'-" •>;r ! + '- 1 ' ^7+l>r: + ---- 



188 P. BARBARIN 

Leurs séries modulaires l'i et Vi sont convergentes pour 
toute valeur de .r. puisque le rapport p + 1 de la règle de 



/' 



1) Alembert y a toujours zéro pour limite quelle que soit la 
manière dont p croît indéfiniment; les séries alternées sont 
donc aussi convergentes. Nous allons prouver que Ton a 







U = cosa; 


I. Soient 






So = 1 . 






Si = 1 — 


.r 2 
•) i 


, 


S 2 = 1 — 


.r 2 

2~i 


X* 


S 3 = 1 — 


.r 2 
21 


x* ,* 6 



V = sin x. 



£„ = ■*• . 



2 « = a: -3!+5! 



2s ~~ " T 3 ! + 5 ! 



Les fonctions 

. r o = S o — cosr • "0 = *o — sinr 

v, = Sj — cos.r , z. — S, — sin x 

r, = S, — cos.r . c 3 = 2., — sin.r 

r. = S. — cosa: ■ *,== 2. — sin.r 



jouissent des propriétés suivantes : 

1° î/p est la dérivée de z p par rapport à x, et à son tour z p , 
est la dérivée de — ?/p + i • 

2° Pour toute valeur positive de x, y est positive, donc z 
est fonction croissante et toujours positive puisqu'elle est 
nulle pour x = . 

y x est donc toujours décroissante et négative, à cause de 
la même remarque, et il en est de même de z x . Par suite y 2 
et z % sont toujours croissantes et positives, y 3 et z s toujours 
décroissantes et négatives. 

En général, pour toute valeur positive de x, les fonctions : 



S UR LE S I) E V E I. O P P E M E S 7 s E S S E /{ I E S 



189 



y in et z vl , nulles pour .r = , sont croissantes et posi- 

lives, 
y vl + t e\ Zj/i + j, nulles pour x = , sont décroissantes et né- 



Do ne on a 



et aussi 



gatives. 



s s „ > cos*> S sn+1 , 
\ n >8in*>2 iB+11 

Si,, . ~> COS.*' ^> S . 



S , "i> sin x ^> S , 

Par suite, pour n = x , x étant positif, on a bien 

cos.r =U, et sin x = V . 

3° Soit maintenant x négatif. Puisque 

cos | — x) = COS X , 

et que la série U ne dépend que des puissances paires de r, 
le premier résultat s'applique à x quelconque. 
Ensuite, 

sin ( — x) = — sin.r , 

et la série V ne dépendant que des puissances impaires de 
.r, sa somme change de signe également avec x, donc on a 
en définitive quel que soit x 



cos.r — 1_ — -j- — — ...4- 



In '. 



sin x = _]_ _. . . . + (_ l) + . . 

1 .J . 5 ! \ln -\- \\ . 



P. Barbarin Bordeaux 



SUR LES CARACTERES DE DIVISIBILITE 



Les démonstrations que Ion fait en Arithmétique pour 
trouver les caractères de divisibilité par 9 et par 11 peuvent 
être reproduites pour tout nombre, et cela a été fait pour 
quelques nombres; dans ce qui suit, je propose une dé- 
monstration générale de ce mode de recherche des carac- 
tères de divisibilité. 

En représentant para, b, c, r/,... les chiffres des unités, des 
dizaines, des centaines, des mille,... d'un nombre entier N, 
on peut écrire 

(1) N = a + b -. 10 -f c . 10 2 + d . 10 s + ... ; 

et, en représentant par a un nombre entier positif ou négatif, 
on peut ainsi écrire tout nombre entier v : 

(2) v == 10 — a . 

Le nombre N a la forme d'un polynôme entier en r, où 
x — 10, et le nombre y a la forme du binôme x — a, où 
x = 10 ; donc le reste R v de la division algébrique de N 
par v s'obtient en remplaçant 10 par a. dans l'expression (1), 
ce qui donne 

(3) R v = a + b . a -|- c. a 2 + d. a 8 -f- ... . 

Voici comment on calcule rapidement les restes obtenus 
en divisant par v les puissances successives de a. Soit p le 
reste de la division de a par v. Le reste de la division par v 
d'une puissance entière p iéme de a peut s'obtenir en cherchant 
d'abord le reste p l de la division par v de la puissance p 2 , 
puis le reste o 2 de la division par v du produit p p, ensuite le 
reste p s de la division par v du produit p 2 p, et ainsi de suite. 



SUR LES CARACTERES DE DIVISIBILITE l'.'l 

En effet, en représentant (rime manière générale par 

11 \).d le reste de la division de I) par d, on peut écrire suc- 
cessivement : 

K(a* , v) = R(p* , v) = h • 

l!i« s , vi — Rm 2 . «, vi = R|p, p , v) = p 3 , 
R(ec* , v) = R(a 8 , a , v| = R(p„p, vi — p s ■ 



K ia ". vi = H \m v . x . v = Rif ,0^1 = ^ • 

Le caractère de divisibilité d'un nombre entier N divise 
par un nombre entier v peut être aisément déduit de ce qui 
précède, en remplaçant R v de l'expression 3 par R(R V , v 
lorsque R y sera égal ou supérieur à y. 

Exemples. 

I. — Quand y — 4, on a % = G, et Ton trouve 

R 4 = a + A.2 + c.O + rf.0 + ... ; 
d o n c 

11 X. 4) = R[{a + 2I>\ . 4]. 

II. — Quand y = 6, on a a — 4, et l'on trouve 

R 6 = a + à . 4 + e . 4 + ... : 

donc 

R|X. 6) = Rj[ fl + 4(/, + c + ...)] . 6j . 

III. — Quand y = 7, on a a = 3, et Ton trouve 

R f = « + 6.3 + c.2-|-rf.6 + e. 4 + f . 5 + g . L + A . 3 + ... ; 

retrancha ni 7 (</ + e + /"+ ••• de chaque membre de cette 
égalité, on obtient 

R 7 — ï{d + e+f+ ...) 

— a . I + b .3 + c. 2 + rf.l— 1| + e . i— 3) + /\ |— 2, + g, 1 + ... ; 

de là on déduit que : 

Le reste de la division d' un nombre par 7 est le même que 
le reste obtenu en divisant par 7 la somme algébrique des 



192 E. LE BON 

produits des chiffres successifs du nombre, à partir de celui 
des unités, respectivement par les nombres 

i, 3, 2,7,7, T ; i . a 

IV. — Quand v = 8, on a a = 2, et Ton trouve 

R 8 = tf-M.2-fc.4 + </.0 + é>.0+... ; 

donc 

R(N, 8) = R [(« + 26 -f 4c) , 8] . 

V. — Quand i> = il, on a « = — 1, et Ton trouve 

R n = a . 1 + h . {— 1) + c . 1 + et . (— 1| + e . I . + ... 
= (« + c + e + •■•) — (A + rf + /"+ ».) : 
donc 

R(N, 11) = R[(2 oh. ord. imp. — 1 ch. ord. pair), 11] . 

VI. — Quand v = 13, on a « — — 3, et Ton trouve 

R 18 = a + fe.(_3) + c. 9 + d.(_l) + e .3+f.(-9) + ^. l + *. (_3)+... ; 

ajoutant l'expression 13 — c + /' — ... aux deux membres de 
cette égalité, on obtient 

R ]s + 13(_ C + f- ...| 
= a . 1 + I, . I— 3) + c. (— 4i + d . I- Il + e . 3 + /". '. + g. 1 + ... : 

de là on déduit que : 

Le reste de La division d'un nombre par 13 est le même que 
le l'esté obtenu en divisant par 13 la somme algébrique des 
produits des chiffres successifs du nombre, à partir de celui 
des unités, respectivement par les nombres 

l ,7,7.7, :j, 4 ■. l ,~, ... 

VII. — Quand v = 17, on a a = — 7, et Ion trouve 

R„ = a + b . (— 7) + c . 15 + d . (— 3) + e . 4 + f . (— 11) + g . 9 
-\- h . (— 12) + i . 16 +./ . (— 10) + * . 2 -f / . (— 14) -f- m . 13 
_|_ „ . (_ g) _j_ . 8 -|-/. (- 5) + q . 1 + r . (— 7) + ... . 



G Ê O M É /' H I E ET Tlil <: O N O M É T H l E S l> Il É /,' l Q V E S 193 

On peut écrire 

R 17 + m. .II. 17 = a - Zb — 2c — Sd + 4e + 6/"— 8g + ôà — i + 7/ 
-f 2* + 3/ — 4/» — 6n + Ho — 5p -f <j — 7/- — ... ; 

de là on déduit que : 

Le reste de la division d'un nombre par 11 est le même que 
le reste obtenu en divisant par 11 la somme algébrique des 
produits des chiffres successifs du nombre, à partir de celui 
des unités, respectivement par les nombres 

1 , ?,~,~. '» . f, .7, 5; T. 7. 2. 3 .T. ~. .S. 5"; 1,7,... 

Ernest Lebon Paris . 



SUR LA GEOMETRIE ET LA TRIGONOMETRIE 
SPHÉRIQUES 



Dans les pages suivantes je me propose d'établir les pro- 
priétés des figures sphériqnes — jusqu'aux formules fonda- 
mentales de la trigonométrie — sans jamais faire usage des 
théorèmes propres de la géométrie plane euclidienne l . Il me 
semble que ce ne soit pas un simple exercice de géométrie 



1 MM. Niewenglowski et GÉRAR11, dans leur Traité de géométrie, construisent l.i géométrie 

sphérique en empruntant aux développements précédents la seule proposition que la somme 
des deux côtés d'un triangle sphér.icpie est plus grande que le troisième. Cependant c'est là 
faire un bien grand usage de la géométrie plane. 

Que la géométrie et la trigonométrie sphériques soient indépendantes de l'hypothèse parti- 
culière sur les droites parallèles, c'est un fait bien connu. On peut aussi le faire ressortir aisé- 
ment de l'article présent: il suffira — pour éviter toute difficulté relative à la géométrie rie- 
manniene — de définir convenablement le segment et l'ordre : en admettant le segment comme 
concept primitif on dira, par exemple : « Deux segments d'une même droite ayant même 
extrémité A. ou bien sont l'un entièrement contenu dans l'autre, ou bien contiennent chacun 
des points extérieurs a l'autre. Dans le premier cas. on dit que les deux segments sont du 
même côté «le A. dans le second qu'ils sont de côtés opposés par rapport à A. Si deux 
nu-nt s sont de côtés opposés par rapport a A. tout autre segment de la même droite, ayant 
A pour extrémité- est du même coté que l'un et du côté opposé de l'autre. » 

L'Enseignement mathém., 7° année; 1905, l '» 



19$ //. LE VI 

générale, mais qu'il en ressort beaucoup de lumière sur cer- 
tains théorèmes connus de la géométrie sphérique. 

Les figures seront toujours décrites sur une sphère fixe : 
si A et B sont deux points de la sphère, le grand-arc AB 
sera lare de grand-cercle compris entre A et B et plus petit 
qu'une demi-circonférence. Deux points d'un grand-cercle 
seront du même côté d'un point donné sur ce cercle, s'ils 
appartiennent à la même demi-circonférence ayant ce point 
comme origine. 

I. Géométrie sphérique. 

1. Soit BC un arc de grand-cercle, A un de ses pôles. 
L'angle ABC est droit — Soit G' le point opposé de G et D 
un point de la demi-circonférence GAG' ; l'angle DBG scia 
plus grand ou plus petit que ABC selon que DC est plus 
grand ou plus petit que AG. Donc dans un triangle rectangle 
l'angle opposé à l'un des côtés de l'angle droit est plus grand 
ou plus petit qu'un droit en même temps que ce côté est plus 
grand, ou plus petit qu'un cadrant. 

On déduit que dans un triangle rectangle la somme des 
trois angles est supérieure à deux angles droits. Pas de doute, 
en effet, si un des côtés de l'angle droit est plus grand qu'un 
cadrant: l'angle opposé est plus grand qu'un angle droit, et 
la somme de cet anode avec l'angle droit du triangle est delà 
supérieure à deux droits. 

Si ABC est un triangle, rectangle en A, dont les côtés AB 
AG sont moindres qu'un cadrant, soit 1) le milieu de BG 
et soit Di le pied du grand-arc perpendiculaire de D à BA. 
Sur le cercle DDi que l'on porte DD2 = DDi. Les deux trian 
gles BDDi, GDD2 sont égaux, ayant les angles en D et les 
côtes qui les forment égaux : donc l'angle CD2D est droit et 
le cercle GD2 passe par les pôles de DDi. Soit P le pôle qui 
est, par rapport à Di, du même côté que B: PA sera plus 
grand qu'un cadrant et par suite PGA obtus. Mais PCB — GBA; 
donc GBA + MCA + CAB > 2 angles droits. 

Tout triangle ABC a au moins deux angles de même espèce 
(obtus ou aigus) : soient A et B. Le demi-grand-cercle passant 



G Ê O M É TRIE ET T H I G () N <> M E T R I E S P II I. R IQV E S I 95 

par C et perpendiculaire à Ali. est divise par C en deux arcs 
dont l'un (plus grand on plus petit qu'un cadran I selon que 

A et B sont obtus ou aigus) est alors intérieur a A el a B et 
par suite au triangle. Il décomposera le triangle en deux trian- 
gles rectangles; dans chacun la somme des angles est supé- 
rieure à deux droits; il s'ensuit que dans tout triangle sphé- 
rique la somme des trois angles est supérieure a deux angles 
droits. 

En décomposant un polygone sphérique en triangles on 
étend la proposition aux polygones, de la manière connue. 

2. En appliquant la proposition au triangle polaire d'un 
triangle donné on déduit que la somme des trois côtés d'un 
triangle sphérique est inférieure a quatre angles droits. Si 
alors ABC est un triangle sphérique, et A' est le point op- 
posé de A. de la relation 

A'B + A'C + BC < i angles droits. 

on tire que 

BC < AB + AC, 

c'est-à-dire que dans un triangle un côté est plus petit que la 
somme des deux autres. Les théorèmes sur les relations entre 
les côtés et les angles opposés, sur les arcs perpendiculaires 
et obliques d'un point à un grand-cercle, etc., se démontrent 
alors suivant les méthodes ordinaires. Nous rappelons, en 
particulier, l'observation suivante que nous devons appli- 
quer: Soient AB. AG deux arcs, égaux ou moindres qu'un 
cadrant, et formant entr'eux un anç-le aigu. Soit P le pôle de 

O o I 

Ali du côté de AC, et supposons que PB passe par C, soit 
PCiBi un grand-arc, qui rencontre AB el AC en Bi et Ci res- 
pectivement. On a PBi = PB = 1 cadrant, PCi > PC ; donc 
BiCi <C BC; c'est-à-dire : dans un triangle rectangle dont les 
côtés sont moindres qu'un cadrant et dont un angle aigu est 
invariable, les trois côtés croissent et décroissent ensemble. 

3. Nous appelons aire d'un polygone l'arc équatorial d'un 
fuseau dont l'angle soit égal à la différence entre la somme 



196 B. LE VI 

des angles du polygone et autant de fois deux angles droits 
qu'il a de côtés-, moins deux l , 

Si l'on divise un côté d'un polygone en deux par un point, 
et on considère ce point comme sommet d'un angle égal à 
deux droits, l'aire du polygone reste inaltérée. Si deux poly- 
gones s'adaptent l'un à l'autre le long d'une ligne brisée for- 
mée de k côtés, k-1 sommets intérieurs et 2 sommets ex- 
trêmes ^si sur l'un des polygones un de ces sommets est un 
point d'un côté, on le considérera comme sommet d'un angle 
du polygone égal à deux droits , leur ensemble est un nou- 
veau polygone qui a autant de côtés que la somme des nom- 
bres des côtés des deux polygones donnés diminuée de 2 k, 
et dans lequel la somme des angles est égale à la somme des 
angles de ces polygones diminuée de 2 (k — 1)X 2 droits. Il s'en- 
suit que l'aire du polygone total est la somme des aires des 
deux polygones. De là, si un polygone est décomposé d'une 
manière quelconque en polygones partiels, son aire est égale 
à la somme des aires de ces polygones. 

4. Considérons sur la sphère un cercle de centre O ; soit 
ABC... un polygone régulier inscrit (fi g. 1) et MN... le poly- 
gone circonscrit qui touche la circonférence en A, B, C,... 
Soient Ai, Bi,.., les points où les demi-grand-cercles partant 
de O et contenant A, B,... rencontrent le grand-cercle de 
centre O. Les arcs AB, BC,... sont plus petits, respective- 
ment, que AiBi, BiCi,... (d'après le n° 2). Le périmètre du 
polygone ABC... est donc plus petit que la circonférence 
d'un grand cercle. Si alors on développe ce polygone le long 
d'un grand cercle et on transporte avec ses côtés les triangles 
ABM, BON,... compris entre le polygone inscrit et le poly- 
gone circonscrit, on voit que la somme de ces triangles est 
toute intérieure à deux fuseaux ayant l'angle égal à MAB. La 
somme des aires de ces triangles est donc inférieure à la 
somme des aires de ces fuseaux, c'est-à-dire à quatre fois 
l'arc équatorial de l'un d'eux. 



1 Nous évitons ainsi la question de l'équivalence entre le polygone et le fuseau au point de 
vue de la composition par réunion de parties égales. Cette question a d'ailleurs déjà été résolue 
fort élégamment par l'affirmative par M. GÉRARD. V. Thèse : Sur la géométrie non-euclidiennei 
p. 105. et NiF\viïNGi.owsKi et GÉRARD : Géométrie dans l'espace, p. 239. 



G É O MÉ TR I E E T TR I G ONOMÉ TR I E S P II É R IQU E S 197 

Que l'on observe maintenant que MAB + BAO = 1 angle 
droit, tandis que, dans le triangle rectangle AOMi, BAO + 
AOM > 1 angle droit; il résulte MAB < AOM. Si donc on 
fait augmenter suffisamment le nombre des cotés du poly- 
gone ABC..., on peut rendre l'angle MAB plus petit que tout 
angle assigné et par suite la somme des aires des triangles 
ABM, BCN,... plus petite que toute aire assignée. 




Fie. 1. 



Il s'ensuit que les aires des polygones réguliers inscrits 
dans le cercle croissant avec le nombre des côtés, et les 
aires des polygones circonscrits décroissant en même temps, 
tendent vers une limite commune : nous l'appellerons V aire 
de la calotte limitée par le cercle. La différence entre la cir- 
conférence de grand cercle et cette limite sera l'aire de la 
zone comprise entre le cercle donné et le grand-cercle de 
même pôle. Elle est la limite commune à la somme des aires 



L98 11. LE VI 

des quadrilatères tels que ABB1A1 et à la somme des aires 
des pentagones tels que AMBB1A1. 

5. Formons la figure polaire de celle du numéro précédent. 
Nous obtenons un cercle de centre O, ayant pour rayon le 
complément du rayon du cercle donné, et un système de 
polygones réguliers inscrits et circonscrits à celui-ci. Le pé- 
rimètre de chacun de ces polygones est la différence entre une 
circonférence de grand-cercle et Taire du polygone polaire. 
Les conclusions du numéro précédent montrent alors que 
les périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits 
à un cercle tendent vers une limite commune lorsque le nom- 
bre de leurs côtés croit indéfiniment. Il est naturel d'appeler 
cette limite la longueur de la circonférence du cercle consi- 
déré : elle est égale à la différence entre la circonférence de 
grand-cercle et Taire de la calotte limitée par le cercle polaire ; 
donc (d'après le n° 4) la longueur d'une circonférence est 
égale à l'aire de la zone comprise entre le cercle polaire et le 
grand-cercle ayant même centre l . 

II. Trigonométrie sphérique et goniométrie. 

6. Si p est un arc de grand-cercle on appelle s in p la lon- 
gueur de la circonférence 2 de rayon p. 

Le sinus d'un arc est une fonction croissante et continue de 
cet arc. Rappelons en effet (n° 5) que sin p représente aussi 
Taire dune zone qui a pour base un grand-cercle et pour 
hauteur p ; on déduit immédiatement qu'il est une fonction 
croissante de p. Soit Y la base mineure de la zone; considérons 
le polygone régulier ABC... inscrit dans T (fig. 1), le cercle 
Yx inscrit clans ce polygone et le polygone MiNi... inscrit 
dans Ti, dont les sommets sont les points de contact de Ti 



1 A comparer avec le théorème connu, de la proportionalité entre les zones el leur hau- 
teur. 

2 On doit remarquer qu'il n'a été dit nulle part quel était le rayon de la sphère; on a dit 
seulement qu'on opérait sur une sphère fixe. Quand on reste dans l'hypothèse euclidienne, 

que l'on prenne la longueur de ce rayon égale à , et l'on aura l'accord complet entre notre 

définition du sinus et l'ordinaire. 



G Ê M Ê T R I E E T TRI (, X O M Ê I R f E S P II Ê R IQV I. S 1 99 

avec ABC, La différence entre la zone considérée de hau- 
teur .0 et la zone limitée par J"i et le même grand-cercle est 
la zone comprise entre F et Ti et est moindre que la diffé- 
rence entre les aires des polygones MNP — M1N1P1... l'un 
circonscrit à r, l'autre inscrit dans Ti. Cette différence est 

la somme des triangles ABM, BCN M1N1B, Mil'iC,... et 

on voit, comme au n° 4, qu'elle devient aussi petite que l'on 
veut si Ton augmente suffisamment le nombre des cotés de 
ABC... 

La différence entre les aires de deux zones de hauteurs p 
et p + Ap peut donc devenir aussi petite que Ion veut; de 
là. et de l'observation que sin p est une fonction croissante, 
on déduit qu'elle est aussi continue. 

7. Soit T un cercle de centre O, A le grand-cercle concen- 
trique, y le cercle polaire de T. p la hauteur de la zone (FA . 
Appelons, connue d'usage, -5 le cadrant : la hauteur de la 

zone (y t \) est - — p. SoitTi, un cercle de centre O et de rayon 

■5- o-\-$p) de sorte que la zone (TiA ait la hauteur p + dp et 
soit yi le cercle polaire de Ti. Xous voulons comparer la dif- 
férence des aires des zones (TA . TiA avec celle des zones 
'^A . 71A), c'est-à-dire les aires des zones (ITi). yyi ■ 

Ces deux zones ont même hauteur dp. Circonscrivons a 1' 
et à Ti deux polygones réguliers, de même nombre de côtés, 
et avant les sommets sur les mêmes grands-arcs passant par O. 
Nous pouvons supposer les côtés de ces polygones si petits 
que: 1° les aires comprises entre A et ces polvgones soient 
approximées autant que Ion veut aux aires des deux zones 
TA FiA . et par conséquent l'aire comprise entre les poly- 
gones aussi peu différente que l'on veut de l'aire de la zone 
(ITi) ; 2° si l'on circonscrit à y un polvgone dont tous les 
côtés, sauf un au plus, soient égaux aux côtés du polygone 
circonscrit à T, et à y\ le polygone qui a les sommets sur les 
mêmes rayons par O que le précédent, Taire comprise entre 
les deux polygones diffère encore aussi peu que l'on veut de 
l'aire de la zone yyi), même si on néglige la partie comprise 
entre les deux côtés différents et les arcs [tassant par O et 



200 B. L E VI 

par leurs sommets. Les rayons sortant de O et passant par 
les sommets des deux figures polygonales qu'on substitue 
ainsi aux zones (ITi), (yyi) les décomposent en trapèzes iso- 
scèles, tous de même hauteur dp, et avec une base égale; 
l'autre base est plus grande que celle-ci pour les trapèzes 
relatifs à (yyi), plus petite pour les trapèzes relatifs à (ITi). 
Si donc on pense que l'on transporte chaque trapèze relatif à 
(TTi) sur un trapèze relatif à [yy\) on voit que le rapport 
entre les aires des deux figures polygonales relatives à (TTi) 
et à (yyi) est plus petit que le rapport des longueurs des péri- 
mètres des polygones circonscrits à T et à y. 

On peut répéter les mêmes considérations en choisissant 
les côtés du polygone circonscrit à yi égaux aux côtés du 
polygone circonscrit à Ti ; alors ce sont les trapèzes relatifs 
à la zone (Tri) qui sont plus grands que les trapèzes relatifs 
à la zone (yyi) et par suite le rapport entre les aires des deux 
figures polygonales relatives à (ITi) et a (yyi) est plus grand 
que le rapport des longueurs des périmètres des polygones 
circonscrits à Ti et a y\. 

Faisons croître indéfiniment le nombre des côtés des poly- 
gones considérés; nous aurons à la limite que le rapport 
entre les aires des deux zones (TTi), {yyi) est compris entre le 
rapport des longueurs des circonférences T, y et le rapport 
des longueurs des circonférences Tx-, yi. 

Supposons enfin que èp diminue indéfiniment; à cause de 
la continuité du sinus (n° 6) les longueurs de Ti, y\ tendent 
vers les longueurs de T, y ; on a donc à la limite 

aire 1IT1I long. V aire (7A1 

li in — : — ; — '■ = — - — , 

<fy = o aire (77 1 ) long, y aire (TA) 

c'est-à-dire 

tfaire (TA) aire I7A) 



ou bien encore 



_ â aire 17A) aire (TA) 

j • sin \^ ~~ Pi 

sin p \1 I 



lim — - — ■ 

°> = g s i n (^ _ p \ 



sin p 



(, E MET II 1 1 E T T R 1 C X M É T /,' I E S P H É RIQU E S 20 1 

Si donc 3C et y sont les sinus de deux arcs complémentaires, 
ils satisfont à l'équation différentielle 

| <$.r\ y 

I <?>• I j- 

On détermine mieux cette équation quand on observe que 
x décroît lorsque y croît ; donc 



ou bien 

et, en intégrant, 



.roi- -f- v<5Y = O 



.T* -\- Y 2 = const. 



On détermine la constante en considérant le cas de p = n. 
Alors T se réduit à 0, y coïncide avec A et Ton voit que la 
constante vaut 1. 

.r 2 + y'= 1. 

C'est la formule fondamentale 

sin 2 p -\- cos 2 p = 1. (1) 

8. Soit encore T un cercle de centre O, A le grand-cercle 
concentrique, et soit Ti un cercle de centre O intérieur à la 
zone (rA) (fig. 2). Soit MNP... un polygone régulier circons- 
crit à T, ABC... ses points de contact. Prolongeons les arcs 
AM, MBN, NCP,... tous du même côté jusqu'à la rencontre 
de A, respeclivement en Ai, Bi, Ci,... et de Tx en A2, B2, C2,... 
L'aire de la zone fTA) est, d'après le n° 4, la limite de la 
somme des triangles MA1B1, NB1C1,... lorsque le nombre des 
côtés du polygone croit indéfiniment : d'autre côté l'aire de 
la zone (ri A, est la somme des aires A2A1B1B2, B2B1C1C2,... 

Avec les points M, N, P,... comme centres décrivons les 
arcs B2.V2, C2B r 2,... et les arcs AiB'i, B1C1,...; observons 
que toutes les figures contenues dans les triangles MA1B1, 
NB1C1,... sont égales entre elles ; nous obtenons 

aire (MNP..., â\ aire iMAiB'il I aire (MAiB'i) 



aire (Ti, A) aire (A^AiB'iBal 2 aire (A^AiB'iBa) 



•20-1 



H. LE VI 




Fig. 2. 

Avec les mêmes centres décrivons les arcs A2B"2, B2C2 
et les arcs BiA"i, CiB'i... ; nous obtenons de même 



aire (MNP. 



A 



aire Ti , Al 



> 



aire (MA"iBi) 



S aire |MA"iB 1 ) 



aire (A 2 A"iBiB" 2 ) S aire |AsA"iBiB"a| 



Les seconds membres de ces inégalités ont même limite 
lorsque le nombre des cotés du polygone croît indéfiniment: 
en effet, l'angle A1MB1 a pour mesure l'arc qu'on doit en- 
lever à l'arc équatorial de AOB pour avoir l'aire du quadri- 
latère AOBM. Il est donc < AOB et par suite la somme des 
aires AgA^BaB^s, est plus petite (pie la zone dont les deux 
bases ont pour rayons MAa et MB2 et dont la hauteur est 
2 AM. Elle tend donc à zéro avec cette hauteur (n° 6); de 
même la somme des aires AiA"iBiB"i tend vers 0. 

Alors 



aire il\ Ai ,. aire (MAiB'i) 

= lim — r-r— ; = J 1 11 



aire Ti, Ai 



aire iA' 2 AiB'iB 2 | 



aire (MA"iBi) 
aire iA 2 A"iBiB"s) 



Remarquons que A Ai, BBi,... sont égaux chacun à un ca- 



G É O M E T I( l E E T TRI G .Y M E T R I K S P II II R loi I, s 203 



drant; considérons alors la figure constituée d'un grand- 
cercle $ et d'un cercle concentrique y de rayon AAs : pour 
plus d'évidence considérons de cette figure seulement la 
partie comprise entre deux rayons formant un angle égal à 
AiMBi : soit oaibiasba : on voit immédiatement que 



aire (MAiB'i) aire [ocnbi] aire iMA"iBi) 



Or 



aire (A'2AiB'iB2i aire lasdibibs) aire (A2A"iBiB"s) 



aire {oaibw aire hémisphère 

aire (aictibiln) 



aire <yj< aire \y<2) 

Donc enfin, en rapprochant ces égalités des précédentes : 



aire (TAi 



1 



aire ITiAi aire {'/$] 

Appelons p la hauteur de (rA), pi celle de (TiA) ; celte éga- 
lité peut s écrire 

sin p 
sin pi 



1 
in A1A2 



9. Soit ABC un triangle rectangle (fîg. 3), C son angle 
soit A le grand-cercle de centre A, et soient f , Ti les ( 
de centre A passant par G et 
par B. Appelons a, b, c les 
côtés du triangle, opposés 
aux sommets A, B, G. Nous 
pouvons appliquer la formule 
précédente, où p, pi et A1A2 
auront respectivement les va- 

leurs — — b, - — c, - — a; 



droit; 
ercles 



donc 



ou bien 



cos b 



cos c 




cos c = cos a cos b 



(2) 



Fijr. 3. 



C'est la formule fondamentale pour les triangles rectangles. 



204 



/!. LE VI 



Soient Ai et Ci les points de rencontre avec A des demi 
grands-cercles qui projettent B de A et de C ; appelons « ; /3 
les mesures des angles A et B dans le triangle ABC ; dans 



le triangle A1BC1 on a 



A, Ci = 



«. A lB = - 



BCi 



— — a, angle B = p. 



En appliquant la formule (2) à ce triangle on obtient donc 
sin a = sin c sin a, (3) 

et, en appliquant au même triangle cette nouvelle formule (3), 

cos a = cos a sin /3. (4) 

Dans les formules (2) (3) (4) se résume toute la trigono- 
métrie des triangles rectangles. D'après des procédés con- 
nus on en lire encore toute entière la trigonométrie sphéri- 
que, pourvu que l'on possède la formule pour la somme des 
arcs. C'est cette formule que nous allons maintenant nous 
procurer. 

10. Il est connu qu'il suffît de l'établir dans l'hypothèse 

que la somme des arcs soit <£.-*• Soit 

alors ABC un triangle rectangle en 
C et soit CD sa hauteur (fig. 4). Po- 
sons AD = #, BD = &, AG = //?, 
BG = n , CAB = a , CBA = (3 , 
ACD = y et, par conséquence, 

BCD = ^ — y. En appliquant les 

formules (3) et (4) aux triangles ABC, AGD, BCD, on obtient 




Fig. 4. 



sin [a -\- b) ■=. 


sin 


n 


sin m 


sin 


a 


sin jS 


sin a = sin m sin y. 






sin h z=z sin n cos 


cos v 
cos a = — , 






cos b =r -. ", ; 



sin p 



GÉOM É T R I E E T T II l G N M Ê T R I E S f II É R IQV E S 205 

d'où 

. si m m . . . „ 

sin a cos h = -.. sin '-t = sin \a -\- b\ sin Y y 

sin p 

■ l S1U ,l 2 .1 2 

sin /; cos « = — cos J y = sm (a -(- </) cos 'y 

si a a 

et, à cause de la formule 1), 

sin rt cos /> -|- sin b cos a r= sin [a -f- 6). (5) 

C'est la formule pour la somme des arcs : afin que sa dé- 
monstration soit généralement valable, ii suffit de remarquer 
que, par suite de la continuité du sinus (n° 6), il existe tou- 
jours un triangle rectangle dans lequel la hauteur abaissée 
du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse divise celle-ci 
en deux segments donnés (dont la somme soit <^ . Des 
formules du triangle rectangle, en effet, on tire aisément 
que, les lettres conservant les mêmes significations que ci- 
dessus, on a, dans le triangle rectangle ABC, 

tg AD = ig AB cos 2 «. 

Or de la continuité du sinus il suit immédiatement aussi 
la continuité de la tangente et du cosinus: si donc AB res- 
tant constant, on fait croître avec continuité a de à ^, AD 
variera avec continuité entre AB et et passera par tonte 
valeur, arbitrairement assignée, de a < AB. 

Beppo Levi Plaisance, Italie . 



P. S. — Cet article fut envoyé à la rédaction en août 1904. Tout 
récemment a paru dans les Mathematischen Annalen I3<I. 60 une 
note de M. Dehx où l'auteur donne une démonstration nouvelle de 
l'équivalence par réunion de parties égales des polygones ayant 
même excès sphérique, indépendamment du postulatum de la con- 
tinuité. 

A cette occasion je donne encore quelques autres références bi- 
bliographiques, dont je n'ai eu connaissance qu'après avoir corrigé 
les épreuves de l'article. Dans les Collectanea de M. Enriqubs: 



206 .1/. - F. /> A N 1 E f. S 

Questioni che riguardano la geometria elementare, M. Bonola 

donne aussi une démonstration de la proposition que la somme 
des angles d'un triangle sphérique est plus grande que deux an- 
gles droits, en ayant cependant recours à la notion extensive de 
l'aire du triangle, qu'il est certainement utile d'éviter. Au contraire, 
dès le 1895, M. M ans ion a donné, dans un supplément de Mathesis, 
une construction de la Géométrie et de la Trigonométrie sphé- 
riques, indépendante des hypothèses sur les droites parallèles et 
sur l'infinité de la droite. Si Ion confronte avec celle-ci la nouvelle 
construction on verra, je l'espère, que l'intérêt méthodologique 
n'est nullement diminué. 

Plaisance, 12 Février 1905. 



LES COORDONNEES PROJECTIVES SUR LA SPHERE 



1. Des coordonnées sphériques non-homogènes ont été in- 
troduites par C. GuDERMANN ', qui, pour déterminer la position 
d'un point M par rapport à un triangle sphérique YXY dont 
deux côtés VX et VY sont droits, mène parle point en question 
les droites sphériques XM et YM. La première rencontre le 
côté YY en Q, la seconde rencontre le côté VX en P. Ce sont 
les tangentes trigonométriques des arcs YQ et VP, qu'il con- 
sidère comme les coordonnées du point M ( Axerikoordinate). 
Quelquefois il emploie aussi un système de coordonnées po- 
laires : Tare YM et l'angle XYM, qu'il appelle les coordon- 
nées centrales du point M (Centralkoordinate). Les problè- 
mes ordinaires de la droite, des coniques, de la oycloïde et 
de la chaînette sphériques qui sont traités dans ces systèmes 
de coordonnées donnent lieu à des déductions et des for- 
mules d'une extrême longueur, ce qui explique suffisamment 
l'oubli dans lequel les recherches de Gudermann sont tom- 
bées. 



1 C. Gudermann. Grundriss der analytischen Sphàrik. Kôln. 1830. 



COO R 1) S .Y É E S !' R JECTIV E S S U H LA s /> Il I. R /•; 207 

Indépendamment de lui, un géomèlre anglais, Ch. Gra- 
ves 1 , arrivait, quelques années plus tard, aux mêmes sys- 
tèmes de coordonnées. Pour l'emploi des coordonnées po- 
laires sphériques il avait été devancé par son compatriote 
S. T. Davies 2 . 

On doit à Môbius 3 un premier essai d'introduire un sys- 
tème de coordonnées homogènes sur la sphère. Il y arrive 
en étendant à celte surface le calcul barycentrique, et voici 
comment il procède. Si A, B, C sont trois points de la 
sphère, on peut, pour tout autre point Q de la surface sphé- 
rique, trouver des nombres a, b, e tels que 

a cos VA -|- /vcosYB -\- ccosVC — c/cosVQ 

le point V étant un point de la sphère tout a fait quelconque. 
Pour arriver à une sphérique analytique, nous voulons, dit 
Môbius, par abréviation, laisser de côté les signes cos et V 
et écrire, au lieu de l'équation précédente : 

aA 4- *B + cC = r/Q . 

Les coefficients a, b, c sont alors les coordonnées homo- 
gènes du point Q, et Môbius démontre ensuite que celte 
manière de traiter analvtiquement la surface sphérique est 
au calcul barvcentrique comme la sphérique est à la plani- 
métrie. Le centre de gravité des poids a, b, c en A, B. C 
ne sera pas dans la surface sphérique, mais on peut ajouter 
au centre de la sphère M un poids m, tel qu'il est ramené au 
point de la sphère «A -h b\\ + cC. 

G. Salmon 4 , procédant autrement, arrive à des meilleurs 
résultats. Si Ton substitue les coordonnées d'un point P de 
la sphère dans le premier membre de l'équation normale 
« =0 d'un plan passant par l'origine qui est en même temps 
le centre de la sphère), on obtient la normale abaissée du 



! 7\v<> geoinetrical Manoirs on the gênerai properties of cônes of the second degrce and of the 
spherical conics by M. Chastes, translatée from the french, ait h notes and additions, and an 
appendix on the application of analysis to sphericat Geometry, by the Rev. Charles Graves. 
Dublin, 1841. 

2 Transactions of tho Royal Society of EuVnburgh, Vol. XII. 

3 Môbius. Gesammelte Werke, Il l8r ISand. S. 1-54. 

* Salmon-Fikdi.kr. Analytische Géométrie des Itàumes, I. Teil, 3. Auflage. X. Kapitel. 



208 M. -F. DANIEL S 

point P sur le plan « = ou encore le sinus de l'arc sphé- 
rique compris entre P et le grand cercle déterminé sur la 
sphère par le plan. Les valeurs «', /3, y qu'il obtient ainsi 
pour trois plans différents passant par le centre sont les 
coordonnées drr point P par rapport au triangle sphérique 
que ces trois plans déterminent sur la sphère. 

Nous allons développer un système de coordonnées pro- 
jectives sphériques, cpii permet de passer de deux manières 
différentes aux cas spéciaux des coordonnées projectives 
planes et aux coordonnées cartésiennes. Le traitement des 
problèmes sphériques, dans ce système de coordonnées, se 
trouvera èlre plus simple et plus symétrique que celui des 
problèmes analogues pour le plan, et il ne nécessitera nulle 
part l'intervention de la connaissance des coordonnées car- 
tésiennes. Sous ce rapport, l'exposition ordinaire des coor- 
données projectives, qui présuppose déjà la connaissance 
de ce qui en est un cas spécial, laisse certainement à dé- 
sirer. 

Nous nous servons, dans L'exposition des éléments de la 
sphérique analytique qui va suivie, de quelques relations 
très simples du calcul des vecteurs qui se trouvent dans un 
article de L'Enseign. Mathématique (mars 1 ( J02, p. 111-113). 

2. Le rayon de la sphère étant l'unité, chaque point de sa 
surface est déterminé par un vecteur-unité r partant du cen- 
tre. Chaque multiple positif de ce vecteur détermine le même 
point; chaque multiple négatif détermine le point diamétra- 
lement opposé. 

Due droite sphérique, son sens positif étant fixé, est dé- 
terminée par un vecteur-unité 1 partant du centre, normal au 
plan de la droite sphérique, et à gauche lorsque celle-ci est 
parcourue dans le sens positif. In multiple négatif de 1 dé- 
termine la même droite parcourue dans le sens inverse. 

.'{. Le triangle sphérique rirar3 a les angles extérieurs 
Ai, A2 . As ou A281 A8i, A12, les côtés ai , a-i, a$ ou <723, ffsi, au 
et les hauteurs In, lu , h% . Si, en parcourant les côtés dans 
le sens indiqué par les flèches, on prend les vecteurs li, I2, U 



(<)<> i: l> O N .Y E E s P i; J E CTl V E S S UR LA s i> Il È I: E 209 

des droites à gauche, ou obtient le triangle polaire dont les 
angles extérieurs sont r/23, an , (i\i et les côtés A23 , An , A12 . 




Les propriétés des produits scalaires nous donnent d'abord 
les relations suivantes entre les vecteurs des sommets 
fi, T2, T3 et ceux des côtés li , la , I3 du triangle sphérique 



l 



T i r A . = cos a a 
1, 1. = cos A- 



(2) 



U; =1/ 



(3) 



| 1. r, =r sin /,, 



tandis que celles des produits vectoriels nous fournissent les 
éoalités : 



|4) Vr» rs = sin <?i .li V'rsTi = sinfls.ls 

(5) Via la = sinAi.n Vlali = sinAa.ra 

L'Enseignement mathém., 7« année j 1905. 



Vri ra = sin (i t .h 
Vli h =± sinAa.ra 
15 



210 M. -F. DANIELS 

Les deux premières des équations 4 et ;Y nous donnent 
ensuite : 

Vn rs . Vr«ri = sin ai sin aa.li h 

Vlïls . Vis li = sin Ai sin As.n T> 

qui, pouvant s'écrire 

r2rs.r?ri — r» ri = sin m sin aa.h h 
bls.lsli — I2 h = sin Ai sin As . ri rs , 

sont les formules fondamentales de la trigonométrie sphé- 
rique : 

eus ai cos (12 — cos as = sin ai sin ai eus As 
ctis Ai cos A2 — cos A3 = sin Ai sin Aa cos a% 

En outre, la multiplication scalaire des équations (4 par 
n . T2 . r 3 donne 

(6) sin ai sin Ai = sin «2 sin //» = sin 03 sin Aa 

de même celle des équations (5) par h , la, I3 

(7) sin Ai sin Ai =: sin As sin As = sin As sin As ; 
d'où nous tirons encore 

(8) sin ai : sin as : sin as '==: sin Ai : sin As : sin As 

4. Le vecteur d'un point, qui Le vecteur d'une droite, qui 
en général n'est pas un vec- en général n'est pas un vec- 
teur-unité et que nous écrirons teur-unité et que nous écrirons 
doue x 4 T , décomposé d'après donc tt t l, décomposé d'après 
les trois vecteurs non-coplanai- les trois vecteurs non-coplanai- 
res, qui déterminent les soin- res correspondant aux sommets 
mets du triangle de référence, du triangle polaire, donne 
donne 

.nT = im ri + niiT-z -\- i)i?.ri m\ = m h -(- 7*2 12 -f- nsh 

ou. si nous introduisons trois ou. si nous introduisons trois 
constantes f* i différentes de zéro constantes v. différentes de zéro 

.n r = fti .n n -+- p.2 xs r2 -+- as ./s rz . im1 = viuili -)- vsusls -|-«susls • 



COORDONNÉES PROJECT IV ES SUR LA SPHÈRE 211 

Les coefficients ,x x , .i\ 2 , .r 3 Les coefficients u i , « SJ u 3 sont 

sont les coordonnées du point, les coordonnées de la droite, tan- 
tandis que le point • dis que la droite 

pti fl -f" tti T2 + f*s T» , vi li -|- V2 I2 -+- va la . 

dont les coordonnées sont égales dont les coordonnées sonl égales 
;i l'unité, est le point-unité. à l'unité, est la droite-unité. 

5. Equation d'une droite. Pour Equation d itn point . Pour que 

que le point la droite 

ftixiTi + fx-i.j'2r2 + ot3.rsr3 viuih -\- v*ush + vs//.tl4 

soit sur la droite donnée passe par le point donné 

vrrili + vslfeli + vst'3ls , f* 1 . 1 ' 11 " 1 + f*aj«rs -(- f*sj«rs 

il faut et il suffit que la distance il faut et il suffit (pic la distance 
sphérique de ces deux vecteurs sphérique de ces deux vecteurs 

soit -^ , ou que leur produit sca- soit — , ou que leur produit sca- 
laire laire 

(xi vi sin lu . Vi xi -\- (X2 V2 sin I12 . V2 r-i vi p.i sin In . vi m -\- V2 us sin ha . V2 112 

-\- f*3 vs sin hs . Vs xs -|- vs p.s sin //3 . >'s i/3 

soit nul. soit nul. 

Ces conditions se simplifient considérablement si nous 
choisissons les constantes u.. et v. de manière à ce que 

(9| (Ai vi sin /<i =r (/2V2sin/i2 = fis vj sin /i2 EE A . 

Dans ce cas l'équation de la droite devient en coordonnées 
ponctuelles sphériques 

Vl * 1 + V3 X2 -f - 03 X3 = , 

et celle du point en coordonnées tangentielles sphériques 

Tl iil + V2 II 2 -f - V3 f/3 = . 

L'équation de la droite-unité est 

• t'I -|- Xi -f" X3 = 

et celle du point-unité 

«1 + 112 -j- «3 = 



212 



M. - F. I) A N 1 E I. S 



(>. Le tenseur .r, t du point 
X4 r = (xi an ri -+- fX2 .r? n + f*s .*s rs 
se trouve, en prenant le carré: 
ar 4 8 = f*i*aîi 2 + fia^xt* + ■•• 

2 fii f*2.n .*'i' eus ffs -{- ... 

Nous représentons cette forme 
quadratique, qui revient sou- 
vent, par 

wi.n .*'2.r3) ou w(.»'.rl . 



Le tenseur u . de la droite 

;/4 1 = vi Mi h -(- V2 t'2 h -{- vs f/s ls 
se trouve, en prenant le carre : 

«4* = Vi 2 Iti 2 -\- «2 W2 1 -f- . . . 

2 vi va "1 "2 cos As -f- ... 

Nous représentons cette forme 
quadratique, qui se rencontre 
souvent, par 

il Un «2 «s| ou fl [u u) ■ 



7. Si Ion =0 et lors =0, c'est-à-dire si les points Pi (ru 
et P2 (ra) sont situés sur la droite lo , tout point 



ri — > n 



est également sur lo , parce que sou produit scalaire par lo 
est nul. En outre, nous avons 



Pi P2P) 



sin Pi P 

sinPTF 



= > , 



car si t est la valeur absolue ou le tenseur de ri — Xra , les 
propriétés du produit vectoriel nous donnent 

| Vin — lT2\ n I = X I Vn ra | = t sin V Pï 

et I Vin — /mr» | = | Vn r2 | = r sin P Ps ; 
donc 

À = (P1P2P) . 

De même on démontre que la droite sphérique 

p = h - Xh 

passe par rinterseclion des droites sphériques pi h et pz h) 
et que 

X = \pipip\ . 

Le rapport anharmonique des points 

ri . n . ri — Ir-i et ri — un 



C O O II DON X E l. s p R ojèctiv e s s 11: LA s i> il i: i: i: 2 1 :{ 

est / : u , et, si Ton fait passer par ces quatre points les qua- 
tre droites sphériques concourantes 

li . b . h — Xols el L — fio h 

on aura les égalités 

L ri = Ur» = (li — Xolï) (n — Xr») = (h — j*ol*) (n — pri) = , 

dont les deux dernières, simplifiées à l'aide des deux précé- 
dentes, donnent le théorème de Pappus 

X : u = ).o : uo 

8. Les droites joignant le Les points d'intersection de 

point la droite 

P EE /Xl XI Tl + U2 X2 T2 -\- P-3 3CS T3 p EE VI Hl 11 -\- V2 U-2 h + V3 1(3 1$ 

aux sommets du triangle ren- et des cotés du triangle déter- 
contrent les côtés opposés en minent avec les sommets oppo- 

sés les droites 

Pi EE U2 .»'2 12 -+- 113 X3 Ts : JJl EE V2 «2 h -\- V3 U3 ls '. 

P2 EE f*3 XaTs + wi ri n : P3 = .. . p-2 EE vs H3I3 -f- vi m h . ps EE ... 

carPest aussi bien sur la droite cary; passe aussi bien par l'in- 

qui relie P i au sommet A t que tersection de p l et du côte </ t 

sur celle qui relie P 2 à A., , etc. que par celle de /_>, et r/. 2 , etc. 

Pour le point-unité Pour la droite-unité 

E e pi ri -\- U2 T2 -\- pt3 r» e EE vi li -f- va I2 -\- vs 1.3 

nous avons de même 1 nous avons de même 

Ei EE u-2 T2 -(- ps Ts : fi E V2 I2 -f- V3 I3 : 

E2 EE U3 r» + ui Ti ; Es EE • . f2 EE vs I3 -f- vi li ; C3 EE • • • 



1 Les (joints conjugues harmoniques El EE U2 T2 — us Ts , E'2 EE U3 Tî — Ui Tl , 
E'3 EE Ul Tl — U2T2 sont sur une droite (polaire trilinéaire de El dont l'équation — dans 
la supposition toutefois que les u. et v- aient été choisis tels que UV si 11 h ■ est une cons- 
tante — peut s'écrire 

Xi -(- X2 -f- -*'3 = • 
La polaire trilinéaire du point-unité est donc, dans cette supposition, la droite-unité. 



21 'i 



M. -F. DANIELS 



Nous en concluons, d'après 

§ 7, que 



(A2A8P1) = — 



psxs 



p2 J'2 

(A» A 8 Ei) 



pa 



c'est-à-dire que 



1A2A3E, P,) = '- . 

De la même manière on trouve 
naturellement 



Nous en concluons, d'après 
§ 7, que 



[ai ris pi) = 



el 



V3 US 
V2 «2 



1(12(13 et) =. , 



c'est-à-dire que 
{ai as e\pi) 



us 



De la même manière on 
trouve 



(As Ai Es P«) = — , etc. 

.ri 



(«3 «1 e2 pi) 



, etc. 



9. Ceci nous permet de démontrer les théorèmes suivants 



Si, du centre de la sphère, 
les sommets A, , A 2 , A 3 ; et les 
points E; P; E t , P x ; etc., se 
projettent sur un plan quelcon- 
que e en A', , A' t , A', ; E' ; P. 1 ; 
E', , P'j ; etc., les coordonnées 
projectives .1' . du point P' par 
rapport au triangle plan A^A^A'g 
seront les mêmes que celles du 
point P par rapport au triangle 
sphérique A,A 2 A 3 , pourvu que 
la projection E' du point-unité 
E devienne point-unité dans le 
triangle plan. 

En effet, nous avons vu que, 
dans le triangle sphérique : 



(A» A, Ei Pi) 



X2 
X3 



Nous avons de même, comme 
cas spécial dans le triangle plan : 



lAU'.E'] P'il 



x 2 

■r's 



D'après le théorème de Pap- 
pus, les deux rapports an har- 
moniques sont égaux ; nous 



Si, du centre de la sphère, 
les côtés a i , a s , a 3 ; et les droites 

e '■> P '■> e \'->Pii etc -> se projettent 
sur un plan quelconque e en 
a\, a\, a\\ e' ; p' ; e\ ,; p\ , etc., 
les coordonnées projectives u' t 
de la droite p' par rapport au 
trilatère plan a\a\a\ seront 
les mêmes que celles de la droite 
p par rapport au trilatère sphé- 
rique a l a i a 3 , pourvu que la 
projection e' de la droite-unité 
e devienne droite-unité dans le 
trilatère plan. 

En effet, nous avons vu (pie, 
dans le trilatère sphérique: 



[as as ci pi) 



Ui 

us 



Nous avons de même, comme 
cas spécial dans le trilatère plan : 



I a 2 a 3 e 1 v 1 = 



p 1 = — . 
' u 3 

D'après le théorème de Pap- 
pus, les deux rapports an har- 
moniques sont égaux ; nous 



COOlt I) V .Y É E s /> Ii () .1 I. CTIV E S SU R I. . 1 S l> Il I. Il E 2 1 5 

avons donc — = —r , et <l<- incnic avons donc -7- = -y et de niriiic 

xs x 3 m i< ■■•■ 



xs x s , . . , • 
— = -y , c est-a-dire 
an .*• 1 



jri : .r2 : xs = a: 1 : .r 2 : .*' 3 . 

ce qu'il fallait démontrer. 



- = -y : c est-a-dire 

m h 1 



«1 : «2 : U» =z ui : ua : u a 
ce qu'il fallait démontrer. 




*/-*• 



10. Prenons comme application fig. 2 le triangle sphérique 
A1A2A3, dont les côtés A3 Ai, Ai As , A2A3 sont — , 5. — , 
tandis que le point-unité E coïncide avec le point d'inter- 
section des médianes, les projections se faisant sur le plan 
tangent en A3. Dans ce cas on a A3 Ei = A3 E2 = — et, par 
conséquent, le rayon de la sphère étant l'unité, A3 E'i 

= ÂTbTi = 1 . 

Pour trouver E', les points E'i et E'a doivent élre reliés à 
A'i et A'2 ; mais, comme ceux-ci sont à l'infini sur les « axes » 
A3 X et A3 Y, il suffira de mener par E'i et E'2 des parallèles 



216 M. -F. DANIELS 

à ces axes; leur point d'intersection sera le point-unité E' 
de la ligure plane. De même on trouve la projection P' d'un 
point quelconque P comme intersection des parallèles à 
A3 X et A3 Y menées par P'i et P'a. 

Si nous appelons maintenant AsP'i et A3 P r 2 les coordon- 
nées cartésiennes Y et X du point P' par rapport aux axes 
obliques A3 X et A3 Y, le théorème démontré nous fournit 
les relations 

r « il a rn ( w A , r , p, , _ A'iE'2 A, P' 2 A3 P'2 .. 

- = (Ai A3 E2 P2) = (Ai As E 2 P 2) = ., T>/ • -. — rrr = . „. = X 
x$ A 1 P 2 As E 2 A3 E 2 

xs . . ' _. . . ., „, T1 , , A'2 E'i As P'i As P'i 

Aa As Ei Pi I = A'a A' 3 E'i P'i I 



xs »--*'—i ' — A'2 P'i AsE'i As E'i 

ou encore 

Xi : J"2 : xs = X : Y : 1 ; 

de sorte que, si f(.rn-2.rz ==■ est 1 équation en coordonnées 
trilinéaires dune courbe sphérique par rapport au triangle 
sphérique de la fig. 2, le point-unité étant l'intersection des 
médianes, l'équation de la courbe plane correspondante en 
coordonnées cartésiennes par rapport aux axes obliques de 
la même figure sera 

/'(X, Y, 1) = . 

11. Nous pouvons trouver des relations analogues entre 
les coordonnées tangentielles d'une droite sphérique p et 
celles de sa projection p' . En effet, la droite-unité e étant la 
polaire trilinéaire du point-unité E, il faut que l 

E, Hi = Es H 2 = * 

si Hi et H2 sont les points d'intersection de e avec les côtés 
<7i et az du triangle sphérique. Il s'ensuit que leurs projec- 
tions H'i et H'2 seront déterminées par 

A3 H'i = As H'2 = — 1 . 
l'ne droite quelconque p donne, avec les deux premiers 



' Car on a Es — ri + T3 , par const'-quent H2 = ri — rs , et, comme le produit scalaire de 
ces deux vecteurs est nul, leur distance sphérique est - . 



C O II I> O N N E E S P II / E (Il V I. & SV R L A S P II È II E 2 1 7 

côtés, les points d'intersection IIi et Uz , tandis que sa pro- 
jection // rencontre les « axes » correspondants en Il'i et n'2 . 

Nous avons donc 

m As II '2 A'i n' 2 A 3 H'2 — I 

— = ir/i as eapa) = 'As Ai H2 Phi = 1 A3 A 1 H .-Il 1) = r . . , ,,, = = — 

itî ' As Il 2 Ai H2 A3 II 2 a 

" 2 K * II n ^ 1/ TI» r,' AsU ' 1 A'tD'l A, II'i — 1 

— = icnazeiin) =. 1A3A2H1 lli) = (A3 A 2 II 1 U 1 1 = r . . . „, = >- = -— 

«3 ' As II 1 A'jH'i A 3 H 1 h 



ou encore 



«1 : 09 : «3 — : — -r : 1 = u : V : 1 . 

a /y 



si nous désignons A3 n'2 et A3 n'i , c'est-à-dire les distances 
de l'origine aux points de rencontre de la droite p' avec les 
axes A3X et A3Y par a et b , et si, avec Plùcker, nous rempla- 

1 l 

cons et T par u et v. 

a o l 

Si donc l'équation dune courbe sphérique par rapport au 
triangle sphérique de la fig. 2 est en coordonnées trigonales 

f'Ul , U-2 . HZ) = , 

l'équation de la courbe plane correspondante en coordon- 
nées de Plùcker par rapport aux axes obliques de la même 

ligure sera 

f(u, v, 1) = . 

Application. L'équation d'une droite sphérique/? étant 

m ri -\- m X2 -\- ut .r» =r , 
celle de la droite p' dans le plan est, par conséquent 

- + v — 1 = ou ux + vy -4-1=0 . 

a h 

12. Pour trouver une autre signification géométrique des 
coordonnées ponctuelles et tangentielles introduites, reve- 
nons aux expressions 

xi r =3 «1 an ri + u. 2 .n x-i -+- 1/3 .rs n et m 1 = vi mi L + v ? "2 1-' + v 3 uz h 

et rappelons-nous 6g. 1 que la distance sphérique du point 
r à I3 est le complément de lare £3 , tandis que la distance 



2 1 8 M. - F. /> A N I E I. S 

de 1 à Ta est le complément de ôs . Multipliant donc les deux 
équations par k el r3, nous obtenons 

X4 sin Ç3 = ItBXs sin ha m sin #t = va u 3 sin lis . 

d'où nous concluons facilement 

sin jj] si 11 e-- sin |s 

Xi '. •T2 ^ .f s — : : — - — : 

pu sin In p.2sin//2 uasinht 

et 

siu (Ji sin fa sin ç?a 

«1 : ta : 113 = 



sin //1 va sin /*2 V3 sin 1rs 

si £. sont les distances sphériques du point P aux trois eôtés 
et $. les distances sphériques de la droite p aux trois som- 
mets du triangle de référence. 

En faisant coïncider le point-unité avec l'intersection des 
médianes, c'est-à-dire en prenant fx = 1 , nous devons pour 
satisfaire aux équations (9) prendre les coefficients p,de ma- 
nière à ce que e.sinA. devienne constant. Nos proportions se 
simplifient par ces suppositions, et si nous passons encore 
de la sphère au plan, où le rapport de deux sinus devient le 
rapport des arcs correspondants, nous aurons 

h h U 

Xi : X\ : .rs = — :—: — 

In Ii2 Ii3 

m : ii2 : lia = <?i : <?2 : Js ; 

de sorte que l'équation d'une droite plane (et d'un point) en 
coordonnées trilinéaires devient 

//l «2 «3 

13. Passons au cercle sphérique. 

Toutes les droites n t qui ont Tous les points x, qui ont la 

la même distance q d'un point même distance 9 dune droite 

fixe y t enveloppent un cerele sphérique v t sont sur un cercle 

sphérique dont l'équation est sphérique dont l'équation est 

lpt1 riTi + \x2r2V2 + pt3 )"s Ts I 1 vi //1I1 -|- va 112X2 -j- vs/ob) = rnusinp ; 

I VI Vl 11 + v 2 V2 L + VS V3 ls I I pli .»'! Tl + (X3 .t 2 f2 -j" f" Xi T3 I = t"4 ■»'•* COS ^ 



<<)() /,' I) N .Y E E s I> /{ JE CT1 V E S S I II I. A s l> II E U E 2 I '.» 



ou encore 



[10) In «i -f- V2 ii2 -f- i s «s'A — V4 m sinp = , 

caries tenseurs des deux vec- 
teurs dont nous avons formé le 
produit scalaire sont y A et u^ , 
tandis que leur distance sphë- 

nque est - — q . 

L'équation (10) du cercle en 
coordonnées tangentielles u i est 
en réalite du second degré, parce 
qu'elle contient 



lli = \/D.{Ul 112 U3) . 

Si l'on y pose q — . on re- 
tombe sur l'équation bien con- 
nue du point y i . 

14. Il est évident que réci- 
proquement toute équation en 
coordonnées tangentielles de la 
forme ! : 

Bl Wi -f- Bj 112 + B3 US -f- B4 114 = 

représente un cercle sphérique 
dont on détermine le centre y. 
et le rayon q par la comparai- 
son avec l'équation 1 10 , donnant 

11 A = Bi ; vî A = B2 ; r 3 A z= Bs ; . 

ji sin p =z — B4 ; 

ce qui nous permet de dire que 
ui Bi n -\- «2 B2 T2 + us Bs rs 

est le centre, et que le rayon se 
trouve par 

B*A 

r l/6)|BiB 2 Bs) 



ou encore : 

1 1 1 1 [V\ Xi + C2 r-i -\- Vs .r 3 S — V* < * co8 =. 

car les tenseurs des deux vec- 
teurs dont nous avons formé le 
produit scalaire sont v, et ./, . 
tandis que leur distance sphé- 

nque est ç = - — . 

L'équation 11 du cercle en 
coordonnées ponctuelles .r. est 
en réalité du second degré, parce 
qu'elle contient 



Xi — [/ w \Xi Xi xs) 

Si l'on y pose 9 = - — ç = 0, 

on retombe sur l'équation bien 
connue de la droite v i . 

Il est évident que toute équa- 
tion en coordonnées ponctuelles 
de la forme ' : 

bi x\ -\- l>2 X2 -f- In xî + b* xk — 

représente un cercle sphérique 
dont le centre et le rayon se 
trouvent par la comparaison 
avec l'équation 11 , donnant 

V\ A — In : i'ii = l>2 : r 3 A — In : 

Vi cos p = — lu ; 

ce qui nous permet de dire que* 
vi In li -j- V2 In I2 -+- V3 bs h 

est le centre, et que le rayon se 
trouve par 

In à 

cos p = = . 

{/iiibi l>2 bs) 



1 II est à remarquer que, dans cette équation, les coefficients sont indépendants entre eux . 
B4 et bi ne sont donc nullement \ QiBiHaBsi et \ w {bi bu bs' . 

2 Si nous appelons il'i^j la dérivée de £1 (&» A» 4îl par rapport à b; . cette expression pour 
le centre peut encore s'écrire tii il\bl).Tt -)- U2 H /'2i.r2 -+- ps il <h'.TZ ■ 



220 



M. - F. I) A .\ I E I. S 



15. En partant des équations (10) et (11), il est facile devoir 
que les équations des circonférences sphériques tangentes 
aux trois droites non-concourantes c^., «• ., /•. ou passant par 
trois points y., z., t., qui ne sont pas sur la même droite 
sphérique, seront 



m ua 113 m 

ri /■-> Ps Vi 

il', H'2 lis K'4 

n rs /- 3 '4 



[(>. Exemples. — Cercle ins- 
crit. Dans ce cas, les trois droi- 
tes données sont les côtés du 
triangle, dont les coordonnées 
sont(l, 0,0), (0, 1,0), (0,0, 1), 
tandis que les éléments corres- 
pondants dans la dernière co- 
lonne du déterminant devien- 
nent )'j , v 2 , v 3 . L'équation du cer- 
cle inscrit en coordonnées tan- 
gentielles est, par conséquent : 



Ul 1(2 1(8 Ui 

! U vi 

1 V2 

1 v, 



— V| ttl-|-Vj«2-f-VSl/S 

— in = . 



.n Xi xs Xi 

Vl X2 YS Vi 

Cl C2 CS "4 

h U h ti 



Cercle circonscrit. Dans ce 
cas, les trois points donnés sont 
les sommets du triangle, dont 
les coordonnées sont (1 , 0, 0) , 
(0,1,0), (0,0,1), tandis que 
les éléments correspondants 
dans la dernière colonne du 
déterminant deviennent fi x , fi%, 
jU 3 . L'équation du cercle cir- 
conscrit en coordonnées ponc- 
tuelles est donc 



Xi X2 xs Xi 

1 pi 

10 u 2 

1 



u. 



Ul Xl-\-U2 X2 -\-U3Xi 

— Xi = , 



Il est évident que ces équations peuvent encore s'écrire 

(vi «1+V2M2 -j-vsHs) 2 — £1 («i in us) = ; { ui xi -\- ai X2-{- us X3) 1 — wl.r1.r2r3) = ; 

ce qui, développé, donne 



1(2 IIS . „ Al [(S U\ .M 2 A2 , 1(11(2 . , A| 

- siq 2 — H *- si — H sin 2 — — ; 

VI l V2 l V3 £ 



X2X3 . .. <( t , rs ri . (12 . xi xo . , «s „ 

- sin 2 — + siu 2 ~ -\- - - siii J — = 



P 



Les centres sont 



fil vi Ti + U2 V2 Ti -\- us vs Ts 



US 



et vi jxi li -)- V2W2I2 -|- vs (/s ls ou 

(tlû'(ui)n + U2Ll'<U2)T2 + U?.Lï'[U3)Ts , 



DES AXES D'UNE HYPERBOLE 11\ 

tandis que les rayons se trouvent par les formules 

A A 

Sinr= — ; eus K = — — . 

|/bt(vivavsj y il i pi «2 jxs l 

Enfin, si nous prenons jiz. = 1 et v.= sinA., c'est-à-dire 
si nous prenons l'intersection des médianes comme point 
d'unité, les équations précédentes deviennent 

Ai A2 , A3 

W2 UZ tg — + «3 «1 tg — -|- «1 «2 tg — = ; 

. , f'1 . „ «2 , . „ «3 . 

« /s sin' — -j- x$Xi sur — -\- an a"s sur — = 

Pour le plan, l'équation du cercle inscrit restera en coor- 
données barycen triques 

Ai A2 As n 

U2 U3 tg -5- + «3 «1 tg — 1- //1 H2 tg •— = , 

tandis que celle du cercle circonscrit devient 

ai s xsxa -f- aa*X3Xi -|- «s 2 a , iX2 = . 

M.-Fr. Daniels (Fribourg, Suisse . 



DETERMINATION DES AXES DUNE HYPERBOLE 

DONT DEUX DIAMÈTRES CONJUGUÉS SONT DONNÉS 



On connaît beaucoup de constructions des axes dune 
ellipse, dont deux diamètres conjugués sont donnés. L'une 
des plus récentes et des plus fécondes est celle qui est due 
à M. Manheim l . Moins nombreuses sont les solutions de la 
même question pour l'hyperbole. Mais on peut résoudre cette 
dernière question avec la même facilité que la première, si 
Ton regarde une hyperbole quelconque connue projection 



1 Nouv. Annales de Mathématiques, 1904. janvier. 



222 (]. MAJCEN 

d'une hyperbole équilalère. J'ai donné quelques relations 
entre une hyperbole équilalère et une hyperbole générale 
dont l'un des axes est égal à Taxe de la première, dans un 
article intitulé : « Ueber dirige Beziehungen der allgemeinen 
Hyperbel zu der gieicliseitigen \ et je continuerai ici ces 
recherches en vue de la détermination des axes d'une hyper- 
bole générale. 

1. Soit une hyperbole équilatère h et a son demi-axe. Fai- 
sons tourner cette hyperbole h autour de Taxe imaginaire 

d'un angle a < -. Si nous projetons cette position de l'hy- 
perbole h sur le plan primitif, nous obtiendrons une hyper- 
bole h', dont le demi-axe imaginaire b' sera égal à a et dont 
Taxe réel sera 2 a cos a = 2 a r , or a < b'. L'angle asymplo- 
tique de l'hyperbole h' sera un angle obtus <p. Deux diamè- 
tres quelconques conjugués de l'hyperbole h se projetteront 
en deux diamètres conjugués de la projection h' . Nous pou- 
vons donc considérer deux diamètres conjugués d'une hyper- 
bole générale h' à l'angle asymptotique <p obtus comme pro- 
jections de deux diamètres conjugués (égaux) d'une hyper- 
bole équilatère h ayant les axes égaux à l'axe imaginaire de fi . 
en observant que l'hyperbole h' est, dans le sens indiqué, une 
projection de l'hyperbole h. 

Nous employons, dans ce qui suit, une construction parti- 
culière de l'hyperbole équilatère h. Etant donné un cercle A" 
(fig. 1), dont le rayon est égal à «, menons une tangente / 
quelconque au cercle k. Soit le point de contact Ai, et le dia- 
mètre AOAi Taxe réel de l'hyperbole h cherchée. J'ai démon- 
tré, dans l'article cité, que les courbes h et /»' sont des cour- 
bes correspondantes dans une homologie harmonique, dont 
A est le centre et / l'axe d'homologie. On trouve un point 
quelconque sur h de la manière suivante. On choisit un point 
quelconque T sur t, on joint T au point O et on mène une 
perpendiculaire en T sur /. La droite TO coupe le cercle k 
en un point R". On portera la longueur TR" sur la perpen- 
diculaire en partant du point T, et on obtiendra ainsi un 



1 Zeitschrift fur mathem. u. naturw. Vnterr., XXXII.. p. 513. 




Fig. I. 



h i: s . / \ /; s D ' V .V E il y i> /■: R i: o i. E 223 

point Fi ([ni appartient à l'hyperbole h. En effet, l'équation 
de l'hyperbole h est .r 2 — y% 
.r-_UÎ = ÏÏ°R. —Ce 
qui précède permet 
d'établir la construc- 
tion des axes en ques- 
tion. 

2. Soient OA' et 
OB' les axes, et OR', 
OQ' deux diamètres 
conjugués d'une hy- 
perbole h' . Décrivons 
du centre O avec le 
rayon étant égal à 
OB' un cercle h. Ce- 
lui-ci peut être con- 
sidéré comme un cer- 
cle décrit sur les axes 

d'une hyperbole équilatère h\ dont h' est la projection sur 
le plan de l'épure, après une rotation de h autour de y, telle 
que l'axe OAi de h se projette en OA'. 

Nous n'avons qu'à déterminer la longueur de Taxe de cette 
hyperbole h" ', les diamètres conjugués de h' : OQ' et OQ' 
étant donnés. Faisons donc tourner l'hyperbole h" autour 
de y, jusqu'à ce qu'elle vienne dans le plan de l'épure eu Ji. 
et déterminons la position des points extrêmes R' et Q' des 
diamètres donnés après la rotation laite. Les arcs qui sont 
décrits par ces deux points seront dans la projection deux 
droites parallèles à x. Comme les diamètres OR et OQ de- 
viendront (après la rotation) deux diamètres conjugués de 
l'hyperbole équilatère h, ils auront la même longueur et ils 
seront placés symétriquement à l'asymptote s de l'hyper- 
bole h. Le point N, comme point commun à Taxe de rotation 
y et à la droite de jonction R'Q', reste pendant la rotation 
immobile. Or, nous menons par N une droite n telle que 
l'angle (ny) soit égal à 45°, et cette droite coupe les droites 
menées par Q' et R' parallèlement à .v en deux points ex- 



221 



a. m a. ici:. x 



trêmes R etQ des diamètres conjugués appartenant à l'hyper- 
bole h. 

L'asymptote s' de l'hyperbole h! passe par le milieu M' de 
la longueur R'Q', or, l'hyperbole h' ayant un angle asympto- 
tique obtus, passe réellement par le point R' qui est situé 
dans l'angle asymptotique obtus. 

Nous avons, d'après la construction particulière donnée 

de l'hyperbole h : 

OR"-f- R"T = R T + TR 

ou 

OT = R R . 

mais on a aussi OT = R0A1. Alors pour obtenir le point Ai, 
on décrira du point Ro avec le rayon étant égal à RoR un arc 
de cercle qui coupe x en Ai. La longueur OAi est un axe de 
l'hyperbole h' et cela l'axe étant égal à l'axe de l'hyper- 
bole /*, c'est-à-dire l'axe OB' qui est sur l'axe de rotation y. 
Nous ajoutons que l'arc RAi passe aussi par le point N parce 
que nous avons l'égalité RoR = RoN. Or, on n'a pas besoin 
de déterminer le point R, on peut se servir du point N qu'on 
obtiendra aisément. 

3. En supposant quelques relations bien connues entre 

l'hyperbole et ses diamè- 
tres conjugués, nous don- 
nons la construction sui- 
vante des axes, privée de 
toutes les lignes auxiliai- 
res superflues (fig. 2). 

Etant donnés deux demi- 
diamètres conjugués OR', 
OQ' d'une hyperbole, on 
décrira du milieu M' de la 
longueur R'Q' un demi- 
cercle A" qui coupe la 
droite de jonction R'Q' en 
deux points P et N. Les 
droites OP et ON (ou œ et 
y) sont les directions des axes de lhyberbole. L'asymptote OM' 




Y\: 



VE C TE UH S H E LÀ II F S A UNE CO U H B E 225 

de cette hyperbole fera, en général, avec x et y deux angles iné- 
gaux. Le point R' sera dans L'un, le point Q' dans l'autre «li- 
ces angles. On choisit de deux points R' et Q' celui qui est 
dans V angle plus grand (c'est la moitié de l'angle asymptotique 
obtus), et on mène par lui H' une parallèle à l'axe (.r laquelle 
est un côté de cette angle même. La parallèle coupe l'autre 
axe (y) en un point R . On décrit de ce point comme centre 
avec le rayon étant égal à la distance du point R de l'inter- 
section N des droites y et R'Q' un arc de cercle qui coupe 
l'autre axe [x) en un point Ai. La longueur OAi est la gran- 
deur de l'axe OB' de l'hyperbole situé sur la direction ?/. 

On obtient la grandeur de l'axe sur la direction x, si l'on 
mène par B' une parallèle à la droite R'Q' et qu'on détermine 
le point A' commun à cette droite et à x. 

La longueur OB' sera le demi-axe réel ou imaginaire selon 
que l'hyperbole passe réellement par Q' ou par H', parce que 
deux hyperboles conjuguées ont les mêmes longueurs des axes. 

Je crois qu'en raison de la simplicité de cette construction 
on pourrait en faire usage dans l'enseignement. 

G. Ma.jcen Aura m . 



VECTEURS RELATIFS A UNE COURBE 
(Application de la Méthode de Grassmann.) 



Soient un point P et un vecteur I, tous deux fonction d'un 
paramètre X. Lorsque X varie, le segment PI décrit une sur- 
face réglée ; cherchons la condition pour quelle soit déve- 
loppable. 

On doit avoir, en dérivant par rapport à À 

(l) P'II' = . 

L'Enseignement niathém.. 7« année : 1905. 1 1 i 



226 G, MONNET 

Posons T, N, B étant les vecteurs unitaires des directions 
principales 

I = arT -+- jN + zB . 

1 '=(' r '-7)' 1 ' + (^ + 7 + T>'+(='-T) B ' 

ds 

v== dï ■ 

La condition (1) devient 



p'ir 



TNB 



— y H h 

P f 





K7 



Or TNB ?± o , donc le déterminant doit être nul; on peut 
l'écrire 



A = v 



vx vz , ' vy 

/ + - + — =' - — 

T T 



D'une façon générale, I étant donné par ses coordonnées, 
on conservera A sous la forme précédente. Pour les applica- 
tions géométriques que nous avons en vue, il est souvent 
plus simple de lui donner la forme suivante, due à M. Burali- 
Forti, et dans laquelle I" le vecteur I est unitaire et défini 
par son angle <p avec PNB et l'angle ^ de sa projection sur le 
plan PNB avec N ; 2° À = .s\ arc décrit par P. 



I = si 



m y 



T -f- ces <p cosip . N -j- cosep sin-^ . 15 . 



Tous calculs faits A devient 

sin © cos «p sin i|* ros 2 ^ 



(3) 



A = fenvf 



Pour discuter la condition A = <> nous allons examiner 
divers cas particuliers en faisant certaines hypothèses sur la 
valeur des coordonnées de I. Sous la forme (2) nous suppose- 
rons toujours c y=é 0, car v = est un cas limite où PI décrit 
un cône. 



VECTEURS RELATIFS A INE COURBE 227 

Vecteur dans le plan oscillateur . — <p — 0. 

eus 2 » 

à = - " = . 

Pour cos m = 0, I est dirigé suivant la tangente, la surface esl 
développable par définition. 

Si cos <j> 9^ il faut - — , la courbe est plane et on a le 

théorème : 

Lorsque un vecteur constamment situé dans le plan oscil- 
lateur et différent de la tangente décrit une surface dévelop- 
pable, la courbe est plane. 

Le corollaire suivant est immédiat: 

Lorsque une ligne géodésique est de courbure, elle est plane. 

La normale à la surface est dans le plan oscillateur a la 
courbe puisqu'elle est géodésique, elle décrit une surface 
développable puisque la ligne est de courbure donc la courbe 
est plane. 

En Mécanique ce théorème trouve son application à deux 
reprises : dans l'étude du mouvement d'un point mobile et 
dans celle de l'équilibre d'un fil. On sait en effet que l'accélé- 
ration du point dans un cas, la force agissante dans l'autre, 
sont situées dans le plan oscillateur. Supposons qu'il s'agisse 
de forces centrales, il résulte du théorème précédent que la 
courbe décrite par le point ou affectée par le fil est plane. 

Appelons segment tangentiel un segment dirigé suivant la 
tangente au point A. Il est de la forme 

a = A.» T . 

Dérivons 

a'= A'.rT + AuTi' = A .r'IY . 

La dérivée d'un segment tangentiel est un segment. Son 
vecteur est le dérivé du segment primitif. Ce vecteur est 

(4) (.rT)' = .r'T + — X . 

P 

Cette relation n'est autre que l'équation intrinsèque ordinaire 
du vecteur. Elle montre que ce vecteur est toujours dans le 
plan oscillateur. C'est ce qui a lieu pour l'accélération d'un 



228 



G. MONNE T 



point, dérivée de sa vitesse ou pour la force agissant sur un 
fil, dérivée de la tension. 

Le moment de a par rapport à une forme b, que nous sup- 
poserons à invariant non nul, est 

M = Ç>ab . 

Si b est fixe 

M' =6 a'b . 

Le moment du segment dérivé est la dérivée du moment du 
segment primitif. Lorsque le segment a' appartient à un 
complexe 



6«7> = = M' 



d où 



M = (•'<• 



On a donc le Théorème. — Si le dérivé d'un segment appar- 
tient à un complexe linéaire, ce segment a par rapport au 
complexe un moment constant. 

On déduit de là que dans le cas de forces centrales, la 
vitesse ou la tension ont par rapport au centre un moment 
constant. 

La dérivée du vecteur T est - N , donc si la normale prin- 
cipale à une courbe rencontre une droite fixe, la tangente a 
par rapport à cette droite un moment constant — propriété 
connue. 

Vecteur dans le plan rectifiant, £ = - , ou y = 0. 



eos <f [ -\ 



+ 



On doit supposer 



COS <f ou 

La condition (1) devient 

(5) 



tang ? = — t 



Avant de poursuivre cherchons le plan tangent à la surface 
décrite par PI. Ce plan est au point P : 

PiPI)' = PP'i , 

I =^ sin y . T -f- cos y cos ip "S -\- cos » sin ^ . B , 
P'= T . 
P V I r= P cos <p [cos v N T + sin ^ B T] . 



VECTEURS RELATIFS A UNE COURUE 229 

Pour ^ = T il se réduit à 

PP'l == cos ? sin-; PBT , 

c'est-à-dire au plan rectifiant. Le segment proposé décrit la 
surface rectifiante et la relation 5 en donne la propriété 
fondamentale. 

Comme application mécanique considérons le trièdre TNB 
lié à un point décrivant une courbe quelconque. On sait que 
l'axe instantané a pour coordonnées à chaque instant : 

l _ J_ 

P y ' ~ r 

Il est bien dans le plan rectifiant ; en outre 

P T 

et l'axe instantané décrit la surface rectifiante. 

Soit une ligne asymptotique ; son plan oscillateur étant tan- 
gent à la surface, le plan PBT lui est normal et contient le 
vecteur n normal à la surface. Si nous voulons que la ligne 
soit en même temps de courbure, il faut : 

* + '- = ; 

P T 

or — = dans une ligne asymptotique, donc il taut 

1=0 , 

la ligne considérée doit être droite. 
Vecteur dans le plan polaire. — o = 0. 

(6) A = -ii' = . 

T 

Soit a l'angle de la normale avec une direction fixe arbitraire 
ds 

(6) devient 



. 1 

au . 



■y = «.' . ^ — k + k o 



230 G. MONNET 

Nous déterminerons la direction fixe de façon que oc = 

(7) *■=.«■ 

Si <p = o, c'est-à-dire si la binormale décrit une surface déve- 
loppable, cette surface est un cylindre, la courbe est plane. 
D'une façon générale une droite du plan polaire est nor- 
male à la courbe ; le problème en question revient à l'étude 
des développées de la courbe. Ainsi soient deux segments 
a et b répondant à la question, on a 



^a — ^b = a a 



l b — 



C'est-à-dire les tangentes aux deux développées correspon- 



dantes font un angle constant. 

Vecteur fixe par rapport au trièdre T, N, B. — <p et ty sont 
constants ou x' ', y\ z\ sont nuls. 

cos cp siiiq* sin tL cos 2 » 
A = ™ + = , 

T 

(8) — ' = — t&ngtf . sini^ = K . 

T 

La courbe proposée est une hélice. 
Prenons A sous la forme (2) 

(9| K\-J +>■») + xz = o . 

Tous les vecteurs répondant à la question sont situés sur le 
cône (9). 

On voit que ce cône est tangent au plan oscillateur; il a 
pour plan de symétrie le plan rectifiant, c'est-à-dire le plan 
tangent au cylindre qui porte l'hélice ; il a dans ce plan les 
deux génératrices 

x z 

p T 

On voit aisément que cette génératrice est perpendiculaire 
à celle du cylindre qui passe au même point. Enfin les sec- 
tions de ce cône parallèles au plan polaire sont circulaires. 
Lorsque le cône ainsi défini et semblable à lui-même est 



UNE LEÇON D'OUVERTURE DE M. PAINLEVE 2:U 

entraîné le long de L'hélice, chacune de ses génératrices 
décrit une surface développable et ce sont les seules droites 
qui jouissent de cette propriété. 

Georges Monnet (Lyon . 



UNE LEÇON D'OUVERTURE DE M. PAINLEVE 



L'enseignement de l'Ecole Polytechnique de Paris a subi deux 
rudes épreuves depuis ces dernières années. La mort de Sarrau, 
d'une part, l'état de santé de M. Léauté, de l'autre, ont conduit 
coup sur coup à deux nominations nouvelles aux chaires de mé- 
canique. Sarrau a été remplacé par M. Lecornu qui, en fait, avait 
fait le cours depuis deux ans à titre de suppléant et de la façon la 
plus brillante. 

Quant au successeur de M. Léauté, c'est M. Painlevé. qui n'est 
pas ancien élève de l'Ecole Polytechnique. Les Conseils de l'Ecole 
ont montré une fois de plus leur largeur d'esprit en appelant à 
professer ce cours si important, l'un des plus éminents géomètres 
de la jeune génération. 

En ouvrant son cours, vers la fin de février dernier, le nouveau 
professeur a débuté par l'allocution suivante, 'que nous sommes 
heureux de pouvoir reproduire, en l'empruntant au Bulletin du 
Groupe parisien des anciens élèves de l'Ecole Polytechnique n" de 
mars 1905 . / 

Ce discours fait honneur à celui qui l'a prononcé, aussi bien 
qu'à ses jeunes auditeurs, qui méritaient d'entendre un tel lan- 
gage et sauront en profiter. Il est bien utile que les mesquines 
préoccupations d'origine s'effacent devant la supériorité du ta- 
lent et les intérêts de l'enseignement et de la science. 

La Rédaction. 

Messieurs, c'est pour moi un grand honneur d'être appelé 
à enseigner dans cette chaire où se sont succédé tant de 
maîtres illustres, dans cette Ecole créée par la Révolution 
pour défendre, propager et développer les idées scientifiques 



235 UNE LEÇON D'OUVERTURE DE M. PAINLEVE 

modernes, clans cette Ecole qui a contribué si efficacement 
au renom de la France, en même temps qu'à tous les progrès 
de l'humanité et dont sûrement l'avenir, dans ce siècle qui 
commence, sera digne du passé. 

Messieurs, c'est ici dans cette chaire qu'il y a un peu plus 
de cent ans, Lagrange a fondé l'Enseignement de la Méca- 
nique. Les principes et les axiomes fondamentaux de cette 
science — pour lesquels, durant plus de deux siècles, les 
grands initiateurs Copernic Galilée, Descartes, Newton, 
Leibniz avaient livré, contre les partisans des anciennes doc- 
trines, de si rudes combats, — n'étaient plus, il est vrai, 
contestés. Mais une œuvre immense restait à accomplir : il 
s'agissait, avec les ressources nouvelles du calcul infinité- 
simal, de tirer de ces principes leurs innombrables consé- 
quences. En un mot, les fondements de la mécanique étaient 
jetés ; il s'agissait de la construire. Eh bien, c'est en France 
— et en France, c'est à l'Ecole Polytechnique par ses pro- 
fesseurs et par ses élèves — que la nouvelle science s'est 
constituée, qu'elle est devenue un corps de doctrine, qu'elle 
a revêtu sa forme didactique, c'est de ce foyer qu'elle a 
rayonné sur l'Europe. 

Si les grandes nations occidentales, la France, l'Italie, l'An- 
gleterre, l'Allemagne s'étaient partagé la gloire d'arracher à 
la trame obscure et complexe des phénomènes les principes 
directeurs qui allaient guider désormais l'intelligence hu- 
maine, on peut dire que c'est l'Ecole Polytechnique qui, au 
début du XlX me siècle, a enseigné la mécanique au monde 
civilisé. 

Messieurs, l'Ecole Polytechnique s'est maintenue à la hau- 
teur de ces grandes traditions. Pour le prouver, il suffit de 
citer les noms des deux maîtres que l'Ecole vient de perdre 
en si peu de temps, M. Sarrau et M. Léauté. M. Sarrau, dont 
le souvenir éveille tant d'émotion et de regrets chez ses 
élèves et chez ses amis, a été un professeur incomparable 
par la lucidité et la perfection de sa parole, par la logique 
naturelle et la simplicité de son enseignement, simplicité 
qui venait de la profondeur. Quant à M. Léauté, tous ceux 
qui l'ont entendu regrettent que l'état de sa santé l'ait con- 






M E I. . 1 \ C E S E T CORRE S 1> V DANC E 2:',:; 

traint prématurément à abandonner une chaire qu'il occupait 
avec tant d'éclat et où se manifestaient sa véritable éloquence, 
ses puissantes facultés d'exposition, l'élégance et la variété 
de son esprit. 

Messieurs, ce n'est pas sans émotion que j'assume la lourde 
tâche dont a bien voulu m'honorer, moi, étranger à cette 
école, la confiance de ses Conseils, la tâche de succéder à de 
tels maîtres. C'est guidé et inspiré par leurs traditions et par 
leur exemple que je m'efforcerai de toute ma conscience de 
poursuivre leur œuvre. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Sous ce titre nous publions les remarques et renseignements concernant 
plus ou moins directement renseignement mathématique, telles que des 
descriptions d'instruments ou d'appareils nouveaux, etc. Quant à la corres- 
pondance, elle permet à tout lecteur de présenter sous une forme rapide 
les idées qui lui semblent utiles, les remarques suggérées par la lecture 
d'un article, ou les questions sur lesquelles il aurait besoin d'un renseigne- 
ment. La Rédaction. 



Un calendrier perpétuel automatique. 

Dans rime des dernières séances de la Société des Gens de 
science, à Paris, a été présenté un appareil d'horlogerie des plus 
intéressant. L'apparence extérieure est celle d'un calendrier de 
bureau, portant une montre et, dans des fenêtres spéciales, le jour 
de la semaine, la date du mois et le nom de ce mois ; mais, tandis 
que dans les calendriers ordinaires, ces indications doivent être 
chaque jour changées à la main, ici le changement se produit au- 
tomatiquement. 

Deux mouvements d'horlogerie sont logés à cet effet derrière 
la plaque apparente. L'un commande le mouvement des heures, 
c'est une petite pendule ordinaire, qui se remonte chaque se- 



23 '. ME I. A N G E S ET (OliRESP N D A N G E 

maint', et qu'on peut régler, remettre à l'heure comme d'habi- 
tude. 

I /autre mouvement, qu'il suffît de remonter tous les six mois, 
a pour but l'apparition des dates, qui se produit chaque jour à 
minuit par un déclenchement. C'est là ce qui constitue l'invention, 
la nouveauté de l'appareil. Le problème pratique n'était certes pas 
facile à résoudre avec un mécanisme d'aussi petit volume, étant 
donné l'irrégularité des mois de chaque année, et surtout la com- 
plication résultant des années bissextiles. Cependant, tout a été 
prévu selon les règles de compensation qui règlent le calendrier 
grégorien et, théoriquement, l'appareil serait indéfiniment d'ac- 
cord avec ce calendrier. 

Il nous est impossible de donner ici un aperçu des moyens par 
lesquels des difficultés paraissant insurmontables, ont été fran- 
chies ; mais nous pouvons, sans exagération, affirmer qu'il y a là 
un véritable tour de force accompli. 

L'inventeur, M. Tilmant, a consacré bien des années de travail 
à ses recherches avant d'arriver au résultat enfin obtenu. Si ce ré- 
sultat est de nature à attirer l'attention des personnes qui s'inté- 
ressent au mécanisme de l'horlogerie, l'utilité pratique d'un sem- 
blable appareil est évidente pour quiconque désire connaître, sans 
avoir aucune recherche à faire, la date exacte de chaque jour. 

Le calendrier automatique Tilmant est à peine lancé dans le 
commerce ; un seul modèle, de forme assez simple et très pra- 
tique, a été fabriqué jusqu'ici ; le prix en est de 50 francs. Nous 
croyons savoir que d'autres formes, plus ou moins luxueuses, se- 
ront étudiées, mais dans lesquelles le mécanisme restera exacte- 
ment le même. 

Au surplus, pour tous les renseignements, on peut s'adresser à 
M. Bourdilliat, agent général, 22, rue du Faubourg-Poissonnière, 
à Paris. Notre seul but a été de signaler à nos lecteurs une curio- 
sité ingénieuse et vraiment remarquable, en matière de mécanique 
appliquée à l'horlogerie. (".. A. L. 



Questions diverses. 

« l'xiste-t-il, en France ou en Allemagne, un seul établissement 
officiel où l'on enseigne la Mécanique sans faire usage de la No- 
tion de force ? » 

« 2° Existe t-il des établissements officiels où l'on enseigne la 
Mécanique en commençant par la Dynamique, pour finir, par dé- 
duction, par la Statique?» Sackel (Bruxelles . 

Extrait dé V Intermédiaire des Mathématiciens. Dec. 1904, question 
n° 2852. 






.1/ F. I. . i N G E S /•; 7 CO R R E S P <> N DANC E 



235 



A propos de mon article sur la théorie des parallèles 




15 — W — W 



rv 



Introduction a la Théorie Euclidienne des Parallèles : 
Postulat Fondamental. 

L'expérience nous démontre que, étant fixées deux droites copla- 
naires m et /* (fig. 1), si dans des différents points A. B, C... de 
l'une d'elle, de m par exemple, 

l'on mène les droites perpen- ] ^77t 

diculaires à l'autre, et l'on 
mesure les distances AR, BS, 
CT, de ces points à l'autre 
droite, si ces distances ont 
commencé à croître de gauche 
à droite comme dans la fig. 1. 
elles continueront à croître 
si on prolonge les droites vers 
la droite. On constate aussi 
que les distances en question 
diminueront sans cesse si l'on 

prolonge les droites vers la gauche. 11 n'arrive jamais que ces dis- 
tances, après avoir commencé à augmenter ou à diminuer d'un 
côté commencent ensuite à diminuer ou à augmenter) du même 
côté. Ayant vérifié ce fait pour n'importe quelle paire de droites 
coplanaires, si loin qu'on puisse les prolonge]', nous sommes, par 
induction, portés à l'admettre même au delà de notre champ d'ex- 
périence. Nous énonçons ce fait ainsi : 

Postulat Fondamental. Dans un plan, une ligne droite qui a 
commencé à s'approcher d'une autre, ne peut pas ensuite s'en éloi- 
gner; et réciproquement. 

Conséquences: Considérons deux droites a et b perpendiculaires 
à une troisième c fig. 2 . La distance du point M = ac à la droite b 
est évidemment le segment MN X = bc). Ce segment est aussi la 
distance de N à la droite a. Nous allons démontrer que la distance 
AB d'un point quelconque A d'une des droites, de a par exemple, 



Fig. 1. 



1 La présente note apporte quelques simplifications à l'article publié par M. DASSEN sous le 
titre de La théorie des Parallèles basée sur un postulat plus évident que ceux employés ordinai- 
rement 'L'Eus, math, fi 1- année, p. 47-571 . — Voir, dans le présent numéro, l'analyse <le son 
récent manuel de Géométrie. 

La Rédaction. 



236 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



A 


M 


A' 










1 


? 


Jf 


A 


?' 



Fig. 



à L'autre droite est aussi nécessairement égale à MX ; pour cela, 
prenons un point A' tel que A.M = MA' et soit A'B' la distance de 
A' a la droite b. Il est évident que AB = A'B' (égalité par symétrie 
ou par congruence en faisant tourner la partie gauche de la figure 
autour du c jusqu'à la faire tomber sur la partie droite, alors, 
comme des points M et N l'on ne peut mener qu'une seule droite 
perpendiculaire à c, le point A tombe sur A' ; la droite AB prend 

Ja direction de A' B', car ces deux droi- 
tes sont perpendiculaires «à b. Donc le 
point B se confond avec le B'). 

Par conséquent si AB était plus grand 
<pic MX. A'B' le serait aussi ; la droite a 
aurait alors commencé à s'approcher de 
b, du point A au point M, pour s'éloigner 
ensuite du point M au point A' ; ce qui 
est au contraire un postulat fondamental. 
On verrait de même que AB ne peut être 
moindre que MN. Donc AB = MN. Tous 
les points de a ou de b sont par conséquent à la même distance 
de b ou de c. 

Définition. — Deux droites qui satisfont aux conditions anté- 
rieures, c'est-à-dire telles que tous les points de l'une d'elles se 
trouvent à la même distance de l'autre, se nomment droites équi- 
distantes^ — Donc : 

Théorème I. Deux droites coplanaires, perpendiculaires ci une 
troisième sont équidis tantes. 

Théorème II. Par un point extérieur à une droite on peut tou- 
jours lui mener une droite équidis tan te et une seule. 

Soient la droite b et le point M (fig. 2). Dans le plan ainsi déter- 
miné, menons, par M, la droite c perpendiculaire à b et ensuite 
la droite a perpendiculaire à c. Les droites a et b sont équidis- 
tantes d'après le théorème I, et il est évident que cette droite a est 
la seule équidistante de b passant par M, car pour si peu que l'on 
tourne a autour de M, la distance du point M à b ne change pas, 
tandis que cela arrive pour un autre point quelconque de la 
droite a. 

Définition. Deux droites coplanaires fixes qui, pour une cause 
quelconque géométrique, ne peuvent se rencontrer, se nomment 
droites parallèles. Il est évident d'après cela que deux droites 
équidistantes sont forcément parallèles. Xous allons démontrer 
que réciproquement : 

Théorème III. Deuxdroites parallèles sont forcément équidistantes. 
Soient les droites parallèles a et b (fig. 3). Par un point quel- 
conque P de l'une d'elles, la b par exemple, menons la perpendi- 



m i: t. a y G i: s i: r c o R n i: s /> o y d . i v i /; 



%\: 




culaire c à l'autre a, ainsi que la perpendiculaire d à c. Les 
droites d et a sont équidistantes Théorème I . donc si La droite d 
se confond avec h, le théorème esl démontré. Supposons que 
cela n'a pas lieu, alors, nous prenons de chaque côté de P, sur d, 
deux points M et N équidistants de P, et que nous menions b-s 
droites m et n perpendiculaires à la droite a. celles-ci couperont 
évidemment c/ 1 . Soient A et B 
les deux points d'intersection. 
Les droites m et n doivent être 
perpendiculaires à d, car autre- 
ment les droites perpendicu- 
laires à m et n menées par M e1 
N se raient équidistantes de a 
Théorème I) et Ton aurait ainsi 
menées deux droites équidis- 
tantes de a par un même point, 
ce cpii est contraire à l'énoncé 
du théorème II. 

Les triangles APM et PB\ sont, 
par conséquent, rectangles, et 
comme leurs côtés PM et PX sont égaux ainsi que les angles 
aigus opposés par le sommet P, ces triangles sont égaux ; donc 
AM = BN ; AP = PB. Donc, comme les droites a et d sont équi- 
distantes, il résulte que les points de b se rapprochent delà droite 
a de quantité égales BN et MA pour des distances égales prises sur 
la dite droite b. Comme ces droites a et b sont fixes, elles doivent 
donc nécessairement se rencontrer ce qui est contraire à l'hypo- 
thèse. Les droites b et d doivent par conséquent se confondre et 
le théorème est démontré. 

Scolie. De ce qui vient d'être démontré, il résulte que deux 
droites parallèles sont forcément équidistantes et qu'il est indif- 
férent d'employer l'une ou l'autre de ces qualifications. Cependant 
comme le concept d'équidistance porte en lui-même celui de pa- 
rallélisme, tandis que ce dernier semble, à premier abord, plus 
général, on emploiera uniquement le mot parallèle. Le théorème 
II s énoncera alors ainsi : 

Théorème. Par un point situé hors d'une droite Von ne peut me- 
ner qu'une droite parallèle à la première. 



1 Si on conservait quelque doute à re sujet, il disparaîtrait en observant que la droite b, 
ayant entré par le point P dans la portion de plan enfermée par les droites a, b, ni, n doit né- 
cessairement en sortir, en coupant le contour en quelqu'autre point : car l'aire en question esl 
limitée, tandis que la droite est indéfinie : or. le point de sortie de b ne peut se trouver sur d 
puisque b a déjà le point P commun avec cette droite, il ne peut, non plus, se trouver sur ti 
puisque les droites a et b sont parallèles : il doit donc se trouver sur m ou sur». Suppi 
qu'il se trouve sur m et nommons-le A, alors, l'égalité des triangles déterminés par les >li 
d, b, n et d, b, m égalité démontrée plus bas sans se baser sur le point B, fait voir que b coupe 
aussi n. 



238 < H MONIQUE 

•C'est L'énoneé ordinaire du postulat d'Euclide ; le reste de la 
théorie des parallèles euclidienne n'a donc pas besoin de subir 
aucune modification. 

C. C. Dassen (Buenos-Aires). 



CHRONIQUE 



L'enseignement des mathématiques à l'Université. 

Les vœux qui ont été exprimés au Congrès de Heidelberg en 
faveur de L'enseignement mathématique à l'Université sont sortis 
du vif sentiment d'une lacune de nos établissements supérieurs. 
Depuis que les sciences techniques ont pris dans tous les pays une 
importance considérable, on se préoccupe sérieusement démettre 
l'enseignement des mathématiques au niveau des conditions ac- 
tuelles de la Science et de la vie moderne. Rappelons donc les 
indications si utiles que contient l'un des vœux formulés par le 
:> Congrès international des mathématiciens et signalons les à 
nouveau à l'attention des autorités scolaires: 

Le Congres exprime le vœu que les établissements supérieurs 
obtiennent les moyens qui leur sont indispensables pour travailler 
à l'avancement des sciences mathématiques dans leur conception 
moderne et qui consistent principalement en la créa/ion de chaires 
nouvelles, de bibliothèques suffisamment fournies, de collections de 
modèles, et en l'installation de salles de dessin et de travaux pra- 
tiques. 

Ces conditions ne sont guère réalisées que dans quelques facul- 
tés, et la caractéristique de renseignement des mathématiques est 
encore, pour un grand nombre d'entre elles, l'insuffisance de l'or- 
ganisation actuelle. Il importe donc de faire une étude critique 
de l'enseignement supérieur dans les principaux pays et d'en dé- 
gager les réformes à introduire. 

Nous nous sommes déjà assurés plusieurs rapports embrassant 
un ensemble de questions et, au surplus, nous publierons sous la 
rubrique Notes et Documents divers extraits de plans d'études et 
d'autres documents officiels. 

La Rédaction, 



CHRONIQUE 239 



A propos de l'enquête sur la méthode de travail 
des mathématiciens. 

Nous avons déjà eu l'occasion d'exprimer noire reconnaissance 
à tous ceux qui ont bien voulu répondre ;i notre questionnaire, 
mais nous manquerions aux devoirs de gratitude les plus élémen- 
taires en ne remerciant pas nos confrères de la presse périodique 
scientifique qui ont contribué à faire connaître notre empiète. 
Grâce à leur précieux appui on continue à nous adresser des ré- 
ponses. Le nombre des collaborateurs va donc en augmentant, et, 
bien que le dépouillement ait commencé, nous ne saurions trop 
insister auprès des retardataires pour qu'ils viennent encore grossir 
ce nombre. 

Comme nous lavons dit notre enquête ne manquera pas de four- 
nir quelques indications utiles à l'enseignement; toutefois nous 
avons évité d'introduire dans le questionnaire toute demande 
visant spécialement les méthodes d'enseignement, les questions 
de ce genre devant faire l'objet d'une étude ultérieure. Les corres- 
pondances que nous avons eues à ce sujet, notamment une lettre 
de M. J. Richard Dijon et la lettre ci-après de M. G. Combebiac, 
ne nous laissent pas de doute sur l'utilité qu'il y aurait de con- 
sulter les professeurs sur des questions d'ordre méthodologique. 
Nous espérons donc pouvoir donner suite à notre projet dès que 
nous aurons terminé la publication des résultats de l'enquête sur 
la méthode de travail. Nous engageons tous ceux qui sont à même 
de faire des expériences de prendre note dès maintenant des ob- 
servations qu'ils estiment devoir communiquer à leurs collègues. 

Lettre de M. G. Combebiac Limoges . — « Comme complément 
à l'enquête sur la méthode de travail des mathématiciens, n y 
aurait-il pas intérêt à s'enquérir auprès des professeurs de mathé- 
matiques de la nature des difficultés qu'ils rencontrent le plus 
souvent pour faire pénétrer dans l'esprit de leurs élèves les ma- 
tières qu'ils sont chargés d'enseigner ? » 

« Les observations présentées par M. Andrade au Congres <le 
Heidelberg et publiées dans le numéro de Y Enseignement paru en 
janvier dernier fournissent déjà de précieux renseignements sur 
l'attitude, vis-à-vis des conceptions mathématiques, déjeunes gens 
ayant reçu une éducation professionnelle. Il serait fort intéressant 
de comparer ces observations avec celles auxquelles peuvent don- 
uer lieu les esprits qui ont été soumis à l'éducation classique. » 

« L'intérêt dune telle enquête n'est d'ailleurs pas limité aux 
conséquences qu'elle comporte pour le choix des méthodes d'en- 
seignement; elle serait aussi, croyons-nous, fructueuse en données 
concernant la nature même des facultés mathématiques. 



240 CHRONIQUE 

« On a peut-être accorde trop d'importance au rôle de la logique 
pure en mathématiques, ainsi que le faisait observer M. L. Couturat 
dans la magistrale étude qu'il a publiée dans ce journal sur les 
De finitions. De fait, le raisonnement purement logique est très ex- 
ceptionnel en mathématiques et n'est guère l'occasion de difficultés 
sérieuses. Le raisonnement mathématique met directement en 
œuvre les concepts mathématiques: spatiaux en Géométrie, numé- 
riques en Analyse, et le mathématicien raisonne sur des concepts 
par des procédés très comparables à ceux par lesquels le physicien 
expérimente sur des objets. Un bon mathématicien est un manieur 
de concepts mathématiques, comme Beethoven était un prodigieux 
manieur de sons et Hugo un manieur de mots. » 

« Il est manifeste que ce n'est pas par an effort de logique que 
Weierstrass et d'autres ont rénové la théorie des fonctions et, 
avec elle, les bases de l'Analyse infinitésimale: ce résultat a été 
obtenu en fouillant plus profondément le concept de nombre ou 
plutôt celui de variable numérique, auquel les fondateurs de 
l'Analyse infinitésimale avaient inconsciemment substitué des 
concepts soit cinématiques soit purement géométriques, cpii pré- 
sentaient l'avantage d'être moins abstraits et, par suite, plus 
accessibles et plus maniables. » 

« Quoi qu'il en soit, les mathématiciens manient des concepts 
mathématiques et non des concepts purement logiques. Toutefois, 
il est probablement possible d'édifier des théories purement logi- 
ques dont les diverses branches des Mathématiques ne seraient 
que des applications et qui, par suite, auraient une plus grande 
généralité que celles-ci. Mais ces théories logiques n'admettraient 
guère d'ailleurs d'application intéressante en dehors des mathé- 
matiques mêmes, de sorte qu'une telle généralisation parait assez 
dépourvue d'intérêt. » 



Académie royale des Sciences de Danemark; prix proposé. 

Question de Mathématiques mise au concours pour l'année 1905. 
« Une arithmétique aux additions non-commutatives serait ana- 
logue à la géométrie non-euclidienne. Dès qu'on aurait reconnu 
la possibilité d'admettre dans une telle arithmétique, à côté des 
autres principes de l'addition et de la soustraction, celui de la 
multiplication univoque ainsi (pie le principe associatif de la mul- 
tiplication et le principe distributif du multiplicateur et, en outre, 
le principe de la réciprocité univoque, qui ne permet pas les pro- 
duits nuls résultant de facteurs dont aucun n'est égal à zéro, on 
pourra se servir des nombres d'une telle arithmétique comme dé- 
terminations relatives des positions dans une géométrie non- 
euclidienne. 8 



CHRONIQUE 2W 

« Dans son mémoire sur les définitions du nombre, etc. voir les 
Mémoires de L'Académie Royale des Sciences el <les Lettres de 
Danemark, 6 me série, section des sciences 11, II, 1886, p. 508), 
T.-.V Thiele a indiqué la règle qu'il faul suivie en additionnant 
certaines déterminations numéroïdes [«numérales* tridimensio- 
uales ; de plus, il y démontre que cette règle s'accorde avec les 
principes de l'addition et de la soustraction. On peut prouver 
que les numérales en question sont également soumises à quelques- 
lins des théorèmes principaux de la multiplication et de la divi- 
sion ; reste à savoir si, généralement, elles sont soumises a tous ces 
théorèmes. » 

L'Académie met donc au concours la question suivante : 

« Indiquer une règle de multiplication qui soit applicable aux 
numérales ci-dessus mentionnées et moyennant Laquelle on ob- 
tienne des produits aussi bien que des sommes présentant la 
même forme tridimensionale qui caractérise les facteurs ; — exa- 
miner ensuite si les théorèmes principaux de multiplication et de 
division y sont tous satisfaits. De plus, il serait à souhaiter qu'on 
examinât si les dites numérales sont susceptibles d'une inter- 
prétation géométrique. » 

Les Mémoires peuvent être rédigés en danois, en suédois, eu 
anglais, en allemand, en français et en latin. Ils ne doivent pas 
porter le nom de l'auteur, mais une devise, et être accompagnés 
d'une enveloppe cachetée portant la même devise et renfermant 
le nom, la profession et l'adresse de l'auteur. Le prix consiste en 
une médaille d'or de l'Académie, d'une valeur de 320 couronnes. 

Les mémoires devront être adressés avant la fin d'octobre 1906 
au secrétaire de l'Académie, M. II. -G. Zeuthen, professeur à 
L'Université de Copenhague. 

Académie royale des Sciences de Madrid ; prix proposé. 

L'Académie a proposé pour le prix de mathématiques année 
1906 le sujet suivant : 

« calculer et établir, sous forme de fables, les valeurs d'une ou 
de plusieurs fonctions transcendantes d'un usage fréquent dans 
les applications et pour lesquelles il n'existe pas encore de Tables. 
Les Tables devront être d'une étendue analogue à celle des Tables 
trigonométriques, l'approximation étant appropriée au but des 
labiés. » 

Le texte accompagnant les Tables devra être rédigé en espa- 
gnol ou en latin. Les Mémoires sont reçus au Secrétariat de 
l'Académie, Calle de Valverde, 36, Madrid, jusqu'au .'il décembre 
1906. 

Le premier prix consiste en un diplôme, une médaille d or el 
1Ô00 pesetas; le second prix en un diplôme et une médaille d'or. 

L'Enseignement mat hé m. 7« année ; 1905. 17 



.v o i /■: s /■: r noir m /■: x t s 



Congrès des mathématiciens allemands. 

La prochaine réunion de l'Association allemande des mathéma- 
ticiens Deutsche Mathematiker-Vereînigung aura lieu à Meran, 
du 'l'\ au 30 septembre prochain, en même temps que la 77""' réu- 
nion des naturalistes et médecins allemands, domine par le passé, 
le comité d'organisation a (ixé les domaines auxquels doivent se 
rapporter plus particulièrement les communications : a) Algèbre 
supérieure arithmétique théorique et sujets connexes se rappor- 
tant aux fonctions zêta de llieinann et à la théorie des nombres 
algébriques; b> géométrie linéaire différentielle; c) équations aux 
dérivées partielles de la Physique mathématique. 

Les communications doivent être annoncées à M. le Prof. 
A. KiïAzi-ii, Carlsruhe, Westendst. 57. 



Association britannique pour l'avancement des sciences. 

La 75"" réunion annuelle de l'Association britannique pour 
l'Avancement des Sciences aura lieu à Cape Town du 15 au 18 
août et à Johannesburg du 29 au 31 août, sous la présidence de 
M. le Prof. G.-H. Darwin. La section des Sciences mathématiques 
et physiques sera présidée par M. le Prof. Forsyth. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Sous ce titre nous publions îles renseignements relatifs à l'organisation de 
de I enseignement : créations nouvelles, programmes et règlements d'un in- 
térêt général, liste «les cours des principales Universités et Ecoles supé- 
rieures, etc. La Rédaction. 



Cours universitaires. 
Semestre d'été 1905 (suite). 

Berlin; Universitât. — Schwarz : Intégral rechnung, 4; Uebgn. dazu, 2; 

Anw. d. ellipt. Punktionen, \ : t eber die Gaussisehe hypergeometrische 
Reihe, 2; Kolloquien. 2; Seminar, .'>. — Frobenius : Th. d. algebr. Glei- 
chungen II, 4 ; Seminar, 3, — Scmuttky : Lineare Diflerentialgleichungen, 






N T E S ET IX) ( ' l M E N T S 2 '. 3 

4 : Seminar, 3. — Knoblauch : Th. und Anw. d. Determinanten, 4 ; Th. der 
Raiinikurveii und Flàchen II. '* ; Âusgewàhlte Kapitel dèrTheorie der ellipt. 
Funktionen, I. — IIkttmh : Ueber die Tratiszeiidenz der Zahlcn c und :r. 
— Lbhmann-Filhés : Differentialrechnung, 4 : Uebgn. dazu, 1. — Landau : 
Einleitung in die Funktionentheorie, 4. — Sciiir : Analyt. Géométrie, 3; 
Zahlentheorie II. 4. — Fôrster : Geschichte fl<T mittelalterlichen Astrono- 
mie, 2 : Zur Théorie und Gesehiehîe des Fernrohrs, 1 ; Théorie und Kritik 
der Raummessung, 2. — Bauschinger : Th. der Stôrungen der Himmels- 
kurper, 3; Uebungen zur Stôrungstheorie (im Seminar fûrwissensch. Rech- 
nen, I. — Stkuve : Praklische Astronomie, 3 ; Uebungen im Seminar des 
Recheninstituts, 1. — Helmert : Méthode der kleinsten Quadrate, 1 ; Schwer- 
kratt und Gestalt der Erde, 1. — Ristenpart : Ueber Doppelsterne, 1. — 
Marcuse : Théorie und Anwendung astronomischer Inslrumente, 2 ; Einfûh- 
rung in dio astronomische Géographie und kosmische Physik, I ' 2. 

Gôttingen ; Universitàt. — Klein : Elementarmathematik vom hôheren 
Standpunkte, 4 : Seminar lElektrotechnik), 2. — Hilbert : Zahlentheorie, 4; 
Logisehe Prinzipien des mathematischen Deukens, 2; Seminar (Elektronen- 
theorie), 2. — Minkowski : Differentialgleichungen, 4 ; Automorphe Funk- 
tionen, 2 ; Seminar (Elektronentheoriel, 2. — Rlnge : Differential- und In- 
tegralrechnung I, 3: Uebgn. dazu, 3; Seminar (Elektrotechnik), 2. — Bken- 
del : Versicherungsmathematik, 2 ; Uebgn. dazu. 2. — Prandtl : Seminar 
(Elektrotechnik), 2 ; Technische Wàrmelehre, 3 ; Maschinentechnik, 2 ; Prak- 
tikum, 3. — Zermelo : Funktionentheorie. i. — Blumenthal : Analytische 
Géométrie, 4 ; Funktionentheoretische Uebungen, 2. — Herglotz : Fliichen- 
theorie, 2. — Abraham : Partielle Dilferentialgleichungen der Physik, 4 ; 
Lebungen, 1. — Schwarzschild : Himmelsmechanik 1,3; Populâre Astro- 
nomie, 1 ; Astronomisches Kolloquium, 2. — Ambronn : Geographische Orts- 
beslimmungen, 2 ; Méthode der kleinsten Quadrate, 2 ; Uebgn. dazu, 3. 

Oxford ; Unwersity. — Lecture List for Easlern and Trinity Ternis, 1905 
(à partir du 2 mai). Mathematics. — W. Esson : Comparison of Analvtie and 
Synthetic methods in the Geomètry of Conics. 2 ; Informai Instruction in 
Geometry. 1. — E. B. Elliot : A First Course on the Theory of Funclions, 
3. — A. E. H. Love : Waves and Sound. 2. — J. W. Russell : Algebra of 
Quautics (concluded), 1. — A. L. Uixon : Calculus of Variations. 1. — J. E. 
Campbell : Application of moving axes to Solid Geometry, 1. — H. T. Ger- 
rans : Line Geometry, 2. — A. E. Jolliffe : Higher Analytical Plane Geo- 
metry, 2. — P. J. Kirkby : Higher Plane Curves, 2. — J. W. Russell: A 
Course of Rigid Dynamics (two dimensions), 3. — R. F. McNeile : Séries 
and Continued Fractions. 2. — A. L. Pedder : Spherical Trigonometry, 1. — 
C. H. Sampson : Solid Geometry, 2. — C. H. Thompson: Differential r]qua- 
tions, 2. — C. E. Haselfoot : Geometrical Optics, 2. 

Vienne; Université (du 20 avril à lin juillet). — G. von Escherich : Funk- 
tionenlh., 5; Proseminar fur Math., 1 ; Seminar fur Math., 2: YVahrsehein- 
lichkeitsrechnung, 3. — Fr. Mertens : Algebra (Fortsetzungi, 5; Uebungen 
im math. Proseminar, 1 ; Math. Seminar, 2 ; Mathematische Statistik, 3. — 
W. Wirtinger : Flemente der Differential- und Inlegralrechnung, 5 ; Uebg. 
dazu. 2 : Math. Proseminar, 1 ; Math. Seminar, 2. — G. Kohn : Synthetische 
Géométrie (Forts. |, 4; Nichteuklidische Géométrie, 2. — A. T.mbf.r : Ver- 
sicherungsmathematik |Forts.(, 6. — Ernst Blaschke : Einfïihrung in die 



24 4 BIBLIOGRAPHIE 

mathematische Statistik, II. Teil, 3. — K. Carda: Lineare konlinuierliche 
Gruppen, 2. — .). Pi.imei.j: Théorie der hypergeomelr. I)ilT.-Gl., 2. — J. 
Grunwald : Liniengeometrie (Forts.), 2. — Edm. Weiss : Praktische Astro- 
nomie, 4. — J. von Hepperger : Astrophysik, 3; Bahnbestimmung von Dop- 
pelsternen, 2. — Robert Schram : Intcrpolationsrechnung und mechanische 
Quadratur, 2. — Nôrb. Herz : Anwendung der elliptisehen Funktionen in 
der Astronomie, 2; Kartennetze, 2. — AdaLbert Prey : Die Schweremes- 
sungen, 2. 

Pendant le semestre d'hiver 1904-1905, l'Université de Vienne a compté 
8233 étudiants, dont 1950 auditeurs. 



BIBLIOGRAPHIE 



Alt. Capei.lt. — Elementi di Aritmetica Ragionata e di Algebra ad uso del 
listruzione secondaria. Libro III. I numeri negativi. — l vol. 112 p.; 
prix : L. 1.80; Pellerano, Xaples. 1904. 

Ce fascicule, qui fait suite aux Livres I et II consacrés aux nombres natu- 
rels, a pour objet les nombres négatifs. L'auteur y examine la théorie des 
opérations fondamentales présentée dans toute sa rigueur scientifique. 11 
s efforce à faire ressortir l'importance des nombres négatifs dans la résolu- 
tion de problèmes simples de l'analyse indéterminée et pour le principe de 
L'identité entre polynômes établis à l'aide de la règle de Ruflini. On y trouve 
également les premiers principes de la théorie des congruences à titre d'in- 
troduction à la théorie des nombres. 

La notion de nombre négatif est rendue intuitive à l'aide d'une série d'in- 
terprétations empruntées à la Géométrie, la tenue de livres et l'Electro- 
statique. 

A chaque paragraphe sont joints des « notes et exercices ». 

Ernest Kaller (Vienne). 

Claro-C. Dassen. — Tratado elemental de Geometriâ Euclideâ. Tome I, 
Geometria plana. — 1 vol. iu-12°, XXXII-}- 319 pages. 240 ligures. Coni 
Hermanos, Buenos-Ayres, 1904. 

Les élèves des écoles secondaires de l'Argentine n'ont guère eu jusqu'à 
ce jour entre les mains que des manuels dont les auteurs se bornaient à 
suivre les vieilles méthodes, à peine d'accord avec la saine logique, et à 
serrer d'aussi près que possible les programmes officiels rédigés plus d'une 
fois par des personnes profanes en la matière. M. Claro-C. Dassen s'est 
proposé d'écrire pour eux un traité élémentaire plus en harmonie avec les 
idées modernes et les méthodes rigoureuses qui doivent régler l'enseigne- 
ment de la géométrie. Il faut, ainsi que le disait M. Veronese au congrès de 



B II: I. IOGRA PHIE 245 

Paris de L900, que l'auteur d'un nouveau traité de géométrie élémentaire se 
propose pour objel de concilier 1rs exigences de la science avec celles de 
1 enseignement el de l'intelligence moyenne de ses élèves — que les profes- 
seurs aienl foi au progrès de la" science el se gardent des préjugés. 

Pour remplir ce but, l'auteur a commencé par écarter absolument toute 
préoccupation de programme; libre de ce côté, il a pu ordonner son livre 
suivant le plan qui lui paraissait le meilleur, et voici celui qu'il a adopté. 
Les travaux de Lobatsehefskv, Bolyai et de leurs continuateurs ayanl défi- 
nitivement proclamé l'indépendance absolue du postulat euclidien a l'égard 
des autres postulats fondamentaux de la géométrie, M. Dassen le sépare 
nettement des autres et fait deux parts bien distinctes de son livre. 

Dans la première partie, sous le titre de Principes communs aux géomé- 
tries non-euclidiennes, il range toutes les propositions indépendantes du 
postulat des parallèles et constituant la géométrie générale; cette première 
partie (pages 1-1301 contient trois chapitres : 

I. L'espace et les êtres géométriques, définitions, postulats de 1 espace, de 
la droite et du plan. — Les angles et la circonférence; 

IL Mesure des longueurs et des angles ; 

III. Les triangles et leurs applications les plus immédiates; circonférences, 
ans et cordes. 

La seconde partie de 1 ouvrage, la plus étendue, et divisée en deux livres, 
contient l'exposé des principes spéciaux à la géométrie euclidienne. M. Das- 
sen prend pour point de départ de sa théorie des parallèles un postulat qui 
n'est ni celui d'Euclide, ni celui que nous avons l'habitude de lui substituer. 
Préoccupé particulièrement de n'utiliser que les axiomes appelés pratiques . 
c'est-à-dire nécessaires pour les applications de la géométrie, et, en par- 
tant de la base de notre espace actuel, d'énoncer seulement les propriétés 
fondamentales que l'expérience, aidée de 1 intuition et del'imagiuation, nous 
autorise à établir, il ne veut, pour un traité élémentaire destiné à des élèves 
qui étudient la géométrie pour la première fois et que leurs études doivent 
conduire rapidement aux applications, employer que des postulats en rela- 
tion avec des figures pouvant s observer. Dans un champ d'observation quel- 
conque, l'expérience montre que deu.r droites qui se rapprochent d'un côté 
s'écartent de I autre '. Donc deux droites coplanaires perpendiculaires à une 
troisième sont équidistantes, et par un point situé hors dune droite on peut 
tracer une et une seule droite qui en soit équidistante. Enfin il y a identité 
entre les parallèles et les équidistantes. 

La marche est plus longue que dans les ouvrages classiques usités en 
France, mais la méthode de M. Dassen a peut-être l'avantage de se présenter 
plus nettement devant les jeunes élèves et de mieux parler à leur imagina- 
tion. Peu importe la route suivie, pourvu qu'elle soit large et nette, et con- 
duise au but sans détour. La suite du chapitre I et le chapitre II contien- 
nent les applications immédiates des parallèles et les parallélogrammes, et 
le chapitre III donne la mesure des angles inscrits à la circonférence avec 
ce qui s'y rapporte ; ici l'auteur place le théorème'sur l'existence des poly- 
gones réguliers inscrits et circonscrits, il nous semble que cette proposition 
pourrait être mise sans inconvénient dans la première partie du livre, car 
elle dépend de la géométrie générale. 



1 Voir du même auteur, dans le n° de janvier 1904 ipages 47-57) l'article qui a pour titre : 
Théorie des parallèles basée sur un postulat plus évident que ceux employés ordinairement Voir 
aussi le présent numéro, p. 235 à 238. Rêd . 



246 BIBLIOGRAPHIE 

Les trois chapitres suivants contiennent respectivement la théorie de la 

proportionnalité cl des figures semblables, les relations métriques et la 
mesure des aires. Pour le rectangle, l'auteur se borne avec raison au cas 
où la hauteur et la base ayant une partie commune, la figure est décoinpo- 
sable en carrés. 

Chaque partie du livre de M. Dassen est suivie d'un résumé renfermant 
l'énoncé des principales propositions et d'un choix d'exercices. Les élèves 
doivent apprendre le résumé par cœur; cette concession aux vieilles mé- 
thodes d'enseignement n'est peut-être pas une chose mauvaise en soi, mais 
nous croyons qu'il vaudrait mieux que le professeur donnât comme lâche à 
ses élèves de faire ce résume eux-mêmes. 

Le tome II, Geometria del Espacio est actuellement sous presse. 

P. Bakbakin (Bordeaux). 

F. Dumont. — Introduction à la Géométrie du 3 1,IC ordre. — 1 vol. de IX. 

308 p., Depallier & O, Annecy. 1904. 

Au cours du 19 me siècle la Géométrie du 3 rae ordre a reçu d'importants 
développements qui, pour la plupart, ont leurs points de départ dans les 
travaux fondamentaux des mathématiciens anglais Cayley, Salmou et Syl- 
vester et du géomètre suisse Steiner. Toutefois ce ne sont encore que des 
études partielles ayant en vue soit les propriétés analytiques, soit les pro- 
priétés projectives et il serait à souhaiter qu'un jeune géomètre, dominant à 
la fois les théories analytiques et synthétiques, entreprit une étude d'en- 
semble sur les courbes et les surfaces du 3 me ordre. Dans l'état actuel de 
la Science un pareil traité ne saurait tarder. 

Quoi qu'il en soit le présent ouvrage, modestement intitulé Introduction 
à la Géométrie du 3 me ordre, apporte une importante contribution à un exposé 
systématique de cette branche ; il fournit en même temps une utile prépa- 
ration à l'étude des travaux récents sur les courbes et les surfaces algé- 
briques. 

M. Dumont a réuni dans ce volume les éléments essentiels de la Géomé- 
trie du 3 me ordre en tenant compte des divers points de vue auxquels se 
sont placés les auteurs. Il examine d'abord la Géométrie sur une droite, 
puis il présente les propriétés générales des cubiques planes en étudiant 
successivement les divers modes de génération, les pôles et polaires, la 
classification des cubiques planes, les systèmes de cubiques et leurs trans- 
formations, 

La partie principale de l'ouvrage est la théorie des surfaces du 3 me ordre. 
L'auteur la fait précéder d'une étude des cubiques gauches, puis il passe en 
revue les principaux modes de génération de la surface générale du 3 me 
ordre. Viennent ensuite les singularités de ces surfaces, les pôles et polaires, 
la classification et les transformations des surfaces cubiques, les représen- 
tations d'une surface cubique sur un plan, etc. 

Toutes ces questions, d'une grande diversité par leur objet, sont présentées 
avec beaucoup de clarté.- L'auteur a eu soin de les accompagner d'un inté- 
ressant choix d'exercices à résoudre. 

J.-S. Mackat. — Plane Geometry, practical and theorical. Books I, II, III 
1 vol. in-16°; London and Edinburgh, W. cSc II. Chambers limited, 1904. 
Dès que les fondements de la Géométrie sont devenus le sujet d'utiles 

discussions, les traites élémentaires à l'usage de l'enseignement ont béné- 



li 1 II I. I O G K APHIE 2 i 7 

li«ic d'heureuses innovations. En Italie particulièremenl le réveil s'esl 
accentué plus que dans les autres pays ci surtout après les puissantes re- 
cherches d'un savant professeur de l'Université de Padoue, M le sénateur 

Vin se. Après la publication de ses o Fondamenti délia Geometria *, en 

1891, il a paru un grand nombre de traités, qui presque tous uni adopté les 
mêmes idées Fondamentales, bien que quelques-uns aienl oublié de rappeler 
l'auteur principal. Toutefois plusieurs de ces traités n'ont pas su maintenir 
L'unité scientifique et didactique qui doit caractériser l'exposé d'une disci- 
pline élémentaire. Dans les autres nations aussi et, particulièremenl en 
France et en Angleterre, où quelques-uns de nos livres 1 ont su s'ouvrir une 
voie glorieuse, des savants géomètres ont consacré 2 leur activité à réformer 
renseignement des éléments de géométrie. Parmi ceux-ci se trouve préci- 
sément M. Mackay, le savant professeur de l'Université d'Edimbourg, dont 
nous avons admiré des recherches historiques sur plusieurs théorèmes et 
théories géométriques. Il nous présente un traité qui est inspiré des idées 
modernes sur la réforme euclidienne. Ce domaine donne encore lieu à bien 
des discussions scientifiques et didactiques, aussi M. le professeur Mackay 
voudra-t-il bien me permettre quelques observations sur son livre, le meil- 
leur certainement parmi tous les traités anglais élémentaires que j'ai pu lire 
pendant ces dernières années. Je prendrai, non comme terme de comparai- 
son, mais comme base de mes observations, les idées fondamentales de M. 
le professeur Veronese qui, selon moi, représentent ce qu'il y a aujourd hui 
de mieux sur ce sujet en Italie comme dans les autres pays. 

Je dois avant tout noter que si dans sa première partie ce livre nous pré- 
sente des défauts, ils sont spécialement dus aux programmes officiels, aux- 
quels l'auteur a dû se conformer. 

Le traité de M. Mackay se subdivise en trois livres qui embrassent les 
quatre premiers livres classiques des Eléments d'Euclide ; mais ils sont 
précédés d'une introduction destinée à familiariser les élèves avec les termes 
géométriques, l'usage des instruments et les propriétés les plus intuitives de 
certaines figures, tout suivi de l'exposition de nombreux expérimente |1 au- 
teur déclare les nommer expériments et non exercices car la Géométrie n'est 
pas une science expérimenfale). Or. le système de tirer de l'expérience le 
motif à notions élémentaires, claires et précises, esl certainement plus rai- 
sonnable que celui de donner des définitions aprioristiques et formelles qui 
très souvent ou sont démenties dans la suite du livre, ou doivent être modi- 
fiées et corrigées. Il ne sera jamais répété suffisamment, observe M. Vero- 
nese dans ses Elementi délia Geometria. que la Géométrie élémentaire a son 
fondement naturel dans l'observation des faits extérieurs, c'est-à-dire dans 
l'intuition; elle ne doit donc jamais se montrer aux élèves comme un système 
de symboles auxquels on assigne arbitrairement des propriétés déterminées, 
comme encore aujourd'hui on le rencontre dans certains travaux sur les 
principes de la Géométrie, sans s'inquiéter si elles correspondent ou non à 
l'observation. Mais avec tout cela il ne me semble pas recommandable de 
passer de la connaissance d'un instrument à une notion des plus importantes 
et controversées en disant (page 6| que « si la circonférence d'un cercle était 
divisée en 360 parties égales, chaque partie se nommerait degré : si les deux 



1 Voyez, par exemple, la traduction française des Eléments de Géométrie de A. Faifofbb 
(Paris. A. Rogier). 
* Je veux mentionner particulièrement les savantes recherches de M. le Professeur J.-M, 

HlLL. 



248 ÊIBLIOORAPHIE 

extrémités de ce petit arc étarent jointes au centre, on formerait ici un angle 
nommé angle <] un degré ». De celte manière déjà avant la notion claire 
d'angle, le jeune enfant devrait avoir celle d'angle au centre et de sa me- 
sure. 

Les « expériments » qui suivent ces notions devraient plutôt s'intituler 
« Eléments de dessin géométrique », car ils mènent à la construction des 
arcs, aux sommes et différences d'angles, à la pratique du rapporteur dans 
la construction de la perpendiculaire à une droite, à la construction de fi- 
gures à quatre côtés qui forment des angles droits, à la construction de 
triangles et ses axes de symétrie, de polygones étoiles, etc. Toutefois, il 
serait bon de définir la somme ou différence de deux segments et le produit 
d'un segment par un nombre entier : l'élève aurait ainsi une juste notion de 
ce que sont ces opérations étendues à la Géométrie. 

Et nous voilà (page 19) au Livre 1 (angles, triangles, parallèles, parallélo- 
grammes), et aux définitions du point, de la ligne, de la surface, du corps : 
« un point à position mais non grandeur ». Pour des jeunes enfants dont 
l'intelligence commence à peine à se développer, une affirmation aussi laco- 
nique, et avant même qu'ils aient l'idée de ce que peut être une grandeur, 
n'est guère évidente. De même il ne me semble pas propre que de définir la 
ligne (page 19) comme celle qui « a position et a longueur », ajoutant après 
« qu'on dit de la ligne qu'elle possède une dimension, c'est-à-dire, longueur ». 
Quel besoin y a-f-il de faire intervenir l'idée de dimension, bien autrement 
que simple et dont on n'a pas besoin pour traiter des points, des droites, 
des cercles, etc.:' Même remarque pour les définitions qui suivent et parti- 
culièrement pour celle du solide « portion de l'espace limitée par une ou 
plusieurs surfaces ». Nous savons que si Ton transporte idéalement un so- 
lide géométrique dans un autre lieu, il y a encore de lespace où le corps se 
trouvait auparavant : les conclusions que l'on pourrait tirer de cette défini- 
tion sont donc bien claires. — La définition d'angle qui vient compléter celle 
donnée dans l'introduction me semble incomplète : « si deux droites sont 
menées d'un même point, on dit qu'elles renferment un angle ». L'élève ne 
remarquera -t-il pas que deux régions du plan déterminées par les deux 
droites correspondent à la définition d'angle ? Pour les parallèles l'auteur 
adopte la définition euclidienne « si étant dans le même plan et prolongées 
elles indéfiniment ne se rencontrent pas ». Cette définition, quoique encore 
bien répandue, n'est plus acceptable, car nous ne pouvons imaginer les droites 
prolongées que d'une quantité finie, tandis que les droites géométriques sont 
infinies ; en outre, les propriétés géométriques qui nous permettent de vé- 
rifier le parallélisme, se rapportent à la portion du plan qui nous est acces- 
sible. J'ai la conviction que, d'après les travaux modernes sur les fonde- 
ments de la Géométrie, il est plus rationnel, scientifiquement et didactique- 
ment, d'adopter la définition, indépendante de la notion de plan, proposée 
par le savant professeur Yeronese qui est plus conforme aux exigences géo- 
métriques de nos jours : après la définition des figures opposées par rap- 
port à un point et celle de transversale de deux droites, il dit que « deux 
droites sont parallèles si l'une d'elles contient deux points opposés à deux 
points de l'autre par rapport au milieu d'une transversale commune ». Celte 
définition, qui contient aussi la construction de la parallèle à une droite 
donnée, modifie le postulat euclidien en disant que « si deux droites sont 
parallèles, elles sont des figures opposées l'une à l'autre par rapport au 
milieu de chacun de ses segments transversaux ». Ce postulat est par lui- 



BIBLIOGRA /'////. 2Ï9 

même objectif, pouvant être vérifié, dans les limites de noire expérience, 
avec la plus grande approximation. — Les propriétés «les parallèles et les 
démonstrations se trouvent aux pages 94 et suivantes, tandis qu'en adoptant 
la définition ci-dessus, ces propriétés pourraient s énoncer dés le début, 
avant même de la définition du plan et de l'angle. 

A la page 47 esi la définition de figures congruentes (qui sont égales sous 
tous les aspects) el I auteur dit que la méthode qui sert pour montrer la 
congruence des ligures s'appelle méthode de superposition. A propos de 
cette définition de la congruence, j'estime, avec M. Verônese, qu'une telle 
méthode conduit à autant de définitions d égalité qu il y a de catégories de 
figures dans la Géométrie élémentaire, car 1 idée d'égalité en Géométrie est 
une conséquence directe de la logique plus simple : « il faut donc, observe 
le savant professeur de l'Université de Padoue, donner tout de suite la dé- 
finition qui correspond à la notion commune d égalité et de laquelle se dé- 
duisent la correspondance univoque et l'égalité des segments correspon- 
dants : conceptions simples et intuitives qui restent fondamentales dans la 
Géométrie et qui, étant utilisées dans tous les cas d'égalité des figures, 
servent aussi d'analogie pour la définition de similitude ». El de ces analo- 
gies, comme des différences entre les objets géométriques, ressort l'incon- 
testable supériorité de cette méthode sur toutes les autres 1 . 

Ceux qui se conforment encore aux méthodes anciennes, ceux qui recou- 
rent encore au postulat du mouvement sans déformation pour définir et dé- 
montrer l'égalité des figures, et dans cette large catégorie est aussi M. 
Mackay, ne réussiront jamais à prouver qu'ils obtiennent par ce moyen la 
rigueur scientifique que l'on doit trouver même dans un manuel élémen- 
taire. 

Cette observation s'applique aussi à la définition (page 47) des ligures 
équivalentes comme « celles qui ont aires égales ». Et qu'est-ce que c'est 
l'aire d'une figure si la notion d'aire n'a pas encore été donnée? En effet, 
cette notion est le fondement du deuxième livre, encore un peu loin. Les diffi- 
cultés que présente la démonstration des constructions à la page 61 (pro- 
blèmes 15, etc.) disparaissent si l'on admet la définition « sont équivalentes 
les figures qui sont formées ou peuvent se décomposer dans le même 
nombre de parties respectivement égales. » 

Le Livre II, consacré à la mesure des figures planes, est très bien fait. 
Comme on devait s'y attendre, par suite de la définition d'équivalence 
adoptée par l'auteur, on trouve démontrés ici les principaux théorèmes sur 
les figures équivalentes. Le théorème de Pythagore est exposé non seulement 
avec la démonstration ordinaire, mais aussi à l'aide de celles de Schoolen 
(Exercitationes mathematiese, 1657. p. 111) et de Perigal. De tous ces théo- 
rèmes l'auteur donne les applications algébriques. Une large collection 
d'applications et de problèmes accompagne chaque théorème. 

Vient ensuite le Livre III, intitulé le cercle. Les propositions ordinaires 
sur les rayons, cordes, angles au centre et angles inscrits, etc., sont démon- 
trées avec beaucoup de clarté et de soin. Les propriétés de l'axe radical de 
deux cercles ou de trois cercles considérés deux à deux, comme les problèmes 
qui s'y rapportent, méritent des éloges particuliers. Il en est de même de 
la construction des tangentes et des questions relatives aux triangles ins- 



1 Verônese, Fonda menti délia Geometria (traduction allemande de M. A. Schepp, Teubner, 
1894). — Voir la Préface. 



250 BIBLIOGRAPHIE 

crits ou circonscrits à une circonférence. On trouve aussi en deux pages un 
bref exposé de la Géométrographie, sujet sur lequel l'auteur avait déjà 
écrit une note très intéressante avec des modifications aux notations de M. 
Lemoine. 

En conclusion donc on peut dire que dans son ensemble ce livre forme 
un bon traité. Parmi les défauts que j'ai voulu poser en évidence, les uns 
sont dus aux méthodes anciennes auxquelles un grand nombre d'auteurs 
11 ont pas encore voulu renoncer; les autres sont la conséquence des pro- 
grammes officiels dont l'auteur a nécessairement dû tenir compte. L'ouvrage 
de M. Mackay n'en constitue pas moins un progrès sur les Eléments eucli- 
diens en usage chez les Anglais. 

Prof. C. Alasia (Tempio, Sard.). 
W. Pflieger. — Elementare Planimetrie. — Collection Schubert, 1 vol., 

i30 p., prix: Mk. 4.80. G. J. Goschen, Leipzig. 

Cetraité de Géométrie plane contraste avec la plupart des manuels en usage 
dans les pays delangue française. L'auteur a abandonné la tradition de l'en- 
seignement de la Géométrie d'après les Eléments d'Euclide. Il s'est proposé, 
d'une part, de grouper autant que possible dans un même chapitre les pro- 
positions se rapportant au même sujet; d'autre part et surtout d'exposer 
la Géométrie suivant un ordre plus naturel ; il veut introduire les notions 
géométriques comme elles se présentent à notre esprit au cours de son 
développement. 

Ainsi les notions de circonférence, arc, corde, secteur sont introduites dès 
le début de l'ouvrage. L'avantage de cet arrangement est de permettre dès 
les premières leçons des applications graphiques. La notion de la bande 
(Streife) joue un grand rôle dans la première moitié du volume. C est une 
faute, dit l'auteur dans la préface, de ne pas apprendre à l'enfant qui 
chaque jour voit dans ses cahiers des bandes et des séries de bandes, 
quelles sont les propriétés de ces figures et le parti qu'il en peut tirer. 

Une autre préoccupation de l'auteur a été de choisir les démonstrations 
les plus propres à faire ressortir la signification et la valeur des théorèmes. 
Souvent les démonstrations à l'aide d'égalités de triangles sout artificielles ; 
et comme du reste, l'auteur n'introduit les triangles que fort tard, ses démon- 
strations diffèrent beaucoup des démonstrations classiques: la symétrie des 
figures y joue un rôle capital. 

Les axiomes nécessaires ont été bien mis en relief. Nous devons signaler 
surtout le soin apporté à l'introduction et à la jusification du calcul desgran- 
deursgéométriques. Les lois de ce calcul sont explicitement énoncées et leur 
identité avec les lois du calcul algébrique est bien mise en évidence. 

Chaque paragraphe est accompagné de nombreux exercices très judi- 
cieusement choisis. 

Voici une brève analyse des premiers chapitres. 

Le premier traite des éléments des figures, corps, surfaces, lignes, points. 
La longueur (Strecke) fait l'objet du second chapitre. Les lois de l'addition 
<t de la soustraction des longueurs sont explicitement indiquées et l'auteur 
introduit comme axiomes la loi de l'addition (interversion des termes) et l'exi- 
stence de la différence de deux longueurs. De la notion de longueur est dé- 
duite celle de la face plane. 

Dans le chapitre suivant, le prolongement d'une longueur, d'une face plane. 






BIBLIOGRAPHIE 251 

d'un corps, conduit aux notions de ligne droite, de plan et d'espace |éléments 
infinis). 

Le chapitre IV introduit les notions d'égalité el d'équivalence des Ggures 
finies, puis des Ggures infinies. Ilest montré à ce propos comment certaines 
propositions vraies pour des éléments finis quelconques cessent de l'être 
lorsque ces éléments sont prolongés indéfiniment. 

Le cercle et l'angle, tel est le titre du chapitreV. La définition et les pro- 
priétés élémentaires du cercle sont suivies des théorèmes sur les secteurs, 
les arcs et les cordes correspondants. L'angle est défini comme limite d un 
secteur dont le rayon devient infini. L'auteur se fait alors scrupule d étendre 
sans autre aux angles les théorèmes démontrés pour les secteurs. Il pos- 
tule que les théorèmes valables pour des secteurs de rayon fini quelconque 
le sont encore lorsque le rayon devient infini, lorsque le secteur devient 
un angle. 

Nous laissons l'analyse détaillée de l'ouvrage et signalons seulement quel- 
ques points caractéristiques. 

Dans la théorie des parallèles, 1 au leur est tout naturel lemnnt conduit à pren- 
dre pour axiome 1 une proposition qui renferme l'axiome classique et revient à 
peu près à dire que deux angles correspondants formés par deux parallèles 
et une transversale sont toujours égaux. 

Le parallélogramme est étudié comme partie commune à deux bandes; 
cette étude est suivie de celle du trapèze. 

C'est seulement au commencement du second tiers du volume, après l'étude 
des propriétés des tangentes à une et deux circonférences et des angles inscrits. 
que l'auteur place la théorie du triangle. Il peut alors grouper dans un même 
chapitre tout ce qui a trait à cette figure et développer les propositions les 
plus essentielles de la géométrie du triangle. 

Très remarquables quant à l'exposition nette et précise, sont les chapitres 
XII et XIV se rapportant 1 un à la comparaison et au calcul des surfaces, 
l'autre à la mesure des grandeurs géométriques et aux lignes propor- 
tionnelles. 

La dernière partie renferme l'étude des points et rayons harmoniques, 
des pôles et polaires, de l'inversion et des faisceaux de cercles. Les 
définitions des points et rayons harmoniques sont choisies de manière 
à mettre en relief le principe de dualité et à éviter les fonctions goniomé- 
triques. 

Cet ouvrage rendra de grands services à ceux qui sont chargés de ren- 
seignement de la géométrie élémentaire; ils pourront y trouver un précieux 
choix d'exercices bien gradués et d'utiles indications pour leur enseignement. 

C. Jaccottet (Lausanne). 

Colonel J. Soknein. — Essai sur l'origine et les fondements de la Géométrie. 
1 vol. in 8° de 360 pages. Le Manut. Cherbourg, 1904. 

La solution de la question des Fondements de la Géométrie admet un 
premier stade, qui peut être défini par la proposition suivante: 

En prenant pour base l'idée de figure (comportant notamment les notions 



1 « Bei der Vergleichung der Winkel sind Streifcn und Streifenhalften nicht 711 berûck- 
sichtigen. » Dans la comparaison des angles, on ne tiendra pas compte des bandes et des 

demi-bandes. 



252 BIBLIOGRAPHIE 

de point, ligne, surface et continuité . déduire d'un certain nombre de propo- 
sition* non démontrées ou <• axiomes » les théorèmes principaux de la Géométrie 
vulgaire ou métrique. 

Tel est L'objel essentiel de l'ouvrage de M. le colonel Sornein. 

Conformément aux errements suivis jusqu'à présent dans les ouvrages où 
la question est traitée sans emploi de l'Analyse mathématique, celui-ci ne 
comprend pas le « déplacement sans déformation » (Bewegung) parmi les 
concepts fondamentaux et par suite n'en fait pas l'objet d'axiomes. Mais 
il diffère de ces ouvrages par l'emploi d'un nombre très restreint de concepts 
fondamentaux et d'axiomes — trop restreint, pensons-nous ; car nous n'ose- 
rions pas affirmer que le système de fondements exposé au titre I constitue 
une base suffisante pour établir rationnellement une métrique, et il ne serait 
peut-être pas difficile, en examinant attentivement les démonstrations des 
premiers théorèmes, de découvrir les propriétés qui y sont employées sans 
avoir été explicitement énoncées : ces propriétés ne sont autres d'ailleurs 
que celles qui sont exprimées par les axiomes adoptés dans les travaux 
récents, par exemple dans le Mémoire maintes fois couronné de M. Hilbcrl. 

Au surplus l'intérêt principal de l'ouvrage réside, à notre avis, dans les 
parties consacrées à la démonstration des principaux théorèmes de la Géo- 
métrie suivant un ordre très judicieux. 

Une fois acquises les notions de distance, de congruence et de droite, la 
sphère est définie comme lieu des points équidistants d'un point déterminé, 
puis est introduite la circonférence comme intersection de deux sphères. On 
démontre alors les principales propriétés ressortissant à la Géométrie sphé- 
rique, qui se trouve ainsi établie indépendamment de la notion de plan, ce 
qui est conforme à la nature des choses. 

Alors seulement est défini le plan comme lieu des points équidistants d'un 
point déterminé, et l'on démontre qu'une droite qui a deux de ses points 
dans un plan y est située toute entière. 

On démontre également les propriétés fondamentales du plan au point de 
vue métrique, telles que sa faculté de se recouvrir par rotation autour d'une 
de ses normales et par retournement autour d'une de ses droites ; puis sont 
démontrés les cas d'égalité des triangles à l'exception du troisième, qui cons- 
titue la définition même de l'égalité, ainsi qu'il convient puisque la notion 
de distance a été prise pour base de la Métrique. On aborde enfin la théorie 
des parallèles ; mais ici nous déclarons ne pouvoir suivre l'auteur dans ses 
considérations un peu déconcertantes sur les segments infinis. 

Signalons, en terminant, quelques réflexions particulièrement heureuses sur 
l'origine de la Géométrie, qui se trouvent dans 1 avant-propos. 

G. Combebiac (Limoges). 

A. Tresse et Thybaut. — Cours de géométrie analytique à l'usage des can- 
didats à l'Ecole centrale des Arts et Manufactures, aux Ecoles des Mines, 
à l'Ecole des Ponts et Chaussées et des élèves de première année de ma- 
thématiques spéciales. — 1 vol. gr. in-8°, 549 p. ; prix : fr. 12. — ; Librairie 
Armand Colin, Paris. 1904. 

Les lecteurs de L'Ens. math, ont eu sous les yeux les renseignements gé- 
néraux sur l'esprit dans lequel ont été faites les modifications au programme 
de l'Ecole centrale de Paris (v. 5 mc année, p. 57 et suiv., 1903). Ils savent 
que « les modifications apportées au programme ont été faites dans le but 
de le simplifier, de le préciser et de le développer dans le sens dans lequel les 



BIB I. lOGRAPUIE 253 

élèves eux-mêmes sont appelés à se diriger après leur entrée à L'Ecole 
Pour ce qui concerne particulièrement La Géométrie analytique le pro- 
gramme a été considérablement réduit, pour le ramener aux notions essen- 
tielles indispensables aux ingénieurs. 

C'est en s inspirant de ces idées que MM. Tresse et Thybaul ont rédigé 
ce Cours de Géométrie analytique. Nous nous empressons de dire qu'ils oui 
pleinement atteint leur but; leur traité' sera examiné avec intérêt par ^ous 
ceux qui enseignent la Géométrie analytique. 

Voici les grandes divisions de l'Ouvrage: 

Géométrie plane. — I. Préliminaires. — II. Droite et circonférence. — 
III. Courbes planes. — IV. Les trois coniques. — Y. Etude sommaire des 
courbes du second degré. 

Géométrie dans l'espace. — VI Droite, plan et sphère. — VII. Notions 
sur les courbes et les surfaces. — VIII. Les cinq quadriques, — IX. Etude 
sommaire des surfaces du second degré. 

A signaler, entre autres, qu'en raison fie l'importance des notions fonda- 
mentales sur les courbes planes, les auteurs ont étudié d'une manière très 
approfondie le problème de la construction d une courbe et les divers modes 
de définition d'une courbe. H. F. 

Ernest Wienecke Berlin). — Der geometrische VorkursilS in schulgemiis- 
ser Darstellung. Mit reichem Âufgabenmaterial nebst Resultaten. Zum 
Gebrauch an alleu Lehranstalten b'eàrbeitet. Mit 59 Fig. — 1 vol. cart. 
in-8, 97 p. ; prix : Mk. 2,20 ; B.-G. Teubner, Leipzig. 1904. 

Les leçons destinées à fournir une introduction à renseignement de la 
Géométrie élémentaire ont une importance capitale et exigent beaucoup de 
soin de la part du maître. Et cet effort doit se porter non seulement sur la 
partie didactique, mais également, dans une certaine mesure, sur les consi- 
dérations d'ordre philosophique. Ces conditions se trouvent précisément 
remplies dans ce petit ouvrage, d'une conception originale, et qui sera lu 
avec profit par tous ceux qui sont chargés de renseignement des premières 
notions de Géométrie. 

Dans L'introduction il examine ce que doit être un pareil enseignement pro- 
pédeutique. Il expose ensuite les notions fondamentales et la mesure des so- 
lides. Le tout est accompagné d exemples, fort bien choisis, et destinés à 
rendre intuitives ces premières notions. 

A côté de ces excellentes qualités, ce manuel présente pourtant de petits 
défauts : ainsi les figures des solides laissent beaucoup à désirer (v. p. ex. 
p. 5) ; la notion de perpendiculaire se trouve, identifiée une fois avec celle 
de verticale ip. 21), puis avec celle de normale ip. iO) : pourquoi calculer un 
volume avec 7 décimales, alors que Ion prend tt =z 3,14? D'autre part une 
lecture attentive des épreuves aurait permis d'éviter les tantes d'impression 
et de calculs qui se sont glissées dans les problèmes, d'ailleurs tort bien 
choisis. Ernest Kallkr [Vienne). 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. Sommaire des principaux périodiques: 

American Mathematical Monthly (The), edited by Finkel, L.-E. Dickson, 

S. Epsteen. — Drury Collège, Springfield, Miss. 

Vol. XI, 1904 ; n° 8 10 el 12. — E.-D. Roe : On complète symmelrir Fune- 
tions. — G. -A. Miller : Two infinité Systems of Groups generated by two 
Operators of Order Four. — D.-N. Lehmer : On a Cylinder the Intersection 
of which wilh a Sphère will Delelop into an Ellipse. — G. -A. Miller : The 
Substraclion Groups. — Zerr : The Sinking-Fund of the United-Stales. — 
L.-E. Dickson : A property of the Group G2 2 ». — Osw. Yeblen : The Tran- 
cendence of tv and e. — R.-P. Baker : A Balance for the Solution of Alge- 
braic Equations. — G. -A. Miller : Groups of Elementary Trigonometry. — 
R.-P. Baker : The Expression of the Areas of Polygons in Déterminant Forni. 

Vol. XII, 1905, nos 1, 2, 3. — A. -S. Hawkesworth : Some New Ratios of 
Conic Curves. — G.-B. Halsted : Non-Euclidean Spherics. — J.-V. Collins : 
Uses of the spécial triple Product ab*" of Extensive Quantifies. — G. -A. Mil- 
ler : Note on the Totient of a Number. — R.-E. Moritz : A General Theo- 
rem in Local Probability. — R.-A. Harris : Numerals for Simplifying 
Addition. — F. -P. M atz : The convexe surface of an Oblique Cône. 

Solutions of Problems. — Problems for Solution. 

Annales de la Société scientifique de Bruxelles. — 28 i,ie année 1903-1904. 
Louvain, 1904. 

4 me fascicule. — H. Bosm.vns : La méthode d'Adrien Romain pour effectuer 
les calculs des grands nombres. 

Archiv der Mathematik und Physik, herausgegeben von E. Lampe, YV.-Fr. 
Meyer. E. Jah.nke. Drilte Reihe ; B.-G. Teubncr, Leipzig. 

B. 8, Hefle 3 u. 4 — Guldberg: Ueber lin. homog. Differenzengleichgu. — 
Hayashi : On reciprocal équations. — Hobn : Réelle periodische Lôsungen 
einer Dilferentialgleichung. — Jonas : Kurven von konstanter Steilheit auf 
der Kugelflache. — Kurschak : Anwendung der komplexen Zahlen zum 
Bcweise eines elementargeomelrischen Satzès. — Ltjmmer : Die Gesetze der 
schwarzen Strahlung u. ihre Verwendung, — W.-F. Meyer : Kant und das 
Wesen des Neuen in der Mathematik. — Sch<)nflies : Bemerkung zur 
Théorie der elliptischen Funktionen. — St.eckel : Ueber ein in der Optik 
auftretendes beslimmles Intégral. — Study : Ueber das sogenannte Prinzip 
der Erhaltung der Anzahl. — Sturm : Luigi Cremona. — Sumec : Der ein- 
phasige Inductionsmotor. — Weingarten : Ueber die Lehrsatze Castigliones. 
— Ze.mpléx : Etude sur l'interpolation et la décomposition des fonctions 
ralionelles en fractions partielles* 

RezensioDen. — Vermischte Aufgaben. — Sitzungsberichte der Berliner 
mal hem. Gesellschaft. 



/>' lll. /: II N />' I H 1,1 o G i: APH1QD / 255 

Bulletin de la Société française de Philosophie, publié par MM. X. Léo» 
et A. Lalaude. 5""' année, L905. Librairie Ami. Colin, Paris. 
>«'o 2. — Les axiomes de la Mécanique el le principe de causalité ; lin-' 

M. Painlevé ; Discussion: MM. Couturat, Le Roy, Rauh. 

Monatshefte f. Mathematik u. Physik, herausgegeben von G. v. Escherich, 
F. Mertens u. W. Wirtinger. XV. Jahrg. L904. Eisenstein, Wicn. 
2., )!. Vierleljahr. — A. Axer : Zahlentheoretische Funktionen und deren 
asymptolische Werte in Gebiete der aus den dritten Einheitswurzeln ge- 
bildeicn ganzen komplexen Zablen. — R. von Sterneck : Ueber kouvexe 
Polygone. — G. Frauenfelder : Bùscbel von Raumkurven 't Ordnung II. 
Art mit zwei stationâren Tangenten. — Niels Niei.se.n : Llemenlare Herlei- 
tung einiger Formeln aus der Théorie der Gammafunktion. — Otto Bii-.r- 
mann : Zwei dem numerisched Rechnen angehôrende Betrachtungen : G. Maj- 
ce>- : Ueber die Reliefprojeklionen des Kreises. — J. Plemelj : Ueber 
lineare Randwertaufgaben der Potentiallheorie. 

Nouvelles Annales de Mathématiques, dirigées par C.-A. Laisant, G. Bour- 

let et R. Bricari». 4 e série, T. iv. Gauthier- Villars, Paris. 

Sept. 1904. — Rapport de M. Apei.l sur renseignement dans la classe de 
mathém. spéc. — T. Lemoyne : Note de géométrie. — H. Piccioli : Sur un 
procédé pour parvenir à l'équation intrinsèque des lignes du cylindre de 
révolution. — R. Bricard : Sur une certaine suite arithmétique. 

Octobre. — G. Fontené : Sur l'extension du théorème des polygones de 
Poncelet à l'espace, par des polyèdres du genre un. — G. Fontené : Con- 
tours variables inscrits à une cubique gauche, circonscrits par les plans de 
leurs angles à une surface réglée de troisième ordre. — J . Le Roux : Les 
fondions d'une infinité de variables indépendantes. 

Novembre. — A. Deltour : Sur les polyèdres de genre un. — S. Stama- 
tiadis : Sur l'existence des racines de l'équation algébrique. — Ch. Bioche : 
Sur la distinction analytique des régions déterminées par un triangle ou par 
un tétraèdre. — Agrégation des se. mathém. ; A. Yacquant. solution de la 
question de mathém. spéc. ; C. Clapier, solution de la question de mathém. 
élém. 

Décembre. — J. Hadamard : Sur les séries de la forme 2 fl« e~ *n Z - — 
J. Hadamard : Sur un point de la théorie des percussions. — Lancelot : 
Surfaces algébriques ; points singuliers. — R. Bricard : Sur l'extension à 
l'espace du théorème de Poncelet. 

2. Livres nouveaux : 

Ett. Bortolotti. — Lezioni sul Calcolo degli Infinitesimi date nella R. 
Université di Modena, raccolte dal D r Arm. Barbieri. — 1 fasc. in-8° de 
V-62 p. ; prix : L. 3. — ; Società tipogr., Modena. 

R. Gars. — Einfùhrung in die Vektoranalysis mit Anwendungen auf die 
mathematische Physik. — 1 vol. cart. in-,8°, 98 p. ; prix: M. 2.80; G.-B. 
Teubner, Leipzig. 

Z.-G. de Gai.deano. — Tratado de Analisis Matemàtico. — T. II : Prin- 

cipios générales de la Teoria de las Funciones. — 1 vol. in-8°. 352 p. ; 
prix : Fr. 7. — : Casanal, Saragosse. 

A. Grévy. — Traité d'Algèbre à l'usage des élèves de Mathématiques, A 
et B. — 1 vol. in-8°, 498 p. ; prix : fr. 6, — ; Vuibert et Nony, Paris. 



256 R VL LETl N BJBLIO G R A P II I Q UE 

E. Grimsehl. — Angewandte Potentialtheorie in elemenlarer Bebandlung, 
I. Band (Sammlung Schubert i. — 1 vol. cari., 219 p.; prix: M. 6. — ; 
G. T. Gôschen, Leipzig. 

Fr. Haacke. — Entwurf eines arithmetischen Lehrganges fur hôhere 
Schulen. — 1 vol. cart. in-8°, 53 p. ; prix : M. 0.80 ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

G.-O. James. — Eléments of the Kinematics of a Point and the Raiional 
Mechanics of a Particle. — 1 vol. p. in-8°. XVl-176 p. : prix : 2 Doll. ; John 
Wiley cv Sons. New- York. 

Laguerre. — Oeuvres complètes publiées sous les auspices de l'Académie 
des Sciences par Ch. H ermite, H. Poingaré et E. Rouché. T. II : Géométrie. 
— 1 vol. gr. in-8. 715 p. : prix: fr. 22. — ; Gauthier-Villars, Paris. 

H. Liebmann. — Nichteuklidische Géométrie (Sammlung Schubert). — 
1 vol. cart., 2'*8 p. ; prix : M. 6.50 ; G.-J. Gôschen, Leipzig. 

Ern. Lebon. — Géométrie descriptive et Géométrie cotée. Classe de. ma- 
thématiques A et B. — 1 vol. broch., 175 p. ; prix : Fr. 3.50 ; Delalain frères, 
Paris. 

\V Lorey. — Ueber die Wohltat und das Werden der Zahl. (Sonderabzug 
ans Programm 1905 Gymnasium Gôrlitz). — 1 broch.. 10 p. ; Gôrlitz. 

G. M.ahler. Physikalische Aufgabensammlung, mit Resultaten. 

(Sammlung Gôschen). — 1 vol. cari.. 118 p ; prix : M. 0.80 ; G.-J. Gôschen, 
Leipzig. 

R. Marcolongo. — Meccanica Razionale. (Manuali Hôpli;. — T. I : Cine- 
matica-Statica. 1 vol. di 300 p., L. 3. — ; T. II: Dinamiça. Principi di 
Idromeccanica. 1 vol. di 330 p. ; L. 3. — : Ulrico Hôpli, Milano. 

G. Papelier. — Formulaire de Mathématiques spéciales. Algèbre. Tri- 
gonométrie, Géométrie analytique. — 1 vol. br., 220 p. ; prix : fr. 2. — ; 
Vuibert <k Nony, Paris. 

H. Poingaré. — Leçons de Mécanique céleste professées à la Sorbonne. 
T. I. Théorie générale des perturbations planétaires. — 1 vol. gr. in-8°, 
VI-36 p. ; prix : fr. 12. — ; Gauthier-Villars, Paris. 

A. Rist. — La Philosophie naturelle intégrale et les rudiments des 
sciences exactes, première partie. — 1 vol. gr. in-8°, VI- 131 p. ; A. Her- 
mann. Paris. 

Rod. Schûssler. — Orthogonale Axonometrie. Ein Lehrbuch zum Selbst- 
Sludium. — 1 vol. cart. iu-8° avec un atlas de 29 planches ; prix: M. 7. — ; 
B.-ti. Teubner, Leipzig. 

J.-J. Thomson. — Elettricità e Materia. (traduil de l'anglais en italien. 
avec annotations, par Doit. G. Faê). — 1 vol. cart. VIII-200 p. ; Collection 
Hôpli: prix: L. 2. — : U. Hôpli, Milan. 1905. 

Verhandlungen des dritten internationalen Mathematikerkongresses in 

Heidelberg vom 8. bis 13. Âug. 1904, herausgegeben von Dr. A. Krazer. — 
1 vol. gr. in-8°, 756 p. ; B.-G. Teubner, Leipzig. 

E. Wickiushiimir. — Les Principes de la Mécanique. — 1 vol. in-89, 

130 p. ; prix : fr. i.— : V™ Ch. Dunod, Paris. 

J.-W. Wnin rs. — Euclids parallel Postulate : Its Nature, Validity, and 
Place in geometrical Systems. - Thèse présentée à la Yale University. 

1 vol. cart., 192 p. : The Open Court publishing Comp., Chicago. 

^3H»-C-» 



L'ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE 
EN BULGARIE' 



L'enseignement universitaire de la Bulgarie est encore peu 
connu à l'étranger. Notre Ministère de l'Instruction publique 
s'est fait représenter pour la première fois au dernier con- 
grès des mathématiciens. Le moment semble donc venu de 
mettre les savants de l'étranger au courant de l'enseignement 
mathématique en Bulgarie et spécialement à notre université, 
une des plus jeunes représentées au Congrès. 

Les mathématiques ne se développèrent en Bulgarie que 
depuis la délivrance de notre pays du joug turc. Il est im- 
possible de savoir quel était l'état des mathématiques avant 
cette date, car l'histoire de la littérature bulgare ne les men- 
tionne pas et la plupart des anciens manuscrits ont été dé- 
truits par l'ennemi. 

Ainsi il ne nous reste rien de « l'âge d'or » de Car Simeon. 

Après l'invasion des Turcs la publication d'un ouvrage 
quelconque en langue bulgare était interdite. Jusqu'en 1839 
il n'y eut en Bulgarie aucune imprimerie. Celle que l'archi- 
mandrite Théodosis ouvrit alors à Salonique avec la permis- 
sion du gouvernement fut brûlée peu de temps après. Une 
censure très sévère poursuivit tous les écrivains comme des 
« Comita », des ennemis du gouvernement. Le « Teubner » 
de la Bulgarie, M. Christo Danov, raconte, par exemple, que 
pour pouvoir publier, en 1876, une Arithmétique traduite 
par Christo Botev, un révolutionnaire bulgare, il dut d'abord 
la purger de certains problèmes, comme ceux-ci : « Quel 
est le revenu journalier du sultan? » «Quelle est la propor- 
tion des Turcs et des Bulgares dans la presqu'île des Bal- 



1 Rapport présenté au 3 me Congrès international des mathématiciens à Heidelberg, lo 12 
août 1904. 

L'Enseignement mathém. , 7 e année; 1905. 18 



258 A. V. SOUREK 

kans?», etc. De tels problèmes auraient certainement causé 
la fermeture de la librairie et l'arrêt de l'éditeur. Dans ces 
conditions la propagation de livres parmi le peuple était très 
difficile et M. Christo Danov les colportait souvent lui-même 
dans les Balkans. 

Les premiers livres de mathématiques en langue bulgare 
ne parurent pas dans notre pays, mais parurent en Russie, 
en Serbie, en Autriche, en Roumanie, quelques-uns à Cons- 
tantinople et à Ruzcuk. La première Arithmétique de Crris- 
taki Pavlovic parut a Belgrade en 1833 (112 pages, 8°, 2 ta- 
bleaux), le premier traité d'Algèbre de Vaklidov (160 p.), en 
1859 à Constantinople et la première Géométrie de V. Grtjev 
(72 p., 8°, 78 figures 1 , en 1867, à Vienne (L. Sommer, éd.). 
Jusqu'aux guerres d'indépendance de Tannée 1877 il y eut 
en tout 28 traités d'Arithmétique avec <\ev\x recueils de pro- 
blèmes, deux livres d'Algèbre et trois de Géométrie. Tous 
ces ouvrages avaient un but essentiellement pratique, celui 
de procurer à l'élève les connaissances utiles et indispensa- 
bles dans la vie de chaque jour. Ils contenaient les quatre 
opérations fondamentales de l'arithmétique, les fractions sim- 
ples et décimales, les rapports et les proportions, la règle de 
trois, les problèmes d'intérêt, etc. La librairie Christo Danov 
prétend qu'il y a 50 ans on ne connaissait en Bulgarie que 
l'addition et la soustraction. A ce moment-là les seuls qui 
fussent capables de multiplier ou de diviser étaient les sa- 
vants Radies (juges) turcs qui jouissaient pour cela d'une 
grande réputation! 

Avant 1877 les écoles étaient — toutes proportions faites 
— peu nombreuses en Bulgarie. Les popes (prêtres;, don- 
naient aux enfants renseignement dans les locaux ecclésias- 
tiques. Les « Daskal » (maîtres d'école) devaient subvenir à 
leur entretien par un autre métier, ou bien avoir recours à 
des dons volontaires. Ce n'est que dans les villes les plus 
importantes qu'on trouvait des écoles mieux installées, ayant 
deux ou trois classes. Sous Midhat Pascha la ville de Ga- 
brovo fonda un Gymnase et Philippopolis un séminaire. La 
statistique de 1878-79 compte cependant 1027 écoles pour gar- 
çons et 61 pour jeunes tilles. Après 1877 les Russes se mirent 



/. /:' .Y \ E I G N E M E Y I M. I 1 11 1. M ATIQV E E Y II ULGA R I E 2 59 

à foncier des écoles moyennes en Bulgarie et consacrèrent 
de fortes sommes à l'entretien de plusieurs d'entre elles, 
comme par exemple celles de Slivno et de Lom-Palanko. Il 
y eut un essor vraiment réjouissant. On lit venir des institu- 
teurs de la Bohême, la Croatie, la Russie pour enseigner les 
différentes matières. Les gymnases réaux de Philippopolis, 
Slivno, Gabrovo et Sofia parvinrent alors à un degré assez 
élevé de développement. 

En outre on créa des écoles normales dont les élèves 
étaient destinés à répandre l'instruction dans le peuple. Dans 
toutes ces écoles les mathématiques formaient une branche 
de l'enseignement et dans la Bulgarie méridionale les leçons 
étaient réparties et données sur le modèle de l'Autriche. 

On peut se faire une idée du développement rapide de l'ins- 
truction par les chiffres suivants. En 1880-81 la principauté pos- 
sédait : 1 gymnase classique avec 5 classes, 7 professeurs et 
228 élèves, 5 écoles réaies (Gabrovo, Lom-Palanko, Kistendil, 
Rusc.uk et Widin), 3 écoles normales à Dupinlza, Sylistra et 
Belogradcik), un séminaire ecclésiastique à Leskovec, 1 école 
normale déjeunes filles à Sihunila et 2 gymnases de jeunes 
filles à Sofia et Trrtovo. La plupart de ces écoles n'avaient 
que 4 classes. Dans la Bulgarie méridionale, c'est-à-dire la 
Roumélie orientale, il y avait alors : 2 gymnases à Philippo- 
polis et Slivno, 2 gymnases de jeunes filles à Philippopolis et 
Eski-Zagra et une école normale dans la belle ville de Ko- 
zanlik. Le gouvernement entretenait 380 boursiers dans le 
pays et 34 à l'étranger et accordait encore des secours à 28 
étudiants bulgares à l'étranger. 

De 1877 à 1887 la littérature mathématique bulgare s'enri- 
chit de 19 traités d'arithmétique, 7 recueils de problèmes 
d'arithmétique, 3 traités d'algèbre, 10 géomélries planimé- 
trie et stéréométrie , 1 table de logarithmes, 2 traités de tri- 
gonométrie et un de géométrie analytique. 

Depuis 1887, les plans de l'enseignement ont subi plusieurs 
modifications, mais celles-ci n'apportèrent aucun changement 
important dans l'enseignement mathématique. 

Voici le plan le plus récent de l'enseignement mathéma- 
tique des gymnases de jeunes gens : 



260 



A. V. SOURE K 



MATIERES 











CLASSES 










Division 




Division 


Division 




inférieure. 




réale. 


classique. 




I 


Il 


III 


IV 


V 


VI 


VII 


IV 


V 


VI 


VII 


Total 


3 


3 


3 


















9 


— 


2 


2 


















4 




— 


— 


5 


5 


5 


4 


4 


3 


3 


3 


19 
13 


— 


— 


— 


— 


2 


2 


2 


— 


— 


— 


— 


6 


— 


— 


2 


— 


3 


3 


2 


— 


2 


2 


2 


1 11.10 

|C1. 8 



Arithmétique 

Géom. et dessin géom. 

Algèbre 

et Géométrie 

Géométrie descriptive 

Physique 

Yoiei en quoi ce plan diffère des plans antérieurs : le 
dessin géométrique a été supprimé dans la première et dans 
la quatrième classe et le nombre des heures de géométrie 
descriptive a été réduit de 9 à 6. 

Le programme des matières dans les différentes classes est 
ainsi Cor mule : 

/. Arithmétique. 

I. Classe: Numération (calcul et mesure, systèmes décimal et métrique, 
chiffres romains et slaves). 

//. Classe : Les quatre opérations fondamentales sur les fractions simples. 
Transformation des fractions simples en fractions décimales et vice versa. 
Fractions périodiques. Les quatre opérations fondamentales sur les nombres 
complexes. 

/// Classe : Emploi des lettres et des parenthèses pour les quatre opéra- 
tions simples. La notion de nombre. Rapport et proportion. Règle de trois 
simple et composée. Problèmes d'intérêt, d'escompte et d'échéances ; pro- 
blèmes de partage et d'alliage. Deuxième et troisième puissance d un nombre. 
Racines carrées et cubiques. 

Notions de tenue de livres et de comptabilité commerciale. 

//. Algèbre. 

IV. Classe : Les quatre opérations fondamentales sur les nombres ration- 
nels absolus. Divisibilité des nombres. Systèmes des nombres. Rapports et 
proportions. Nombres positifs el négatifs; les quatre opérations sur ces 
derniers. Equations et inégalités du 1 er degré à une inconnue. 

V. Classe : Equation du premier degré à une ou plusieurs inconnues. 
Equations indéterminées. Puissances el racines. Equations du deuxième 
degré une inconnue. Equations qui peuvent se ramener à des équations du 
deuxième degré. Equalions du deuxième de^ré à deux inconnues. 

I /. Classe : Logarithmes. Equations exponentielles. Progressions arith- 
métiques et géométriques. Maximum et minimum. Problèmes et exercices 
sur ces notions. 



/. ' E N S E I G .Y E M E N T M A T II E M ATI Q f ' E E N II ULGARIE 261 

\ll. (lasse: Les combinaisons. Binôme de Newton à exposants entiers et 
positifs. Propriétés des coefficients de binômes. Notions élémentaires du 
calcul des probabilités. 

///. Géométrie. 

II. Classe : Notions fondamentales «le la Géométrie et étude intuitive des 
solides simples : cube, prisme, pyramide, cylindre, cône, sphère. Les prin- 
cipales figures planes géométriques, leur description par la méthode iului- 
tive. Mesures des aires du carré, rectangle, parallélogramme, triangle, etc. 

Exercices avec les compas. Dessin technique sur les matières traitées et 
d'après des modèles d'ornements simples. 

///. Classe : Similitude des figures. Notions fondamentales de la stéréo- 
métrie. Détermination de Taire et du volume des solides simples. 

IV. Classe : Planimétrie. Les figures géométriques fondamentales. Théo- 
rie du parallélisme. Egalité et similitude des figures planes. Théorèmes, 
problèmes et constructions sur les propriétés élémentaires des figures. Ega- 
lité et similitude. 

V. Classe : Planimétrie : égalité, transformation et division des surfaces. 
Mesure des aires. Transversales des triangles; points harmoniques; fais- 
ceaux de rayons. Centre et rayons de similitude, faisceaux île cercles. Puis- 
sance d'un point par rapport à une circonférence; axe radical; Pôles et po- 
laires. 

VI. Classe : Trigonométrie : fonctions goniométriques du triangle rec- 
tangle. Résolution du triangle rectangle, du triangle isocèle et des polygones 
réguliers. Généralisation des fonctions goniométriques. Règles de la résolu- 
tion des triangles scalènes. Equations trigonométriques simples. 

Stéréométrie : Principaux théorèmes concernant la ligne droite et le plan 
dans l'espace. Angles solides. Classification et propriétés des solides Ega- 
lité, symétrie et similitude des solides. Aire et volume du prisme, de la 
pyramide et de la pyramide tronquée. Aire et volume du cylindre, du cône 
et du cône tronqué, ainsi que de la sphère et de ses segments simples. 

VII. Classe : Géométrie analytique. Ligne droite, cercle et sections coni- 
ques en coordonnées rectangulaires. 

Géométrie descriptive. 

V. Classe : Principaux théorèmes concernant la droite et le plan dans l'es- 
pace. Représentation du point de la droite et du plan. Exercices et problèmes 
simples. 

VI. Classe : Projections des figures planes et détermination de leurs om- 
bres. L'ellipse comme projection orthogonale du cercle. Propriétés de l'ellipse. 

VII. Classe : Représentation de prismes, pyramides, cylindres, cônes et 
sphères. Leurs sections planes. Ombres de ces solides. Exemples élémen- 
taires de la pénétration de ces solides. 

Dans les gymnases classiques on enseigne l'algèbre d'après 
le même plan, mais avec moins d'exercices. Quant à la trigo- 
nométrie, elle ne comprend dans la sixième classe que les 
triangles isocèles et les triangles rectangles, ainsi que la ré- 



262 A. V. SOUREK 

duclion tles polygones réguliers. Dans la septième classe, il 
n'y a pas de géométrie analytique; la trigonométrie comprend 
l'étude des triangles scalènes. 

On enseigne d'après le même programme à l'école militaire 
appelée « l'école des gentilshommes ». La géométrie descrip- 
tive y est étudiée au point de vue de ses applications straté- 
giques, d'après un traité spécial publié en langue bulgare. 

Voici le programme de l'enseignement mathématique (/ans 
les écoles de jeunes filles, dites : «gymnases déjeunes filles» 
qui comprennent 7 classes. 





1 


II 


III 


IV 


A 


Arithmétique 


3 


3 


3 






Algèbre 








3 


3 


Géométrie 








2 


2 


Phvsique 






2 


2 


2 



A la tin de la cinquième classe les élèves doivent faire un 
examen pour être admises soit dans la section d'instruction 
complémentaire, soit dans la section pédagogique, qui ont 
toutes deux une durée de deux années. Dans la première de 
ces sections on consacre 5 + 4 = 9 heures aux mathémati- 
ques et 3 -f- 5 = 8 heures à la physique et la chimie. 

Dans la VI. Classe ou enseigne les matières suivantes : 

1° Algèl>re : Puissances et racines à exposants entiers ou fractionnaires, 
positifs ou négatifs. Grandeurs rationnelles et irrationnelles; puissances et 
racines; racines carrées et racines cubiques. Nombres imaginaires et com- 
plexes et leur représentation graphique. Equations du deuxième degré à une 
inconnue et équations qui s'y ramènent. Equations du deuxième degré à plu- 
sieurs inconnues. Logarithmes. 

2° La Géométrie comprend d'abord la planimétrie avec des constructions, 
puis la trigonométrie plane étudiée même dans son application à la géométrie 
pratique. 

Dans la VII. Classe l'enseignement porte sur les progressions, les inté- 
rêts, les amortissements. Les élèves doivent en outre répéter la stéréo- 
métrie qu'on leur a enseignée en cinquième. Enlin le programme de la 
VIL classe comprend encore la trigonométrie sphérique : formules princi- 
pales du triangle rectangle sphérique, théorèmes du sinus et du cosinus; 
équations de Gauss et analogies de rseper; formules de l'excès sphérique et 
de la surface des triangles et leur application à la stéréométrie. Il n'y a pas 
de géométrie analytique. 

Pour les écoles normales île la Bulgarie le programme est 
le suivant : 



/. ENSEIGNEMENT MA I III. M A TIQUE EN BULGARIE 263 

î. Cours 2. Cours. 3. Cours, i. Cours. Total 

Mathématiques 3 heures 5 3 LO 

Physique 2 2 2 6 

On y enseigne l'algèbre, la planimétrie et la stéréométrie. 
L'algèbre comprend, outre les puissances et les racines, les 
logarithmes et leur application aux problèmes d'intérêt, de 
rentes et aux équations du deuxième degré à une inconnue. 



Après les guerres d'indépendance le nombre des institu- 
teurs et surtout de ceux qui possédaient une instruction ma- 
thématique solide était beaucoup trop restreint. C'est pour- 
quoi le ministre de l'instruction publique, Théodor Ivancov 
fit décréter le 5 mai 1887 la fondation dune huitième classe 
pédagogique au gymnase de Sofia. Mais il dut se retirer la 
même année et son successeur, le D v Comakov donna à cette 
classe le nom de « classe pédagogique supérieure ». Le 2 sep- 
tembre 1887 le ministre Zivkov publia une circulaire annon- 
çant l'ouverture d'une section historique dans la classe péda- 
gogique supérieure. Pour augmenter le nombre des auditeurs 
on distribua des bourses annuelles de 720 fr. 

Une nouvelle loi du 18 décembre 1888 sépara complète- 
ment du gymnase celte classe pédagogique qui devint, à 
partir du 1 er janvier 1889, une institution indépendante sous 
le nom de : « Vysso ùciliste » académie). La même année on 
inaugura un cours physico-mathématique avec 4 professeurs 
(pour les mathématiques, la physique et la chimie; pas de 
sciences naturelles) et 34 étudiants. Le cours devait durer 
trois ans. A la fin de Tannée scolaire 1891-92, 23 étudiants 
terminèrent ce cours; parmi eux 16 mathématiciens. 

En 1892-93 on fonda une Faculté de droit avec 7 professeurs 
et 67 étudiants. 

Le 20 décembre 1894, à la suite d'un ukase princier, la loi 
concernant la formation d'une académie avec différentes Fa- 
cultés et avec une organisation toute académique fut promul- 
guée. En 1896-97 une loi complémentaire fixa l'autonomie de 
l'académie, la liberté des études et la durée de quatre ans des 



26 'i A. V. SOL RE K 

cours. Jusqu'à la fin de Tannée scolaire 1904, 244 étudiants 
ont achevé leurs études à la Faculté physico-mathématique. 
Parmi eux on compte 117 mathématiciens répartis comme suit: 

Dans Tannée scolaire 1891-92 
» » » 



1891-92 . . 


14 


1892-93 . . 


8 


L893-94 . . 


6 


1894-95 . . 


9 


1895-96 . . 


9 


1896-97 . , 


8 


1897-98 . . 


9 


L898-99 . . 


3 


1899-1900 . 


il 


1900-1901 . 


6 


1901-1902 . 


15 


1902-1903 . 


5 



» » » 

» » » 1903-1904 . 14 

Le 5 juillet 1897, le regretté Evlogi Georgiev légua à 
l'Académie un grand terrain de construction et une somme 
de 6 millions de francs. Le 23 janvier 1904 notre excellent 
ministre actuel, le D r Sismanov promulgue une nouvelle loi 
d'après laquelle l'académie bulgare porte depuis le 1 er oc- 
tobre le titre d' « université ». 

La nouvelle loi ordonne les branches suivantes pour l'en- 
seignement à la Faculté physico-mathématique : 

1° Eléments des mathématiques supérieures. — 2° Analyse 
supérieure. — 3° Géométrie. — 4° Physique expérimentale. 

— 5° Physique mathématique et mécanique analytique. — 
6° Astronomie. — 7° Géométrie pratique. — 8° Chimie inor- 
ganique et analytique. — 9° Chimie organique et théorique. 

— 10° Technologie et chimie agricole. — 11° Physique indus- 
trielle. — 12° Technologie mécanique. — 13° Zoologie et em- 
briologie. — 14° Anatomie comparée et hystologie. — 15° Bo- 
tanique. — 16° Géologie et paléontologie. — 17° Minéralogie 
et pétrographie. 

La Faculté physico-mathématique se subdivise en «3 sec- 
tions : I. Section de physique et des mathématiques. — II. 
Section de chimie. — : III. Section des sciences naturelles. 



/. e y s i: i g n i: m e y / m a i ii i: matiqv e e y h v i. g a m i: 265 

La Faculté compte 10 professeurs ordinaires, 3 professeurs 
extraordinaires et 2 privat-docents avec 3 assistants. Les cours 
de mathématiques sont donnés par 3 professeurs ordinaires 
et 1 professeur extraordinaire. 

Voici le plan des études mathématiques et physiques : 

a . Cours. 

Semestres. 
I II III IV V VI VII VIII 

1. Eléments des ma thé m. super. 4 4 5 5 — — — — 

et Algèbre supérieure — — 1 2 — — — — 

2. Analyse supérieure I. — — — — 22 — — 

3. Analyse supérieure II. — — — — 4422 

4. Algèbre supérieure II. — — — — 2 2 — — 

5. Théorie des nombres. — — — — 2 2 — — 

6. Géométrie analyt. I. 3 3 — — — — — — 

7. Géométrie analyt. II. — — 3 3 — — — — 

8. Géométrie projective. — — — — 3 3 3 3) 

9. Géométrie descriptive. (4 4 4 4 — — — — 

10. Géométrie supérieure. — — — — — — 2 2 

11. Mécanique analytique. — — — — 4 4 2 2 

12. Physique mathématique. — — — — 3 3 3 3 

13. Physique expériment. 4 4 

14. Météorologie. 

f sphérique et pratique. 
Astro- \ t u/,„ ■ 



4 

9 _ _ 



3 2 



iSl 

nomie 



i 



théorique. 
/ physique. — — — — — — — 2 

b. Exercices pratiques. 

I II III IV V VIVIIVIII 

Eléments des mathém. super. 2 2 2 2 — — — — 

Géomélrie analyt. I. 22 — — — — — — 

Géométrie analyt. II. — — 22 — — — — 

Exercices de géométrie de posi- 
tion. 2222 

Exercices de géométrie descriptive. 2 2 2 2 — — — — 

Physique expérimen. , 

Météorologie. 



266 ./. V. SOUJREK 

Ce tableau général exige des explications plus détaillées 
sur le champ parcouru dans chacun des cours mathéma- 
tiques. 

Le cours à" Eléments des mathématiques supérieures traite 
les matières suivantes : Nombres irrationnels, limites, séries, 
produits infinis et fractions continues. Les déterminants. 
Théorie des nombres complexes. Théorie des équations al- 
gébriques (Algèbre supérieur l' e partie). Calcul différentiel et 
intégral. Introduction à la théorie des équations différen- 
tielles, applications géométriques. 

Analyse supérieure : 1° Algèbre supérieure (II me partie). 
Théorie de la substitution linéaire. Théorie des nombres. — 
2° Intégrales multiples. Equations différentielles. Calcul des 
variations. — 3° Théorie des fonctions. 

Géométrie : 1° Géométrie analytique à deux et à trois di- 
mensions. — 2° Géométrie projeetive (Géométrie de position). 
— 3° Géométrie descriptive. — 4° Géométrie supérieure et 
méthodologie. 

Le cours de géométrie analytique à deux dimensions est 
de deux ans et comprend l'étude des points, des droites, du 
cercle, des courbes de second ordre dans des systèmes de 
coordonnées rectangulaires, obliques et polaires; puis vien- 
nent les tangentes, les polaires, les asymptotes; les diamètres 
conjugués et les axes principaux des courbes du second 
degré. En outre les étudiants abordent les courbes supé- 
rieures, par exemple la feuille cartésienne, la parabole cu- 
bique et semi-cubique, l'hyperbole cubique, la cissoïde et la 
strophoïde, les lignes Cassiniennes, la lemniscate, les courbes 
de Descaries, les eonchoïdes, la conchoïde de Nicomède, le 
limaçon de Pascal, les cardoïdes, les paraboles bicarrées : 

y* = a s x, \* = a.i s et y = a -j- hx -\ ex 2 -\- dx 3 -f- e.>*. 

Viennent ensuite quelques lignes transcendantes, les trois 
sortes de cycloïdes : épieveloïdes et hypocycloïdes, les as- 
troïdes, la développante du cercle; les spirales; les courbes 
exponentielles y = Ce ax , la chaînette. Construction de ces 
courbes et étude de leurs tangentes, de leur courbure. Pour 
quelques-unes de ces constructions on utilise la géométrie 



/. E N S E I G .\ E M E N T M I I II É MATIQV E E N B ULGARIÈ 267 

cinématique dont les étudiants apprennent ;ms>i 1rs fonde- 
ments. 

La Géométrie analytique dans C espace fait également l'ob- 
jet d'une étude assez détaillée : systèmes de coordonnées rec- 
tangulaires et polaires; relations entre ces deux systèmes. 
Les problèmes usuels relatifs aux points, à la ligne droite et 
au plan. 

Détermination du volume du tétraèdre parles coordonnées 
de ses sommets, la longueur de ses arêtes el par ses faces. 
Projection d'un vecteur ou d'un contour polygonal. Les diffé- 
rentes formules de transformations, surtout celles d'Euler. 
La sphère. Les différentes surfaces : cylindre, cône, surfaces 
de révolution, rotation; leur équation; sections planes. Sur- 
faces du deuxième degré et leurs sections circulaires. 

Hélice : Courbes gauches, leurs tangentes, plans oscilla- 
teurs, plans normaux, normale principale, binormale. cour- 
bure et torsion. 

Enfin on étudie les surfaces en général et leurs courbures. 
On réunit ici la géométrie analytique à la géométrie différen- 
tielle. 

Les cours de géométrie descriptive et de géométrie de po- 
sition réunissent toujours les élèves de deux années consé- 
cutives. 

Le cours de géométrie descriptive débute par l'étude géné- 
rale des trois opérations fondamentales de cette branche : 
détermination, projection et construction des éléments dans 
les divers systèmes de projections : projections centrale, 
oblique, cotée et axonométrique. Projection sur un plan. 
Rapports entre les différents modes de projections. Projec- 
tions perspectives et projections de Monge ; leur application 
à des problèmes métriques. 

Le trièdre et les polyèdres; les surfaces du deuxième 
degré; courbes dans l'espace (hélice, ligne géodésique du 
cône ; surfaces développables, les dix espèces de surfaces 
gauches et les surfaces de rotation. Constructions relatives 
aux ombres. 

Le programme de géométrie projectile comprend l'étude 
tles éléments fondamentaux, le principe de dualité, puis la 



268 ./. V. SOUREK 

perspecliyité et la projectivité, linvolution, la génération des 
sections coniques et des surfaces coniques ou gauches. Col- 
linéation centrale. 

La géométrie supérieure comprend outre la notion générale 
des coordonnées, l'essentiel de la théorie des transformations. 

La mécanique analytique et l'astronomie sont données 
dans des cours assez détaillés. Des exercices pratiques à 
l'observatoire complètent le cours d'astronomie. 



Chaque étudiant de l'université est obligé de suivre tous 
les cours indiqués dans le plan d'étude. Les étudiants en 
physique doivent suivre pendant deux semestres les cours de 
chimie analytique et prendre part aux travaux du laboratoire. 
En revanche ils sont dispensés des exercices de constructions 
de la géométrie descriptive. 

Les mathématiciens assistent pendant trois semestres, les 
physiciens pendant sept semestres aux exercices pratiques 
de l'institut de physique. Les étudiants sont obligés de 
prendre part à tous les exercices pratiques dans les sémi- 
naires et les laboratoires pour que leur semestre soit va- 
lable. 

Ils ont à subir tous les deux ans un examen : Le premier 
examen d'Etat comprend : 1° les éléments des mathématiques 
supérieures; 2° la géométrie analytique; 3° la physique expé- 
rimentale et la météorologie. 

Le second examen d'Etat comprend : 1° L'analyse supé- 
rieure; 2° la mécanique analytique; 3° l'astronomie; 4° la 
géométrie supérieure projectiveet descriptive; 5° la physique 
mathématique. 

Chaque candidat doit choisir outre l'analyse supérieure, 
deux autres branches parmi celles qui sont énuinérées ci- 
dessus. Les candidats pour la géométrie descriptive doivent 
choisir pour leur épreuve la géométrie supérieure et la géo- 
métrie projective ; ceux qui prennent la physique comme 
branche principale n'ont pas besoin de (aire un examen de 
géométrie supérieure. 



L'ENSEIGNEMENT MA THÊMA TIQUE EN BULGARIE 269 

Une ibis les éludes terminées, chaque candidat à rensei- 
gnement supérieur doit faire deux ans de pratique après 
lesquels il a encore à subir un examen d'Etat très sévère. 

Une bibliothèque et une salie de lecture sont à la disposi- 
tion des étudiants, lis peuvent y consulter les meilleurs pé- 
riodiques et les encyclopédies mathématiques. Une collection 
de modèles de géométrie sert à faciliter l'étude de cette 
science. Elle se compose de 133 modèles de géométrie des- 
criptive, 185 de géométrie supérieure, 50 de géométrie sur- 
tout de stéréométrie), 187 modèles divers et accessoires, le 
tout représentant une valeur de 6414 fr. 81. 

Des photographies de ces collections se trouvent à l'expo- 
sition du Congrès. Une de ces photographies représente les 
modèles et les accessoires exécutés par l'auteur de ce rap- 
port et qui ont remporté un prix à l'exposition universelle 
d'Anvers et à l'exposition nationale de Philippopolis. 

Pour que notre université ait un personnel enseignant dis- 
tingué, nous envoyons à l'étranger les étudiants les mieux 
doués; ils y suivent les cours des professeurs les plus célè- 
bres et se spécialisent dans quelques branches des ma- 
thématiques. 



La société « physico-mathématique » « physoko-mathma- 
ticesko druzestvo ») a pour but le développement des sciences 
mathématiques en Bulgarie. Elle cherche à atteindre ce but : 

1° En donnant à ses membres l'occasion de se perfectionner 
dans les sciences mathématiques et de faire des travaux scien- 
tifiques ; 

2° En facilitant le développement de la littérature mathé- 
matique; 

3° En s occupant de toutes les questions concernant l'en- 
seignement mathématique et en cherchant à améliorer l'en- 
seignement en général ; 

4° Parla détermination d'une terminologie générale; 

5° Par la critique sérieuse de divers ouvrages, surtout des 
manuels et des dissertations en langue bulgare; 

6° En favorisant moralement et matériellement la puhiica- 



2 :o C, . COMBEBIAC 

tion et la vente de travaux et de dissertations scientifiques 
ainsi que de bons manuels. 

La société a une séance tous les quinze jours, avec des 
conférences sur des sujets scientifiques et pédagogiques. 
Elle possède une bibliothèque et est abonnée à beaucoup de 
journaux périodiques. Depuis quelque temps elle a son propre 
organe : « Cnucanue na opusuko-mazemamureckomo dpys- 
cecmbo bo Cocptts » qui se trouve également à l'exposition. 
Ce journal s'occupe avant tout de la méthodologie des scien- 
ces mathématiques en Bulgarie. 

« Knizovno Druzcetvo » , une sorte d' « Académie des 
Sciences » de la Bulgarie n'a guère contribué au progrès des 
mathématiques. 

Les publications mathématiques ne sont pas encore nom- 
breuses si l'on fait abstraction des manuels. Ce sont les res- 
sources et les éditeurs qui font défaut pour la publication 
d'ouvrages importants ou de cours. On trouverait certaine- 
ment des auteurs. Espérons qu'à cet égard aussi les progrès 
seront rapides et que nous pourrons en donner la preuve à 
un des prochains congrès. 

A. Y. Sourek (Sofia.) 



THEORIE GÉOMÉTRIQUE DES GROUPES MÉTRIQUES 



La Géométrie traditionnelle a pour objet l'élude de l'« éga- 
lité » des figures : elle ne peut constituer qu'un chapitre de 
la Géométrie, si celle-ci doit constituer la science de l'espace 
(ou plus simplement et tout aussi complètement : la science 
des figures). Il convient donc d'attribuer à la Géométrie tra- 
ditionnelle un nom spécial, la Métrique par exemple. 

La place que doit occuper la Métrique dans la Géométrie 
résulte nettement des travaux analytiques sur les Fondements 
de la Géométrie, qui ont pour aboutissement les Chapitres 



c, Ê M I. TR I E D i: S G II OVP E S M É II! IQV E S 29 1 

définitifs consacres par Sophus Lie 1 à cette question dans sa 
Théorie des Groupes de Transformation. Il ne paraît donc 
pas sans intérêt d'édifier une théorie de la Métrique en adop- 
tant le même point de vue (pie les analystes, mais en proscri- 
vant tout appel à L'Analyse mathématique, c'est-à-dire en 
remplaçant le raisonnement numérique par le raisonnement 
géométrique. C'est l'objet que nous nous sommes proposé dans 
les pages suivantes. 

Nous émettrons aussi, à titre de conclusions, quelques 
considérations concernant l'aspect sous lequel se présente 
dorénavant la Géométrie. 

Nous montrerons enfin, dans un second article, que les 
théorèmes qui auront été ainsi établis comprennent un en- 
semble de propositions déjà reconnues susceptibles de cons- 
tituer une base logique suffisante pour l'édification de la 
Métrique. 

La lecture de ce Mémoire n'exige aucune connaissance 
mathématique. 

I. TRANSFORMATIONS PONCTUELLES 

Une transformation ponctuelle d'une figure est une opéra- 
tion par laquelle tout point de la figure est transformé en un 
autre point de l'espace. 

Lorsqu'une telle transformation est définie pour tout point 
de l'espace indépendamment des figures auxquelles il peut 
appartenir, elle est appelée transformation ponctuelle de 
l'espace ou simplement trans formation ponctuelle 2 . 

On ne considérera que des transformations ponctuelles 
telles que les transformés des points d'une ligne quelconque 
constituent également une ligne et que les transformés de 
deux points infiniment voisins soient aussi infiniment voi- 
sins. 

Soit deux transformations ponctuelles S et S' définies pour 
tous les points de l'espace. A tout point quelconque M la 



1 Soimics Lu:, Théorie der Transformationsgruppen, S er Abschnitt. p. 393 à 5i3 ; Teub- 
ner, Leipzig. 

2 L'ne transformation ponctuelle est en somme une fonction ponctuelle de point. 



272 G. COMBEBIAC 

transformation S fait correspondre un point M', et l'applica- 
tion de S' à ce dernier point donnera un troisième point M". 
On a ainsi déterminé, par l'application successive des deux 
transformations S et S', une nouvelle transformation faisant 
correspondre à un point quelconque M un point M". On po- 
sera : 

M" = S'iM'i = S' [S (M)] = S' S (M) , 

et la transformation S'S sera appelée le produit de S et S'. 

Soit trois transformations S, S', S". La transformation S'S 
fait correspondre à un point quelconque M un point M" ; en 
appliquant à ce dernier la transformation S", on obtient un 
nouveau point M'", de sorte que la transformation S"(S'Sj fait 
correspondre au point M le point M"'. La transformation S" S' 
fait évidemment correspondre au point M' le point M"', et par 
suite, en appliquant cette transformation S"S' à la suite de S, 
on voit que la transformation (S"S')S fait correspondre au 
point M le point M'", on a donc : 

S"(S'S) = (S"S')S , 

c'est-à-dire que le produit S" S'S a une signification précise 
sans qu'il soit besoin d'employer de parenthèse. 

Si une transformation S fait correspondre à un point quel- 
conque M un point M' de telle sorte que, lorsque le point M 
parcourt l'espace, il en soit de même de M', on voit qu'à tout 
point M' de l'espace correspond ainsi un point M ; la trans- 
formation ainsi définie est dite l'inverse de la première et est 
désignée par S -1 , c'est-à-dire que l'on pose : 

S -1 Si M) = SS _I (M| = M . 

Soit une transformation ponctuelle : 

M'= S (M) . 

Par l'application d'une autre transformation T à tous les 
points de l'espace, on aura : 

P = T(M) , P' = T(M') , 

et la transformation S est changée elle-même en la transfor- 
mation qui fait correspondre le point P' au point P. 



G i: M E II: 1 E D E S G i: OUP E S M E II: /or I. S 273 

Cette dernière transformation a pour expression : 

ivr 1 . 

ainsi qu'on le voit facilement en éliminant M et M' des rela- 
tions précédentes, ou encore en observant que P est le trans- 
formé par T de T -1 P . dont le transformé par S est ST -1 P , 
lequel devient enfin TST _1 (P . 
Si Ton a : 

IST" 1 = S , 

la transformation T laisse invariante la transformation S. et 
Ton dit que S admet T. 

La relation précédente peut s'écrire : 

TS = ST . 

On voit sous cette forme qu'elle est réciproque et qu'elle 
est équivalente à la eommutativité des deux transformations. 

Lorsqu'une transformation fait correspondre à un point dé- 
terminé ou bien à tout point d'une ligne ou d'une surface le 
même point ou bien un point appartenant également à celte 
ligne ou à cette surface, on dit qu'elle laisse ce point ou bien 
cette ligne ou cette surface invariantes ou encore que ceux-ci 
admettent la transformation. 

Un point, une ligne, ou une surface qui admettent deux 
transformations , admettent aussi leur produit . 

En effet, si S et S' désignent les deux transformations et M 
le point invariant ou bien un point quelconque de la ligne ou 
de la surface invariantes. S M coïncide avec le point inva- 
riant ou bien appartient a la ligne ou à la surface, et il en est 
par suite de même du point S' S M)] ou S'S (M) : la transfor- 
mation S'S possède donc bien la propriété énoncée. 

La proposition précédente peut évidemment être énoncée 
sous la forme suivante : 

Une figure qui admet deux transformations admet aussi 
leur produit. 

On peut encore énoncer la proposition suivante : 

Si une figure F est transformée en une figure F' par cha- 
cune des transformations S et S', la figure F admet les traits- 

L'Enseignement mathém., 7 e année; 1905. ''•' 



274 G. COMBEBIAC 

formations S' -1 S et S _1 S', et la figure F', les transformations 
SS'" 1 et S'S- 1 . 
On a en effet : 

S' _1 S<F i = S' _1 (F') = F , S -1 S' (F ) = S _1 (F') = F ; 

SS'-'iF'i = S(F I = F' , S' S _1 (F'| = S' (F ) = F' . 

I n ensemble de transformations ponctuelles est dit continu 
lorsque Si et S2 désignant deux transformations de cet en- 
semble, Mi et M2 les transformés par ces transformations 
d'un point quelconque Mo, il est toujours possible de réunir 
les points Mi et M2 par une ligne telle qu'il existe, dans l'en- 
semble considéré, une transformation faisant correspondre 
au point Mi un point quelconque de celte ligne. 

Définition 1. — Un ensemble de transformations qui com- 
prend le produit de deux quelconques d'entre elles s'appelle 
un groupe de transformations. 

Nous nous proposons d'établir quelques propriétés des 
Groupes continus comprenant les inverses cle toutes leurs 
transformations. Nous nous dispenserons le plus souvent de 
répéter ce qualificatif, qui sera toujours sons-entendu. 

Définition 2. — Une figure F sera dite congruente à une 
ligure F' par rapport à un groupe lorsque celui-ci contient 
une transformation S telle que Ton ait : 

F' = S (F) . 

La congruence par rapport à un groupe contenant les in- 
verses de ses transformations constitue évidemment une re- 
lation réciproque. On pourra donc parler de la congruence de 
deux figures. 

Un groupe comprenant les inverses de toutes ses transfor- 
mations comprend la transformation identique, car celle-ci 
peut toujours s'écrire SS -1 , quelle que soit S. 

II résulte de là que, par rapport aux groupes que nous 
considérons, une figure est toujours congruente a elle-même. 

Théorème 1. — Les transformées par un groupe d'une 
figure déterminée <jui peut, eu particulier, consister en un 
seul point) constituent le même ensemble que les transformées 
de I une quelconque de ces transformées. 



G É M E TRI E I) E S G R OUP E S V E 7 R IQV E S 2 7 5 

En effet, si Ko désigne une figure el F I une quelconque de 
ses transformées, le groupe comprend une transformation S 

telle que l'on a : 

F = S(F ) . 

et l'on aura, par l'application d'une transformation quel- 
conque S du groupe, 

S' i = S'S i , 

La transformation S'S appartenantau groupe, cette relation 

exprime que toute transformée S' F de F est aussi une trans- 
formée de Vo et par suite fait partit' de l'ensemble de ces 
transformés; la réciproque est également vraie, car l'o est 
une transformée de F, puisque S -1 appartient au groupe. 

Corollaire. — Deux figures congrueutes à une troisième 
sont congrueutes entre elles. 

Car, si F et I" sont parmi les transformées de Fo. F' doit, 
en vertu du théorème L, se trouver parmi les transformées 
de F, c'est-à-dire lui être congruente. 

Théorème 2. — Si S est le symbole de toutes les transfor- 
mations d'un groupe laissant invariante une figure F et si T 
désigne une transformation déterminée du groupe transfor- 
mant F en F\ l'expression générale des transformations T' du 
groupe par lesquelles F est transformée en F' est TS. et l'ex- 
pression générale des transformations S' du groupe admises 
par F' est TST -1 . 

En effet, T et T' étant deux transformations transformant 
F en F', on a vu que F admet T -1 T', c'est-à-dire que cette 
transformation figure parmi les transformations dont le sym- 
bole est S: autrement dit. il existe une transformation S telle 

(pie Ton a : 

T -i T /_ s 

ou 

T' = TS . 

En second lieu, si S' est le symbole des transformations lais- 
sant F' invariante, il résulte de la partie déjà démontrée du 
théorème que l'expression générale des transformations trans- 
formant F' en F est : 

T'" 1 = T _1 S' . 



2'6 G. COMBEBIAC 

D'où : 

S' = TT' -1 = ÏS _1 Ï -1 , 

ou enfin, comme les symboles S et S -1 correspondent au 
même ensemble de transformations, 

S' = TST" 1 . 

Théorème 3. — Les transformations d'un groupe qui lais- 
sent invariante une figure déterminée forment elles-mêmes un 
groupe. 

On a vu qu'une figure qui admet deux transformations S 
et S' admet également leur produit SS' ; d'autre part, tout 
groupe qui comprend S et S' comprend aussi SS' ; ce produit 
SS' appartient donc à l'ensemble des transformations défini 
dans l'énoncé, c'est-à-dire que cet ensemble constitue un 
groupe, Q. e. d. 

II. GROUPES MÉTRIQUES 

Sophus Lie a résolu le problème suivant : 

Déterminer tous les ensembles de transformation ponctuelles 
jouissant des propriétés suivantes : 

MI. — L'ensemble constitue un groupe continu comprenant 
les inverses de toutes ses transformations. 

M II. — Si l'on fixe un point quelconque, le lieu des trans- 
formés d'un autre point quelconque est une surface contenant 
le second point et ne contenant pas le premier. 

M III. — Il existe un volume N tel que, si l'on fixe un point 
quelconque à l'intérieur de ce volume, tout point de l'espace 
peut atteindre par un trajet continu tout point situé sur la 
surface correspondante. 

(Nous avons cru devoir adopter — à bon droit, croyons- 
nous, — pour l'axiome M III, un énoncé un peu différent de 
celui de Sophus Lie, lequel est ainsi libellé : si l'on fixe un 
point, il existe, autour de ce point, un volume tel que tout 
point pris à l'intérieur de ce volume peut atteindre, etc.) 

L'illustre géomètre a démontré que ces propriétés suffisent 
à définir exactement les groupes qui servent à édifier les di- 
verses métriques. Il doit donc être possible d'établir une 



G Ê M E T H 1 E I) E S G /»' OUP E S M E T R IQTJ E S 2 7 7 

théorie de ces groupes indépendamment de tout concept 
d'origine métrique el no latin me ni des concepts de droite e1 
de plan. 

Une telle théorie devrait réaliser deux objets : 1" montrer 
de quelle manière on peut construire un groupe de la caté- 
gorie visée en parlant de données réalisables : familles de 
surlaces par exemple ; 2° établir les propriétés essentielles 
que présentent les figures par rapport à ces groupes. Nous 
nous bornerons à ce dernier objet : le seul but que nous nous 
proposons dans cette étude étant de mettre en évidence le 
vrai caractère mathématique des métriques, encore sup- 
primerons-nous les démonstrations trop laborieuses et sacri- 
fierons-nous la généralité à la simplicité en nous contentant 
de démonstrations largement esquissées et visant surtout les 
cas les plus simples. Il est donc entendu que les démonstra- 
tions doivent être suivies sur des figures ne différant pas 
trop des figures correspondantes de la Métrique ordinaire ; 
c'est ainsi que les surfaces jouant le rôle des sphères seront 
des sphéroïdes : toute objection sera ainsi évitée, et le dis- 
cours pourra être allégé des discussions subtiles qu'exige en 
Mathématiques le souci de la généralité. 

Définition i. — Les groupes satisfaisant aux propriétés ex- 
primées par les axiomes MI, Mil et MIII seront appelés mé- 
triques. 

Définition 2. — Les surfaces sur lesquelles se déplacent 
les divers points de l'espace lorsqu'un point est maintenu fixe 
seront appelées surfaces isométriques du groupe métrique. 

Définition 3. — Un point sera dit le centre des surfaces 
isométriques qui sont décrites par les divers points de l'espace 
lorsque le dit point est maintenu fixe. 

Nous admettrons qu'une surface isométrique est une sur- 
face fermée a simple connexion, c'est-à-dire telle que toute 
ligne fermée tracée sur la surface soit réductible à un point 
par déformation continue en restant sur la surface. Il sullit 
d'ailleurs de se représenter une telle surface sous la forme 
d'un sphéroïde. 

Nous admettrons en outre le théorème suivant : 

Théorème 1. — Les surfaces isométriques ayant pour centre 



278 G. COMBE RI M 

un point appartenant au volume (région de l'espace) N entou- 
rent ce point. 

Des propriétés des groupes démontrées dans le § précédent 
résulte le théorème suivant : 

Théorème 2. — Une surface isométrique est le lieu des 
transformés de chacun de ses points lorsque son centre est 
maintenu fixe. 

D'après le théorème I 3, les transformations d'un groupe 
métrique qui laissent un point fixe forment un groupe [sous- 
groupe du groupe métrique). Une surface isométrique ayant 
pour centre ce point est, par définition, le lieu des transfor- 
més de l'un de ses points; la proposition à démontrer résulte 
donc du théorème I 1, d'après lequel le lieu des transformés 
d'un point est le même que le lieu des transformés de l'un 
de ses transformés. 

De ce théorème et de l'axiome M III résulte évidemment la 
proposition suivante : 

Théorème 3. — Les surfaces isométriques ayant pour centre 
commun un point de la région X n'ont pas de point commun. 

Les transformations d'un groupe métrique G qui laissent 
fixe un point Pi forment elles-mêmes, d'après le théorème 
I 3, un groupe [sous-groupe du groupe G) ; ce groupe laisse 
invariante, d'après le théorème 2, chacune des surfaces iso- 
métriques de centre Pi et par suite détermine, pour les di- 
vers points d'une telle surface 2, un groupe de transforma- 
tions g. L'établissement des propriétés de ce groupe g, qui 
doit précéder l'étude du groupe G, n'est pas sans présenter 
des difficultés : il s'agit en somme de transcrire en raisonne- 
ment géométrique les investigations analytiques de Sophus 
Lie. Nous nous bornerons à exposer la suite des propositions 
en mettant en évidence le mécanisme des déductions dans la 
mesure où ce sera possible sans une trop grande complication. 

Xous prendrons le point maintenu fixe Pi dans la région N, 
de sorte que la surface 1 entoure ce point. 

Il résulte de l'axiome M III combiné avec le théorème 2 que, 
dans ce cas, le groupe g non seulement est transitif, mais en- 
core permet de transformer un point quelconque de la sur- 
face 2 en tout autre point de cette surface. Or on démontre que 



GÉOMÉTRIE DES GROUPES Ml. TRIQl ES 279 

tout groupe dans lequel la fixation d'un point de la surface i 
sullii a fixer tous les points de cette surface jouil de la pro- 
priété de laisser invariants fixes deux points (réels et une 
ligne réelle ; les groupes rentranl dans cette catégorie doi- 
vent donc être écartés. 

In point P2 de cette surface étant maintenu fixe, un autre poinl 
P3 de la surface doit rester sur la surface isométrique passanl 
par P3 et avant pour (entre P2 : cette dernière surface ne se 
confond pas avec 2, car elle passerait alors par son propre 
centre, ce qui serait contraire a l'axiome M II. Les deux sur- 
faces fermées se rencontrent donc suivant une ou plusieurs 
lignes fermées dont l'une au moins passant par P3, à moins 
qu'elles ne soient tangentes entre elles le contact de deux 
surfaces est un concept totalement indépendant de l'idée mé- 
trique). 

Nous admettrons que deux surfaces isométriques qui ont 
déjà un point commun se rencontrent suivant une seule ligne 
fermée sans point double, ligne qui se réduit a un point dans 
le cas du contact. 

Le point P2 étant maintenu fixe, ainsi que le point Pi, le point 
P3 doit donc rester sur la ligne fermée C, courbe d'inter- 
section des deux surfaces isométriques passant par P3 et 
ayant pour centres respectifs Pi et P2 ; les surfaces isométri- 
ques de centre P> déterminent ainsi sur 2 une famille de 
courbes dont deux se réduisent à des points et correspon- 
dent à celle de ces surfaces qui se réduit au point Pi lui-même 
et à celle de qui est tangente à 1. En désignant par P'a le 
point de contact ainsi défini, on voit que chacune des lignes 
ainsi déterminée sépare les points P2 et P'2. 

La famille des lignes relatives à P2 jouit de propriétés qui 
ne lui permettent pas de jouer le même rôle par rapport à un 
autre point de 2, à l'exception de P'2. Il en résulte que, >i 
Ion fixe un autre point P3 de 2. la position d'un point quel- 
conque de cette surface doit se trouver à la fois sur deux 
lignes différentes et par suite est déterminée. 

Le groupe g possède, d'après cela, les propriétés suivantes: 

Tout point de la surface 2 peut être transformé en un attire 
point; si L'on fixe tin point P2 de i, un autre point V-, se 



280 G. COMBEBIAC 

trouve également fixé et tout point de la surface décrit une 
courbe fermée séparant les points P* et P'2 ; enfin la fixation 
d'un nouveau point empêche toute transformation. 

Théorème 4. — Si deux points distincts sont maintenus 
fixes, il en est de même de tous les points d'une ligne conti- 
nue, ouverte et sans points doubles passant par ces deux 
points. 

A et B désignant deux points distincts, à chaque surface 
isométrique de centre A Ion peut l'aire correspondre deux 
surfaces isométriques de centre B tangentes à la première. 
(On peut, par exemple, les déterminer comme limites de 
suites convergentes de surfaces.) On obtient ainsi, sur chaque 
surface isométrique de centre A, deux points qui restent 
fixes en même temps que A et B. 

D'après les hypothèses laites sur les surfaces isométriques, 
les points de contact ainsi obtenus constituent une ligne sans 
points doubles, centinue et ouverte (c'est-à-dire s'étendant a 
l'infini dans les deux sens). Cette ligne passe d'ailleurs évi- 
demment par les points A et B. 

Définition 4. — Les lignes définies par le théorème précé- 
dent seront appelées lignes axiales du groupe. 

Théorème 5. — Lorsqu'une surface admet toutes les trans- 
formations d'un groupe métrique G qui laissent fixe un point 
ainsi que toutes celles qui laissent fixe un autre point, cette 
surface admet toutes les transformations du groupe G. 

D'après le théorème I 3, les transformations du groupe G 
qui sont admises par une surface déterminée forment un 
groupe G' (sous-groupe du groupe G). Supposons qu'un tel 
groupe comprenne toutes les transformations T qui laissent 
fixe un point M ainsi que toutes les transformations T' qui 
laissent fixe un second point M'; il devra comprendre les pro- 
duits de ces diverses transformations et, en particulier, 
toutes les transformations de la forme : 

TT'T 1 . 

Cette expression représente, d'après le théorème II 3, l'en- 
semble des transformations laissant invariant le point : 

T(M') , 



a i: o M E r n 1 1: i> i: s <; i: OUP i: s m i: tr IQV i: s 28 1 

c'est-à-dire un poinl quelconque de la surface isométrique 
passanl par M' et ayant pour centre M. 

On poursuivrait la démonstration en prouvant par le même 
procédé que le Groupe G' comprend toutes les transforma- 
tions de G qui laissent invariant tout point appartenant à une 
surface isométrique de centre M' et, par suite, tout point de 
l'espace. Ce groupe ne peut être que le groupe G lui-même. 

Ce théorème peut évidemment s'énoncer sous la forme sui- 
vante : 

Théorème 5 bis. — Une surface isométrique d'un groupe 
métrique ne peut admettre pour centre deux points distincts 
sans admettre également tous les points de l'espace. 

Nous admettrons le théorème suivant : 

Théorème 6. — La condition nécessaire et suffisante pour 
que trois surfaces isométriques ayant un point commun soient 
telles que l'une passe par l'intersection des deux autres est 
que leurs centres soient situés sur une même ligne axiale. 

Théorème 7. — Une ligne axiale est le lieu des points laissés 
fixes par toutes les transformations du groupe G qui laissent 
fixes deux quelconques de ses points. 

Ce théorème peut se décomposer en deux parties : 

1° Deux points quelconques d'une ligne axiale l'admettent 
comme ligne axiale. Il suffit évidemment de démontrer que 
tout point P d'une ligne axiale déterminée par deux points 
Pi et P2 détermine la même ligne axiale conjointement avec 
Pi par exemple. Les surfaces isométriques passant par P2 et 
ayant pour centres respectifs Pi et P doivent se couper, d'après 
le théorème précédent, suivant la même ligne que les deux 
surfaces isométriques ayant pour centres respectifs Pi et P2 
et passant également par P2. Cette intersection se réduit, 
comme la dernière surface elle-même, à un point : il en ré- 
sulte que les deux premières surfaces sont tangentes en P2 . 
c'est-à-dire que Pa appartient à la ligne axiale déterminée par 
Pi et P et par suite reste fixe en même temps que ces deux 
points. 

2° Aucun point extérieur à une ligne axiale n'est maintenu 
fixe par toutes les transformations qui laissent fixes deux 
points de cette ligne. Si M désigne un point quelconque ex- 



282 G. COMBEBIAC 

térieur à une ligne axiale, une surface isométrique passant 
par M et ayant son centre P sur cette ligne rencontre celle-ci 
en deux points, Mi et M2, et on a vu que, parmi les transfor- 
mations du groupe G laissant fixe Pi, il en existe par les- 
quelles les points Mi et M2 sont maintenus fixes tandis que 
le point M décrit une ligne fermée. L'existence de ces trans- 
formations établit la proposition. 

Des propriétés déjà établies résulte évidemment le théo- 
rème suivant : 

Théorème 8. — Les lignes axiales d' un groupe métrique for- 
ment un ensemble de lignes jouissant des propriétés suivantes : 

1° Une ligne axiale est déterminée par un couple de points ; 

2° Elle passe par ces deux points ; 

3° Tout couple de points appartenant èi une ligne axiale 
l'admet comme ligne axiale. 

Théorème 9. — Le lieu des centres des surfaces isométriques 
passant par deux points donnés est une surface. 

A et B désignent deux points appartenant à la région N, 
considérons une ligne quelconque L joignant ces deux points 
et considérons toutes les surfaces isométriques passant par A 
et ayant pour centres les divers points de la ligne L. Celle de 
ces surfaces qui a pour centre A se réduit à un point, celle 
qui a pour centre B entoure ce point. Comme on passe de 
Tune à l'autre de ces surfaces par- une suite continue, il existe 
nécessairement, dans la suite ainsi définie, une surface qui 
passe par B. 

Il existe donc sur toute ligne joignant les points A et B un 
point du lieu. Il est visible, dans ces conditions, que ce lieu 
est une surface. 

Définition 5. — Les surfaces définies par le théorème pré- 
cédent seront appelées surfaces axiales du groupe métrique. 

Théorème 10. — Une ligne axiale qui a deux de ses points 
sur une surface axiale y est située toute entière. 

Deux points A et B dune surface axiale sont, d'après la 
définition d'une telle surface, les centres de deux surfaces 
isométriques passant à la fois par deux points C et D de l'es- 
pace. Il en résulte, d'après le théorème G, que tout point de 
la ligne axiale déterminée par les deux points A et B, est le 



G E M E 1 11 I E D E S G H I P E S >/ É I R 7QV E S 283 

centre d'une surface isométrique passant à la fois par les 
points C. et I) el par suite appartient ;i la surface axiale consi- 
dérée. 

Théorème il. ■ — Par trois points donnés passe toujours 
une surface axiale. 

En effet, les trois surfaces isométriques ayant respective- 
ment pour centres les trois points donnés A. 15 et C, el po- 
sant par un point arbitrairement choisi M ont en commun ce 
dernier point plus au moins) un autre N. La surface ;i\iale 
déterminée comme lieu des centres des surfaces isométriques 
passant par les points M et X contient évidemment les trois 
points A. H et C. 

Théorème 12. - La surface décrite par une ligne axiale 
(lui s'appuie sur une ligne axiale donnée en passant par un 
point fixe extérieur à cette ligne est une surface axiale. 

En effet il existe, d'après le théorème précédent, une sur- 
face axiale passant par le point fixe donne et par deux points 
pris sur la ligne axiale donnée. Cette surface comprend. 
d'après le théorème 10, tous les points de la surface définie 
dans l'énoncé et par suite coïncide avec cette dernière. 

Théorème 13. — Par trois points dont l'un n'est pas situé 
sur la ligne axiale déterminée par les deux autres il ne passe 
qu'une surface axiale. 

Il n'existe qu'une seule surface axiale passant par trois 
points A, B et C lorsque l'un des points, C par exemple, est 
extérieur à la ligne axiale passant par les deux autres. En 
effet, les diverses lignes axiales passant par le point C et par 
les divers points de la ligne axiale AB forment évidemment 
une surface si C est extérieur à cette ligne : tout point de 
cette surface, d'après le théorème 10, doit appartenir à toute 
surface axiale passant par les trois points A, B et C, celle-ci 
doit donc se confondre avec; la surface ainsi décrite, qui est 
évidemment unique. 

Les théorèmes 11 et 13 peuvent être réunis sous la forme 
suivante : 

Théorème 13 bis. — Une surface axiale est déterminée par 
la condition de passer par trois points non situés sur la même 
lisne axiale. 



28i G. COMBEBIAC 

Deux autres théorèmes sont évidents, savoir : 

Théorème 14. — Lorsque trois surfaces axiales ont deux 
points communs, tout point commun à deux d'entre elles ap- 
partient a la troisième. 

En effet, la ligne axiale déterminée parles deux points com- 
muns aux trois surfaces appartient à chacune d'elles d'après 
le théorème 10; elles ne peuvent d'ailleurs pas avoir d'autre 
point commun, d'après le théorème 13, sans se confondre. 

Théorème 15. — Deux surfaces axiales qui ont un point 
commun en ont toujours un second. 

Théorème 10. — L'intersection de deux surfaces axiales est 
constituée par une ligne axiale. 

En effet, si deux surfaces axiales ont un point commun, 
elles en ont au moins un autre d'après le théorème précédent; 
elles contiennent par suite toutes les deux, d'après le théo- 
rème 10, la ligne axiale déterminée par ces deux points. Enfin, 
d'après le théorème 13, elles ne peuvent pas avoir un autre 
point commun sans se confondre. 

Théorème 17. — Les lignes axiales qui s'appuient sur deux 
lignes axiales concourantes sont situées sur une même sur- 
face. 

En effet si D et D' désignent deux lignes axiales concou- 
rantes en un point O, la surface formée par les lignes axiales 
passant par les divers points de D' et par un point M de D 
est, d'après le théorème 12, une surface axiale. Comme elle 
comprend d'ailleurs deux points O et M de D, elle comprend 
aussi, d'après le théorème 10, tout point N de celte ligne, et 
par suite, d'après le même théorème, elle comprendra toute 
ligne axiale passant par N et par un point quelconque de D'. 
Gomme le point N est quelconque sur la ligne D', la surface 
axiale ainsi définie comprend bien toutes les lignes axiales 
qui s'appuient sur les lignes D et D'. 

Théorème 18. — Toute surface transformée par un groupe 
métrique d'une surface isométrique de ce groupe est une sur- 
face isométrique ayant pour centre le transformé du centre 
de la première. 

Il résulte du théorème II 2 que, si T désigne l'expression 
générale des transformations d'un groupe admises par une 



G É <> M É TR 1 E l> E S G R OUP E S M E I /,' IQUE S 285 

figure F, toutes les transformations du groupe admises par 
mie transformée F' de F sont comprises dans l'expression 
générale : 

STS -1 , 

S étant une des transformations du groupe qui transfor- 
ment F en F. Or une surface isométrique F d'un groupe mé- 
trique G admet, d'après le théorème 2, les mêmes transfor- 
mations de G que son propre contre : il résulte donc de l'ex- 
pression précédente que la transformée F' de F par une 
transformation S de G admet les mêmes transformations de G 
que le transformé par S du centre de F, ce cpii équivaul a 
lénoncé du théorème. 

Théorème 19. — La région N relative a un groupe métrique 
est le lieu des points transformés de l'un d'eux par les trans- 
formations dit groupe. 

Il résulte de la démonstration du théorème 9que, sur toute 
ligne joignant deux points A et B de la région N, il existe un 
point qui est le centre dune surface isométrique passant a la 
fois par A et B. On peut d'ailleurs tracer cette ligne de ma- 
nière qu'elle reste tout entière dans la région N. Dans ces 
conditions, il résulte de l'axiome M III que chacun des points 
A et B se trouve parmi les transformés de l'autre par le 
groupe G. 

Il reste a démontrer que, si A est un point appartenant à 
la région N, il en est de même de tout transformé B de A : 

B = S, Ai 

par une transformation S du groupe, autrement dit que la 
propriété attribuée par l'axiome M III aux points de la région 
N est invariante par rapport au groupe. Or ce l'ait résulte ma- 
nifestement du théorème précédent combiné avec les pro- 
priétés exprimées par le théorème II 2 : en effet deux points 
appartenant à une même surface isométrique de centre B 
sont les transformés par S de deux points appartenant à une 
surface isométrique de centre A ; ces deux derniers points 
sont susceptibles d'être transformés l'un dans l'autre puisque 
A appartient à la région N ; et la transformation qui permet 



286 G. COMBEBIAC 

d'obtenir ce résultat devient évidemment, par l'application de 
S une transformation ayant la même propriété par rapport 
aux deux points situés sur la surface isométrique de centre B. 
Ce dernier point appartient donc à la région N. 

Théorème 20. — Si A, B et A' désignent trois points ap- 
partèndnt à la région N relative à un groupe métrique, il 
existe sur toute ligne axiale passant par A', d'un côté donné 
de ce point, un point et un seul \Y tel que le couple de points 
(A, B soit congruent au couple A', B') par rapport au groupe. 

On peut en effet, d'après le théorème 19, amener le point A 
en coïncidence avec le point A' ; le transformé du point B 
pourra alors, d'après l'axiome M III, atteindre tous les points 
d'une surface isométrique ayant pour centre A'. Or il résulte 
de la construction même des lignes axiales telle qu'elle est 
exposée dans la démonstration du théorème 4, qu'une telle 
ligne rencontre une surface isométrique ayant pour centre 
un de ses points en deux points situés de part el d'autre de 
ce centre, ce qui démontre le théorème. 

Théorème 21. — Les transformées par un groupe métrique 
G d'une de ses lignes axiales sont également des lignes axiales 
du groupe. 

En effet la construction par laquelle on détermine une de 
ces lignes est invariante par rappdrt au groupe G, puisque 
toute transformée par ce groupe d'une de ses surface isomé- 
triques est une surface isométrique avant pour centre le 
transformé du centre de la première et qu'en outre le contact 
de deux surfaces constitue une propriété invariante par rap- 
port à toutes les transformations ponctuelles (c'est-à-dire que 
les transformées de deux surfaces tangentes entre elles sont 
également tangentes . 

Théorème 22. — Un couple de points A, B est toujours 
congruent par rapport a un groupe métrique au couple {B, A . 

En effet, il résulte de la construction des surfaces axiales 
exposée dans la démonstration du théorème 9 qu'il existe 
sur la ligne axiale AB entre les points A et B, un point O qui 
est le centre d'une surface isométrique passant à la fois par 
les points A et B. Par suite, le point O appartenant d'ailleurs 
à la région N. il est possible, tout en maintenant fixe ce 



n i: o m /. ri: 1 i: i> i: s G R OUP i s m i. ri: i Q i i: s 

point, de donner comme transformé à l> le poinl A. La trans- 
formée de la ligne axiale AB ou OB est alors, d'après le i béo- 
i c m c précédent, la ligne axiale OA, qui se confond, d'après 
le théorème 8, avec la ligne axiale AB. Le transformé du 
poi n t A devant se trouver à la fois sur cette ligne axiale el 
sur la surface isométrique passant par A el ayanl pour centre 
<> doit coïncider avec le point l>. de sorte que le transformé 
du couple A, I) est bien le couple T>. A . 

Théorème '!'■'>. — Tout couple I). I)' de lignes axiales 
concourantes (l'un groupe métrique (> est congruent par rap- 
port à ce groupe au couple (L)' I) . 

La démonstration de ce théorème peut être calquée sur 
celle du théorème précédent en observant qu'il résulte des 
théorèmes LO <-l 21, combinés avec les propriétés du groupe 
g relatif à une surface isométrique (pie, lorsqu'on maintient 
tixes un point et une ligne axiale passant par ce point, mu- 
autre ligne axiale passant également par ce point décrit une 
surface qui rencontre suivant deux lignes axiales la surface 
axiale déterminée par les deux premières lignes. 

Théorème 24. — Si lu et lu désignent deux demi-lignes 
axiales d'un groupe métrique G issues d'un même point et 
si h'\ désigne une demi-ligne axiale issue d'un point O'i, il 
existe, sur toute surface axiale passant par la ligne axiale 
complète correspondante a h\ et d'un enté donné de cette ligne. 
une demi-ligne axiale h' 2 et une seule telle que la figure h\,li2 
soit congrue nte à la figure h'i, k'2 par rapport au groupe (i. 
Les points de concours et O' sont supposes appartenir à 
la région X relative au groupe (i. 

On peut amener () en coïncidence avec ( .)' d'après le théo- 
rème l!) pris un point de In en coïncidence avec le point 
de h'i qui se trouve sur la même surface isométrique de 
centre O; d'après le théorème 21, In coïncidera alors avec I/'. 
et, en se servant de la propriété invoquée pour la démonstra- 
tion du théorème précédent, on voit (pie la demi-ligne axiale h-i 
peut occuper, sur une surface axiale passant par 1/'. deux «t 
seulement deux positions, dont l'une est située d'un côté el 
l'autre de l'autre de la ligne axiale complète sur Laquelle est 
prise In . 



288 G. COMBEBIAC 

Les propriétés qui viennent d'être exposées sont com- 
munes à tous les groupes de transformations ponctuelles qui 
ont été réunis sous le qualificatif de métriques; mais certains 
de ces groupes peuvent présenter des particularités qui jouent 
un rôle important dans la question des Principes de la Mé- 
trique. L'une de ces particularités concerne la région N, 
l'autre la famille des lignes axiales. 

La région N relative à un groupe métrique peut s'étendre 
cà tout l'espace. Dans ce cas, l'énoncé de l'axiome M III se 
simplifie, car il su Hit alors d'attribuer à tous les points de 
l'espace les propriétés réservées par cet axiome aux points 
dune région déterminée. Il résulte alors du théorème 19 
qu'un point quelconque de l'espace se trouve parmi les trans- 
formés d'un autre point quelconque. Nous poserons la défi- 
nition suivante : 

Définition 6. — Un groupe métrique sera dit archimédien 
lorsque tout point de l'espace se trouve parmi les transfor- 
més par le groupe d'un point quelconque et qu'en outre une 
transformation quelconque du groupe, appliquée à un point 
quelconque de l'espace, aura pour résultat un point déterminé 
(réel). 

Les groupes ainsi définis peuvent être aussi caractérisés en 
disant que la surface qui limite la région N est rejetée à Vin- 
fin i. 

La seconde condition qui figure dans la définition des 
groupes archimédiens a pour but d'en éliminer certains : il 
peut se faire en effet que la région N comprenne tous les 
points de l'espace, mais qu'à chaque transformation du groupe 
corresponde une région limitée comprenant tous les points 
qui ont, par cette transformation, des transformés déterminés 
(réels), les points situés sur la surface qui limite ladite région 
ayant alors des transformés, pour ainsi dire, rejelés à l'infini 
et les points extérieurs à la région n'ayant pas de transformés 
réels). Dans ce cas, au point de vue analytique, le groupe 
laisse encore une surface invariante, mais celte surface est 
imaginaire cas des groupes riemanniens, par exemple). 

La seconde particularité affecte la famille des lignes axiales. 

Considérons une ligne continue, ouverte et sans point 



G E <) M É 1 R 1 E l) E S G R l PES 1/ 1. TRI Q l E S 289 

don Me I ). 11 11 point extérieur à la ligne I ). ainsi <|u< <l autres 
lignes D' continues, ouvertes et sans points doubles, passanl 
par le point ( ) et constitua ni un ensemble tel que l'une d'entre 
elles soit déterminée par l'un «le ses points distincts du point 
( ). Si Ton considère une surface à simple connexion, con- 
tinue et ouverte passant par <>l par I ) et, sur celle surface, 
une ligne fermée entourant le point < ), les divers point de 
celte ligne fermée déterminent avec des lignes I)', parmi 
lesquelles certaines rencontrent D et d'autres ne la ren- 
contrent pas. 

Les deux lignes D' qui constituent la limite commune aux 
régions de la surface ainsi définie, sont asymptotiqu.es à I). 
Tune étant asymptotique à Tune des deux branches infinies 
de D' et l'autre à l'autre de ces branches. 

Si l'on admet qu'une ligne D' ne peut pas avoir plus d'un 
point commun avec D, aucune de ces deux lignes asvmplo- 
tiques ne peut rencontrer D, de sorte que deux casseulemenl 
sont possibles : ou bien il existe deux lignes asymptotiques 
comprenant entre elles une infinité de lignes D' n'avant pas 
de point commun (réel) avec D, ou bien ces deux lignes se 
confondent et constituent la seule ligne D' ne rencontrant 
pas D en un point déterminé réel . 

Ces considérations sont directement applicables à tout l'en- 
semble de lignes déterminées par deux quelconques de leurs 
points et, en particulier, à l'ensemble des lignes axiales d'un 
groupe métrique. Nous poserons donc la définition suivante : 

Définition 7. — Lorsqu'un ensemble de lignes dont chacune 
est déterminée par deux quelconques de ses points est telle 
que par un point extérieur à l'une de ces lignes on ne puisse 
luimenerqu'une ligne asymptotique appartenant à r ensemble, 
on dira que cette famille jouit de la propriété de Vunicité de 
V asymptotique. 

Il est inutile de pousser plus loin l'étude des groupes mé- 
triques. On verra en elfet dans un prochain article que les 
théorèmes déjà démontrés constituent une base plus que 
suffisante pour édifier la métrique au moyen de raisonnements 
purement logiques. 

Nous ne nous dissimulons pas d'ailleurs les nombreuses 

L'Enseignement mnthpm., 7« nnnôe : 1905 2n 



290 <:. COMBEBIAC 

défectuosités de cette étude <*t surtout ses lacunes. Il convient 
en effet, en établissant les propriétés de nouveaux concepts, 
d'en démontrer en même temps l'existence et même de les 
détermine]', c'est-à-dire, en Géométrie, de les construire. 
Tout groupe métrique peut être obtenu comme transformé, 
par une transformation convenablement choisie, d'un groupe 
métrique déterminé, par exemple du groupe des déplace- 
ments sans déformation. Mais on admet ainsi l'existence d'un 
groupe métrique. 

Quant à nous, si nous attachons quelque valeur à cette 
ébauche malgré ses trop manifestes imperfections, e'est 
qu'elle nous semble propre à jalonner une voie, dont l'inté- 
rêt a été signalé par Sophus Lie lui-même (en des termes qui 
témoignent d'ailleurs d'une défiance injustifiée pour l'effica- 
cité géométrique de ses propres axiomes . 

Conclusions. — Quelle que soit la base adoptée pour la 
Métrique, une conclusion s'impose : 

1° La Métrique ne constitue qu'un chapitre de la Géométrie, 
science de l'espace ; 

2° Les propriétés dont elle traite ne sont caractéristiques 
d'aucun concept spécial, et elles ne mettent en œuvre que 
l'idée de figure, qui réunit en elle les concepts géométriques 
généraux, savoir ceux de point, ligne, surface, continuité, 
infini, à l'exclusion de tout concept métrique, tel que le dé- 
placement sans déformation, la droite, le plan, etc.; 

3° A plus forte raison, la Métrique (et, par suite, le postu- 
lat des parallèles) ne peut-elle rien nous apprendre sur la 
nature ou les propriétés de « l'espace » et, d'ailleurs, le 
concept de figure invariable perd tout intérêt proprement 
géométrique pour ne conserver qu'un intérêt physique. 

Qu'il nous soit permis, en terminant, d'émettre, brièvement 
et sous toutes réserves, quelques réflexions inspirées par ces 
résultats. 

Ne semble-t-il pas que la Géométrie, ainsi affranchie de la 
suggestion métrique, prend un aspect nouveau ? En voyant 
s'abolir l'importance traditionnelle de l'idée de ligure inva- 
riable, l'on n'aperçoit plus aucun motif de maintenir la 
Science tout entière sous sa dépendance, ainsi que le réa- 



GEOMETRIE DES GROUPES VÉTRIQl I S 291 

lise actuellemenl le principe de Relativité géométrique. Après 
L'émancipation de La Géométrie, on esl donc conduit ;i pour- 
suivre celle de la Mécanique el de la Physique. 

Les objections se présentent évidemment en foule, mais 
sont-elles insurmontables ? 

La lumière se propage <'n ligne droite dans les milieux ho- 
mogènes; mais un milieu homogène n'est-il pas. par défini- 
tion, celui dont les propriétés «m chaque point de l'espace 
ne changent pas dans un déplacement sans déformation .' La 
rectilinéarité du rayon lumineux est donc peut-être simple- 
ment voulue par notre esprit. 

In point matériel soustrait à toute influence mécanique 
extérieure se meut en ligne droite avec une vitesse cons- 
tante; mais a-t-on jamais déterminé la part d'arbitraire, d'an- 
thropomorphisme, de suggestion métrique, que comporte 
l'expression écrite en italiques ? 

Les équations de Lagrange relatives à un système matériel 
quelconque permettent de déterminer, à un instant quel- 
conque, les dérivées secondes des variables par rapport au 
temps en fonction de ces variables et de leurs dérivées pre- 
mières et les seuls concepts proprement mécaniques qui figu- 
rent dans ces équations sont la force vive et le travail virtuel; 
a-t-on une raison de nier à priori la possibilité d'une géné- 
ralisation de ces concepts qui en exclurait toute empreinte 
métrique ? 

Signalons enfin qu'une telle transformation des Principes 
de la Physique et de la Mécanique, qui aurait peut-être pour 
effet de leur attribuer un caractère de nécessité logique, pa- 
rait s'accorder avec les idées émises par M. Poincaré ' dans 
un de ces aperçus dont l'illustre géomètre a le secret et ou 
l'on ne sait ce que Ton doit le plus admirer de la prorondeur 
de la pensée ou de la limpidité de L'expression. 

(i. Combebiac (Limoges . 



1 H. Poikcark, L'état actuel et l'avenir de la Physique mathématique. Revue des Idées, 
1") novembre 1904 reproduit dans La Valeur de la Science, 2< partie: Les Sciences phy- 
siques). 



SUR LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 



I. — Supposons// positif entier, puis posons 

(1) cos(nf) = « , (cos?) n -f- a n 2 (cosy|"" 2 + a 4 (cosy"" 4 -f . .. 

Heine 1 a déterminé les coefficients <7„, 2p en applicant, pour 



la série de puissances ordinaire qui représente log(l + x). 
Les mêmes coefficients et les coefficients de quelques déve- 
loppements analogues sont déterminés par Yvon de Villar- 
geau 2 qui a appliqué les propriétés différentielles des fonc- 
tions trigonométriques et sa méthode a été modifiée par 
Catalan s . 

En étudiant pour le moment les fonctions sphériques gé- 
néralisées, j'ai trouvé une détermination tout à fait élémen- 
taire de tous les coefficients susdits, et cela en m'appuyant 
seulement sur la foi-mule binomiale à exposant positif entier 
et sur la série géométrique ordinaire. 

A cet effet, nous avons à partir de l'identité 



(2) r i-- = l -r-? + ? 2 + ... + >/"+ f 



»+ i 



posons d'abord 



// = .rlcosep -\- i sin y) 

fj — .C Il'OSÇp i sill 'f) 



1 Mathematische Annalen. t. II, p. 187, 1870. 

- Comptes rendus, t. LXXXII, p. 1469-1471, 1876. 

- Nouvelles Annales, 3« série, t. II, p. 529-536, 188,'t. 



SUR LES FONCTIONS TRIG0N0MÉTRIQU1 - 

nous aurons, en additionnant puis soustrayanl les formules 

ainsi obtenues, ces deux autres 

(3 — ' — • rc " s ? — j _|_ XCO s«» + a;*cos2«4-... -+-ar B coslno.) ■+- x"t 1 Q 

I — ZXCOSf -j- .■» • 

(4j -rsmy xsin. + ar'sin 2y + ... + * n sin (ny) + x't 1 Qi. 

1 — ZJfCOS ^i + ■'" 

où Q et Qi désignent des quantités qui resteront finies pour 
x = . 

Cela pose, mettons encore dans (2) 

(j = 2xcos f — .* 2 , 

nous aurons de même 

(5) ; ,= 1 + .r(2cosq> —.ri -4-ar 2 (2cos«p — .»-' 2 f . . . -j- 

1 ÏX COS f -\- X* 

x * (2cos ? — x) n + .*" + ' Qs . 

où Q 2 est fini pour.r = 0. 

Ordonnons maintenant suivant les puissances positives 
entières de x les premiers termes du second membre de (5), 
nous aurons à chercher le coefficient de .r'" obtenu du terme 

- " (2cos f — .»',' — P , '2p dk r . 

pour lequel la formule binomiale donnera immédiatement 
cette expression : 



(- 1,p('' l> ) |2cos T ) r - 2 " 



de sorte que nous obtenons, en vertu de 5), une nouvelle 
identité de cette forme 

i 

= 1 + Ai (cosy) x -\- A 2 cos y. j 2 -)-... -j- 



1 — -.) cos y + .< 

A n (cos ? ) x n + x n + l Q 3 . 

où O3 restera fini pour# = 0, tandis que nous avons posé 
pour abréger 

A. r (cosf = (2cos») r — ( ' "T ) -'""?' — J +( r ~") '-'"-- " — ... 



294 



Y / E I. s N 1 E I. S E V 



Multiplions maintenant par .rsincp les deux membres de 6 . 
il résulte, en vertu de (4), une identité de cette forme 

(8 1 .* ,2 sin '2<f -j- .r 3 sin 3tp -)-... -j- x sin [ny] =r a; 2 Ai (cos y ) sin y -(- 

.-••A- cosy sin<j> -f- ... + x M A n _ t (cosy)sin ? + .«•" + ' Q 4 . 

où Q4 restera fini pour ,r=0. Divisons ensuite par x 2 les 
deux membres de 8), puis mettons x = , il résultera 

sin 2» = Ai ( cos y ) si 11 y , 

d'où en divisant par ,r 3 l'identité nouvelle obtenue de (8) 
en supprimant le premier terme de ses deux membres, l'hy- 
pothèse x = donnera de nouveau 

si 11 3«p = A2 (cos çp| si n y , 

et ainsi de suite. Nous aurons généralement 

19) sin(tty) = A n _ 1 (cosï) . siny . 

Cela posé, multiplions par (1 — je cos y) les deux membres 
de (6), puis comparons avec (3) la formule ainsi obtenue, nous 
aurons, en suivant le même procédé, l'autre formule géné- 
rale analogue à (91 : 



m 



A., [cos toi 



(COS 9\ . cos <u 



Or, la formule 10 nous permet de déterminer les eoefli- 
cients û n _- 2s figurant au second membre de (1) ; nous aurons 
en effet, pour /' > , 

•*► = '- ""("7">"~ r -<- '-'("TlT V~ 2 '""' 

d'où, après une simple réduction 



Ni 



1— li 



n — r— l 
/• - 1 



tandis que nous trouverons particulièrement, pour r — , 



il bi 



Pour déduire d'autres formules fondamentales, mettons 



SUR LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 



29c 



dans !• 10 "- — a au Lieu.de a-, nous aurons pour // pair, en 
mettant 'In au lieu de n : 

(12) sin (2 n y) = ( — 1 " A. >/( _ i sin y . cosy J . 

(13) cos(2nç = - I " A., )( siii ^ — A., (( _ 1 (sinei sin« . 

et pour // impair, en mettant 2// -+- I an lieu de // : 

1 12 Lis i sin (2rt + \)f ■=. (— l) w A 2n , t (siny — A., n (sin y) sin^l 

(13 Lis oisiJH- 1 vr: — 1|" A, (sin* cosy . 

Cela posé, l'emarquons ensuite que le produit 



— SIH.JS1I1 [x H SIM [X H 



in .,■ + 



l // 1 77 



s'évanouira pour ,# = — , où /j désigne un nombre entier 
quelconque, puis appliquons l'identité 



sin ( r -j- ' — ) si ii ( x -j- 



I // /> I 77 



(- +•') «« (^ - 



ou, ce qui revient au même, 



+ c) 

n I 



in .<■ + 



(n — /j • 



sur — — sur x 



il est évident que P (i est un polynôme entier de sin.r, abs- 
traction faite du facteur cos x dans le tas. où n est pair; c'est- 
à-dire que P n est une expression complètement de la même 
nature que le second membre de (12 et (12 bis) si nous y 
remplaçons y par .r; de plus P w s'évanouira pour les mêmes 
valeurs de sin.r que sin n.v . d'où il résulte une identité de 
cette l'orme 



i) Sin X r= k . sin 



X + 77 ■ »• + -'- 

.sin 



x -\-(n — 1 i 77 



où a„ désigne un l'acteur indépendant de X. 

Pour déterminer maintenant la valeur de a„ divisons <1 abord 



296 IV I E I. S N I E I. S E X 

par x les deux membres de (14 . puis posons x =0, nous 
aurons 

n -7T \n — 1 - 
( loi n zr: a . sm — . sm — ... sin 



tandis que l'hypothèse x = -= donnera de même 

. . . . « . ::- . (2« — 1]jf 
(16| 1 = a . sm — . si» z— . . sm . 

" 2 n 2n -n 

d'où en multipliant (15 l<» 

l2// — - J | r 



// -// _// 



ee qui donnera, en vertu île 15 , 

(17) " 2 n= 2 «n 2 - 

Cela posé, mettons dans (15), 

2 pn pn . pn: . pn . \ti-\-p\n 

sin — '- — -rz zcos l rj— sm '-— — '1 sm — sin - , 

// 2 n 'l/i 2 n 2n 

nous aurons de même 



■m 

In 

ou bien, 

a, - 2"- a . 
in — n 

d'où, en vertu de (17), 

% — 2 

car la valeur a„ = est impossible ici : nous avons ainsi dé- 
montré cette autre formule générale 

. • „ n _i . x . .c + 77 . x'+2k . .r-\-\n— l,jr 

(In) siuarzzz sin - sm sm .. . sm . 

// n n /i 

tandis que les formules (15) (1-6) donnent ces résultats nu- 
mériques 

.. it . ïrc . or .m — 1 ) 7T /; 

1 1 .' si ii — sm — sm - - . . . sm = 

n n n n -y" — 

77 ',\ 77 

( 19 bisi sin — sia — ... 

2 n 2n 





n 




2,i — 


D.it 


1 


2n 




.,»i—i 



SUR LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 297 

II. — Pour donner u m - application des dernières formules 
que nous venons de développer, cherchons le discriminanl 
A H de cette équation algébrique 



(20) 



W B + V2" , '- 2 +<V.* n - 4 + 



où où est une quantité donnée., tandis que les coefficients « n .> p 
sont les mêmes qui figurent dans 1 . 

A cet effet, désignons par a un des angles qui satisfont à 
l'égalité 



eus a zr w 



de sorte que a deviendra imaginaire, quand w n'est pas égal 
à une quantité réelle, telle que — 1 ±= m £= + 1 ; mais, en 
tous cas, toutes les racines de (20) deviendront 



(OS — , l'IIS 



a -\- 2n 



a -j- (2/2 — 2 1 - 



Cela posé, nous trouverons ± vK, t égale au produit de 
tous les facteurs de la forme 



(2 11 cos 



a -I- 2»7T a -4- 2<7ir 

î — — cos — 



• [</—p)K . «- + 1/J + q\~ 

1 sin — ! . sni 



où q > p, et où £= /; ?= // — 2. i ^= q ?= n — i . Or, le nom- 
bre de facteurs possibles de la forme (21) étant — ^ — , nous 
aurons évidemment 

(22, a )( = 2»"'-".p; . p;. 

où l J i et P2 désignent les produits de tous les facteurs pos- 
sibles de ces formes 



"7 — fi 



respectivement sm 



■ r + 17 + p)n 



c'est-à-dire que nous aurons d'abord 



298 NIELS NIELSEN 

ou, ce qui est la même chose, 

car nous avons toujours 

. [n — p)iz _ p- 



Multi plions ensuite les deux expressions ainsi obtenues 
pour Pi, il résultera, en vertu de (19), 



(23) P. = 



H^ï 



La détermination du produit P2 est un peu plus difficile, 
parce qu'il faut considérer séparément les deux cas, où n est 
pair ou impair. 

1° n impair, savoir n = 2r -\- i ; je dis que la somme/? + q 
peut avoir une des deux valeurs s ou s -+- 2r -f- l£=4r — l,où 

s = 1 , 2 , 3 , ... ,2/' , 

précisément pour r combinaisons des valeurs possibles de 
p et q ; on aura en effet pour s pair 

[q = s, s— i, s — ■ 2 , . . ' . , i + 1 
/> + ?=Spour< 

[> = 0, 1. 2, ...., --1 

et de même, pour s ?='2r — 2, 

q = 2r , 2r — 1 , 2r — 2 ,...,/•+ ^ + 1 



yj -j- <y = s -f- 2r -|- 1 pou 

( 1> = s + 1. s + 2, .s- + 3 r + 2" ' 

tandis que le cas, où 5 est impair donnera de même 

» + l 



y = .v , s — 1 , .s — 2 . ... , 
/ /> = . 1 . 2 , 



P + q= » pour J s _ L 

... , 2 



SUR 1. 1. 'S FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 

et, pour \ ^ 'lr — .'! 



P + q = s+ 2#- -i- i | ■ 



/> = 2, 



I r + -£— + I 



/ 7 = .s- + i H 



— 1 

~~9 



et voilà la démonstration de notre énoncé. 
Cela posé, nous aurons évidemment 



siii — sin 



a + l/i — I - 



d'où, en vertu de (18), 

p, = (,73-, ) 

or. la définition de a donnera 

2 I 2 

SI 11"'/ =1 — oj- . 

d'où finalement, en vertu de (22) et (23), pour n impair 

n - l 



24 



n" I 



>("-.» 2 



2 // pair, soit // =2/': je dis que la somme p -\- q peut 
avoir une des deux valeurs s ou s -\- 2r r= 4/ - — 3, où 



1 . 



pour /■ respectivement /' — 1 combinaisons de valeurs pos- 
sibles de/? et q. selon que s est supposé impair ou pair. On 
aura en effet pour p -J- q = s les mêmes solutions que dans 
i". mais pour p + q ==s + 2/\ où s £= 2/ - — .'>. les solutions 
suivantes, savoir pour s pair 



,1=1, — I . 2r — 
p = s+ I . s + 2 

et pour s impair 



- + i + * 



y = 2r — I , 2r — 2 r + — — ' 

p = s+l, 4-f 2 r + — — 



300 M. LE UC H 

ce qui donnera /• respectivement /• — 1 systèmes possibles, 
d'où 

V. . a + 7T « + (» — 1 I 7r\ « 

siii — su) . . . sm 

il n il 



2 / . a . a + 2ir . a -\- (n — 2)iry 

sm — sm . . . sm I 

\ n n n ) 

ou bien, en vertu de (18), 

Isinal" (l'—^il 



P = 



de sorte que nous obtenons pour n pair 



1 Wl 



n n i 1 — w») - 1 1 + 6i 

A « = ~ m — 11 2 



2 1 

Niels Nielsen (Copenhague). 



SUR L'APPROXIMATION DES RACINES 
D'ÉQUATIONS NUMÉRIQUES 



1. Les approximations successives. 
Etant donnée l'équation 

11) X=F(x) 

dont on connaît une solution approchée .r , formons les 
quantités Xv suivant la formule 

(2) .r. J + i = F|.r v ) {v = , 1,2. ...I 

x n sera une valeur approchée de la racine x, si la différence 
x n +\ — x n est négligeable. Car on a 

Xn — V (x,i) = Xn — SCll + i ■ 



SUR L'APPROXIMATION DES RACINES 301 

Pour juger l'approximation obtenue par la méthode, chan- 
geons v en v + 1, dans l'équation 2, et retranchons avec 
l'équation 2 : 

•»v + -2 — 'v+1 = F <-'v+l> - F (*v) • 

Le théorème de la moyenne ou de Rolle permet de con- 
clure 

(3) r v+2 — .r. J+ i = (x v+i — .,./ i-">| v i . 

où | v l'ait partie de l'intervalle x* ... x-»+i . II s'ensuit 

(4) -fn + l — r,i = (xi — a:o) F' (fo F' (Ci)... F' (Ç«— î) . 

Pour que la méthode soit applicable, il faut que la fonc- 
tion F' Ç) soit petite aux environs de la racine cherchée. 
Dans l'équation de Kepler 

on a 

F' l.r| = s COS .*■ ; 

la méthode des approximations successives fournira de 
bons résultats, si ! s i ^ - , ou si | s 1 étnnt toujours ^ 1, la 

racine x est approchée de ± 5- , ce qui exige que a soit ap- 
proché de ± ( -z — 

2. La solution île l'équation 

/■ < = 

dont on connaît une valeur approchée ,r se ramène au cas 
précédent en faisant 

\- [x] = .»■ — ^ . 

f'(x ) 

Faisant x = .r + h , l'expression de la dérivée se développe 
en série 

F>. + h) = - ÇifSal A - .f [*»' y - ... 



302 M. 1ER (11 

doù il suit quoi) ait sensiblement 

Cette quantité sera petite, si la racine dont il s'agit, est 
simple. 

Remarquons que. pour déterminer des racines multiples, 
on ne fait pas usage de l'algorithme du plus grand com- 
mun diviseur, impossible pour des équations transcendantes, 
et très rarement praticables pour des équations algébriques. 

S'il s'agit d'une racine de multiplicité p, on résout l'équa- 
tion 

f { P- l) (x) = 

dont la racine en question est une solution simple. 
3. La méthode de Newton successive. 
Elle consiste dans la formation des quantités 






• v + 1 = -r.j = , I , 



et n'est autre que la méthode du numéro 1, pourvu que l'on 

las^c 

j \X) 

On a ici 

t Ur 
et il s'ensuit d'après (4). 

n-i f"[Ç v )f{Z v 

■t'ii + i — •»// = [x-i — xo\ 11 — 'FTs"^ — ■ 
v=0 ' lÇ * ! 

Cette méthode est plus rapide que celle du numéro précé- 
dent, car ici le numérateur contient des facteurs / £v qui 
tendent vers zéro, tandis que les quantités F' £v) du numéro 
2 sont presque constantes ; niais cette dernière présente cet 
avantage que le dénominateur t' r„ dans les formules 

est constant. 



SUR L'APPROXIMATION DES RACINES 303 

4. Une méthode pour résoudre l'équation 

f(x) = o 

consiste à effectuer l'inversion d'une série de puissances. 
Posant en effet 

(5) f(x -H |) = f(x ) + n , 
le problème prend la forme 

(5 bis) a x l -+- « 2 P + ,/ 3 * s -f ... = u , 

et on a, d'après un algorithme connu, 

(6) l = M + Vc 2 + M s + ... : 

il ne reste qu'a prendre yj = — f(x Q ) P OUI ' avoir 

/•'•',. + 5) = o . 

5. Le développement (6), borné à ses deux premiers termes, 
devient 

r = x f[T ° ] * PWfW 

1 ° t'W 2 /',.r i» • 

.ri étant la nouvelle valeur approchée de la racine .r = .r + £. 
Cetle formule nous amène à prendre, pour employer la mé- 
thode du numéro 1, 



F(x) 
On a ici 



/"(.r) I / "l.r >/'.»■ 

f'[X) 



V 






f'(x) s 



•*v + l = Fl 'v' 



lf'\X)* 



-fi*)* 



et il est manifeste que la convergence est beaucoup plus ra- 
pide que dans la méthode de Newton ; mais elle est aussi 
plus pénible, puisque elle emploie des valeurs de la dérivée 
seconde. 

6. ( )n aura une généralisation de la régula falsi, si l'on 
effectue l'inversion de l'équation 



/"'■> 



304 M. I.ERCH 

au moyen de la formule d'interpolation 

.*■ = Xo -f- Bi [y — yo) + Bs(j" — . Vo ) (j — , Vl ' + Bs(j" — J*o) • v — vi) I v — va) + ... 

où l'on a posé 

y v = f(x v ) , 

en prenant pour les .r v des quantités arbitraires aux environs 
de la racine cherchée x' ; en faisant y = 0, il vient 

(7) x' = .fo — Bi vo -f- B2V011 — Bsvovi 12 -}-... 

Quant aux quantités By , on les calcule au moyen des équa- 
tions 

/ xi = xo + Bi 111 —yo) 

(g\ . X2 = Xo -\- Bl I V2 Vo) + B-2 I V2 VO) I V2 — vil , 

Pour avoir une approximation commode, on choisit.ro, xi 
et calcule ^0 , yi ; cela permet d'évaluer Bi ; puis on fait, 
pour se tenir à la méthode (7), 

xi = xo — Bi vo ■ 

et on détermine ?/2 = f(jcz) ; la deuxième équation (8 donne 
alors aisément la valeur de B2. Ensuite, on fait 

xs = .*'o — Bi vo + B2 vo vi = X2 -+" B2 vo vi , vs = /U'sl , 

et on tire du système (8) la valeur de B3, et ainsi de suite. 

M; Lerch (Fribourg, Suisse). 



A PROPOS D'UN LIVRE* DE M. COUTURAT 



La lecture de l'opuscule de M. Gouturat paru dans le re- 
cueil Scientia, sur l'Algèbre de la Logique, m'a vivement 

intéressé et m'a suggéré l'idée de présenter les choses trai- 
tées par l'éminënt philosophe sous un aspect un peu diffé- 
rent; contrairement à ce qu'il avance, je crois que l'algèbre 
de la logique l'ait partie de l'algèbre ordinaire et repose sur 
ses principes. Je vais essayer de m'expliquer. 

Je nie permets de rappeler. 

1° Que deux choses identiques, sont deux choses qui ne 
diffèrent en rien l'une de l'autre, elles ne forment qu'une 
seule et même chose, car si elles ne formaient pas une seule 
etmème chose, elles différeraient l'une de l'autre par quelque 
propriété. 

2° Que deux choses égales sont deux choses qui devien- 
nent identiques quand on fait abstraction d'un certain nom- 
bre de leurs propriétés. L'n cheval et un lapin sont égaux 
quand faisant abstraction de toutes leurs autres propriétés, 
on les considère comme des animaux, c'est ainsi qu'un che- 
val et un lapin font deux animaux. 

3° L'addition est l'opération commutalive, ainsi la multi- 
plication est une forme de l'addition, les objets nuls sont 
ceux qui peuvent être ajoutés sans modifier le résultat de 
l'addition. 1 est l'objet nul dans la multiplication des nom- 
bres considérés comme addition. 

4° les quantités de même espèce sont les choses à propos 
desquelles on a défini l'égalité et l'addition. 

5° Un nombre est une locution et un signe qui la repré- 



1 L'Algèbre de tu Logique, Collection Scientia, Gauthier- Villars, Paris, 1905. 
L'Enseignement mathém., 7 e .innée ; 1905. 



306 H. LAURENT 

sente) qui sert à désigner avec précision une quantité, et 
celles qui lui sont égales, de manière à les distinguer des 
autres. 

li" Pour désigner ainsi, ou comme Ion dit, pour mesurer 
une quantité, on en choisit une parmi celles de même espèce 
que Ton appelle unité, et l'on donne des noms à celles qui 
résultent de l'addition successive d'unités, ces noms sont les 
nombres entiers. 

Il peut arriver que l'unité soit divisible en parties égales 
(locution à définir alors on est conduit à la considération des 
nombres fractionnaires et même incommensurables, mais 
le contraire peut avoir lieu. 

Après avoir fait cela, il peut arriver, et il arrive presque 
toujours, que Ton a défini toutes les quantités considérées 
de manière à les distinguer de celles qui leur sont inégales, 
mais il peut en être autrement. On sait, par exemple, qu'a- 
près avoir défini l'égalité et l'addition des vecteurs on peut 
choisir parmi eux une unité, faire le travail indiqué précé- 
demment, mais on ne définit ainsi qu une partie des vecteurs 
de l'espace, à savoir ceux de même orientation que l'unité 
choisi.' . 

Dans ce cas, on prend une seconde unité non comprise 
parmi les quantités déjà mesurées, cette seconde unité défi- 
nit une nouvelle série de quantités, en appelant i la pre- 
mière unité, j la seconde, on peut représenter une quantité 
de la première série mesurée par le nombre a par ai, de 
même une quantité de la seconde série sera représentée par 
bj. 11 peut arriver que ai -J- bj soit un symbole capable de 
représenter toutes les quantités considérées, (c'est ce qui 
arrive pour les vecteurs d'un plan); le contraire peut avoir lieu, 
on prend alors une troisième unité, etc. Les nombres de la 
forme ai + bj -\- ck -j- ... sont alors des nombres complexes 
(ou imaginaires i, j... sont des clefs. 

Enfin, il peut arriver que les unités étant indivisibles, les 
nombres complexes ai -j- bj + ... sont des entiers com- 
plexes, a, b... désignant des entiers ordinaires. 

Il peut arriver que les unités toutes, ou seulement une 
partie d'entre elles soient indivisibles. Les coefficients de cer- 



A PROPOS D'UN LIVRE DE M COUTURAT 30; 

taines clefs peuvenl être nécessairement entiers. Par exemple 
ajouter des hommes h des chevaux, ce sera si 1 on veul le 
amener sur un champ de bataille; on considérera les homme 
comme égaux entre eux. les chevaux comme égaux cuire eux 
mais non égaux aux chevaux, et on pourra baserun calcul su: 
des nombres complexes ah + àc, ou h sera un homme, c un 
cheval. 

Il peut arriver que non seulement les unités soient indi- 
visibles, mais qu'elles soient en nombre limité, ce cas va non 
intéresser tout particulièrement. Alors i désignant une clef, 
on aura nécessairement // désignant un entier ni = /ou ri,.. 
et (mais peu importe pour notre objet on aura ni = i. c< 
qui n'est contradictoire avec nos habitudes, qu'en apparence, 
la théorie des congruences présente des formules analogues 
à celle-ci. 

Enfin il peut arriver que dans chaque série, il n'entre 
qu'une quantité qui sera à la ibis unité et de nul effet, on 
aura en appelant i une clef i -\- i=i puisqu'il n'y a qu'un 
objet dans la série relative à la clef i. Toutefois l'existence 
de pareilles quantités complexes est à démontrer. Quoique 
L'on puisse, au point de vue logique spéculer sur de telles 
quantités en admettant leur existence, et par le fait on a long- 
temps spéculé sur l'imaginaire V — 1 avant d'en avoir dé- 
montré l'existence, on a spéculé sur les systèmes linéaires de 
Laguerre avant d'avoir remarqué que ces imaginaires étaient 
des substitutions très réelles . 

J'arrive à l'interprétation concrète de nos quaniités com- 
plexes. Ce sont les diverses propositions que l'on peut énoncer. 

Ce sont des quantités, car on peut définir leur égalité et 
leur addition comme il suit : 

1" Deux propositions sont égales, quand elles expriment 
le même fait, vrai ou faux, dans les mêmes termes ou dans 
des termes équivalents. 

2° La somme de plusieurs propositions consiste dans leur 
affirmation alternative : Je m'explique : si i. j. k sont des pro- 
positions, i + j + 1< voudra dire que l'une des propositions 
i, j, k est vraie. 

On a défini produit de plusieurs propositions i. /'. /.. 



308 //. LAURENT 

leur affirmation simultanée, ainsi ijk est la proposition en 
vertu de laquelle /, y, k, sont vraies à la fois. 

Il est clair que Ton aurait pu appeler somme ce que nous 
avons appelé produit et vice-versa, et cela eut peut-être été 
plus simple. 

Il est bien évident alors que i -f- i = i, si i est une propo- 
sition quelconque, car si i est vrai, ou /, ou t sera vrai, on voit 
que i -j- y n'est pas égal à i ou à y, de même i.i = i. Dans le 
calcul de nos quantités complexes, il n'y aura donc ni fac- 
teurs numériques, ni exposants. 

La différence cl = i — y de deux propositions est telle que 
ajoutée à y elle donne i. Ainsi d -f- / ' = i-, donc si cl ou y sont 
vraies, i est vraie. 

Dans les théories ordinaires, la soustraction ne peut se 
l'aire que dune manière, je rappelle la démonstration: si 
1 on pouvait avoir 

3 -j- j = i et 6' + / = i 
on en conclurait 

*+.;■=*'+; 

et en posant §' = § + s, si d' était plus grand que $ on au- 
ra i t 

e! î serait un objet nul, et comme on convient de ne pas 
écrire les objets nuls, on a $=^d'. Mais ici nous convenons 
au contraire décrire et de tenir compte des objets nuls, la 
soustraction, et aussi la division pourront se faire de plu- 
sieurs manières, donc dans la théorie des idées, il n'y a en 
résumé ni soustraction, ni division, ni multiplication par un 
nombre ordinaire, ni exposants, ni radicaux. Il y a là une 
simplicité apparente, au moins réelle dans les formules, et 
peut-être une complication dans les idées. 

On a trouvé commode de prendre une clef égale à /, comme 
dans le calcul des imaginaires de la forme a + bi\ et une 
autre égale à zéro. 

i est l'expression de tout ce qui est vrai, o est le faux ou 



.)/ /•: /. . / .v G E s i: r co R R i: s P v danc /: 31 »9 

l'absurde. Je préférerais la convention inverse, <-i en effel si 
Ton désigne par a' la négation de a on a 

ati' = et a -f~ rt ' = 1 • 

on préférerait avoir 

r/<7' =1 , « -f- a' = 0. 

cela choquerait moins les habitudes. 

Je n'ai pas à examiner ici les conséquences du nouveau 
calcul, j'ai simplement voulu prouver que en partant de la 
définition nette et précise de la quantité, non seulement on 
peut, comme je l'ai fait voir dans mon opuscule sur les prin- 
cipes de la théorie des nombres et de la géométrie (Scient ia 
1° établir sur des principes solides la mathématique pure et 
appliquée; 2° faire rentrer dans la mathématique pure, ou 
dans la théorie des nombres complexes, ce que l'on a appelé 
l'algèbre de la logique. 

H. Laurent (Paris . 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Sous ce titre nous publions les remarques et renseignements concernant 
plus ou moins directement l'enseignement mathématique, telles que des 
descriptions d'instruments ou d'appareils nouveaux, etc. Quant à la corres- 
pondance, elle permet à tout lecteur de présenter sous une forme rapide 
les idées qui lui semblent utiles, les remarques suggérées par la lecture 
d'un article, ou les questions sur lesquelles il aurait besoin d'un renseigne- 
ment. La Rédaction. 



Sur l'enseignement de la Géométrie. 

(Extrait d'une lettre à M. Laisant.j 

L'intéressant article de M r Gino Loria voir pp. 11 à 20 sur rensei- 
gnement des mathématiques élémentaires en Italie m a rappelé qu'a 
l'Ecole d'application de l'Artillerie et du Génie, où j'ai suivi un cours 
de Fortification permanente, la première leçon de ce coins m'a 
beaucoup troublé. 11 m'a été impossible <lc comprendre le profes- 



:]10 ME LANGES ET CORRESPO NDA N C E 

<mii . Il parlait constamment des contrebatteries de l'ennemi placées 
(•n arrière de la crête du chemin couvert du bastion opposé et je 
ii'étais pas préparé à ce Langage. J'ai tiré alors cette conclusion : 

L'étude d'une science doit être précédée de l'étude du langage 
qui lui est propre. 

C'est ainsi qu'on procède en stéréotomie, la partie relative à la 
charpente commence par l'étude des principaux assemblages. On 
emploie différents modes de projection et de perspective pour 
l'aire concevoir la forme de ces assemblages comme application 
des procédés de la Géométrie descriptive; mais à côté de cela il y 
a les noms des assemblages. Ce sont ces noms et les termes en 
usage, successivement appris en même temps que la représenta- 
tion des assemblages, qui permettent d'entrer facilement dans 
l'étude d'une charpente. 

On devrait agir de la même manière pour l'enseignement de la 
Géométrie et n'arriver aux premières leçons qu'avec une certaine 
connaissance du langage géométrique. La chose serait très facile 
à obtenir si, donnant à l'enfant une règle, une équerre, des com- 
pas, on lui demandait de tracer des figures à côté desquelles il 
écrirait ce qu'elles représentent. Après avoir appris ainsi ce que 
sont les triangles divers, les quadrilatères, etc., etc., il aurait les 
mots nécessaires pour comprendre les premières notions géomé- 
triques. Vous partagez mon opinion, puisque vous dites à la page 
220 de votre excellent ouvrage, la Mathématique : « Mais, de même 
que pour l'arithmétique il y a une préparation préliminaire, la 
pratique du calcul, de même il est utile que la Géométrie théorique 
soit précédée de la pratique du dessin. » 

De là, à l'application, surtout en France, il y a très loin 

Mannheim Paris). 



A propos d'un théorème sur le triangle '. 

XIII. — Lettre de M. V. Retali Milan : 

Le théorème que M. Kariya Tokio croit nouveau a été établi 
par moi en 1890. dans le Periodico di Matèmatica Roma, XI, p. 7i . 
La démonstration est celle même donnée par M. Harold Hilton dans 
sa note parue dans l'Ens. math. 1904, p. 237 . 

XIV. — D'autre part. M. Caxtoxi Viadana, Mantova) nous 
écrit que suivant une information de M. Kariya. la propriété c?) 
examinée par lui dans l'Ens. math. L905, p. 46) aurait déjà été 
étudiée par M'Cllellaxd dans sa Geometry ofthe circle. p. 82. 

XV. — M. .1. Neuberg a publié dans Mathesis mai, 1905, p. 117- 



1 Voir l'Ens. math. 6«"e année. 1904, pp. 130-132, 236-239. 406-410: 7°>e année. 1905, pp. 
44-51. 



.1/ E /. . / .Y G E S E l CO I: I: B S P <> N D AN CE 311 

1 L8 .une note dans laquelle il mentionne les travaux antérieurs se 
rapportant au théorème étudié par M. Kariya el donl u m- bonne 
partie a paru dans Mathe&is : 

« M. I. eiiminc AFAS, Paris, L889, p. 202 abaisse d'un point 
quelconque dans les perpendiculaires MX. MY. MX sur les côtés 
BC, (".A. AH du triangle ABC el prend sur ces droites les longueurs 
MA,, MB t , MC,, inversement proportionnelles à MX. MV MX. Il 
observe que les droites AA,. BB r CC 1 concourent en un point L 
qui parcourt l'hyperbole équilatère ABCM, que le centre de 
cette courbe est le point de contact du cercle des neuf points de 
A B C avec un cercle tritangent lorsque M est le centre I. I'. I ". Y" 
d'un tel cercle. A cause de cette dernière propriété, j'ai proposé la 
dénomination ^hyperbole de Feuerbach pour l'hyperbole équila- 
tère ABCI. 

M. Boutin .IMS. 1890, pp. lu'* et L28 étudie les hyperboles 
équilatères ABCI, ABCI', ABCI", ABCI'" comme transformées iso- 
gonales des droites 01, 01', 01", 01'" et aussi comme lieux des 
points de Kariya. » 

« Dans un article de Mathesis fl893, p. 81-89 que j'ai rédigé en 
grande partie d'après une note manuscrite de M. Mandait, l'hyper- 
bole équilatère ABCI est le lieu du centre d'orthologie du triangle 
ABC et d'un triangle variable A 2 B 2 C 9 qu'on obtient en portant sur 
les médiatrices OA', OB', OC du triangle ABC. à partir des mi- 
lieux A', B', C des côtés, trois longueurs égales variables A'A a 
= B'B., == C'C 3 . » 

« Enfin. M. Speckmann Mathesis, 1903, pp. 2G5-270 part du 
théorème de M. Kariya et étudie comme MM. Boutin et Mandait, 
quelques involutions remarquables sur l'hyperbole équilatère 
ABCI. » 

XVI. — Extrait d'une lettre de M. Tabakoff Nancy : 

« Mon honorable compatriote. M. Stoïanoff, professeur de ma- 
thématiques à l'Ecole militaire de Sofia, a traduit toutes les propo- 
sitions sur le triangle, suggérées par le théorème de M. Kariya et 
les a publiées dans notre petit journal de la Société mathématique 
de Sofia. A propos du même théorème j'ai donné une autre propo- 
sition réciproque de celle de Kariya dans le journal susdit, puis j'ai 
montre comment on peut généraliser le théorème de Kariya et sa 
réciproque. Dernièrement j'ai donné un théoreine réciproque de 
celui de M. Frunke et en même temps j'ai trouvé une généralisa- 
tion des deux théorèmes qui est tout à fait différente de celle de 
M. Cantoni et même on peut généraliser, eelle de M. Cantoni. » 

Faute de place nous devons nous borner à donner les énonces 
de ces deux propriétés : 

gi\a\ réciproque du théorème de MM. Retali-Kariya peut s'énon- 
cer comme suit : 

« Soit le centre de la circonférence circonscrite au triangle 



312 CHRONIQUE 

ABC On joint OA, OB, OC; puis, à partir de 0, on porte sur ces 
droites des longueurs OP. ON, OM égales a d. Par les points M, N, P 
on mène des perpendiculaires aux droites OC, OB, OA et l'on 
cherche les points d'intersection avec les droites AB, AC, CB; les 
trois points C 4 , B,, A, ainsi obtenus sont situés sur une même 
droite. » 

bi Proposition réciproque de celle de M. Franke* : 
« Soit le centre de la circonférence inscrite dans le triangle 
ABC et M, N, P les points partageant les segments OA, OB, OC 
dans un rapport q; on mène par ces points des droites respective- 
ment perpendiculaires à ces segments et Ton cherche les points 
d'intersection avec les droites BC, CA, AB. Les points A 1 , B.,, C, 
ainsi obtenus sont situés sur une même droite. » 



CHRONIQUE 



Les nouveaux programmes des écoles moyennes en Italie. 

Le 21 et 22 avril 1905 a eu lieu à Milan, sous les auspices de 
l'Association « Mathesis » une réunion régionale des professeurs 
de mathématiques de renseignement secondaire et supérieur. 
Présidée par M. E. Pascal, professeur à l'Université de Pavie, les 
séances ont été principalement consacrées à la discussion des con- 
ditions faites à l 'enseignement mathématique des écoles classiques 
pur le décret royal du 11 novembre 190k. La réunion s'est terminée 
par une très intéressante conférence de M. G. Loria (Gènes), sur 
les programmes du passé et les programmes de V avenir. 

Nous aurons l'occasion de revenir sur cette importante réunion. 

Faculté des Sciences de Paris. 

In nouveau certifient d'études supérieures. — Le certificat 
d'études physiques chimiques et naturelles (P. C. N.), spécialement 
créé en vue des études de médecine, vient d'être transformé en un 
certificat d'études supérieures. Suivant l'arrêté ministériel du 20 
juin, ce 22'' certificat portera le titre de « Certificat d'études supé- 
rieures de sciences portant sur la physique, la chimie et l'histoire 
naturelle. » 



1 Voir L'Ens. math., 6"' e année, p. l'iT. 1904. 






CHRONIQUE 313 

C'esl Là une excellente mesure <|ui. aura certainemenl poureffel 
d'eircourager les étudiants à acquérir d'abord un fond solide de 
connaissances scientifiques générales. On sait, ainsi que nous 
avons déjà eu L'occasion de le rappeler, que Le diplôme de Licence 
èsl conféré à tout étudianl qui justifie de trois certificats d'études 
supérieures '. 

Cours de vacances à Munich. 

Il serti organisé un cours de vacances a Munich, ilu L7 au 22 juil- 
let, a L'usage des maîtres île Mathématiques et de Physique des 
écoles moyennes. 

Prix académiques. 

Académie royale de Belgique. — Prix proposés : 

Pour 1905. L° On demande une contribution importante ;i lu 
théorie des complexes de droites du troisième ordre, par exemple 
l'étude des complexes représentés par une équation de la forme 
afiy — A a' /S'y' = 0, où a =. 0, /? = . . . sont les équations de 
complexes linéaires. A" un paramètre. Prix 600 Fr. 

2° Trouver en hauteur et en azimut, les expressions des termes 
principaux des déviations périodiques de la verticale, dans l'hypo- 
thèse de la non coicidence des centres de gravité de l'écorce et du 
noyau terrestres. Prix 600 Fr. 

Pour L9Ô6. 1° On demande une contribution à l'étude algébri- 
que et géométrique des formes «-linéaires, n étant plus grand 
que 3. Prix 600 Fr. 

2° Faire histoire et la critique des expériences sur l'induction 
uni-polaire de Wel^er, et élucider, au moyen de nouvelles expé- 
riences, les lois et l'interprétation de ce fait physique. Prix 800 Fr. 

Les mémoires destinés aux concours doivent être rédigés en 
français ou en flamand. Pour ce qui est des conditions du con- 
cours s'adresser au Secrétariat-perpétuel, au Palais des Académies 
à Bruxelles. 

Société scientifique de Bru. telles. — l > rix proposé pour L'.io."» : 

Trouver les caractères distinct ifs des maxima ou minima d'une 
fonction de trois variables /' x, y, z . dans le cas où l'ensemble des 
termes du second ordre dans le développement de/" <i -\- h, b -\- l,\ 
c -\- l — /' <■/, b, c peut s'annuler sans changer de signe. 

Académie royale des Sciences de Nap les. — Le prix de lonii Lires, 
destiné à récompenser la meilleure contribution a la théorie des 
formes ternaires biquadratiques, a été conféré a M. le professeui 
E. Pascal. 



1 Nous avons publié la liste des certificats relatifs aux sciences mathématiques pi i 
appliquées dans le a du 15 juillet lii04, pp. 310-311. 



314 CHRONIQUE 

L'Académie accordera un prix de 500 lires au meilleur mémoire 
sur la théorie des électrons et la dispersion de la lumière. 

Smilh-Prize. — Les Smith-Prize's de l'Université de Cam- 
bridge ont été accordés, cette année, à M. IL Batermann pour son 
travail intitulé « The solution of linear diiferential équations by 
means of definite intégrais », et à M. P. E. Marrack pour ses re- 
cherches sur l'absorption par les rayons Rontgen et les rayons y. 

Prix Adams. — Prix propose'* par l'Université de Cambridge 
pour 1906 : 

Etudier les irrégularités du mouvement de la Lune qui peuvent 
être ramenées directement à une action planétaire. Prix: 4500 Sh. 

Médaille de Morgan. — La Société mathématique de Londres 
a décerné cette année la médaille de Morgan à M. IL F. Baker 
pour ses travaux d'analyse. 

Etats-Unis. 

Cohtmbia Unwersity ', NewYork. — M. V. Fr. Bjerknes, profes- 
seur de Mécanique et de Physique mathématique à l'Université de 
Stockholm, a été appelé à donner, pendant le mois de décembre 
1005, un cours de quinze leçons sur les champs de force et les 
analogies hydrodynamiques des champs électrostatiques et élec- 
tromagnétiques. 

Pendant les mois de mars et avril 1006. M. IL A. Lorentz, pro- 
fesseur de Physique à l'Université de Leyde, fera un cours sur les 
extensions de la théorie électromagnatique de la lumière d'après 
Maxwell et la dynamique des électrons. 

American Mathematical Society. — La 12 e réunion d'été aura 
lieu au Williams Collège à Williamstown, Mass, le 7 et 8 août 1905. 

Nécrologie. 

On annonce la mort de deux savants astronomes, O. W. von 
Struve, ancien Directeur de l'Observatoire de Pulkowa, décédé 
dans sa 86 e année, et Pietro Tacchini, ancien Directeur de l'Ob- 
servatoire du Collegio Romano. 

Nous apprenons, d'autre part, la mort du mathématicien hol- 
landais Corneille Louis Landré, actuaire de la « Société générale 
hollandaise ». 

Nominations et distinctions. 

M. .1. Franel, professeur d'analyse à l'Ecole polytechnique fédé- 
rale de Zurich, est nommé Directeur de cet établissement. 

M. Ernest Lebon, notre distingué collaborateur, a été élu Mem- 
bre correspondant de l'Académie royale des Sciences de Lisbonne. 



N T E S E I DOCV M E N T S : ; 1 5 

M. F. ( ). Lovett, professeur de mathématiques à l'Université de 
Princeton \. .1.. est nommé professeur d'Astronomie en remplace- 
ment de M. E. A. Youkg, retaité. 

M. \\ . W irtingbr, professeur ;t L'Université «le Vienne, es1 
nommé Membre de L'Académie des Sciences de Vienne. 

.M. \\ . .1. Hussei es1 nommé professeur d'Astronomie et Direc- 
teur de L'Observatoire de L'Université de Michigan, en remplace- 
ment de M. A. Hall qui a résigné ses fonctions. 

M. St. Zabbmba, prof, ext., est nommé prof. ord. a L'Université 
de Cracovie. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Sous ce titre uous publions des renseignements relatifs à l'organisation 
de 1 enseignement : créations nouvelles, programmes et règlements d un in- 
térêt général, liste des cours des principales Universités et Ecoles supé- 
rieures, etc. La Rédaction. 

Cours universitaires. 

ANGLETERRE 

Oxford; University. — Mathematics. Lecture List for Miehaelmas Tenu, 
begin 16 oct. 1905. — W. Essox : Analytic Geometrv of Plane Curves. 2 h.; 
Synthetic Geometrv of Plane Curves. — E. B. Elliott : Séquences ami S 
ries, 2; Elementary Theory of Numbers, 1. — A. E. H. Love : Magnetism 
and Electricity : the Mathematical Theory. 3. — H. H. Turner : Elementary 
Mathematical Astronomy. 2. — H. C. Plummer : Practical Work. Observa- 
tory. — C. E. Haselfoot : Theory of Equations. 1.. — C. Leudesdorf : Pro- 
jective Geometrv lelementaryi, 3. — A. E. Jolliffe : Analytical Geometrv. 2. 
— J. W. Rlssell : Dilferential Calculus, 2. — R. F. M c ?s*eile : Curve Tra- 
cing, 1. — A. L. Pedder : Problems in Pure Mathematics. 1. — C. H. Samp- 
so.n : Higher Solid Geometrv. 2. — J. E. Campbell : Differential Equations. 
2. — C. H. Thompson : Intégral Calculus. 2. — E. H. Hayes : Analytical 
Statics, 3. — A. L. Dixon . Hydrostatics, 1. — IL T. Gerrans : Tridimen- 
sional Rigid Dynamics. 2. — P. J. Kirkbt : Attractions and Electrosla- 
tics, 2. 

ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Cours annoncés pour l'année universitaire i90k-1905. 

Bryn Mawr University l'.i. . — Professor Charlotte A. Scott : Algebraic 
invariants, with applications, 2: Modem analytic geometrv. 2. — Mr. J. E. 



3 1 6 NOT E S ET D C V M ENTS 

Wright: Linear ordinary differential équations, 2: Higher analysis, 2. — 
I) 1 [sabel Madison : Analvtic geometry of space. 

University of California (Berkeley lai.). — Professor I. Stringha.m : 
Quaternions. 3; Logic of mathematics, 3; Seminar, 2. — Professor G. C. 
Edwards: Differential équations. 3. — Professor M. W. Haskell : Analytic 
geometry, 3 : Algebraic forms and géométrie transformations, 3. — Profes- 
sor E. .1. W ilcynski : Projective differential geometry, 3. — Professor 

C. A. Noble ; Calculus of variations (firsl half year). 3; ïheory of 
differential équations isecond half year). 3. — Professor A. W. Whitney ; 
Analvtic geometry of tliree dimensions Isecond half year), 3 : Calculus of 
finit e différences. 2; Theory of probabilities, 3. — Professor D. X. Lehmer : 
Theory of équations, 3. — Dr. T - M. Pbtnam : Synthelic geometry. 3 : Theory 
of numbers, 3. — Dr. .1. H. McDonald : Theory of functions of a real 
variable, 3. — Dr. B. L. Newkikk : Theory of complex functions, 3. 

Comell University (Ithaca, New- York). — Professor L. A. Wait : Dif- 
ferential calculus, 2; Analvtic geometry, 3. — Professor G. \Y. Jones : 
Algebra, 3. — Professor J. Me. Mahon : Theory of potential and spherical 
harmonies. 3: Mechanics, 3. — Professor J. I. Hutchinson : Projective 
geometry, 3; Infinité séries and produets, 2. — Professor Y. Snvder : Diffe- 
rential équations. 2; Algebraic twisted curves. 2. — Dr. W. B. Fite : Defi- 
nite intégrais, 2; Theory of functions. 3. — Dr. C. Y. Haskinks : Theory 
of invariants, 3 : Calculus of variations, 2 ; Differential équations. II, 2. 

University OÎ Illinois. — Professor S. W. Shattuck : Differential équa- 
tions and calculus of variations, 3. — Professor A. X. Tai.bot : Analytic 
mechanics, \. — Professor E.J. Townsend : Theory of functions of a real 
variable, 3; Solid analytic geometry isecond semester), 3 : Seminar, 3. — 
By Professor A. G. Hall : Potential fonction and spherical harmonies, 3 : 
Déterminants. 2. — Professor H. L. Bietz : Theory of invariants and higher 
plane curves. 3. — Professor J. Stebbins : Least squares Ifîrst semester), 
2. — Dr. H. L. Coar : Modem geometry and algebraic surfaces, 3. — Mr. 
E. L. Mu. ne: Mathematical theory of statistics Isecond semester), i. 

Indiana University. — Professor B. J. Aley : Algebraic invariants (fall 
and winter terms) 3 : Theory ofnumbers (spring term), 3 ; Ordinary differen- 
tial équations ifall term), 5. — Professor S. C. Davisson : Modem geometry 
(fall and winter), 2: Theory of surfaces (winter and spring), 3. — Professor 

D. A. Bothrock : Partial differential équations (fall and winter). 3; Theory 
of functions (winter and spring), 3. — - Professor U. S. Hanna : Groups of 
substitutions and Galois' theory (fall and winter), 2. 

State University of Iowa. — Professor L. G. Weld : The gênerai theory 
of functions, 2; Eeast squares ifirst semester), 2: Elliplie intégrais and 
functions (second semester), 2: Fonciers série and spherical harmonies, 2. 
— Professor J. V. Westim.l. : Advanced calculus. 3: Differential équations 
from the standpoiut of the theory of functions, 2. — Dr. E. L. Dodd ; Vec- 
tor analysis ifirst semester), 2 : Non-euclidean geometry Isecond semester), 2. 

University of Michigan. — Professor W. W. Beman : Solid analytic 
geometry. 2: Higher plane curves (second semester); Differential équations 
(firsl semester), 3; Linear differential équations isecond semester), 2; Qua- 



N <> r e s i: i docum i: x r s 3 1 ; 

ternions, 2 (second semester) ; Seminar, 2. — Professor A. Ziwei : Projec- 

til've gc iiiiy :; : Har oie analysis, 2: Advanced mechanics (second 

semester) , 3 ; Theory of potential ifirsi semester), 3. — Professor J. I. 
Makki i i : Theory of fonctions, 3; Advanced theory of fonctions, 2. — Pro- 
fessor J. W. Glover : Higher algebra, '■'> : Theorj ol annuities and insurance, 
2. — Dr. A. B. Pierc] : Differential geometry, :;. — Mr. E. B. Escott : 
Theory of numbers, 2. 

University of Missouri. — Professor E. R. Hedrick : Theory offunctions, 
3; Advanced calculus, 3: Higher analysis. 3. ■ — Professor I.. M. Defoi 
Analytic mechanics, 3; Fourier's séries ami potential function, 3. — Profes- 
sor Ci. A. Bliss : Differential geometry, 3 ; Theory of groups, '■'>. — Dr. L. 
1). Amis: Infinité séries and products, 3; Galois' theory of substitutions, 3. 
Mr. 1.. Ingold : Theory of équations ami déterminants, 3 ■. Eléments of 
projective geometry, 3 ; Eléments of differential équations, 3. 

University of Nebraska. — Professor E. W, Davis: Theory of surfaces, 
2: Pure mathematics, 2. — Professor Canhy : Differential équations, 3; 
Mathematical pedagogy, 3. — Professor C. Engberc : Theory of probability, 
3 i second semester); Algebra of quantics, 3, or Higher plane curves, 2; 
Biometry, I. 2. — Miss I. Sinclair: Geometry of position, 3, or Calculas 
of variations, 2 

University of Pennsylvania. — Professor E. S. Crawleï : Higher plane 
curves, 3: Solid analytic geometry, 2. — Professor G. K. Ficher: Advan- 
ced calculus. 2 : Invariants and covariants (first half year!. 3 : Linear diffe- 
rential équations (second hall year . 3. — Professor I. J. Schwatt : Theory 
of functions of a real variable, 3; Infinité séries and products, 3. — Profes- 
sor G. H. Hallet : Theory of groups. 3; Calculus of variations first half 
year), 2: Lies theory ol continuous groups (second half year), 2. — Dr. 
B. S. Easton : Algebra lin German|.2: Theory pf higher équations, 2 ; 
Elementary divisors and group characlers. 2. — Dr. F. 11. Safforb : Cur- 
vilinear coôrdinates and orthogonal transformations with applications lo île- 
theory of potential. 'S. 

Summer session (July 5 to August 12. 1905). Each course will be given 
live hours per week. — Professor E. S. Cra.wi.ey : Theory of numbers. — 
ProfessorG. E. Fisher: Invariants and covariants. — Professor I. J, S< hwatt : 
Definite intégrais. — Professor G. H. Hallett : Theory of abstract group-. 
— Dr. F. H. Safford : Differential équation. 

Syracuse University. — Professor W. H. Metzler : Analytic geometry 
(firsl semester. 3; Modem geometry (second semester), 3; Newtonial 
potential and spherical harmonies, 3; General theory of functions, 3; Déter- 
minants, 3 : Ellyptic intégrais and elliptic functions, 3. — Professor E. I). 
Roe : Theory of invariants and covariants, '! : Theory of substitutions, 3; 
Advanced calculus (firsl semester), 3; Differential équations (second semes- 
ter), 3; Analytic mechanics. 3: Theory of équations. 2 : Analytic trigoi e- 

try ifirst semester), 1: Déterminants (second semester), 1. — Prof< — >r 

W. <i Uni \i;d : Projective geometry (firsl se ster), 3: Higher plane 

curves (second semester), 3; Twist ed curves and gênerai theory of surfaces 3. 

University of Wisconsin. — ProfessorG. A. Van Veczer : Differential 



318 BIBLIOGRAPHIE 

équations, 3; Analytic geometry, !>. — Professor C. S. Schlichter : Theoretic 
mechanics, 2 : Theory ofprobabilities, 2 (second semester) : Hydrodynamics, 
2. — Professor E. B. Skinner : Geometry of ihree dimensions, 2; Advanced 
calculus, 2; Twisted curves and surfaces, 3 ifirsl semester); Quaternions, 

•'; second se ster) : Seminar in groups, 2. — X : Projective geometry, 2. 

Yale University (New Haven, Conn.). — Professor Beebe : Celestial 
mechanics, 2. — Professor J. Pierpont : Elliptic fonctions, 2: Functions of 
a real variable, 2: Functions of a complex variable. 2: Analytic geometry. 
2 -, Theory of aggregates, 1. — Professor P. F. Smith: Gonlinuous groups 
of transformations, 2. — Professor H. F Hawkes : Algebra, 2; Advanced 
algebra, 2 ; Teachers course in geometry. 2: Differential équations, 1. — 
Dr. W. A. Granville: Differential geometry, 1. — Dr. F. B. Wilson Ad- 
vanced calculus, 2 : Analytic mechanics, 2 : Theoretical mechanics, 2 : Dr. C. 
M. M a son : Partial differential équations. 2; Functional équations, 1. — Dr. 
D. R. Cirtiss ; Harmonies analysis, 2 : Taylor's séries and analytic conti- 
nuation, 1. — By Mr. Taylor : Scienlilic compilation, 1. 



BIBLIOGRAPHIE 



Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées. Publiée 
sous les auspices des Académies des Sciences de Gôttingue, de Leipzig, 
de Munich et de Vienne avec la collaboration de nombreux savants. Edition 
française rédigée et publiés d'après l'édition allemande sous la direction de 
Jules Molk, professeur à l'Université de Nancy. Tome I, premier volume : 
Arithmétique. Fasc. 1, 160 p., prix : 5 fi'.; Gauthier- Villars, Paris; B. G. 
Teubner. Leipzig. 

L' Encyklopâdie der màthematischen Wissenschaften, dont nous avons an- 
noncé le plan général en son temps a été fort bien accueillie des mathémati- 
ciens et n'a pas lardé à leur rendre de précieux services. Avec le développe- 
ment considérable qu'ont pris les sciences mathématiques au cours du XIX mc 
siècle, il devenait en effet indispensable d'avoir un expose'' à la fois simple et 
concis, mais aussi complet que possible, des résultats acquis dans les dif- 
férentes branches de la science mathématique. C'est ce qui explique le succès 
de YEncyclopàdie et la nécessité d'en publier une édition française. 

Celle édition ne sera pas une simple traduction, mais elle sera le résultat 
d'une véritable collaboration entre les auteurs des articles allemands el ceux 
du texte fiançais. Elle sera publiée sous la direction de M. Jules Moi.k, pro- 
fesseur à l'Université de Nancy. 

L'édition française est divisée en sept Tomes, comprenant chacun trois ou 
quatre volumes gr. in~8° qui paraissent par livraison. Ces sept Tomes se ré- 
partissent comme suit : 

Mathématiques pures : 

Tome I. AiGÈBRE, rédigé dans lédition allemande sous la direction de 



H I BL 10GRA PHIE 319 

M. \V. Fr. Meyer (Kônigsberg); rédaction Française bous la direction de 

M. .1. Mulk. 

1 Il Analysj Rédaction allemande : H. Burkhardl (Zurich 

franc.: .1. Molk. 

Tome III Géométrie. W. Fr. Meyer cl .1. Mulk. 

Math ém a t iq u es appliq u ées 

Tome IV Mécanique. Rédaction allemande : F. Klein (Gottingue] el 
C.-H. Mùller (Gottingue); rédaction française: F. Apprit (Paris) el -I. Molk. 

T c V. Physique. Rédaction allem. A Sommerfeld (Aix-la-Chapelle); 

rédacl ion française : ... et -I. Mulk. 

Tome VI. Première partie Géodésii el Géophysique. Réd. allemande 
Furtwangler (Potsdam) e( Wieckert (Gottingue); réd. franc. : Lallemand 
(Paris) et J. Molk. — Seconde partie : Astronomie. Réd. allemande : Schwarz- 
schild (Gottingue); réd. franc. : Andoyer (Paris) et Molk. 

Tome VII. Questions d'ordre historique, philosophique ou didactique (ce 
tome est encore à l'état de projet). 

Le tome I. intitulé Algèbre, comprend quatre volumes : 1. Arithmétique; 
"2. Algèbre; 3. Théorie dis nombres; i. Calcul des probabilités, théorie des 
erreurs, applications diverses. 

Le premier fascicule du premier volume a paru. Il comprend : les prin- 
cipes fondamentaux de l'arithmétique, exposés d'après l'article allemand de 
M. Schuberl (Hambourg), par MM. .) Tannery et J. Molk: l'analyse combi- 
natoire et la théorie îles déterminants, exposés d'après le texte allemand de 
M. .Netto (Giessen), par M. Vogt (Nancy); la première partie de l'article sur 
les nombres irrationnels et les limites, expose par M. Molk, d'après le texte 
allemand de M. Prinosheim. 

La plupart des articles du Tome I sont en préparation ou sous presse, el 
les quatre volumes paraîtront simultanément. 

Il s'agit, comme mi le voit, d'une œuvre considérable qui exige le con- 
cours d'un grand nombre de savants et qui. en raison même de son but. a 
sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques. 

H. Fkhr. 

W. M. Baker et A. A. Bouknk. — Elementary Algebra, with 7000 Exam- 
ples. The work is published in the following forms : Complète, with or 
without Answers. 544 pages, ts. 6d. — Pari I. To Quadralic Equations, 
Second Edition, revised. 276 pages, 2s. 6d.; Or. with Answers, 328 pag s 
3s.; Part If. Including Logarithms (four-figure tables), Binomial Theo- 
rem, Exponential and Logarithmic Séries, Interest, Undetermined Coeffi- 
cients and Partial Fractions, etc., with or without Answers. 216 pag< - 
2s. 6d. — Teacker's Edition. In tins Edition the Answers to cach set of 
Examples are printed opposite each sel of Examples ou interleaved pag( - 
In Two Parts, net each. 5s.; Answers tu the Examples, 76 pages, net ls. — 
George Bell and Sons. London. 1905. 

Voici un excellent manuel qui rendra grand service à tous ceux qui sont 
chargés d'enseigner l'Algèbre élémentaire. Il renferme, sous une forme très 
concise et claire, l'exposé des éléments d'Algèbre depuis les premières no- 
tions sur les opérations jusqu'aux progressions, logarithmes et annuités. La 
place accordée aux méthodes graphiques el le choix remarquablement varié 
des applications montrent que les auteurs ont su adapter leur ouvrage aux 



320 BIBLIOGRAPHIE 

besoins actuels de lu science et de la rie économique. Les 7000 exercices et 
problèmes contenus dans ce volume ont aussi été publiés à part, sous le titre : 
Examples in Algebra. 

Francesgo Brioschi. — Opère Matematiche, publicate per Cura <lel Comi- 
tato per le Onoranze a Fr. Brioschi. Torao Terzo. 1 vol. gr. in-4°, X — 
435 p. Prix : 25 L. , Ulr. Hœpli, Milan. 

Nous avons signalé, dès le début, la publication des Œuvres de Brioschi. 
Ce troisième volume renferme 55 mémoires (N os XC à CXLIV). Ils sont 
consacrés, pour la plupart, à la théorie des formes, aux fonctions elliptiques 
et aux équations différentielles ; mais on y trouve aussi quelques notices nécro- 
logiques des contemporains de Brioschi. Ces travaux ont été publiés dans 
divers périodiques italiens, notamment dans les Annali di Matematica, les 
Atti et les Rendiconti dell I. R. Istituo Lombardo et les Atti délia II. Acca- 
demia chi Lincei. 

Ce volume a été préparé par les géomètres qui se sont chargés des deu\ 
premiers volumes et dont il convient de rappeler les noms : MM. Bianchi 
(Pise), Capelli (Naples), Cerruti fRome). Gerbaldi (Païenne), Loria (Gènes), 
Pascal (Pavie), Vit tarelli (Rome), Tonelli (Rome). Grâce au concours de ces 
savants ei aux soins de 1 éditeur, cette belle publication sera bien accueillie 
non seulement en Italie, mais dans tous les pays où se cultivent les sciences 
mathématiques. H. F. 

F. Chômé. — Cours de Géométrie descriptive. T. I. 1898. I vol. grand in-4° 

de 160 pages avec allas de 37 planches. Prix : 10 fr. — T. II, 1899. 1 vol. 
gr. in-4° de 340 pages avec atlas de 48 planches. Prix : 15 fr. — Plans 
cuirs. 1904. (1 vol. gr in 4" de 172 pages avee atlas de 36 planches. Prix: 
10 fr. Gauthier Villars, Paris: A. Castaigne, Bruxelles. 

Ces trois volumes constituent le cours complet professé à l'Ecole militaire 
de Belgique par M. F. Chômé, et, sous peine de paraître bien tardivement 
renseignés, nous devrions parler seulement de la dernière partie relative à 
la géométrie cotée, les précédentes ayant été publiées il y a six ou sept ans. 

Ce serait cependant méconnaître l'unité de l'œuvre. Les mêmes qualités 
s'y retrouvent d'un bout à l'autre et comme l'étude de la géométrie à un 
seul plan de projection n'est guère faite sans celle de la géométrie à deux 
plans, il est bon de signaler aux futurs étudiants de ces deux sciences qu ils 
pourront sans aucun mal passer de l'une à l'autre en suivant l'esprit et les 
méthodes de l'excellent professeur belge. 

Voyons d'abord rapidement la science de Monge proprement dite. 

L'auteur a le grand mérite de chercher d'abord à guider les yeux. Tout ce 
qui pourra faciliter la compréhension rapide des épures sera bienvenu. On 
ne craindra pas de charger celles-ci de notations quille à sacrifier un peu le 
côté esthétique du dessin. Et, en effet, cela guidera le débutant qui de fait 
pas, en général, des épures bien propres et ensuite, quand il sera plus 
habile, il ne sera jamais forci- d'écrire toutes les indications du début; il se 
contentera d y penser et fera des dessins pas plus chargés que d'autres tout 
en avant appris à les faire sans inutiles efforts d attention. Ainsi un point, 
un plan vertical étant désignés par une lettre, on désignera la projection 
horizontale de ce point, la trace horizontale de ce plan par la même lettre 
affectée de l'indice //. Dans le cas de projections verticales on emploiera de 






H I II I. 10 G II A l> Il I II 324 

même l'indice v. Cela m est pas précisément de L'espril nouveau, car Olivier 
faisait quelque chose d analogue, il esl bon cependant de noter que de telles 
traditions sont conservées. Mais où ce livre ne se montre pas ami des inuti- 
lités, c'est quand il combat l'emploi de la ligne de terre déjà condamnée par 
des géomètres aussi éminents que le colonel Mannheim. 

La direction <l tte ligne importe seule et autrement n influe en rien Bur 

les projections du corps ;ï représenter. Sons les yeux di s élèves elle semble 

être incitation perpétuelle à taire par exemple une foule de reports de 

hauteurs pour changer de plan à tort et à travers. 

La u ut ai i' m de M. Cl é la rend rai i d'ailleurs plus superflue s'il le fallait. 

L'esprit de l'auteur -apparaît encore nettement dans la question peu diffi- 
cile mais parfois bien encombrante de la recherche des sections planes 
d'un polyèdre ou «les intersections de deux polyèdres. On fera d'abord un 
tableau rectangulaire comprenant autant de lignes et autant de colonnes <|n< le 
premier et le second polyèdre possèdent respectivement de faces. A chaque 
case du tableau correspond ainsi l'intersection de deux faces et I on inscrira 
dans chacune tous les points relatifs à l'intersection élémentaire considérée. 
La confusion est d'ailleurs impossible et. au surplus, on ne s'interdira jamais 
do l'aire appel à l'intuition pour laisser tout d'abord de côté les parties inu- 
tiles des intersections. 

De même les notations de M, Chômé rendent très simples les questions 
de changements de plans de projection. Du système primitif des plans H et 
V on passera par exemple à un système formé d'un nouveau plan vertical 
(système 1IY'| et tous les éléments projetés sur le nouveau mur seront af- 
fectés de l'indice V. On passe de là aux systèmes H'V. M'Y". H" Y" 

toujours avec des conventions analogues. 

Nous revenons sur 1 importante question des notations au début du livre 
II. Ainsi A désigne un point, a une droite, Art le plan passant par la droite 
et le point précédents, etc.. 

Toutes ces conventions ont 1 avantage, non seulement de parler aux yeux 
sur les épures, mais encore de simplifier considérablement l'exposition. 

La géométrie analytique est parfois mise aussi à contribution et la notion 
de limite joue un rôle important. Les asymptotes des courbes planes ^"iii 
immédiatement considérées comme des tangentes limites. Quelques pages, 
bien remarquables, sont consacrées à l'étude d'un point d wnc courbe gauche. 
On sait combien cette question est délicate puisque des irrégularités de la 
courbe gauche peuvent parfaitement disparaître en les projetant d'une cer- 
taine manière, tandis qu'au contraire des irrégularités existent souvent en 
projection bien qu'il n'y en ait pas dans l'espace. M. Chômé fait une discus- 
sion complète qui se résume en un tableau. En tète de ce dernier il désigne 
le point examiné dans 1 espace, à gauche il indique, en une colonne spéciale, 
la manière dont on projette et dans toutes les cases le résultat obtenu pour 
la projection. La construction pratique des courbes planes esl étudiée en 
détail et, Comme étude très élégante et 1res complète aussi, nous pouvons in- 
diquer celle du contour apparent dune surface. Signalons ce théorème que 
la projection d'un contour apparent peut toujours être considère comme 
l'enveloppe des projections de sections faites dans la surface, théorème 
connu, sans doute, mais dont on ne tire pas toujours tout ce qu il peut don- 
ner. Il établît notamment un lien remarquable entre la théorie des enve- 
loppes des courbes planes considérées dans le plan et la géométrie dans 
1 espace. 

L'Enseignement mathém., 7« année ; 1905. 23 



322 BI BI.IO G RAP II IE 

Plus loin signalons l'étude des surfaces de révolution et particulièrement 
celle de la surface réglée (hyperboloïde à une nappe), la loi de distribution 
des plans tangents le long d'une génératrice et son interprétation géomé- 
trique au moyen d'un point représentatif. 

Les surfaces développantes et leur développement effectif sont précédés de 
l'étude des polyèdres développables, polyèdres limités par des plans dont 
les équations se déduisent d'une seule 

: = a.r + j y l«i f : f (al 
lorsqu'on donne à a une série de valeurs en nombre fini, les surfaces déve- 
loppables de la géométrie infinitésimale apparaissent alors comme cas limite 
du précédent. M. Chômé étudie aussi très soigneusement la relation qui 
existe entre la courbure d'une courbe cylindrique ou conique et la courbure 
de son développement plan. Le second volume se termine par des appen- 
dices sur la géométrograpliie de M. E. Lemoine, sur le rapport anharmo- 
nigue et les propriétés projeclives des ligures, sur les foyers des coniques; 
il est enrichi de nombreux exercices toujours soigneusement choisis et 
placés de telle sorte que l'élève puisse les résoudre après lecture conscien- 
cieuse du texte. Passons maintenant à l'ouvrage récent relatif aux plans 
cotés. L'esprit de l'auteur n'y est pas changé et le but pratique apparaît 
d'autant plus nettement qu'il s'agit d'un cours d école militaire et que tous 
les travaux relatifs aux opérations topographiques, aux fortifications, etc.. 
qui incombent aux officiers sont plus souvent traités en plans cotés qu'en 
épures géométrales proprement dites. Le dernier volume commence d'ail- 
leurs très généralement par des considérations de transformations géo- 
métriques. Dessin géomélral, géométrie cotée, plans, triangulations géodé- 
siques, caries, tout cela rentre dans le vaste problème de la représentation 
plane de ligures qui ne le sont pas. Nous voyons alors comment il faut par- 
ticulariser ce vaste énoncé et quelles sont les façons les plus judicieuses de 
le faire suivant le but poursuivi. En commençant nous trouvons des pages 
de grand intérêt sur les surfaces de niveau et les lignes de niveau de sur- 
faces données. Les lignes de pente sont les trajectoires orthogonales de ces 
dernières, ce qui donne lieu à des théories analytiques qui n'ont pas été né- 
gligées. A signaler aussi l'étude de la surface d'égale pente et notamment 
de l'hélicoïde développable dont l'arête de rebroussement est une hélice cir- 
culaire. Par suite nous sommes déjà à même d'étudier les talus, les rampes 
et leurs raccords. 

Insistons un peu sur les surfaces topographiques. Elles sont représentées par 
des sections horizontales dont les cotes sont connues. Pour une cote donnée 
la ligne de niveau correspondante représente ce qui resterait du terrain s'il 
était submergé jusqu'à la cote eu question. Les fondateurs de la géométrie 
cotée et notamment Noizet, dans l'impossibilité où l'on est de traiter les 
surfaces topographiques comme des surfaces géométriques, essayèrent ce- 
pendant de substituer des surfaces géométriques aux portions de surfaces 
topographiques comprises entre ces deux lignes de niveau consécutives. 
M. Chômé se sépare de ce système par une convention qui consiste simple- 
ment à admettre que les lignes de niveau seront toujours tracées en nombre 
suffisant pour qu'on imagine à vue toute ligne intercalaire et il va de soi en 
effet que la conception de Noizet n'est ni plus ni moins arbitraire puis- 
qu elle introduit aussi une apparence de régularité géométrique et de ri- 
gueur sur lesquelles on aurait bien tort de s'appuyer hors des cas où l'al- 
lure générale des lignes de niveau ne fait pas soupçonner d'intempestives 



/://;/. 10GRA /'////: 328 

irrégularités. Le volume se termine par l'étude des tableaux graphiques et 
de leurs anamorphoses, c'est-à-dire <les transformées de certains tableaux 
eu d'autres dont les lignes élémentaires sont d'un tracé plu- avantageux ou 
plus commode. A certains abaques formés «le courbes on peul ainsi en 
substituer d'autres formés de droites. 

D'excellents exercices ont été choisis par M. Chômé et l'Ouvrage c plel 

peut conduire, avec une peine relativement minime, à une connaissance ap- 
profondie des sujets traités ; utile aux praticiens il ne le sera pas moins aux 
élèves faisant «1rs études théoriques, carie côté pratique leur rappellera sans 
cesse que la géométrie descriptive n'est pas uniquement un jeu de patience. 

A. Buhl l Montpellier i. 

G. Combebiac. — Calcul des Triquaternions, nouvelle analyse géométrique. 
Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris. 1 vol. in-'i" 122 pag. 
Gauthier- Vil lars, Paris. 

L'auteur s'est proposé d'établir un système d analyse ou calcul géomé- 
trique se passant de tout système de référence, condition qui n'esl pas réa- 
lisée dans le calcul des Quaternions, car l'emploi de celui-ci nécessite 
l'adoption d'une origine. Le calcul développé dans le Mémoire de M. Com- 
bebiac met en jeu trois catégories de « quantités <> qui se différencient par 
les êtres géométriques qu'elles représentent et par les propriétés qu'elles 
affectent dans le calcul lui-même. 

Les quantités formant l'une des catégories sont simplement les nombres 
de l'analyse ordinaire, positifs, négatifs et imaginaires, et l<s opérations 
auxquelles elles sont soumises ne donnent lieu à aucune règle spéciale: les 
quantités d'une autre catégorie représentent les plans (pourvus de coeffi- 
cients numériques); enfin les quantités d'une autre catégorie représentent, 
sous la dénomination d'éléments linéaires, des êtres géométriques qui com- 
prennent les points (affectés de coefficients numériques ou masses) et les 
droites (affectées également de coefficients numériques ou longueurs). Un 
triquaternion est la somme de trois quantités appartenant respectivement à 
ces trois catégories, cette somme étant d'ailleurs irréductible : on pose donc, 
r étant un triquaternion quelconque, 

r = iv + / + p = (./• + Lr + Pr. 

Gr. L/'. P/' désignant respectivement la partie numérique iv (ou scalaire), 
la partie linéaire (c'est-à-dire Vêlement linéaire] I cl la partie planaire // du 
triquaternion. 

Les opérations fondamentales du calcul sont l'addition et la multiplica- 
tion. 

Les quantités appartenant à des catégories différentes ne se combinent 
pas par l'addition. Les règles de cette opération sont les mêmes que dans 
l'analyse numérique. Son interprétation géométrique est d'ailleurs simple 
La somme de points (pourvus de masses) a pour résultai un poinl siiue au 
centre de gravité du système et pourvu d'une somme égale à la totalité des 
masses; il en résulte que la différence de deux poinl s de masses égales à 
l'unité est le vecteur allant du premier au second. L'addition des droites 
(dirigées et pourvues d'une longueur] correspond à la composition des 
forces ; le résultat est généralement un complexe linéaire et peut se dé- 
composer en une droite et un vecteur, décomposition qui représente I équi- 
valence entre un système de forces non-courantes et l'ensemble formé par 
une force (résultante du système] el un couple. On voit qu'un vecteur équi- 



324 BIBLIOGRAPHIE 

vaut indifféremment à un couple (droite rejetée à l'infini) ou à un point [re- 
jeté à l'infini), et c'est cette circonstance qui engendre la combinaison par 
addition des points et des droites pour constituer les quantités appelées par 
l'auteur éléments linéaires. Enfin, deux plans (pourvu de coefficients numé- 
riques) s additionnent pour en donner un troisième qui passe par l'intersec- 
tion des deux premiers et dont la direction et le coefficient sont obtenus au 
moyen de l'addition géométrique de deux vecteurs respectivement perpendi- 
culaires aux deux plans et dont les longueurs sont données par les coeffi- 
cients. 

Les règles de la multiplication sont les mêmes que dans l'Analyse numé- 
rique en ce qui concerne la multiplication des scalaires entre eux et avec les 
quantités des deux autres catégories; la multiplication d'une de ces der- 
nières par un scalaire a simplement pour effet de multiplier par ce scalaire 
son coefficient numérique (masse, longueur). La multiplication de deux quan- 
tités appartenant aux deux dernières catégories jouit de la même propriété 
que la multiplication numérique par rapport à l'addition, mais elle n'est gé- 
néralement pas commutative, c'est-à-dire qu'on ne peut pas intervertir l'ordre 
des facteurs. Le produit est un triquaternion composé de ses trois parties, 
et les règles à appliquer dans le calcul, en plus des règles habituelles, sont 
exprimées par les formules suivantes, qui constituent proprement les règles 
du calcul, 

G (IV 1 1= G (VI), h(lV) = h — (l"l), P (IV ) = P (VI), 

G (Ipi = 0, L (Ip) = L (pi), P ilp) = — P (pi), 

G (PP'J = G 'P'Ph L (PP') = — L p'p), P (pp'j = o, 

(/ et /' désignent des éléments linéaires; p et p' des plans). 

Les interprétations géométriques auxquelles donne lieu la multiplication 
des quaternions sont simples et correspondent aux éléments les plus usuels 
des figures ; nous citerons les suivantes : 

G (dd'j, cosinus de l'angle de deux droites; 

G lpj>' ) » » plans ; 

L (mm'), vecteur de m' vers m ; 

L (nid), vecteur perpendiculaire au plan contenant le point m et la 
droite (I : 

L (i)ip), perpendiculaire menée par )it au plan y) ; 

\j I p/>' ). droite d'intersection des plans p et p' ; 
{m et m' représentent des points; tous les coefficients numériques ou ten- 
seurs sont supposés égaux à l'unité). 

On conçoit que les propriétés géométriques trouvent dans une telle Ana- 
lyse une expression et des moyens d'investigation incomparablement plus 
simples et plus directs que dans les procédés de la géométrie analytique. 
L'étude du mouvement d'un solide, la théorie des complexes linéaires, 
enfin celle des surfaces du second ordre fournissent à l'auteur l'occasion de 
développements élégants où se manifestent toute la souplesse et l'efficacité 
du nouveau calcul. 

Ajoutons que le calcul des triquaternions se rattache, par sa genèse et 
par le mode d'exposition adopté, à la théorie des groupes de transformations 
el ;i celle 'les systèmes numériques complexes. 

L'auteur mérite les plus vifs compliments pour son ingénieuse analyse et 
pour la méthode d'exposition. Prof. C. Alasia (Tempio). 



/;////. ÏOGRAPHIE 325 

F. -A. Fouet. — Leçons élémentaires sur la théorie des fonctions analyti- 
ques (Deuxième partie). 1 vol. çr. in-8°, ■>^ { > pages Prix : 7 fr. Gauthier- 
Villa rs, Paris, 1904. 

L'ouvrage de M. A. Fouël sera hautemenl apprécié par toutes les per- 
sonnes désirant se tire au couranl (les conceptions modernes de la théo- 
rie des fonctions. C'est un résumé admirablement bien conçu de résultats 
touffus et dispersés et ce n est cependant pas une compilation, tant I auteur 
a mis «le science à présenter simplement les résultats originaux dûs aux 
analystes modernes sans leur enlever jamais leur beauté originale. 

La Première partit' a déjà été analysée dans cette Revue (5 me année > 
p. 368). Dans cette seconde partie l'auteur commence par étudier la Façon 
dimt naissent pratiquement les fonctions analytiques, point de vue qui est 
précisément celui qui a fait attacher tant- d'importance à ces fonctions. Les 
premières fonctions implicites considérées, les fonctions définies par des 
équations différentielles et même, dans des cas étendus, les fonctions défi- 
nies par les équations aux dérivées partielles sont analytiques. 

Voici les méthodes de Weierstrass, le si fécond calcul aux limites de 
Cauchv. bien simple dans son principe même si 1 exposition semble parfois 
un peu longue et rebutante aux débutants, puisqu'il repose sur la formation 
de séries acceptables d'abord au point de vue formel comme vérifiant les 
équations considérées, séries dont la convergence est vérifiée ensuite en les 
comparant à des séries majorantes fort simples. La question des irrégula- 
rités des intégrales nous apparaît ensuite avec toute la rigueur due à 
M. Painlevé et nous rencontrons les types d'équations signalés par l'éminent 
géomètre comme admettant des irrégularités, fixes ou mobiles données. 

Pour les équations aux dérivées partielles il faut particulièrement distin- 
guer des procédés de Cauchy ceux de Dirichlet, Schwarz, Neumann, etc — 
qui ont pour but de trouver directement une intégrale de l'équation prenant 
des valeurs données sur une certaine ligne du plan réel, ce qui est d'une im- 
portance immense en Physique mathématique. 

M. Fouet consacre ensuite quelques pages aux fonctious définies par des 
propriétés fonctionnelles et rappelle notamment des points historiquement 
très intéressants. 

D'ailleurs c'est bien à la suite de la considération de fonctions aussi sim- 
ples que les fonctions circulaires qu'on a recherché des fonctions double- 
ment périodiques, autoniorphes. etc... 

La fin de l'ouvrage est maintenant consacrée aux fonctions analytiques 
étudiées sous les trois aspects différents d où les envisagèrent Cauchv. 
Weierstrass et Rie manu. 

Pour Cauchy une fonction analytique était surtout une fonction conservant 
son sens, ses propriétés et notamment sa dérivabilité quand la variable 
d'abord réelle devenait imaginaire. On prouve alors que de telles fonctions 
sont développables en séries entières, propriété considérée au contraire 
comme primordiale par Weierstrass. Riemanu s appuie surtout sur le fait 
qu'une fonction de variable complexe se scinde toujours en deux parties sa- 
tisfaisant séparément à l'équation de Laplace. Ce sont ces trois points de 
vue que M. Fouet développe de façon extrêmement complète et documentée. 
Signalons surtout la série de Laurent et celle de Mittag-Leffler dont il a 
été' déjà question précédemment et les différents aspects sous lesquels on 
peut envisager la notion de résidu, la décomposition en facteurs primaires 
d'après Weierstrass. Quant aux procédés de Riemann on sait assez le rôle 



326 BIBLIOGRAPHIE 

qu ils ont en Mécanique, en Physique et en Géométrie. Ainsi nous trouvons 
en terminant des chapitres peut-être un peu courts mais fort intéressants sur 
la représentation conforme, les surfaces minima, les interprétations hydro- 
dynamiques et électriques de conceptions analytiques qui pourraient cepen- 
dant être considérées comme bien plus abstraites. 

En résumé l'ouvrage de M. Fouet n'est pas, comme je le disais en commen- 
çant, une vulgaire compilation, c'est un résumé précieux fait avec une 
grande science, très riche au point de vue bibliographique. Il nous montre 
rapidement où la Science est arrivée sans nous faire jamais perdre de -vue 
l'ensemble de l'édifice. A. Buhl (Montpellier). 

F. Klein u. E. Riecke. — Neue Beitrâge zur Frage des mathematischen u. 
physikalischen Unterrichts an hôheren Schulen. Vortrage gehalten bei 

Gelegenheit des Ferienkurses fur Oberlehrer der Mathematik und Physik, 
Gôttingen, Ostern, 1904. Gesammelt und herausgegeben von E. Klein u. 
E. Riecke. Teill. Enthaltend Beitrâge der Herren O. Behrendsen. E. Bose, 
E. GôttiiL», F. Klein, E. Riecke, J. Stark, K. Schwarzschild. — 1 vol. gr. 
in-8° VIII 190 p.; Mk. 3,60; (se vend également en deux fascicules sépa- 
rés); B. G. Teubner, Leipzig, 1905. 

L'Université de Gôtlingue a consacré ses cours de vacances de Pâques 
190't aux sciences mathématiques et physiques. Les conférences qui ont été 
faites à cette occasion viennent d'être réunies et publiées par MM. Klein et 
Riecke. Nous les recommandons vivement à l'attention de tous ceux qui s'in- 
téressent aux progrès de l'enseignement mathématique. Ils trouveront, dans 
une première partie (p. 1 à 83), les couférences de M. Klein sur une trans- 
formation, conforme aux besoins actuels, de l'enseignement des mathémati- 
ques dans les établissements secondaires supérieurs, ainsi que divers mé- 
moires de MM. Klein et Gotting se rattachant à ce même objet, à savoir : 
l'introduction dans cet enseignement de quelques notions de calcul diffé- 
rentiel et intégral. Ces idées ont déjà été signalées à plusieurs reprises dans 
cette Revue et elles ont trouvé de chauds défenseurs dans les divers pays. 
Dans une seconde partie (p. 83-190) viennent les conférences relatives à la 
Physique et à l'Astronomie, tandis que les conférences de M. Fr. Schilling, 
sur les applications de la Géométrie descriptive, font l'objet d'un fascicule 
spécial qui sera analysé plus bas. H. Fehr. 

Les conférences relatives à la Physique ont été faites par MM. E. Riecke, 
O. Behrendsen, J. Stark, E. Bose et K. Schwarzschild. Le premier a résumé 
les nouvelles théories électriques, la radioactivité, les propriétés du radium. 
La notion des ions et des électrons est condensée en plusieurs formules qui 
laissent dans l'esprit les points de repère nécessaires à la compréhension 
des idées modernes. 

M. Stark traite du rôle de la physique à l'école; il faut développer chez 
l'élève la pratique de l'induction et de la déduction, et ceci exclusivement au 
moyen des expériences. Il est de première nécessité que les appareils soient 
simples et que léclat des métaux, la complication des mécanismes, l'abon- 
dance des corrections ne cachent pas aux élèves la loi que l'on veut justement 
mettre au jour. 

L'appareil d'expérience doit être démontable, élémentaire et tout différent, 
des instruments que la technique construit actuellement. Il y a près d'un 
siècle et demi, l'abbé Nollet, dans la préface de son livre sur l'art des expé- 
riences, donnait un conseil analogue : « Evitez, — disait-il, — dans vos opé- 



BIBLIOGRAPHIE 327 

rations, un appareil superflu toujours dispendieux el souvenl capable d'in- 
duire en erreur ». Malheureusement ni Les conseils <!<■ I abbé Nollet, ai ceux 
du professeur Stark ue sont suivis. Seuls les génies comme Tyndall, ce 

prince «les expérimentateurs ou les pédagogues de race coi Schàffer de 

Berlin. L'auteur «le la Physica pauperum, savent construire ces appareils dont 
la simplicité convainc les plus incrédules. L'adresse des mains est la pre- 
mière qualité que le physicien doit acquérir; aussi le professeur Bose re- 
commande-t-il que les élèves soient entraînés à la fabrication et à la mani- 
pulation des instrumente. Le laboratoire possédera ces appareils universels 
qui permettent d'exécuter des expériences variées, ainsi la machine rotative 
avec laquelle on montre les effets de la force centrifuge ou le mélange des 
couleurs, réchauffement dû au frottement aussi bien que la naissance des 
courants dans les dynamos. Une entente entre les fabricants rendraient les plus 
grands services, s'ils s'organisaient pour construire des pièces inter-chau- 
geables, de façon qu'une expérience ne soit pas immobilisée par 1 absence 
d'une vis convenable ou d'un support approprié. Bien mieux, le professeur 
Bose préconise la fondation d'un institut central qui aurait pour but d'étu- 
dier, de construire, de rassembler les appareils scolaires à 1 usage des la- 
boratoires. L'auteur indique une série d instruments qui satisfont ses exi- 
gences et qui ont été construits dans les ateliers de Gottingue. 

Il semble que les observations astronomiques nécessitent des appareils 
coûteux et compliqués, à moins que Ion ne se borne à admirer les constel- 
lations; c'est une erreur que le professeur Schwarzschild réfute en quelques 
pages dans lesquelles il développe l'art d être astronome avec des moyens 
simples Unit elementaren Hùlfsmittel). 

La détermination du lieu géographique, celle de l'heure, exposées à 1 usage 
des jeunes esprits et les instruments nécessaires doivent être construits par 
un garçonnet adroit en cartonnage ou en menuiserie. Le développement de 
ce sujet ardu étonne déjà par sa simplicité, mais l'étonnement devient de 
l'émerveillement en face des deux petits chefs-d œuvre qui terminent cette 
série d'études et concernant les observations aslrophysiques. 

La lecture de ces conférences que nous venons de résumer trop rapide- 
ment est des plus captivantes; à chaque page on rencontre des exemples 
pédagogiques inédits et toute personne qui pratique l'art difficile d enseigner 
trouvera dans cette publication des modèles, des méthodes et des encoura- 
gements de première valeur. Alph. Bi rnoud (Genève). 

Fr. Schilling. — Ueber die Anwendungen der darstellenden Géométrie 
insbesondere ûber die Photogrammetrie. Yortràge gehalten bei Gelegen- 
heit des Ferienkurses fur Oberlehrer des Mathematik und Physik, Gôt- 
tingen, Ostcrn, 1904. Mit 151 Figuren u. 5 Doppeltafeln. — 1 vol. cart. 
gr. in-8°, 198 p.: prix : Mk. 5; B. G. Teubner, Leipzig u. Berlin. 

Bien que la Géométrie descriptive soit née des applications, on ne la pré- 
sente souvent que par son côté théorique et sous une forme très systéma- 
tique, sans laisser entrevoir les nombreux et importants points de contact 
avec les sciences appliquées. Les conférences faites par M. Schilling aux 
cours de vacances destinés aux maîtres de mathématiques ont précisément 
pour but de mettre en lumière un certain nombre d'applications fondamen- 
tales, et, à ce titre, elles offrent un grand intérêt pour tous ceux qui ensei- 
gnent la géométrie descriptive. 

L'auteur passe d'abord en revue quelques applications dans Les sciences 



328 BIBLIOGRAPHIE 

mécaniques, physiques cl astronomiques, puis dans les sciences techniques. 
Il envisage la géométrie descriptive non seulement au point de vue de la 
représentation des objets à 1 aide des méthodes de projection, niais il t'ait 
entrer aussi les représentations graphiques basées sur la notion des coordon- 
nées et les calculs graphiques. 

La seconde partie du volume (p. 98 à 182) est consacrée à la pliotogram- 
métrie e1 à ses applications. C'est là une branche nouvelle qui n'a guère pé- 
nétré dans 1 enseignement. Tous ci-u\ qui s'y intéressent trouveront dans ce 
volume un excellent aperçu des principes fondamentaux et leur application 
aux méthodes récentes pour les relevés photogrammétriques. 

Ernest Lebon. — Géométrie descriptive et Géométrie cotée. Conforme au 
programme du 31 mai 1902 pour 1 enseignement secondaire. Classes de 
mathématiques A et B. 1 vol. in-8°, 175 p. Prix : 3 fr. 50; Delalain frères, 
Paris. 1905. 

Ce Volume est la suite de celui qui a été publié en 1903 pour les Classes 
de Première C et D, et dont nous avons parlé (mars 1904, p. 158-159). L'Au- 
teur s est astreint à suivre l'ordre des programmes en traitant les questions 
qui y sont énoncées et en ajoutant quelques problèmes qui s'en déduisent 
immédiatement ; tels sont certains problèmes sur ies angles et les construc- 
tions sur les ombres. 

Les questions relatives à la Topographie ont été amplement développées; 
on y trouve la description des instruments employés, puis les méthodes usi- 
tées pour le levé des plans et le nivellement. Nous signalerons en outre les 
chapitres sur la représentation des surfaces topographiques par les courbes 
de niveau et par les hachures, ainsi que les paragraphes consacrés aux signes 
et teintes conventionnels et accompagnés de belles gravures dans le texte et 
d'une planche en chromolithographie. Cet ouvrage est rédigé avec le soin 
méticuleux qui caractérise les publications de M. Lebon, notamment son 
Traité de Géométrie descriptive et son Histoire abrégée de l'Astronomie. 

H. F. 

fi. de Montessus de Bali.ore. — Les fractions continues algébriques. 1 vol. 
de 85 p. (Thèse de Doctoratl. in-4°, Hermann, Paris. 

La représentation des fonctions par les fractions continues pose trois 
problèmes très difficiles : déterminer les réduites. — trouver la zone de con- 
vergence de la suite des réduites, — enfin prouver que la suite représente 
bien la fonction. 

I. Le premier problème se présente ainsi : 

■y. 

Soit f[z) =y s z" . 



A cette fonction analytique correspond un double tableau de polynômes 
de degrés n et p. U , Y . définis par cette condition : 

l '" 

•i- I' — * ,"+P + [ _i_ „ „"+/»:+2 , 



/://;/. 10GRA l> Il 1 1. 329 

Si l'on prend une suite quelconque 



et -i 1 on .i /m + //, < i> 2 -\- n* < i> 3 -\- n z < .... cette suite esi une- suite de 
réduites convenables. ('.<■ théorème .i fail I objet de la Thèse de M. Padé. 

M. de Monlessus, avec un réel latent <l algébriste, >l après quelques indica- 
tions ducs à feu Laguerre, donne le développement de la Fonction f(z) définie 
par l'équation différent ielle : 

[a z + b) c z -\- d) /"' = (p z + 71 /' -f H 

a. b. c. d, p, (j sont des constantes; n est un polynôme en : 
Il semble que ce soit-là un développement très général. 

II. L'auteur étudie, d'une manière générale, avec grand soin, la conver- 
gence pour des suites constituées par uni' ligne horizontale du tableau à 

double entrée (I re partie, chap. I eP ), pour des suites constituées par une co- 
lonne verticale (I re partie, chap. II me |. 

Dans certains cas ces dernières sont préférables. 

La II mc partie contient l'étude générale de la convergence lorsque les po- 
lynômes U, V sont liés par des loi- de récurrence données, ce qui amèm .1 
étudier une série compliquée. Il est très remarquable que le rapport >1 un 
terme au précédent, dans cette série, ait pour limite In racine de moindre 
module d'une équation algébrique (que l'on peut former). Ce résultat est 
fondé sur les théorèmes connus relatifs aux singularités des fonctions ana- 
lytiques. 

M. de Montessus obtieut ainsi certaines courbes dans le plan de la variable 
complexe :. telles que les fractions continues ne convergent certainement pas 
en tous les points de ces courbes. 

C'est un résultat extrêmement important et M. de Montessus a certes bien 
mérité les éloges de MM. Appell. Poincaré, Goursat, membres du Jury. 

III. Ce premier mémoire en annonce d'autres. 

Il reste à prouver que In divergence est certaine sur ces airs de courbe 
dont nous venons de parler. Il faudrait ensuite montrer que, dans les aires 
de convergence, la suite représente la fonction flz/. Tout ceci paraît bien 
amorcé dans une Note présentée à l'Académie des Sciences aussitôt après 
la soutenance de la Thèse (29 mai 1905). 

En tous cas. il est certain que M. de Montessus a déjà apport»'' une impor- 
tante contribution à l'élude des. fractions continues. 

R. d'ÂDHÉMAR 1 Lille 

Salv. Pinoherle. — Lezioni di Analisi algebrica. Fasc. primo. 1 vol 143 p. 

Prix : I,. 1.: Zanichelli, Bologna. 

M. le prof. Pincherle, bien connu pour ses travaux sur le calcul fonc- 
tionnel, publie actuellement ses leçons de l'Université de Bologne. 

Signalons son exposition très lumineuse de la définition des irrationnelles, 
son chapitre sur la correspondance des nombres et des grandeurs, sa théo- 
rie détaillée des limites. 

Dans le dérider chapitre de ce fascicule est établi avec soin le théorème 



330 BIBLIOGRAPHIE 

fondamental relatif à la continuité : « une fonction continue de X, positive 
pour .*• = (( et négative pour x — b s'annule au moins en un point c com- 
pris entre a et b ». 

Ces leçons, parfaitement claires et élégantes, rendront le pins grand ser- 
vice aux étudiants pour qui elles sont publiées. 

H. Poiiscaré. — Wissenschaft und Hypothèse. Autorisierte deutsche Aus- 
gabe mit erlàuternden Anmerkungen von F. u. L. Lindemann. 1 vol. cari., 
342 p.; prix : Mk. 4,80; B. G. Teubner, Leipzig, 1904. 

L'ouvrage que M. H. Poincaré a publié sous le titre : La Science et l Hypo- 
thèse a obtenu un succès bien légitime dans les divers milieux scientifiques. 
Hommes de science et philosophes, professeurs et étudiants ont lu et médité 
ces pages si suggestives dans lesquelles le savant mathématicien passe en 
revue les concepts et principes fondamentaux de l'arithmétique, de la géo- 
métrie, de la mécanique et de la physique moderne. 11 n'y a donc pas lieu 
de revenir sur le contenu de l'ouvrage à l'occasion de 1 édition allemande. 
Rédigée avec beaucoup de soin par M. et M me Lindemann, cette édition est 
plus qu'une simple traduction. Elle contient en effet, sous forme d'appendice 
(pp. 244-342), un grand nombre de Notes dans lesquelles le célèbre profes- 
seur de Munich compare les vues de Poincaré à celles de ses contemporains. 
Ces Notes fournissent en outre d'utiles renseignements historiques et biblio- 
graphiques; elles seront examinées avec intérêt par tous ceux qui connais- 
sent l'ouvrage de M. Poincaré; aussi ne saurions-nous assez recommander 
cette nouvelle édition à tous ceux qui lisent quelque peu l'allemand. 

H. F. 

Dav. Eug. Smith. — A Portfolio of Portraits of Eminent Mathematicians. 

First Série : Twelve Great Mathematicians dovvu to 1700 A. D., prinled on 

Japanese vellum, 5 Doll.; on Plate paper, 3 Doll.; the Open Court Publis- 

hing Company, Chicago. 

La première série de la Collection des portraits de mathématiciens publiés 
par M. Ed. Smith est consacrée à douze des plus éminents mathématiciens 
antérieurs à 1700. Quatre appartiennent à l'Antiquité, ce sont : Thaïes, Pytha- 
gore, Euclide et Archimède, puis viennent Cardan, Viète, Fermât, Descartes, 
Leibniz, Newton, Neper el Fibonacci de Pise. Ces reproductions ont été exé- 
cutées avec beaucoup de soin, par des procédés photographiques, en format 
17/21 sur papier Japon 27/34; elles sont accompagnées de courtes notes bio- 
graphiques et bibliographiques. 

Au moment où l'on recommande de toutes parts l'introduction de notions 
historiques dans l'enseignement secondaire supérieur, cette collection de 
portraits est appelée à rendre d'excellents services. Nous la signalons à l'at- 
tention des professeurs et des bibliothécaires. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1. Sommaire dos principaux périodicfiics: 

American Journal of Mathematics eilii. il by Frank Morley, published under 
the Auspices of llie Johns Hopkins University. VoL XXVIL The Johns 
Hopkins Press, Baltimore. 

No 1 (janvier 1905). — T. H. Jackson : Some Properties of a Generalized 
Hypergeometrîc Punction. — D r S. E. Slocum : Relation between Real and 
Complex Groups with Respect to their Structure and Continuity. — G. A. 
Miller : Détermination of ail tlie Characteristic Subgroups of any Abelian 
Group. — A. B. Cobi.e : Collineations whose Characteristic déterminants 
hâve Linear Elemenlary divisers with an Application to Quadratric Forms. 

— J. A. Millkr : Concerning Certain Elliptic Modular Punctions of Square 
Rank. — E. J. Nansqn : Minors of Axi-symmetric Déterminants. — V. Sny- 
der : On the Forms of Sextic Scrolls having a Reetilincar Directrix. 

N° 2 (avril 1905 1 . — A. Chessin : On a Class of differential Equations. — 
L. P. Eisenhart : Surfaces with the Saine Spherical Représentation of their 
Lines of Curvature as Pseudospherical Surfaces. — Y. Snyder : On the 
Forms of Sextic Scrolls Having no Rectilinear Directrix. — L. E. Dickson : 
Détermination of the Ternarv Modular Groups. 

Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse. Deuxième 
série. T. VI, 1904. E. Privât, Toulouse: Gauthier-Villars, Paris. 

Fasc. 2. — E. Goursat : Sur un problème relatif à la théorie des équa- 
tions aux dérivées partielles du second ordre. 2"' e mémoire. — H. Bourget : 
Sur le théorème de Poisson. 

Annali di Matematica pura ad applicata. Directeurs: L. Bianchi, O. Dim. 
G. Jung. C. Segre. Série III. T. XI. Rebeschini di Turati e C Milan. 

Fasc. 1 (novembre 190»). — Lovett : Singular trajectories in the res- 
tricted problem of four bodies. — Teixeika : Sur la théorie des cubiques 
circulaires et des quartiques bicirculaires. — Bortoi.otti : Contributo alla 
teoria degli infîniti. — Cigala : Sopra un criterio di instabilita. — Lerch : 
Sur quelques applications des sommes de Gau^-. 

Fas. 2-3 (avril 1905). — Bianchi : Ricerche sulle superficie isoterme e 
sulla deformazione délie quadriche. — Fihini : Sulla teoria dei gruppi dis- 
eontinuti. — Frechet : Sur une extension de la méthode de Jauobi-Hamilton. 

— Calapso : Alcune superficie <li Guichard e le relative trasformazioni. 

Bolletino di Matematica. Diretto dal Dott. H. Alb. Conti, via S. Stefano, 
Bologna. 

Anno III, 1904. n os 7 à 12. — Bindoni : Intorno a un principio sull' equi- 



332 BULL E TIN Bl BLIOGRA /' Il I Q UE 

valenza délie equazioni. — Bonfantim : Sul concetto di infinito in Matema- 
tica elementare. — Di T)ia : Sull algoritmo algebrico. — Ciiiaki : Lo studio 
dei teoremi. — Bottari : Alcune osservazioni sul concetto <li radiée quadrata 
in Aritmetica pratica. — Mancinelli : Queslioni e proposte varie di termi- 
nologia e di metodb (Aritmetica pratica). — Catanta : Appunti sulla Geo- 
metria elementare di G. Yeronese. — Conti : La récente riforma délia Scuola 
Classica. — Nuovi Programmi di Matematica per i Ginnasi ed i Licei. — 
Bi ma : A proposito di una proposta per 1 insegnamento délia Geomelria 
nelle Scuole Medie Inferiori. 

Anno IV, 1905, n os 1 à 4. — Amaldi : Dimostrazione secondo Max Di -.nx 
délia impossibilité di decomporre in générale due poliedri di ugual volume 
in parti poliedriche soprapponibili. — Arzela : Numeri irrazionali. — 
Bindoni : Intorno a un metodo di trattazione délia teoria dei numeri reali. — 
Ciamberlini : Sui problemi di geomelria elementare. — Mortara : Un quesito 
comparative circa le annualità. — Volpi : Sull' insegnamento délia « Geo- 
metria sperimentale induttiva ». — Rozzolino : Nota di Geometria elemen- 
tare. — Ciamberlini : Sull ordine che si puô seguire in una scienza di ragio- 
namento e in particolare nella Geomelria elementare. — La Marca : Sulle 
equazioni di 2.° e 3.° grado. 

Sugli ultimi Programmi di Matematica per le Scuole classiehe (A. Natucci). 

Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, publiés par les se- 
crétaires perpétuels. Gaulhier-Villars, Paris, 1905. T. CXXX. 

2 janvier 1905. — Fréchet : Sur les fonctions limites et les opérations 
fonctionnelles. — S. Lattiès : Sur les substitutions à trois variables et les 
courbes invariantes par une tran formation de contact. — G. A. Millek : 
Sur le nombre des sous-groupes invariants d'indice p 2 . — J. Boussinesq : 
Pouvoir refroidissant d un courant fluide sur une ellipsoïde à axes inégaux 
immergé dans ce courant. — De Sparre : Causes d'erreur dans l'établisse- 
ment de la formule de la déviation des corps. 

16 janvier. — H. Poincaré : L'extension aux hyperespaces des théorèmes 
sur la somme des angles d'un triangle recliligne. — E. Picard : Sur le 
nombre des intégrales de première et de seconde espèces d'une surface al- 
gébrique. — F. Enriqies : Sur les intégrales des surfaces algébriques. — 
Remoundos : Impossibilité d'avoir 2 v équations de la forme <j (u) = Ae a 
admettant des racines algébriques. — S. Bernsteis : Sur les équations du 
type parabolique. 

2o janvier. — S. Carrus : Conditions nécessaires pour qu'une famille de 
surfaces admette des trajectoires orlhoganales planes. — Darboux : Géné- 
ralisation des résultats de M. Carrus. — A. Bviil : Sur l'approximation des 
fonctions par des polynômes. — E. Traînard : Sur les points doubles dune 
surface du quatrième degré. — G. Castelnuovo : Sur les intégrales d'une 
surface algébrique. — Tzitzeica : Sur les équations différentielles du se- 
cond ordre renfermant un paramètre. — F. Riesz : Sur la théorie der- en- 
sembles. 

30 janvier. — E. Borel : Sur la théorie des ensembles. — Ed. Maillet : 
Les zéros des fonctions entières d'ordre infini non transfini. 

6 février : E. Maillet : Sur les solutions des systèmes d'équations diffé- 
rentielles linéaires à coefficients monodromes. — P. Fatou : Sur l'intégrale 
de Poisson et les lignes singulières des fonctions analytiques. — F. Si:vi:i;i : 
Sur les intégrales de Picard attachées à une surface algébrique. 



B U 1. L E I I N B 1 1: 1. 1 G l: A PHI Q U E 333 

13 février. — J. Hadamard : Sur les équations Linéaires aux dérivées par- 
tielles admettant le principe il ITuygens 

lu février : 1'. Du ni - Sur l( cercle de convergence de la série de Taylor. 
— A. Tzitzeica : Sur l'équation y" -\- / A [x] — o qui intervient dans le 

problème de Picard. — E. <^ n Critérium permettant de reconnaître 

qu'une fraction donnée est assez près de satisfaire •> l'équation différentielle 
v' — f(x, y). 

17 février. — <1. Carrus : Sur les trajectoires orthogonales planes d'un.' 
famille de surfaces. — F. Enriques Conditions pour qu'une surface algé- 
brique puisse être transformée birationnellemenl en un cylindre. — M. Fré- 
chei : Extension à l'espace E, des principaux théorèmes énoncés dans l'es- 
pace ordinaire. — F. Fatoi : Sur la convergence d'une série de Taylor. 

6 mars. — (i. Darboux : Sur une certaine famille <Je surfaces. 

13 mars. — (i. Darboux : Surfaces applicables sur la paraboloïde de ré- 
volution. — P. Painlevé : Sur le frottement de glissement. 

20 mars. — M. Fréchet : Sur les opérations fonctionnelles dans un en- 
semble compact et fermé. 

3 avril. — E. Picard : Sur la dépendance entre les intégrales de différen- 
tielles totales de première et de seconde espèce d'une surface algébrique. — 

Fr. Severi : Le théorè d'Abel sur les surfaces algébriques. — M. Bôcher : 

Sur les équations différentielles linéaires du second ordre a solution pério- 
dique. — E. Traynard : Sur une surface hyperelliptique. — Eue et Fr,. Cos- 
SERAT : Sur la dynamique du point et du corps invariable dans le système 
énergétique. 

10 avril : Eug. Fabry : Sur le genre des fonctions entières. — P. Zervos : 
Sur le problème de Monge. — Belzecki : Sur l'équilibre d'élasticité des 
voûtes en arc de cercle. 

17 avril. — M. Mason : Sur l'équation différentielle v" -j- / A [x] v = ". — 
R. Lioivilii • Sur la relation qui existe entre la vitesse de combustion 
des poudres et la pression. — Pigeaud : Arcs associés à des longerons par 
des montants verticaux articulés 

8 mai. Alph. Demoulin : Sur les surfaces de Yoss de la géométrie non-eu- 
clidienne. — Ed. Maillet : Sur l'équation indéterminée ,r a -\- v a — bz 11 . — 
G. Rémoundos : Sur quelques points de la théorie des nombres et de la 
théorie des fonctions. 

15 mai. — C. Stéphanos : Sur les forces à trajectoires coniques. 

22 mai. — H. Lebesgl k : Sur une condition de convergence des séries de 
Fourier. — E. Ylssiot : Sur les courbes inhuma. 

29 mai. — R. de Montessus : Sur les fractions continues algébriques de 
Laguerre. — S. Bernsti in : Sur les équations dérivées partielles du type 
elliptique. — M. Kraise: Sur l'interpolation des fonctions continues par 
des polynômes. 

5 juin. — A. Demoulin : Principes de géométrie anallagmatique et de 
géométrie réglée intrinsèque. — H. Poincaré: Sur la dynamique de l'électron. 

1<< juin. — L. Raify : Sur la recherche des surfaces isothermes. 

Nieuw Archief voor Wiskunde, revue publiée par la Société scientifique 
d Amsterdam et dirigée par J.-C. Kxuyver, D.-J. Kokteweg, et P. -H. 
Schoiti . >" série, VI. 3 me et i 1,,L - fasc. ; Dclsman et Noltbenius, Amsterdam. 

Nyt Tidsskrift for Matematik, revue dirigée par C. Juei et V. Tbji r : série 
A. 15 me année, 1904 ; série 11. \.5 me année, 1904, L. Jorgensens, Copenhague. 



334 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Paedagogisches Archiv. Monatsheft Fur Erziehung und Unterrichl an Hoch- 
Mittel- und Volksschiîlen, herausgegeben von Prof. D 1- L. Freytag. 46. 
Jahrg., 1904 ; Fr. Vieweg und Sohn, Braunschweig. 

Periodico di Matematica per l'Insegnamento secundario ; Diretto dal Prof. 

G. Lazzeri. Série in, Vol n. Raffaelo Guisti, Livornq. 

Fasc. 3 (Nov.-Déc. 1904). — M. Cipolla : Teoria dei numeri complessi ad 
n unità. — A. Calegori : I determinanti di ordine infinito et di specie su- 
periore. — R. Marcolongo : Per il quarantesimo d'insegnamento di « Giov. 
Garbieri ». — E. Piccioli : Distanze di alcuni punli uolevoli nel tetraedro. 

— Ascoli : Sui numeri primi. — Lazzarini : Ricerche sopra una nuova 
espressione di jr in funzione di soli numeri primi, e sulla fattoriale di un 
numéro. — R. Occhipinti : Su alcuni determinanti di funzioni composte. 

Fasc. 4 (Janv. -Février 1905). — G. Lazzeri : Sull utilità ed importanza 
délia slorïa délie matematiche. — Cipolla : |suite du mémoire du fasc. 3|. 

— R. Occhipinti : Equazioni a radici in progressione geometrica. — E. Pic- 
cioli : Contributo alla « Geometria récente del triangolo sfèrico ». 

Supplemento al periodico di Matematica . Anuo vin, fasc. 1 à o, Nov. 190'i- 
Janv. 1905. 

Rendiconti del Circolo Materna tico di Palermo. Direttore G.-B. Guccia. 

T. XIX, 1905, Fasc. 1-6. 

Bagnera : I gruppi finiti di transformazioni lineari dello spazio che con- 
tengono omoliogie. — Amato : Sul sistema di due intégrait' primi comuni ad 
una classe di problemi. — Orlando : Sopra alcune funzioni analoghe alla 
funzione di Green per un parallélépipède rettangolo. — Orlando : Sulla 
deformazione di un solido isotropo limitato da due piani paralleli, per ten- 
sioni superficiali date. — Orlando : Idem : Nota addizionale. — Segre : La 
Geometria d'oggidi e i suoi legami collAnalisi. — Maki.etta : Sulle curve 
razionali del quinto ordine. — Marletta : Distanza ed angolo di enti com- 
plessi. — Nielsen : Sur quelques applications intégrales d une série de 
coefficients binomiaux. — Zakemba : Contribution à la théorie d'une équa- 
tion fonctionnelle de la Physique. — Marcolongo : Le formule de Saint- 
Venant per le deforinazioni finite. — Schoute : Le moment d'inertie d'un 
simplexe S[n -\- Il de 1 espace E n par rapport à un E n — l de cet E n - — 
Sink.allia : Sugli invarianti differenziali. — Montessls de Ballore (de) : 
Sur les fractions continues algébriques. — Sbrana : I sislemi ciclici nello 
spazio euclideo ad // dimensioni. — Guldberg : Sur les communs multiples 
des expressions linéaires aux différences finies. — Torelli iR.) : Sulle inv'o- 
lu/.ioni irrazionali tielle curve perellittiche. — Cantor (G.) : Ein Brief von 
Cari. Wkiekstrass ùber das Dreikorperproblem. — Pompeiu : Sur l'extension 
du théorème des accroissements finis aux fonctions analytiques d'une variable 
complexe. — Berry : Note sur une formule de M. Schoute. 

Parte seconda, biblioteca matematica : Repertorio Bibliogramco délie 
Scienze Matematiche in Ilalia : R. Accademia délie Scienze di Bologna (1731- 
1889) m' i053-4351). 

School Science and Mathematics, a Journal for Science and Mathematics 
Teachers in Secundary Schools ; Vol. V, 1904. — Départemental Editors : 
Biologie, O.-W. Caldwell ; Chemistry. A.-L. Smith; Earth Science, 
C.-E. Peet ; Mathematics ami Astronomie, G.-\Y. Myers ; Metro.logy, 
R.-P. Williams: Phvsics, W'-E. Tower. — Smith ex Turlon, Chicago. 



/; //./. E / / .v S I n 1. 1 G R APHIQl l 

Wiskundig Tijdschrift onder Redactie van l'.-.l . Vaes, Chr. Kredij i N. Quiki 
Eerste Jaargang, 1904-1905. — Blom & Olivierse, Gulemborg. 

Zeitschrift fur das Realschulwesen , herausgegeben von Em Czubef 
Ad. Bechtei and Mor. Gloser. XXX. Jahrg., L905 ; AH. Hôlder, Wien 

N° I. — •). Pollak : Z h f Théorie der abwickelbaren Fliichen. — Rich. 
Sûppantschitsch : Bemerkung zu den ebenen Schnitten bei Kegeln zweiter 
( Irdnung . 

N° 2. — V. Koiiai r : Zur Trisektion rincs Winkels. — f Fr. Haluschka: 
Eine Aufgabe âber die orthogonale Projektion des Kreises. 

X" :!. — H. Seidleb : Die Verwendung des Kruramungsradius im Mittel- 
schulunterricht. 

No 4. — .1. Arbes : Sollen vierstellige -Logarithmen an den ôsterr. Miltel- 
schulen eingefûhrt werden .' — Sertic : Ein geometrisches Problem. 

X° 5. — L. Tesar : Zur Frage der Behandlung der [nfinitesimal Bechnung 
im Mittelschulunterrichte. 

No f>. — H. Kleixpetek : Ueber den BegrifF der Kraft. — F«. Kirchberger : 
Zur Behandlung der gemeinen Bruche auf der untersten Stufe der Mittel- 
schule. 

Zeitschrift fur Mathematik und Physik, herausgegeben von R. Mehmki 
u. C. Runge. — 51. Band, 190i. B.-G. Teubner, Leipzig. 

M. Baroni : Untersuchung der Festigkeit von Eisenbetonbauten. — M. 
Disteli : Ueber instantané Schraubengeschwindigkeiten und die A erzahnung 
der Hyperboloidrâder. — L. Erményi : Petzvals Théorie der Tonsysteme. — 
Yiktor Fischer : Eine Analogie zur Thermodynamik. — E. H.xntzschel : 
Neuer Beweis einer Grûnertschen Formel der Karteneutwurfslehre. — Hahn, 
Herglotz u. Schwarzschild : Ueber das Strômen des Wassers in Rôhren 
und Kanalen. — Hfnnebkkg : Zur Torsionsfestigkeit. — Henneberg : Ueber 
einige Folgerungen, die sich aus déni Satze von Green fur die Torsion von 
Stâben ergeben. — Ad. Kneser Ein Beitrag zur Théorie der schnelllaufen- 
den elastischen Welle. — Lîjdwig : Die biometrische Analyse einer Pflanzen- 
species. — Mohr : Ein Beitrag zur Kinematik ëbener Getriebe. — Ronge : 
Ueber die Formiinderung eines cylindrischen "^ asserbehalters durch den 
Wasserdruck. — Bemerkungen ûber Hennebérgs Aufsatz « Zur Torsions- 
festigkeit ». — G. Scheffers : Ueber ein Problem. das mil der Théorie der 
Turbinen zusammenhângt. — Fr. Schilling: Ueber neue kinemat. Modelle 
zur Verzahnungstheorie nebst einer geoin. Einfùhrung in dièses Gebiet. — 
Schnôckel : Verwandlung der Polygone in Dreiecke von gleichem Moment 
beliebigen Grades. — Stackel : Ueber das Modell einer Flâche drilter 
Ordnung. die das Verhalleu einer krummen Flache in der Nahe eines para- 
bolischen Punktes darstellt. — Trotzewitsch : Zur Frage ùber das aplana- 
tische System. 

Zeitschrift fur mathematischen u. naturw. Unterricht, herausgegeben von 
Dr. H. Schotten. — 35 u. 36. Jahrg., 1904 u. 1905; B. G. Teubner, Leipzig. 

N os 6. 7 et 8 (1904). — O. Lesser : /.-Kurveu gegebener Grundkurven 
und ihre Benutznng bei «1er Konstruktion von Normalen und Tangenlen. — 
E. Lampe : Ueber den Begriff « Logarilhmus einer Zabi fur eine Basisl». — 
A. Pleskot : Bemerkung zur goniometrischen Lôsung der quadralischen 



336 BULLETIN BIBLIO G R A P II I Q UE 

Gleichungen. — A. Pi.eskot: Ueber die Berechnung der Parabelflâche. — 
C. Hildebraxdt : Erzeugung konfokaler Kegelschnitte mit Hilfe des Dande- 
linschen Satzes. 

Kleine Mitteil. — Literarische Berichte. — Padag. Zeitung. 

N os 1, 2 et 3 (1905). — M. Nàth : Zur Methodik des geometrischen An- 
fangs-Unterricht. — Birkuardt : Wie man vor Zeiten rechnete. — W. Kn.- 
ling : Eine elementare Behandlung der Polarentheorie fur den Kreis. — 
E. Eckhardt : Ueber Dreiecke, in denen « 4 = /> 4 + c 4 . — K. IIagge : Ueber 
Umkreise u. Transversalen des vollstiindigen «-seits. — K. Kruse : Die 
unendliche geometrische Reihe. 

Kleinere Mitteilungen. — Literarische Berichte. — Piidag. Zeitung. 

2. Livres nouveaux : 

Catalogue international de la littérature scientifique, publié par une 
une Commission internationale sous la direction de H. Forster Morle>. 
Première année : 17 volumes en 21 fascicules. Fascicule A : Mathématiques. 
— 1 vol. in-8°, 201 p.; prix : 18 fr. 75; Gauthier-Villars, Paris 

P. Appell et J. CuAppus. — Leçons de Mécanique élémentaire à l'usage 
des élèves des classes de mathématiques A et B, conformément aux pro- 
grammes du 31 mai 1902. — 1 vol. in-16. 306 p.; prix : 4 fr.; Gauthier-Vil- 
lars, Paris. 

P. Bachmann. — Zahlentheorie. Fûnfler Teil : Allgemeine Arithmetik der 
Zahlenkorper. — 1 vol. in-8°. XXII-5 »8 p.: prix : 16 Mk. ; B. G. Teubner. Leipzig. 

M. Chim. — Corso spéciale di Matematiche ron numerose applicazioni. 
ad uso principalmente dei Chîmici e dei Naturalisli. — 1 vol. in-8°, X-295p.; 
prix : L. 3,80; Raff. Guisti, Livourne. 

L. Couturat. — L'Algèbre de la Logique. — l vol. in-8° écu, cart., 100p.; 
prix ; 2 fr.; Collection Scientia; Gauthier-Villars, Paris. 

Gust. Jager. — Theoretische Physik. II Licht und Wàrme, 153 p.; III 
Eleklrizitiil u. Maguetismus, 149 p.; dritte, verbesserte Auflage (Sammlung 
Gœschen), — 2 vol, cart à 80 pf. le volume, G. J. Gœschen, Leipzig. 

Fr. Junker. — Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differential- 
rechnung. Zweile, verbesserte Auflage (Sammlung Gœschen). — 1 vol. 
cart., 129 p.; prix : 80 pf. ; G. J. Gœschen, Leipzig. 

Erxst Lindelôf. — Le calcul des Résidus et ses applications à la théorie 
des fonctions (Collection de monographie sur la théorie des fonctions, pu- 
bliée sous la direction de E. Borel). — 1 vol. gr. in-8°, VII-I44 p.; prix : 
3 fr. 50; Gauthier-Villars, Paris. 

W. Fkamz Meyir. — Differential u. Integralrechnung. II. Band. Integral- 
rechnung (Sammlung Schubert). — 1 vol. in-8 f \ cart., XVI-444 p.; prix : 
10 Mk.; G. J. Gœschen, Leipzig. 

R. de Montessus de Ballore. — Sur les fractions continues algébriques. 
(Thèse de doctorat, Paris.) — 1 fasc. de 75 p., extrait des Rendiconti dcl 
Circolo mat. di Palermo. Librairie Hermann, Paris. 

M. S\i.v.w>okj. — Esposizione délia Teoria délie somme di Gauss e di al- 

cuui teoremi rli Eisenstein. (Thèse de doctorat, Fribourg, Suisse.) — 1 fasc. 
de 116 p.; Fratelli Nistri, Pise. 

H. Schubert. — Beispiel-Sammlung zur Arithmetik. Dritte, durchsehene 
Auflage i Sammlung G te si: lie ni: — 1 vol. cart., 147 p.; prix : 80 Pf.; G. J. 
( rœschen, Leipzig. 



LA FETE DU SOLEIL' 

Extrait du discours de M. C.-A. Laisant. 



On raconte que jadis, à l'époque brillante de la Revue des 
Deux-mondes, Buloz reçut un jour la visite d'un jeune au- 
teur, porteur d'un volumineux manuscrit. — « C'est un ar- 
ticle philosophique auquel j'ai donné tous mes soins. » — 
« Sur quoi? » interrogea Buloz? — « Sur Dieu. » — « C'est 
un sujet qui manque d'actualité », répondit le célèbre direc- 
teur. 

Beaucoup de gens estiment sans doute que le Soleil, lui 
aussi, manque d'actualité; ils sont même en droit de trouver 
que ses adorateurs doivent finir par l'importuner. Les astro- 
nomes le mesurent, les mathématiciens le soumettent au cal- 
cul, les poètes le chantent; on observe ses éclipses, on 
compte ses taches, on examine de près ses protubérances. Il 
n'a pas un instant de tranquillité. C'est un souverain que ses 
sujets persécutent, un père de famille obsédé par ses en- 
fants. Je suis porté à croire, cependant, que dans son hu- 
meur calme et bonne, tout cela lui est bien égal, et qu'il n'en 
déversera pas sur nous un rayon de moins de sa bienfaisante 
lumière et de sa chaleur féconde. 

Célébrer le Soleil comme nous le faisons, ce n'est pas res- 
taurer je ne sais quelle antique idolâtrie grossière; c'est, on 
vous l'a dit, célébrer la nature sous la forme moderne ; la na- 
ture conquise chaque jour un peu davantage, nous livrant. 



1 Extrait du discours prononce par M. Laisant, ,t la Fête du Soleil célébrée le 21 juin I 
Paris, par la Société astronomique de France, ■< l'Hôtel des Sociétés savantes, sous la prési- 
dence de M. Janssen, membre de l'Institut. 

L'Enseignement mathém. , 7 e année ; 1905. 2:! 



338 C.-A. LA ISA NT 

pour prix de nos efforts incessants, une toute petite partie 
de ses secrets, et nous permettant ainsi d'accroître un peu 
le bien-être moyen de l'humanité, en même temps que le 
champ d'action de la science. 

Ces fêtes civiles sont bonnes et saines. Elles ne sauraient 
froisser aucune conviction, aucune croyance sincère ; et elles 
sont pour nous une occasion de parler des choses terrestres, 
de revenir du ciel à notre petite planète et de travailler à la 
rendre progressivement plus habitable, en rendant les es- 
prits moins enténébrés. 

Si nous pouvions admettre qu'il y eût à la surface du So- 
leil des êtres organisés, capables de résister à sa tempéra- 
ture, doués de sens assez perfectionnés pour voir et enten- 
dre ce qui se fait et ce qui se dit sur notre petite boule de 
poussière, et doués de raison, nous serions en droit de nous 
demander ce qu'ils peuvent bien penser de nous. 

Rien que depuis une année, à quelles réflexions étranges 
aurait été livré l'esprit de cet observateur hypothétique ! 
Que de questions il a dû se poser, et presque toutes sans 
réponse ! 

Comment, voilà un globe minuscule, couvert sur sa sur- 
face de nombreux millions d'animalcules d'espèce raison- 
nante. Ces sortes de microbes, une partie d'entre eux au 
moins, sont parvenus par leur industrie à faciliter leurs moyens 
de communication et à accroître leurs moyens de pro- 
duction. Le sol qu'ils habitent peut fournir largement à leur 
subsistance et à leur bien-être. Bref, ils possèdent tous les 
éléments de cette chose relative et indéfinissable qu'on ap- 
pelle le bonheur. On devrait s'attendre à les voir unis entre 
eux, tout au moins calmes et paisibles, poursuivre tranquil- 
lement l'œuvre à laquelle la nature semble les avoir desti- 
nés. 

Or, c'est tout le contraire qui se produit. En lutte perpé- 
tuelle dans leurs groupements partiels et d'un groupement à 
un autre, ils cherchent réciproquement à se nuire, à s'oppri- 
mer, à se massacrer; ils rougissent de leur sang les plaines 
et les mers, et de tant d'assassinats ces bêtes malfaisantes 
tirent vanité, appelant cela de la gloire ! Et parmi les vicli- 



LA FÊTE I) ! SOL E II. 339 

mes, pas une sur dix ne sait pour quelle cause on la con- 
duite à tuer et à se l'aire tuer ! 

Camille Flammarion, savant double d'un porte, disait dans 
sa conférence, avec grande raison, que l'étude de la nature 
nous montre de l'intelligence dans l'univers, et son imagi- 
nation chaude et généreuse lui faisait ajouter que la marche 
de l'univers représente 'une œuvre intelligente. 

Pour l'honneur des mondes étoiles, je ne veux pas, comme 
contre-partie, croire à l'universelle bêtise, et j'y serais con- 
traint pourtant, si j'assimilais à la Terre les astres innom- 
brables qui planent dans les profondeurs de l'espace. 

C'est d'ailleurs une grande satisfaction pour moi de me 
trouver en complète conformité d'idées, sur le point qui nous 
occupe, avec notre sympathique astronome. Dans son ou- 
vrage Dans le Ciel et sur la Terre, remontant à une ving- 
taine d'années, il a consacré un chapitre à « la Bêtise hu- 
maine », cet inépuisable sujet, dont il se contente d'étudier 
une des faces. 

N'allez pas vous imaginer que ces tristes constatations 
auxquelles ma raison m'oblige cachent une pensée de pessi- 
misme et de misanthropie. Pour m'expliquer sans trop d'obs- 
curité, il faut que je revienne à une thèse qui m'est chère, et 
que j'ai souvent produite par la parole et par la plume. Vous 
me le pardonnerez ; le droit de rabâcher est l'un des privilè- 
ges de l'âge. Et d'ailleurs, à ceux qui me le reprocheraient, 
ne pourrais-je pas répliquer, comme Pierrot dans Don Juan : 
« Je dis toujours la même chose parce que c'est toujours la 
même chose ». 

A mes yeux, le mot de civilisation, dont on use et abuse, 
est à peu près vide de sens. L'humanité, au point de vue cé- 
rébral et moral surtout, est encore en pleine barbarie, el 
l'homme le plus raffiné diffère à peine de son ancêtre des ca- 
vernes. Et j'ajoute que cela s'explique très naturellement 
par ce fait que le monde — j'entends le monde humain — 
qu'on se plaît si souvent à dire vieux, est encore dans la pé- 
riode de la première enfance. 

Sans que nous puissions avoir des données précises â ce 



340 C.-A. LAI S A NT 

sujet, la géologie et la biologie concordent à nous faire ad- 
mettre que l'apparition de l'espèce humaine sur la Terre re- 
monte à quelques centaines de milliers d'années tout au 
plus. 

D'autre part, nous sommes séparés de l'époque où le re- 
froidissement solaire rendra la vie impossible pour l'homme 
par une durée de vingt à trente millions d'années, comme 
Flammarion l'indiquait dans sa conférence de l'année der- 
nière. 

Si nous rapprochons ces deux données approximatives, en 
comparant par la pensée la vie de l'humanité à la vie nor- 
male moyenne de l'un de nos semblables, l'espèce humaine 
actuelle peut être assimilée à un enfant âgé d'un an, de dix- 
huit mois peut-être. Comme il arrive pour l'enfant, elle pro- 
gresse chaque jour ; mais, quant à présent, quelle raison pou- 
vons-nous en attendre? Comment nous étonner de ses pué- 
rilités, de ses aberrations, de ses contradictions, de ses ca- 
prices et de ses colères? Elle n'a pas pris jusqu'ici possession 
d'elle-même. 

Toujours comme il arrive chez le petit enfant, l'homme 
d'aujourd'hui, à peine sorti de la première période, où la sa- 
tisfaction des besoins essentiels de la vie s'imposait seule, 
tente un commencement d'association d'idées, regarde, cher- 
che à comprendre, prend goût aux jouets qu'il tient entre 
les mains. Ces jouets, ce sont les merveilles de notre indus- 
trie moderne ; ces tentatives premières d'une intelligence 
vague et obscure, ce sont nos sciences actuelles, dont nous 
tirons vanité d'une façon risible. 

C'est ainsi, mes chers collègues, qu'à propos du Soleil, de 
sa grandeur, de sa durée, nous sommes invités à prendre 
une plus juste idée de notre minuscule planète, et de notre 
humanité estimée à son âge véritable. 

Certes, il y a une différence marquée, un progrès impor- 
tant qui s'est accompli, si nous ne jetons nos regards qu'en 
arrière ; et en ce sens, il serait inexact de dire que la civili- 
sation n'est qu'une chimère et une vaine apparence. Mais en 
faisant la comparaison avec l'avenir, l'avenir inévitable, né- 
cessaire, on doit reconnaître que ce qui a été fait ne compte 



LA FÉ TE DU SOLEIL 341 

pas, <Mi regard de ce qui doit être l'ait, de ce qui s<t;i fait, 
par la force des choses. 

Rien que dans le domaine de la science, nous sommes très 
fiers de ce que nous connaissons, sans nous rappeler que le 
rapport de nos connaissances a nos ignorances est et sera 
toujours nul, et sans entrevoir que le rapport de nos connais- 
sances actuelles à nos connaissances futures est extraordi- 
nai renient petit. 

Bien des penseurs ont été frappés de cette contradiction 
entre les prétentions orgueilleuses de l'homme prétendu ci- 
vilisé, et les criminelles sottises dont il donne des preuves 
quotidiennes. C'est peut-être Jean-Jacques Rousseau qui a le 
plus éloquemment mis cette contradiction en lumière. Mais 
son génie paradoxal le portait à préconiser, sous le nom de 
retour à la nature, un retour en arrrière dont le moindre dé- 
faut est l'impossibilité. Est-ce guérir un enfant malade, que 
de lui conseiller de revenir au lendemain du jour de sa nais- 
sance ? 

Le retour à la nature ! Comme si nous ne lui appartenions 
pas, bon gré mal gré ! Comme si nous pouvions échapper 
à ses lois ! Comme si nous n'étions pas condamnés, par le 
seul fait de notre existence, à lui arracher péniblement 
chaque jour de ses secrets ce que nous pouvons, pour profi- 
ter de ses bienfaits et nous préserver des dangers dont elle 
nous menace. 

Ce que je vois de consolant dans cette doctrine, c'est 
qu'elle me révèle une humanité grandissante, perfectible, 
destinée à une amélioration progressive pour bien des mil- 
lions d'années, et séparée par plus de temps encore de 
l'époque où pourra commencer la décrépitude. 

Il m'est impossible d'adhérer à la définition ; l'homme est 
un animal raisonnable. Mais je dis : l'homme est un animal 
capable de raisonner et qui raisonnera un jour. Et ma con- 
viction profonde, c'est qu'aux yeux de cet homme arrivé à la 
maturité, nous apparaîtrons, s'il a quelques documents sur 
notre histoire, non pas comme nous apparaissent les troglo- 
dytes ou les nègres anthropophages, mais fort au-dessous ; 
nous produirons sur lui, au point de vue de la culture mo- 



342 C.-A. LAIS AN T 

raie, à peu près l'effet que produit sur nous le gorille ou le 
chimpanzé. 

( > ni , elle est inévitable, progressivement, la venue de ce sur- 
homme, mais non pas selon la conception monstrueuse de 
Nietzsche, qui en taisait un oppresseur de ses semblables, 
dans l'hvpertrophie d'un orgueil qui le conduisit à la folie. 
Ce surhomme de l'avenir sera l'espèce humaine entière, di- 
versifiée dans les individus, mais unie, associée, éprise de 
beauté, de vérité, de justice, et poursuivant sa destinée na- 
turelle sous les rayons, à peine affaiblis, du même Soleil qui 
éclaire aujourd'hui notre globe. 

Avant même cette époque, lointaine encore, comme en 
moyenne nous sommes un peu moins stupides que nos pè- 
res, et comme nos enfants seront moins stupides que nous, 
de nouveaux progrès s'accompliront, inévitables. Demain, 
— j'entends, par là, avant dix siècles — l'humanité aura pris 
possession des deux pôles. C'est une conquête prochaine, 
presque imminente, en ce qui concerne la région arctique, 
comme nous le montrait tout récemment, ici même, mon 
vieil ami M. Schrader, dans une communication des plus re- 
marquables. Pour employer sa belle expression, si juste, 
cette conquête sera, non pas internationale, mais superna- 
tionale, et produira des résultats immenses dont bénéficiera 
toute l'espèce humaine. C'est alors qu'on pourra commencer 
utilement le siège méthodique du pôle antarctique. 

En ces deux points, je vois établis deux observatoires lar- 
gement pourvus et aménagés. Alors il y aura lieu d'insti- 
tuer, non plus une, mais quatre fêtes du Soleil. 

Celle qui nous réunit aujourd'hui conviendra encore à no- 
tre hémisphère. Celle du solstice d'hiver, qui pourrait être 
célébrée dès maintenant, marquera pour nos confrères des 
antipodes le plus long jour de l'année. 

Mais de plus, à l'équinoxe du printemps, quel spectacle au 
pôle nord, sera le lever du Soleil apparaissant pour la pre- 
mière fois après six mois de nuit, et faisant le tour entier de 
l'horizon ! Et il en sera de même au pôle sud, vers le 21 sep- 
tembre, à l'équinoxe d'automne. 

Naturellement, quelques heures suffiront alors, d'un point 



CALCULAT I. l II s /. \ I II . / II D I \. 1 1 II E S 3 V.\ 

quelconque <1<' la Terre, pour faire le voyage. Et j'aperçois 
plusieurs milliers d'intrépides délégués de la Société Astro- 
nomique mondiale, ne redoutant pas la fraîcheur de la tem- 
pérature, réunis fraternellement sur la plate-forme de l'ob- 
servatoire polaire, applaudissant à l'apparition des premiers 
rayons du Soleil, et devisant des choses terrestres, avec 
moins de tristesse que nous ne sommes obligés de le faire 
aujourd'hui. 

En saluant dès à présent ces solennités scientifiques futu- 
res, je veux encore garder l'espoir qu'on n'y montrera pas 
trop d'ingratitude pour les ancêtres de l'époque barbare, et 
qu'on y conservera pieusement le souvenir de noms tels que 
ceux de Flammarion, de Janssen, de Poincaré. Ceux-là, dès 
aujourd'hui, ont droit, avec toute la légion des hommes de 
science et de travail qui préparent l'avenir, à la reconnais- 
sance et à l'affection de leurs contemporains. En les accla- 
mant avec moi, vous acclamerez à la fois la science et l'hu- 
manité présentes, dont ils sont la gloire, et l'humanité future 
plus éclairée, dont ils auront été les précurseurs. 



METHODES EMPLOYEES 
PAR LES CALCULATEURS EXTRAORDINAIRES 

POUR RÉSOUDRE LES PROBLÈMES COMPLIQUÉS 



Le nombre peut être considéré ou bien dans son rapport 
avec d'autres nombres, ou bien en lui-même, comme étant 
entièrement indépendant des autres nombres, et appartenant 
à une suite indéfinie de nombres entiers et fractionnaires, 
disposés dans l'ordre de leurs grandeurs relatives. 

Cette suite peut être nommée «indéfinie», parce qu'elle 
est infinie, non seulement dans son prolongement, mais aussi 
dans chaque intervalle compris entre deux nombres quelcon- 
ques. On peut dire de même que, dans le second cas. le nom- 



34'* V. BOB YN/N 

bre est envisagé dans son être individuel, tandis que dans le 
premier cas, il peut être envisagé dans sa connexion avec 
d'autres nombres. 

Cou formé m enta ces deux manières d'envisager le nombre, 
il existe deux méthodes pour le déterminer. Le nombre peut 
être trouvé, ou bien comme résultat de son expression en 
d'autres nombres donnés suivant les caractères qui le lient 
avec ceux-ci, ou bien comme un membre d'une suite indéfi- 
nie, selon le caractère qui le distingue de tous les autres 
nombres. 

D'après ce qui précède, on voit que la seconde méthode 
peut être appelée méthode de distinction, et la première mé- 
thode d'expression du nombre en d'autres nombres. 

En déterminant le nombre d'après la méthode de distinc- 
tion, l'homme procède de la même façon qu'en cherchant un 
objet parmi d'autres, se laissant guider par le caractère essen- 
tiel de cet objet. Le problème de détermination d'un nombre 
se rapproche ainsi d'une énigme. 

Donc, en employant la méthode de distinction, la première 
chose qui dans la pratique se présente à notre esprit c'est 
l'essai. 

Guidés d'un côté par les traits caractéristiques du nombre 
cherché et de l'autre par notre connaissance de quelques-uns 
des nombres nous essayons de le trouver parmi les nombres 
connus, nous servant pour cela de la comparaison des traits 
dislinctil's de ceux d'entre eux que nous choisissons avec les 
traits identiques du nombre cherché. 

A ut rement dit, nous contrôlons les essais par les conditions 
du problème. 

Cette l'orme de la méthode de distinction se nomme mé- 
thode d'essai ; et c'est la seule qui, jusqu'à présent, a été em- 
ployée. Oubliée par la science, cette méthode est très répan- 
due parmi ceux qui n'ont pas reçu d'instruction, comme le 
prouvent les observations faites sur les calculateurs extraor- 
dinaires, tels que Inaudi, Iwan Petroff. 

Elle était plus en faveur encore dans lantiquité, où non 
seulement la science l'adoptait, mais encore la faisait concou- 
rir à son développement. 



CALCUL A TE UR S E X II! . I <) II DINAI R E S 845 

Par l'étude de sa. nature et de ses propriétés, elle devient 
très importante pour la méthodologie mathématique et sur- 
tout pour son histoire. 

Les matériaux principaux, et presque uniques dont nous 
disposions encore pour cette étude, ce sont les problèmes 
posés aux calculateurs extraordinaires. 

Parmi les problèmes posés à Ivvan Petroffparle Prof.Péré- 
vostchikoff sur l'équation du 2° degré, on trouve le sui- 
vant : 

« On a acheté quelques ponds de sucre pour Ï6Q roubles; 
« si pour la même somme, on eût acheté o ponds de plus. 
« chaque pond aurait coûté 3 roubles de moins; combien de 
« sucre a-t-on acheté.' 

Le Prof. Pérévostchikoir remarque ce qui suit à propos de 
la manière dont Iwan Petroff a résolu ce problème : 

« Au premier moment cette question parut troubler l'en- 
fant ; il se balança d'abord sur ses hanches, tourna la tête à 
plusieurs reprises, puis resta immobile et s'écria tout d'un 
coup: « Vingt ponds ! » Tout ce manège dura dix-sept mi- 
nutes. » 

« Frappé de l'exactitude de ce résultat exigeant la résolu- 
tion d'une équation de second degré, je demandai à L'enfant 
quel procédé il avait suivi pour résoudre le problème. Quoi- 
que le petit répondit assez niaisement, je pus comprendre 
qu'il avait trouvé le chiffre exacte/A examinant bien des nom- 
bres qui auraient pu satisfaire aux conditions du problème. 
Ainsi notre calculateur, outre l'esprit de combinaison qu'il 
possède, est encore doué d'une mémoire surprenante qui lui 
permet de connaître un grand nombre de chiffres. » 

D'après ces indications du procès-verbal, la marche qu'a 
suivie Petroft pour résoudre ce problème, selon la méthode 
d'essai, a pu être la suivante : Les conditions du problème, 
nous montrent tout de suite que le prix d'un poud de sucre 
ne peut être inférieur à 3 roubles. Ne sera-t-il pas de 4 rou- 
bles? 

Vérifions cette supposition par les conditions du problème. 
En admettant l'hypothèse de 4 roubles nous voyons que la 
quantité de sucre achetée se monte à 115 pouds. Si pour la 



3i6 I . BOB YNIN 

même somme on avait acheté 3 ponds de plus (118 ponds), le 
prix d'un pond aurait diminué de moins d'un rouble ( 6 /59 rou- 
ble). Doue, notre essai n'est pasjuste. 

Pour les essais subséquents, avec des nombres supérieurs à 

4, il faudra choisir ceux qui présenteront le moins de difficul- 
tés pour les vérifications suivantes: 

Ce sont dans le cas présent, les diviseurs entiers du nom- 
bre 460, c'est-à-dire 5, 10, 20, 23, etc. 

Si ces nombres n'aboutissent pas à trouver l'inconnu cher- 
ché, ils nous indiqueront en tous cas des limites plus étroites 
pour les essais suivants. La vérification des essais faits avec 
les nombres 5, 10 et 20 nous montre qu'ils restent égale- 
ment sans succès. En revanche, l'essai tenté avec le nombre 
23 nous amène directement au nombre cherché — 20 ponds 
— car la diminution correspondante du prix d'un pond est 
exactement de 3 roubles. La solution du problème est donc 
trouvée après cinq essais. Remarquons que le nombre des 
essais peut être moindre encore et réduit à trois. 

En etï'et. la diminution insignifiante du prix d'un pond de 
sucre, au premier essai avec le nombre 4 nous fait voir que 
des essais tentés avec le nombre 10, et à plus forte raison avec 

5, ne pourront nous amener à la diminution de prix relative- 
ment forte de 3 roubles par pond, indiqué par le problème. 

De tous les problèmes résolus par Iwan Petrolf, au point de 
vue de l'intérêt qu'ils présentent sur la méthode des essais, 
la seconde place appartient au problème suivant, qui lui fut 
proposé par le Conseil du Gymnase de Kostroma, et qui 
rentre dans la catégorie des problèmes se résolvant par les 
théories des équations indéterminées : 

« Combien y aura-t-il cU différents moyens de payer 78 rou- 
bles, avec deux genres de pièces : de S et de 5 roubles ? » 

Le procès verbal concernant ce problème nous apprend 
qu'Iwan Petroff le résolut par tous les 6 moyens. La condi- 
tion du problème nous amène à essayer si nous pouvons 
payer la somme au moyen d'un seul genre de monnaie. 

La vérification par les conditions du problème de l'essai 
de payer en se servant seulement de pièces de 3 roubles, 
soit la division du nombre 78 par 3, nous donne raison et 



CALCULA TEURS EXTRAORDINAIRES 347 

nous amène en même temps à l'un des moyens de résoudre 

le problème. 

La même Vérification appliquée à la pièce <!<> 5 roubles 
nous fournit un second moyen de résoudre le problème, et 
en même temps nous prouve l'insuccès de l'essai concernant 
notre tâche directe. Il s'ensuit que le nouveau moyen a un 
caractère mixte, c'est-à-dire qu'il opère le paiement avec les 
deux genres de monnaie, 15 pièces de 5 roubles et I pièce de 
3 roubles. 

Après les deux premiers succès, immédiat dans le premier 
cas, et médiat dans le second, d'autres essais sont inutiles, 
attendu que les autres moyens de paiement s'obtiennent en 
remplaçant simplement, dans une des solutions déjà con- 
nues, un groupe de pièces par un autre groupe de valeur 
équivalente. Dans la première solution, soit 26 pièces de 3 
roubles, on pourra faire 5 substitutions, en remplaçant 5, LO, 
15, 20 et 25 pièces de 3 roubles par 3, 6, 9, 12 et 15 pièces de 
5 roubles. En somme on obtient six solutions différentes, car 
la solution trouvée au moyen de la dernière substitution est 
identique à celle que nous a donnée le second essai. — Nous 
trouverons les mêmes solutions en faisant les substitutions 
correspondantes dans la solution trouvée au second essai, 
c'est-à-dire si nous remplaçons 3, 6, 9 et 12 pièces de 5 
roubles consécutivement par 5, 10, 15 et 20 pièces de 3 rou- 
bles. 

Le problème suivant, par son intérêt et par le caractère 
tvpique de sa solution, se distingue entre tous les problèmes 
purement arithmétiques : De deux espèces de thé dont l'un 
coûte 7 roubles 50 kopecks la livre et l'autre 11 roubles, il faut 
faire un mélange et savoir combien l'on doit prendre de cha- 
que sorte pour obtenir 50 livres et le vendre à 9 roubles ? 

Ce problème appartient à un genre de problèmes très con- 
nus sur la règle d'alliage de seconde espèce. D'après les mots 
du procès-verbal du Prof. Pérévostchikoff « hvan Pétroff l'a 
résolu en 8 minutes : 22 ÏÏ de thé à II rb. et 28 «' de thé à 
7 rb. 50 kop. L'inexactitude que présente cette solution est 
insignifiante Les vrais chiffres devraient être 21 15 /3ô et 
28 2 %5. » 



348 V. BOB YNIN 

La condition sous-entendue de ce problème exigeant que 
dans la vente du thé (à 9 rb. il n'y ait ni gain ni perte), exclut 
la possibilité de l'essai consistant à mélanger les deux qua- 
lités de thé en proportion égale ; elle indique clairement que 
pour ce mélange il faut prendre plus de thé bon marché que 
de thé cher. Les essais doivent donc commencer par la sup- 
position que le mélange se compose de 26 $ de thé bon 
marché et 24 ft de thé cher. La vérification nous prouve que 
cet essai est Taux, vu qu'il entraîne une perte de 9 rb. L'essai 
suivant avec 25 # et 23, n'aboutit non plus à rien, car il fe- 
rait subir une perte de 5 rb. 50 kop. L'essai avec 28 et 22 $ 
donne de meilleurs résultats ; ici la perte n'est que de 2 
roubles. Cet essai fut le dernier tenté par Iwan PetrolV. Il 
s'en est tenu là, peut-être involontairement, à la suite d'une 
faute, peut-être intentionnellement, voulant éviter d'autres 
essais qui auraient pu tirer en longueur. La tentation qu'il 
eut d'agir ainsi fut d'autant plus grande que l'examinateur et 
les personnes présentes, ne comprenant pas le fond de la 
chose et trouvant insigniliante l'inexactitude de la solution, 
se déclarèrent entièrement satisfaits. Qu'aurait dû faire Iwan 
Petroff pour obtenir une solution rigoureusement exacte. 

Puisque pour les essais subséquents, on aura affaire à des 
fractions, il est utile de remarquer qu'en les choisissant, il 
est indispensable d'observer le même principe de préférence 
des nombres les plus favorables pour les calculs, qu'on ap- 
plique, comme nous l'avons vu, dans les cas d'essais faits 
avec des nombres entiers. 

Si les fractions les plus approchantes ne sont pas en état 
de nous donner la solution cherchée, en tout cas elles nous 
conduirons au rapprochement des limites. Il faut donc com- 
mencer les nouveaux essais avec les fractions les plus sim- 
ples, avec des fractions qui aient pour numérateur l'unité. 
Le premier essai, dans ce nouveau domaine, consistera donc 
dans la supposition que le mélange contient 28 '/a ® de thé 
bon marché et 21 1 /z £ de thé cher. La vérification nous mon- 
tre que l'essai aboutit à une perte de 25 kopecks. Il est donc 
sans succès. La quantité de 28 # de thé bon marché doit 
être augmentée de plus d'une demi-livre. Les augmentations 



CALCULATEUR S E X TR A <> H 1) I N A I II E s 349 

en plus d'une demi-Kvre, pour les essais suivants, de l /s, 
*/*, ] 5, ! /*i V 7 ' V»i ' 9 < V 10 i ï/ 11 ! V 12 ^ V 13 donnent des gains 
conformes de 91 2 / 3 kopecks, 62 »/*, 45, 33 '/s, 25, 1 S 3 / 4 , L3 8 /», 
10, 6 9 /iii 4 '/e, 1 12 / 13 - Seul, Fessai d'augmenter la demi-livre 
de ! /i4, ou, ce (|iii revient au même, la composition du mé- 
lange de 28 h' */i de thé bon marché et de 21 ff 3 /7 de thé 
cher nous amène à une solution exacte. Il est clair «pie le 
nombre des essais examinés dans le domaine des fractions 
peut être considérablement diminué ; puisqu'on obtient un 
gain trop fort en augmentant la demi-livre d'un tiers, on peut 
passer immédiatement à l'augmentation de i 7, par exemple, 
ou même de '/io ou '/i2. 

On peut du reste réaliser une économie de temps et de 
travail, si tout de suite après le premier essai dans le domaine 
des nombres entiers, on remplace tous les essais suivants 
dans les deux domaines par une composition progressive des 
nombres inconnus et clierchés selon les conditions du pro- 
blème. C'est pour cette raison que, comme dans le problème 
précédent, il faut seulement remplacer consécutivement les 
parties de la grandeur approximative de celui des inconnus 
qui doit être diminué, par des parties égales, dans un certain 
sens, de grandeur approximative, de l'autre inconnu, c'est- 
à-dire celui qui doit être augmenté. Dans le cas actuel, la 
raison d'un pareil remplacement est la diminution de la perle 
de 3, 5 roubles en remplaçant une livre de thé cher par une 
livre de thé bon marché. 11 en résulte que la perte de 9 rou- 
bles obtenue au premier essai diminuera de 8 rb. 75 kop. en 
remplaçant 2 ' 2 i? de thé cher par la même quantité de thé 
bon marché. Ainsi le mélange de 21 '/a «' de thé cher donne 
une perte de 25 kopecks seulement. Remarquons ensuite que 
25 kopecks sont le 1 /u de 3.5 roubles; on trouve que le sup- 
plément au remplacement précédent, qui nous donne le rem- 
placement de 1 14 de thé cher par la même quantité de thé 
bon marché n'entraine ni gain ni perte. Le résultat de ces 
deux remplacements n'est autre chose que la réponse exacte 
du problème, déjà trouvée. 

Des nombreux problèmes résolus par Inaudi, considérons- 
en deux qui lui furent proposés par l'Académie des Scien- 



350 v. non YNIN 

ces, à Paris, le 8 février 1892: « Quel est le nombre dont le 
cube additionné à son carré donne 3600? » — Cette équa- 
tion cubique pouvait être résolue par Inaudi de la manière 
suivante : Les conditions du problème montrent que l'in- 
connue cherchée doit être plus petite que la racine cubique du 
nombre 3600. La détermination de cette racine peut donc ser- 
vir de point de départ aux essais, ou de limite supérieure, 
dans le cas présent. Attendu que les extractions des racines, 
même des degrés supérieurs, ne donnaient aucune difficulté 
au calculateur, il dut trouver aisément que la racine cubique 
du nombre 3600 est comprise entre les nombres 15 et 16. Au 
premier essai, on pouvait supposer que l'inconnue cherchée 
était 15. La vérification de cette supposition, c'est-à-dire la 
détermination de la somme du cube et du carré de 15 — con- 
firmant entièrement la supposition — montre que la solution 
obtenue par le premier essai est parfaitement juste. De sorte 
que, grâce à sa mémoire numérique prodigieuse Inaudi 
donna une réponse instantanée, au grand étonneinent des 
pesonnes présentes, qui ne comprenaient pas ce dont il s'agis- 
sait. Quelqu'un même qui se fût intéressé au succès d'Inaudi 
n'eût pu trouver de problème plus facile à résoudre, et plus 
sensationnel en même temps. La solution de ce problème, 
vu l'extraction du cube carré qui s'y fait, nous oblige à nous 
arrêter à la question des procédés employés par les calcula- 
teurs extraordinaires pour les extractions des racines. Quoi- 
que n'ayant aucune difficulté à trouver la solution des pro- 
blèmes portant sur des racines à indices les plus divers, 
Inaudi ne put donner que des réponses très évasives et in- 
complètes sur la manière dont il s'y prenait pour les résou- 
dre. D'après ce qu'il dit, on voit que pour les extractions des 
racines, il n'avait aucune méthode précise et ne faisait aucun 
calcul régulier. En faisant avec une rapidité extraordinaire 
l'élévation des nombres qu'il se représentait au degré corres- 
pondant, il arrivait enfin à découvrir parmi ceux-ci la racine 
cherchée. En vertu de ce qui vient d'être dit, il est certain 
qu'Inaudi se servait, pour l'extraction des racines, de la mé- 
thode des essais. L'adaptation de cette méthode au cas pré- 
sent devait certainement commencer par la détermination des 



CALCULA TEÏÏRS EXTRA ORDINA ÏRE S 351 

Limites entre lesquelles doivent rentrer les essais à acconv: 
plir. Le système de calcul décimal fournil, pour cette déter-^ 
mination, des indications primordiales très précieuses. Pre- 
nons comme exemple le nombre L.048.576 h tirons-en ;t 
l'aide de la méthode des essais, la racine au 5"" degré. L'élé- 
vation à ce degré «les nombres 10 et 20 donne respectivement 
I ()().()( )i) et 3.200.000. Vu <|ue le nombre donne se trouve entre 
ces puissances, elles constituent les limites qui contien- 
dront entre elles les essais suivants. Si le nombre donné se 
trouvait près d'une de ces limites, cette dernière serait la 
limite supérieure ou inférieure par laquelle devraienl com- 
mencer les essais. Mais dans le cas présent, le nombre donné 
se trouve loin de lune et l'autre puissances trouvées. C'est 
pourquoi les essais devront commencer par un nombre in- 
termédiaire qui se trouve entre leurs racines au .")""' degré, 
c'est-à-dire par le nombre 15. La vérification de cet essai 
nous montre que l'élévation réelle du nombre 15 au 5 me de- 
gré est sans succès, vu qu'elle nous donne le nombre 759.375. 
Malgré son insuccès, cet essai est. néanmoins utile, car il 
rapproche les limites des essais suivants. En vérité, il donne 
un nombre qui remplace la limite inférieure par une autre 
limite plus proche du nombre donné. Les essais suivants 
doivent donc être commencés, en vertu du principe des nom- 
bres approchants, parle nombre entier le plus voisin de 15, 
c est-a-dire i<>. La vérification de L'essai consistant dans l'ad- 
mission de ce dernier nombre comme la racine cherchée, 
confirme entièrement cette supposition et donne, dans le cas 
considéré, l'expression parfaitement juste de la raison cher- 
chée. 

Le second problème proposé a Inaudi par L'Académie des 
sciences est le suivant : Trouvez un nombre composé de i 
chiffres, dont la somme égale 25, sachant que la somme des 
chiffres représentant les centaines et les milliers est égale au 
chiffre des dizaines et que la somme des chiffres des dizaines 
et des milliers égale le chiffre des unités, en outre que les 
chiffres lus dans l'ordre inverse de récriture donnent un nom- 
bre plus grand que 8082. 

En employant la méthode ordinaire, ce problème se réduit 



352 V. BOB YNIN 

à un système de quatre équations à 4 inconnues. Voyons 
comment il sera résolu par la méthode des essais. Le plus 
proche des nombres qui satisfasse à la première condition 
du problème sera évidemment un nombre de 4 chiffres, re- 
présenté par trois nombres 6 et un nombre 7. Pour décider 
la place que peut occuper ce dernier nombre, il sutlit de se 
référer à la seconde condition du problème, qui montre que 
le chiffre des dizaines doit, en général, dépasser chacun des 
chiffres des milliers et des centaines, pris à part. Donc le 
nombre qui satisfera entièrement à la première condition, et 
partiellement seulement à la seconde, sera 6676. On peut 
accepter ce nombre comme point de départ pour les essais 
suivants, ou bien — ce qui dans le cas présent est plus facile 
— pour la formation graduelle de l'inconnue cherchée, selon 
les conditions du problème. Les moyens d'arriver à celte 
formation sont les changements faits, selon les conditions, 
dans le nombre choisi qui nous sert comme point de départ 
dans le premier essai. Pour s'approcher encore davantage 
du nombre à composer et remplir la seconde condition, les 
chiffres des milliers et des centaines ne doivent pas faire en- 
semble plus de 9; et pour atteindre définitivement pleine 
satisfaction, il faut que le chiffre des dizaines lui-même égale 
9. Diminuant en vertu de ces considérations 12, soit la somme 
des chiffres des milliers et des centaines, de 3, et prenant à 
ce dernier chiffre 2 unités pour les ajouter au chiffre des di- 
zaines, ou 7 et 1 au chiffre des unités, ou 6 on trouve l'un 
des deux nombres 4597 ou 5497, qui satisfont aux deux pre- 
mières conditions. La troisième condition, de même que la 
seconde, exige du nombre cherché que la somme des chiffres 
de ses milliers et dizaines soit inférieure à 10 et égale au 
chiffre des unités. La première de ces exigences exclut de 
tout examen le second des nombres composés tout à l'heure, 
comme ayant une somme plus grande de chiffres des milliers 
et des dizaines. Quant au premier de ces nombres, après 
avoir diminué de 4 les chiffres des milliers et des dizaines, 
il faut distribuer ce 4 entre les chiffres des centaines et des 
unités, de manière à satisfaire entièrement à la troisième 
condition sans manquer à la seconde. Pour cela, il faut dimi- 



CALCULATEURS EXTRAORDINAIRE - 353 

nuer de 3 le chiffre des milliers, et le chiffre des dizaines de 
I. et augmenter de 2 les («Mitaines et les unités. Ces change- 
ments faits, nous obtenons le nombre 17^'.». qui remplit en- 
tièrement les 3 premières conditions. La vérification <!<• ce 
dernier nombre par la quatrième condition du problème, 
soit la soustraction du nombre 178!» du nombre obtenu en 
inversant Tordre des chiffres, 9871, confirme la justesse de 
cet essai et achève la solution du problème par la méthode 
des essais. La durée de cette solution peut être beaucoup 
plus abrégée si Ton prend de suite en considération plusieurs 
conditions, et même les 3 premières ensemble. Inaudi pos- 
sédant une mémoire numérique si étonnante, et le talent 
qu'on lui prête de saisir avec une vitesse extraordinaire les 
relations existant entre les données du problème, on peut 
même s'étonner qu'il n'ait pas trouvé instantanément la so- 
lution du problème et qu'il y ait mis deux à trois minutes. 
Cet étonnement est parfaitement justifiable, en vertu de la 
soumission des conditions du problème aux lois du système 
hindou de calcul écrit, soumission qui, dans la méthode de* 
essais, est tout à fait indispensable et rend la quatrième con- 
dition absolument superflue. L'exactitude de cette remarque 
peut être facilement prouvée, soit par la méthode des essais. 
soit par les méthodes ordinaires employées dans la science. 
En effet, l'examen du nombre 178!) par la première méthode 
montre qu'il n'existe aucun autre nombre qui soit en état de 
satisfaire à la fois aux 3 premières conditions du problème. 
De même, en employant les méthodes ordinaires, en laissant 
de côté la quatrième condition, et en ajoutant du système 
des 3 équations indéterminées à 4 inconnue-. 

x -f- y + z + u = 25 
x -f y =z 

.1' -f- z =ti 

que nous obtenons des 3 premières conditions du problème 
les inégalités x < 10, y < 10, s < 10. n < 10, qui expriment 
les lois du système de calcul écrit hindou, toutes les solu- 
tions du système indéterminées seront éliminées, sauf une 
— le nombre 1789. 

L'Enseignement mathém., 7 année; 1905. 



354 V. BOB YNIN 

La description des solutions de divers problèmes à l'aide 
de la méthode d'essai nous permet de nous représenter cette 
méthode dans son aspect général. Comme nous le montre 
son nom même, elle consiste en une suite d'essais à l'aide 
desquels on tâche de parvenir à une solution aussi exacte 
que possible. Vu que, pour avoir du succès, il faut réduire 
autant que possible le nombre des essais, il est indispensa- 
ble, avant de la commencer, de déterminer leurs limites, 
inférieure et supérieure, ou les deux ensemble selon les 
conditions du problème. 

Pour le premier essai qui sert de point de départ aux autres, 
il faut prendre une de ces limites, ou bien un nombre qui 
s'en rapproche plus ou moins. En cas d'insuccès du premier 
essai, le choix des nombres pour le second se fait selon le 
principe des nombres favorables (principalement pour les 
calculs). Parvient-on, par ces essais, à la solution du pro- 
blème? ou bien, dans le cas contraire, jusqu'à quel point par- 
vient-on aie résoudre.' C'est a l'aide de la vérification du 
problème que se résout cette question. Cette vérification 
s'impose si impérieusement par la nature même de la méthode, 
qu'il est indispensable d'en parler, non seulement comme du 
moyen unique et naturel provenant des conditions de la mé- 
thode pour l'estimation des essais ; elle représente un élé- 
ment de la méthode si essentiel et si indispensable que sans 
cette estimation son emploi est absolument inadmissible. Le 
trait caractéristique de la méthode des essais, qui la distingue, 
d'une manière décisive des autres méthodes dans le même 
domaine, c'est son caractère de généralité ; vu qu'elle s'appli- 
que aux solutions des questions théoriques et pratiques et des 
problèmes les plus divers. Gràceà cette qualité importante, due 
à sa primitivité, elle est absolument exempte de tout ce qui est 
artificiel dans son origine, dérivée de la nature psychique de 
l'homme sans aucune participation de la conscience ni du 
cours des idées spécialisées qui surgissent en elle. Mais il 
faut remarquer que c'est seulement théoriquement que l'on 
parle de la généralité de la méthode des essais. En pratique, 
le succès de l'application est souvent très douteux et souvent 
très inaccessibles. Les questions compliquées contenant 






CALCULA TE VR S E Y TRA II l> I NA I 11 E S 355 

beaucoup de conditions ou exigeant la détermination de beau- 
coup d'inconnues, de même que la recherche des solutions 
exactes dans un grand nombre de cas, exi firent généralement 
un nombre très grand, et même indéterminé dessais. ( )n peut 
arrivera un essai heureux dans une quantité de pareilles ques- 
tions soit par hasard, soit à l'aide d'une persévérante pour- 
suite du but prolongée plus ou moins longtemps. — Enfin il 
n'est pas difficile de se représenter des cas où ni le hasard, 
ni une certaine persévérance n'aboutissent à rien. Lu autre 
trait de la méthode des essais, c'est V incapacité de ses procé- 
dés de s'élever au-dessus du seuil de la conscience, autre- 
ment dit leur inconscience, qui s'est manifestée aussi claire- 
ment dans l'antiquité que chez les gens des temps plus mo- 
dernes se trouvant sur la même échelle de développement 
intellectuel. 

Si dans la science parvenue à un état plus développé, 
l'emploi de la méthode des essais n'avait pas été exclus, cer- 
tes, son inconscience l'aurait vu disparaître d'elle-même. La 
méthode d'essai peut être directe, quand les essais tendent à 
la détermination du nombre cherché, et indirecte, quand ils 
veulent déterminer un nombre qui se trouve dans des rap- 
ports connus avec le nombre cherché, selon les conditions 
du problème. Ce dernier, dans ce cas, se cherche indirec- 
tement à l'aide de son lien avec le nombre trouvé. 

Un cas de méthode particulier des essais, soit sa forme 
particulière, c'est la méthode des formations graduelles, ou 
la composition de l'inconnu cherché selon les conditions de 
la question. Dans cette méthode, tous les essais, ou une par- 
tie des essais, excepté le premier nombre, se remplacent par 
une suite de changements apportés à un nombre qui sert de 
point de départ, ou bien, en général, par le dernier essai. 
Le rapprochement graduel de ce nombre de la solution 
cherchée et exacte de la question est le seul but de ces rem- 
placements, et c'est par ce but seul qu'il faut se laisser guider 
en les effectuant. L'adaptation de cette méthode étant loin 
d'être admise dans toutes les questions qui peuvent être ré- 
solues à l'aide de la méthode des essais, on ne peut y voir 
qu'un cas particulier de cette dernière, comme on l'a déjà 



356 L. SC H LE SINGER 

fait remarquer plus haut. Mais ce cas particulier représente 
des avantages considérables et se trouve à un degré de déve- 
loppement plus haut que la méthode générale. Nous avons 
déjà vu que son introduction diminue considérablement la 
durée de la solution du problème. Mais ce n'est pas tout ; il 
apporte dans le procédé de la recherche de l'inconnu d'après 
la méthode des essais une plus grande précision, et dans 
quelques cas, comme par exemple dans le problème envisagé 
plus haut, dans la règle d'alliages, il rend ces procédés abso- 
lument précis. Enfin, exigeant une compréhension fonda- 
mentale du problème, et, en général une certaine maturité 
desprit, il constitue la plus haute expression de la méthode 
des essais, dont la possession et l'usage conscients ne peu- 
vent être accessibles à l'homme avant qu'il soit parvenu à 
un degré assez élevé de développement intellectuel. Grâce à 
ces qualités, beaucoup de questions deviennent parfaitement 
accessibles à la méthode des essais ; le succès de leur solu- 
tion représente, d'après ce qui a été dit, des difficultés consi- 
dérables, souvent insurmontables, ou bien il est dû qelque- 

fois, au hasard. 

V. Bobynix Moscou). 

(Traduit par V. Fréederieksz, Genève). 



SUR QUELQUES POINTS ÉLÉMENTAIRES 

DU CALCUL INTÉGRAL 



Dans les lignes suivantes je me permets de communiquer 
deux remarques qui m'ont été utiles dans mon Cours univer- 
sitaire sur le Calcul intégral ; la première se rapporte à la 
démonstration de l'existence de l'intégrale définie d'une fonc- 
tion dune seule variable réelle, l'autre à la notion de l'inté- 
grale curviligne d'une différentielle exacte et à la démonstra- 
tion des théorèmes fondamentaux, relatifs à ces intégrales, 



CALCUL INTEGRAL 357 

desquels découlent les théorèmes de Cauchv sur les intégrales 
des fonctions monogènes d'une variable complexe. 



I 

Soit /' x une fonction de la variable réelle .r, uniforme et 
finie dans l'intervalle. 

p < x < q 

Pour démontrer l'existence de l'intégrale 

b 

x) d.r 



/' 



<?, b étant deux valeurs situées entre p et q, il faut démontrer, 
selon Riemann \ que la somme 

H 

(2) 2(*t "^ ■**-!> fl5*-i) 

tend vers une limite déterminée, si l'on augmente le nombre 

n-l des points .ri X n —u partageant l'intervalle a...b a = .r,,. 

b = .r„. en // parties, de manière que l'étendue de chacun»' 
des parties devienne aussi petite que l'on veut, et que cette 

limite soit indépendante du choix des points .ri r«_i et 

des points intermédiaires \ k _i , 

x k-\ <%k-i < r k ■ 

Si l'on forme la somme 2 pour les mêmes points .r*,. „..r„_i, 
mais, pour deux séries différentes de valeurs intermédiaires 
£t_i et \ k _ K : 

S,=2lx i -T t _ 1 )/lÇ i _ ! l ■ 

k 

s. =2 (** — **-i) Aï*_i) • 



1 WerJle, (18921, p. 23'J. 



358 !.. SC H LE SI NGER 

la condition nécessaire et suffisante pour que la différence 
Si — S2 devienne aussi petite que l'on veut en augmentant le 
nombre n de la dite manière, consiste — comme on sait — 
en ce que 



(3) lim^K- 






en désignant par <r k _, Y oscillation de la fonction / (je) dans 
l'intervalle x k —i • ••Xk , c'est-à-dire, la différence entre les va- 
leurs extrêmes, dont la fonction f (x) est capable dans cet 
intervalle. Quant à la démonstration que cette condition est 
suffisante pour que les sommes (2), formées avec des séries dif- 
férentes de points de partition .ri, ... , .r„_i, tendent vers une 
limite commune, elle se fait ordinairement en appliquant le 
principe de la superposition des partitions, due à Cauchy 1 . 
Je vais montrer, en m'appuyant à une remarque due à Kro- 
necker 2 que l'application du principe mentionné devient su- 
perflu, si l'on étend de la manière suivante le sens de la 
condition (3). 

Soient Ç/t— 1 ■•■ Kk des intervalles embrassant les intervalles 
Xk—i ■■• x kl mais tels que t, k — Çk—i tende vers zéro en 
même temps que.** — Xk— i ; ces intervalles plus grands pour- 
ront d'ailleurs pénétrer l'un dans l'autre. En désignant alors 
par <r k _ i l'oscillation de f{x) dans l'intervalle £*— i • •• Ça et par 

£*-!, \k— 1 deux valeurs intermédiaires du même intervalle, la 
condition (3) continuera d'être nécessaire et suffisante pour 
que les sommes Si, S2 se rapprochent indéfiniment. 

Augmentons maintenant le nombre n des parties ix k —i c* 

selon une loi arbitraire, de manière que ces parties tendent 
vers zéro, et soient 

s„, , s„, , ... 

les sommes (2), formées pour les partitions successives avec 
des valeurs intermédiaires quelconques ; il faut démontrer 



1 Résumé des leçons, etc. (1823i, p. 81. 

* Vorlesungen iiber Intégrale (1894), p. 6-7. 



CA ICII. INTEGRAL 359 

qu'étant o une petite quantité f)ositive donnée a l'avance, <»n 

puisse déterminer le nombre N de manière que Ton ait 

! s,. — S„ I < J 

puur v )> N et A arbitraire, c'est-à-dire que lim v S„ existe. Puis 
i! faut démontrer que cette limite soit indépendante de la 
manière, dont le nombre // a été augmenté. Soient donc 
X\ P»— i, avec les valeurs intermédiaires £o , ••• £« — i, et 

gj . ... , r,„_j , avec les valeurs intermédiaires £ £»i — i i 

deux partitions, et 






Â=i 



les sommes correspondantes, il suffira d'établir que la diffé- 
rence T-S tende vers zéro, si Ton fait croître n et m de manière 

que les différences Xk — xk — i [k= 1, 2 /?.) et r* — ia_i 

/r=l, 2, ...,/??) deviennent infiniment petites. A cet effet, dé- 
signons par Xi X„ + „,_2 les valeurs x k et r* , rangées par 

ordre croissant, et soit l'intervalle X\—i ... Xy contenu dans 
l'intervalle x\~i ....n et dans l'intervalle X\—a ...x-, ;alorsilest 
évident que nous aurons: 

m + n — 1 

'/ = ! 

m -\- n — 1 

>. = ! 

Mais écrites de telle manière, les sommes S et T rentrent 
sous la forme des sommes Si , S2 prises dans le sens étendu, 
parce qu'en réunissant les intervalles x- i _....x> et i\_ ,...r- , 

on obtient un intervalle Ç>_, ... ?> qui contient les points ; X _, 



360 /,. SCHLESINGEfl 

et lx— i ' embrasse à la fois l'intervalle 3£x 1 ••• 36^ ef devient 

infiniment petit en même temps que di\ — i ...£}. La condition 
(3) est donc suffisante pour que S et T tendent vers une limite 
commune, c. q. f. d. 

Il est évident que celte condition se trouve satisfaite, — 
aussi dans le sens étendu, — si /'(.r) est une fonction conti- 
nue, au sens de Gauchy, dans l'intervalle /?...#. 

II 

Soient P(£, yj), Q(£, yj) deux fonctions des variables réelles £, yj 
qui, à l'intérieur d'un domaine S simplement connexe du 
plan des (£, y?), sont uniformes et finis et admettent des déri- 
vées partielles par rapport à £ et y]. Si la condition d'intégra- 
bilité. 

bP bQ 

il) — = -f 

se trouve satisfaite à l'intérieur de S, l'équation différentielle 

(2) du = Vc/Ç + Qdv 

possède une solution u qui est une fonction des deux va- 
riables indépendantes f, yj uniforme à l'intérieur de S, et qui 
s'évanouit pour un point (£ , yj ) de S, donné arbitrairement. 
C'est ce que nous allons démontrer, sans faire usage des no- 
tions de l'intégrale curviligne et de l'intégrale double ; au 
contraire, notre démonstration nous va permettre de démon- 
trer d'une manière extrêmement simple les théorèmes clas- 
siques, relatifs aux intégrales curvilignes. Nous allons procé- 
der suivant Euler l . 

1. Soient (£ , yj ) et (£, yj) deux points de S, tels que le rec- 
tangle déterminé par les points (£ , yj ), (|, yj ), (£, yj), (£ , yj) — 
qui seront désignés aussi par A, B, C, D — se trouve en- 
tièrement à l'intérieur de S. Nous considérons les deux ex- 
pressions 



1 Voir liistitution.es calculi integralis, t. I, caput II, art. 448 et suiv. 



CALCUL INTEGRAL 361 



(3) 






"o ?0 



? » 

(4) 7 = I P|Ç, 7! ,r/? + | QlÇ, », rf„ . 

qui pourront être caractérisées de manière, que la première 
v se rapporte à la marche supérieure AD, DC , L'autre v à la 
marche inférieure (AB, BC , joignant les points A et G. Nous 
allons démontrer que c et c satisfont à l'équation (2) et que ces 
deux expressions sont identiques, c'est-à-dire que l'on a les 
équations 

* = P, £ = Q, 

a« o? 

(7) 7— *.= 0. 

Les deux équations (5 se vérifient immédiatement; quant 
aux équations 6), il suffira de donner la démonstration de la 
première. 



Posons à cet effet 



"/' 



nous aurons * 



(9. ^ = Q 7 <t.i)+* 



du " '" on 



Mais 






1 C. f. Ellkr, /. c, art. 4î8. Pour que les calculs suivants soient légitimes, il faut imposer 
aux fonctions P, Q encore certaines conditions supplémentaires que l'on va tirer facilement 
de ces calculs mêmes. 



362 /.. S C II L E S l N G E H 

donc en vertu de la condition d'intégrabilité (1) 

,4(q i i.,-'^) = o, 

c'est-à-dire que l'expression. 

(11 1 QiÇ, «I — — = Fini 

est indépendante de £. Etant 

(12) lim w = . lim — = . 

on aura donc 

Q|Ç , n)= F(») , 

et d'après les équations (11) et (9), 

-^ = Q(Ç, ,)_Q(Ç i,) , 

OÏJ 

~ = Q (Ç, U) , e. q. f. d. 

07J 

Pour démontrer l'équation (7), nous remplaçons dans les 
limites supérieures de c, clés £, n par £i, yji ; l'équation (7) 
s'écrit alors : 

?i T 'i £o ^o 

(7«) /■ P (5 , * WÇ + / Q(Ç. . v\d v f / P (5 • *i) </Ç + / Q (Ç . «) du = , 

équation qui peut s'énoncer en disant que l'intégrale de la 
différentielle exacte P d\ -(- Q ûfyj, menée au sens positif sur 
la périphérie du rectangle (A B G D) s'évanouit; l'équation (7) 
n'est donc autre chose que le théorème de Riemann-Cauchy 1 
pour le cas du rectangle (A B G D) 2 . 



1 RiKMANN. Werke (1892), p. 15. I. 

2 Quant à l'équation (7), Eui.er n'en donne pas de démonstration explicite, il s'exprime 
comme il suit (1. c. , art. 452i : « Ex rei natura patet, perinde esse utra via procedatur ne- 
cesse enim est ad eandem sequationem integralem perveniri ». Mais la démonstration qu'on 
va lire dans le texte, ne fait usage que des moyens qu'EuLER avait à sa disposition. 



Cil. Cil. INTÉGRAL 363 

Soit (£, yj) un point quelconque à l'intérieur de ABCD el 
posons 

% n 

s |Ç , U) = / P IÇ . r,| f /ç + / Q (£„ , r,i cfo , 

?o "o 

nous aurons, d'après ce qui précède, 

(13) ^- = Q<?. v) ■ 

bu 

et le premier membre de l'équation 7r/ pourra s'écrire : 
/ Q (& , d) dii — s(£, . «i) + s (I, . u i 



ou encore 



.A 



bs (Ci ,'u) 



Q(Çi. ul )di , 

b« / 



intégrale qui s'évanouit d'après l'équation (13). 

2. Soient maintenant | , » ) et (|, y; deux points quelcon- 
ques à l'intérieur du domaine S, on pourra intercaler d'une 
infinité de manières des points en nombre fini 

(11, Vl) . (& • «■) , ■■• , (?„_!, »„_, 

appartenant également à S et tels que pour deux points consé- 
cutifs i£x-i , v?i_ 4 j et (£) , yj^ ou £„ = £. yj„ = ïj) ou la marche 
supérieure ou la marche inférieure, joignant ces deux points, 
se trouve entièrement à l'intérieur de S. Suivant le cas qui se 
présente désignons par r^ ou l'expression 



115) I Q(4_j • »)<** + I P (S. «x 1 lil - 



W* !.. Si II LE SINGE R 

ou l'expression 

h *ï 

(15 a) i P (Ç, r é) _ { \dq + / Q'?^. x\ dm ; 

si toutes les deux marches étaient situées à l'intérieur de S, 
les deux expressions (15) et (lba) seraient identiques d'après 
le théorème (7). La somme 

il f')i i'i + V t + ... + Vn 

représente alors une fonction de £, yj, satisfaisant à l'équation 
différentielle 2 et s'évanouissant pour £ ,tj . Pour démontrer 
que cette fonction est uniforme à l'intérieur de S, il suffit de 
faire voir quelle est indépendante du choix des points inter- 
calés. 

Soit donc 

i i4 «) ré -v ré»-!- v-i) 

une autre série de points intercalés, et 

(16 a) ■£+ /+ ... + / OT 

la somme des intégrales correspondantes ; les séries (14) et 
(14#) vont déterminer deux escaliers, joignant les points 
(loi ""<)) et (£i "") et situés entièrement à l'intérieur de S. L'aire 
limitée par eux pourra évidemment être partagée en un 
nombre fini de rectangles, tels que (AB CD) ; en appliquant 
donc le théorème (7) sur chacun de ces rectangles, on démon- 
trera immédiatement l'identité des sommes (16), (16a). 

La somme 16 fournit la solution a de l'équation différen- 
tielle 2 , dont nous nous sommes proposés de démontrer 
l'existence ; elle sera représentée par le symbole 

(Ç, «) 
u= S / (Prfg + Qdv) 1 . 



1 Le principe de la définition de l'intégrale (17) indiqué dans le n° 2, a été imaginé à 
peu près en même temps par mon ami Hefpter et par moi (voir la communication de M. 
Hekfter. Gôttinger Nachrichten, 1904, p. 196). Pour moi les considérations de la note pré- 



CALCUL INTEGRAL 365 

3. Pour passer encore à l'application des résultats obtenus 
à la démonstration <l<'s théorèmes fondamentaux relatifs aux 
intégrales curvilignes, soit C une courbe menée dans Tinté- 
rieur de S entre les points (£1, yji), (£2, m) et représentée par 
les équations 

t 

m (/), ^ [t] étant deux fonctions uniformes du paramètre /. et 
admettant des dérivées o(t), <l' t continues dans l'intervalle 
h...t%, où 

Ç.= ? (tj .t u = +(*,) i = 1,2)». 

Alors l'intégrale curviligne prise suivant C n'est autre chose 
que 

(18) C / iPrff 4- Qrf») = / iP. ? 'i/i + Q-^'lO) <^ • 

Comme la fonction uniforme « '£, y; ), donnée par l'expres- 
sion 17 satisfait à l'équation différentielle 2 , on a 

, , diuv\t\ . 6\t\ 1 

P{f{t) , £(*)) ? Ifl + Q (Sl/l . •£</ ^ /■ = - 



dt 



donc 



=2- »Î2l 



C / iPrf| + Qrfï)| = u\f\tt\ , i|»|/ 2 M — «t<j>iM . ^ M 1 

l?i,1Jil = m(£j,1J,) K(€i,«i) . 

ce qui montre que l'intégrale 18 est indépendante du chemin 
d'intégration C, et que partant l'intégrale relative à une courbe 



sente ne forment qu'une application très particulière <1es développements analogues que 
j'ai établis relativement aux solutions des systèmes d'équations différentielles lin. air - 
qui seront publiés ailleurs. 

1 On sait d'après les travaux de MM. GoURSAT, Transactions of the American Math. 
I 11900), Moore, ibid.. Pringshbim, ibid., II (1904). Hefkter, Gcitt. Nachrichten, 1902, 
1903. 1904. que la définition de l'intégrale curviligne peut être donné pour des courbes 
d'un caractère beaucoup plus général, mais comme pour la plupart des applications ana- 
lytiques la définition adoptée dans le texte est assez générale, elle suffira pour les buts 
de l'enseignement, et c'est à quoi nous nous restreignons dans cette note. 



366 / RICHARD 

fermée se réduit à zéro K Le passage aux théorèmes de Gau- 
ghy, relatifs aux intégrales de fonctions monogènes, se fait 
maintenant de la manière usuelle. 

Remarquons enfin que les considérations du n° I s'éten- 
dent sans difficulté aux intégrales multiples, aussi bien que 
celles du n°II, aux intégrales des différentielles exactes, à un 
nombre quelconque de variables indépendantes. 

Kolozsvar, 18 décembre 1904. 

L. SCHLESINGER. 



SUR UNE MANIERE 

D'EXPOSER LA GÉOMÉTRIE PROJEGTÏVE 



1. On sait que von Staudt exposa, indépendamment de 
toute notion de distance, les principes de la Géométrie pro- 
jective. 

Son exposition est fondée sur les propriétés du quadrila- 
tère complet. Je vais ici exposer la Géométrie projective 
dune façon différente et que je crois plus simple. Je ne me 
servirai pas du quadrilatère complet. 

J'admettrai les axiomes ordinaires concernant le point, la 
ligne droite, le plan. 

On regardera deux droites situées dans un même plan 
comme se coupant toujours. Si le point d'intersection n'existe 
pas en réalité, on dira que les droites se coupent en un point 
fictif, ou idéal. Il sera toujours possible de projeter les 
droites sur un autre plan en projection conique) de façon 
que leurs projections se coupent. Trois droites d'un plan se 
couperont en un même point idéal, si leurs projections se 
coupent en un même point réel. 

1 C. t. Heffter, /. c, 1903. p. 123. 



<; i: O M É TRI E PBOJ E CTIV E 367 

Trois plans qui n'ont pas une droite commune se couperont 
toujours en un point réel ou idéal. 

L'exposé que je vais faire repose sur le théorème des 
triangles homologiques. Si les trois droites A.V BB' CC sont 
concourantes, les points a/3 y où se rencontrent AB A'B' ; AC, 
À'C ; BCj B'C .vo/// en fo^/ie droite et réciproquement. 

Ce théorème, intuitif'lorsque les deux triangles ABC, A'B'C 
sont dans deux plans différents, se démontre pour le cas de 
la figure plane, en considérant celte ligure comme la projec- 
tion d'une figure de l'espace. M.Hilbert, dans son mémoire 
sur les principes de la Géométrie, montre que si on laisse de 
côté la notion de distance, on ne peut démontrer le théorème 
dont nous parlons qu'en se servant de la Géométrie à trois 
dimensions. 

J'emploierai dans ce qui suit les mots « parallèle » ou «equi» 
pollent» dans un sens nouveau, que je vais définir. 

Je choisis un certain plan que je nomme «plan de l'infini. » 
Deux droites seront « parallèles » si elles se coupent dans le 
plan de l'infini. Il résulte de là que deux parallèles à une 
troisième saiH parallèles entre elles. 

Dans ce qui suity'e me borne à la Géométrie plane. Dans le 
plan j'aurai une droite de l'infini, et deux droites parallèles se 
rencontrant sur la droite de l'infini. 

In quadrilatère dont les côtés opposés sont « parallèles » 
se nommera un « parallélogramme. » 

Je dirai que deux vecteurs AB et CD sont « équipolients » 
si ABet CD sont parallèles, ainsi que AC et BD. Il résulte de 
cette définition que si AB et CD sont équipolients, AC et BD 
sont aussi équipolients. 

Deux vecteurs équipolients à un 3 e sont équipolients entre 
eux. Soient en effet AB et CD deux vecteurs équipolients à 
EF, alors AB, CD, EF, concourent sur la droite de l'infini; 
donc les triangles ACE, BDF sont homologiques, et comme 
AB et EF dune part, CD etEF d'autre part se coupent sur la 
droite de l'infini, on en conclut que AC et BD se coupent 
aussi sur cette droite. 

AB et CD d'une part, AC et BD d'autre part sont donc pa- 
rallèles, ce qui démontre la proposition. 



368 J. RICHARD 

Si deux vecteurs sont situés sur une même droite, la 
définition de l'équipollence tombe en défaut. Nous dirons 
que deux vecteurs situés sur une même droite sont équipol- 
lents entre eux, s'ils sont équipollents à un même troisième. 

L'addition géométrique de deux vecteurs se définit, comme 
dans la théorie ordinaire des équipollences, mais il faut ici 
démontrer la proposition suivante : si a et a' dune part, b et 
// d'autre part sont équipollents. a -\- b et a + b' sont équi- 
pollents. 

C'est-à-dire : si AB et A'B' sont équipollents, ainsi que BG 
et B'C il en est de même de AC et A'C. 

Ou encore : Si deux triangles ont deux couples de côtés 
équipollents, les troisièmes couples sont équipollents. 

En effet, par hypothèse AB et A'B' d'une part, AC et A'C 
d'autre part, sont équipollents. Donc d'après ce qui précède, 
il en est de même de AA' et de BB' d'une part, de AA' et de 
CC d'autre part ; d'où il suit que BB' et CC sont équipollents 
entre eux, et par suite BC et B'C le sont aussi. 

La proposition est donc démontrée. 

Les propriétés de l'addition géométrique : a + b est équi- 
pollent à b -f- a, a -f- (b + c est équipollent à (a + b) + c 
s'aperçoivent facilement. 

Le cas où les segments à additionner sont équipollents 
entre eux doit être traité à part ; c'est sur ce cas particulier 
que repose tout ce qui suit. 

Soient deux vecteurs AB et CD parallèles à une même 
droite A- Prenons sur /\ un point M, et construisons MN 
équipollent à AB, et NP équipollent à CD, alors MP sera 
équipollent à la somme des deux segments. 

On peut démontrer que l'addition est commutative dans ce 
cas particulier de la façon suivante. (Le lecteur est prié de 
faire la figure). Ayant effectué la construction précédente 
prenons MK équipollent à CD. Il s'agit de faire voir que KP 
est équipollent à AB, ou que BP et AK sont équipollents. 
Ceci résulte d'un théorème énoncé ci-dessus : Les deux 
triangles AMK, BNP ayant deux couples de côtés équipollents 
ont leurs troisièmes côtés équipollents. 

Considérons une droite OX. Prenons un segment AB pa- 



G i: o m i: r a 1 /; i> n o ./ ECTIV t: 369 

rallèle à OX, que nous nommerons le segmenl unité. Nous 
pourrons construire sur ().\ un segment équipollent à // Pois 
Ali, en ajoutant // l'ois à lui-même le segment AB. On aura 
ainsi le point d'àbeisse // ; en Remplaçant AB par liA on cons- 
truirait le point d'abeisse — //. 

Si deux triangles, ABC, A'Ii'C ont leurs côtés parallèles 
deux à deux, et si Ali est équipollent à A'B', les autres côtés 
sont aussi équipollents deux à deux. En ell'el dans nos deux 
triangles les points de concours des côtés correspondants sont 
en ligne droite (sur la droite de l'infini). Donc les triangles 
sont homologiques, et les droites AA', Bli\ CC concourent 
au même point. Ce point est sur la droite de l'infini, puisque 
AB est équipollent à A'B'. Donc ACC'A' BCC'B' sont des pa- 
rallélogrammes, et la proposition est démontrée. 

Si ileux couples de droites parallèles interceptent sur une 
première droite A des vecteurs AB, CD équipollents, ils in- 
terceptent sur une seconde droite A' des vecteurs « ,3, y o 
équipollents. 

Pour le démontrer on mènera par « et y des parallèles à Ai 
la première coupant B/3 en H, la seconde coupant D$ en K; 
on remarquera alors que d'après le théorème précédent les 
deux triangles « H /3, y K d ont leurs côtés équipollents. 

Le théorème sur les lignes proportionnelles, tel qu'on 
l'énonce et le démontre au début du troisième livre de géo- 
métrie, peut maintenant être énoncé et démontré en attri- 
buant un sens nouveau au mot rapport de deux lignes. Consi- 
dérons deux vecteurs parallèles AB et CD, si AB est équi- 
pollent à la somme de p segments a, et CD à la somme de q 

segments a. on dira que le rapport des deux vecteurs est - . 

Dans ces conditions, et à laide de ce qui précède on dé- 
montrera, de la même façon qu'au début du troisième livre 
de Géométrie, dans tous les ouvrages élémentaires usités en 
France, le théorème suivant : 

Sur deux droites A e t A' d es parallèles interceptent des 
segments proportionnels. 

On pourra alors, comme on le fait en Géométrie élémen- 
taire, mais avec le changement convenable dans le sens des 

L'Enseignement mathém., 7« année; 1905. 25 



370 •/• RICHARD 

mots, résoudre le problème suivant : Partager un vecteur AB 
en n vecteurs équipollertts. Nous avons vu ci-dessus, com- 
ment on pouvait prendre sur une droite OX un vecteur ayant 
pour abaisse un nombre positif ou négatif mais en fier. A laide 
des propositions précédentes on pourra prendre sur OX un 
vecteur ayant pour abcisse un nombre positif ou négatif, en- 
tier ou fractionnaire. 

2. — Peut-être le lecteur trouvera-t-il l'exposé précédent 
trop long pour un aperçu, trop court pour un exposé complet. 
Je n'ai pas voulu exposer les choses tout au long, comme il 
serait nécessaire de le faire par exemple à des élèves dans 
une classe, je n'ai pas voulu non plus être trop sommaire, de 
peur d'être obscur. 

A l'aide de ce qui précède on donne à un point M des coor- 
données de la façon suivante. On a deux axes de coordonnées 
OX et OY ; des parallèles aux axes menées par M, (le mot pa- 
rallèle étant toujours pris dans le sens spécial que nous lui 
donnons) coupent l'une OX en A l'autre OY en B. Les ab- 
cisses de A et de B calculées comme il est expliqué ci-dessus, 
sont les coordonnées de M. 

Pour avoir l'équation d'une droite joignant les points P et 
Q, considérons un point M sur cette droite, le rapport des 
segments PM et PQ est égal à celui de leurs projections sur OX 
faites parallèlement à OY d'après le théorème sur les vec- 
teurs proportionnels. C'est donc: 



xo, .ri, x étant les abeisses respectives de P, Q et M; c'est de 
même : 

y — vq , 
o\ ~ ïo ' 

on a donc l'équation de la ligne droite 



•*'l — X ?\—. y O 

c'est une équation du premier degré. 



G Ê M E TRI E P 11 <> J ECTIVE 371 

De là on peut déduire toute la Géométrie analytique pro- 
jective. 

3. — Cette manière d'exposer la Géométrie présente les 

caractères suivants : 

1° On ne se sert pas de L'infini, au sens ordinaire du mot. 
Les points a l'infini sont les points d'une droite arbitraire, 
s'il s'agit de Géométrie plane, d'un plan arbitraire, s'il s'agit 
de Géométrie dans l'espace. 

2° Connue conséquence le mot « équipollent » n'a pas le 
même sens que dans la Géométrie ordinaire, mais toutes les 
propriétés des équipollences subsistent, avec le nouveau sens 
attribué aux mots. 

3" Si on nomme translation une transformation changeant 
les droites en droites, et changeant en lui-même tout point de 
la droite de l'infini, telle que deux vecteurs transformés l'un 
de l'autre soient équipollents ; ce qui précède peut être nommé 
Géométrie de la translation. Dans cette Géométrie on ne 
compare jamais deux vecteurs qui ne sont pas parallèles. 
Celte proposition AB = CD n'a de sens que si AB et CD sont 
parallèles. 

4" Si on redonnait au mot « droite de l'infini » son sens or- 
dinaire, cela reviendrait à admettre le postulatum d'Euclide. 

En somme nous avons défini « L'infini » de façon que le pos- 
tulatum d'Euclide soit vrai. 

4. — Dans cette façon d'envisager la Géométrie le postula- 
tum est donc vrai par définition ; non pas par la définition de 
la ligue droite ou de la distance, mais par la définition de 
l'infini. 

Or on sait que si l'on admet le postulatum d'Euclide. il n'y 
a plus (\uune Géométrie métrique possible, la Géométrie eu- 
clidienne. Il est donc possible, sans axiome nouveau, de cons- 
tituer la Géométrie euclidienne. Il suffira de définir la rota- 
tion. Il suffira même de définir la rotation autour de L'origine, 
car une rotation quelconque résulte d'une rotation autour de 
L'origine et d'une translation. C'est ce que nous allons es- 
sayer de l'aire dans ce qui suit, en montrant que la définition 
donnée est la seule possible. 

Les rotations du plan autour de L'origine doivent être des 



372 /. RICHARD 

transformations changeant les droites en droites, changeant 
l'origine en elle-même, et n'altérant pas la droite de l'infini. 
Ces rotations doivent former un groupe. De plus, aucune 
droite réelle passant par l'origine ne doit rester immobile 
dans la rotation, et une rotation finie ramenant OX sur lui- 
même doit ramener sur eux-mêmes tous les points de OX. 

Les transformations n'altérant pas l'origine ni la droite de 
l'infini, et changeant les droites en droites sont évidemment 
de la forme 

x' •=. ax + by 

y' = px + qy 

a b p q seront des fonctions du paramètre t qui pour / = 
donneront la transformation identique, et par conséquent se 
réduiront respectivement à 10 01. Soient A B P Q les valeurs 
respectives des dérivées de a b p q pour t = 0. La transfor- 
mation infiniment petite sera : 

x' = x + (A.r -(- By) dt 
y' = y + (Px + Qy) dt 

On voit facilement qu'une droite passant par l'origine 

ux + vy = 
demeurera inaltérée par la transformation si : 

Au + Pv _ B» + Q k > 

U V 

"k étant la valeur commune de ces rapports, devra être racine 
de l'équation : 

(A — 1)| Q — 1) — PB = . 

Comme aucune droite réelle ne doit rester immobile dans 
la rotation, cette équation doit avoir ses racines imaginaires. 
Supposons qu'il en soit ainsi. Il y aura alors deux droites 
imaginaires restant immobiles dans cette rotation infiniment 
petite (et par suite dans toute rotation qui résulte de la répé- 
tition de celle-ci). 

Soient 

X + /Y = X — iX = 



i, E M E T i; 1 1: /' I! OJECTIV E 373 

les équations «le ces deux droites. X et Y étantdés polynômes 
linéaires et homogènes «lu premier degré, réels. 

Alors une rotation transforme X 2 +Y 2 dans le même poly- 
nôme multiplié par un facteur X 8 , nécessairement positif, qui 
sera une l'onction du paramètre /: si l'on écrit 

X'- + Y' 2 = ',? |X-' + Y-, 

on en déduira facilement : 

X' + ;Y'=Àe'?|X + /Y 
X' — iX' =A<-<?iX — rY) 

© étant comme X une fonction de /. En donnant à <p la valeur 
2 - on reproduit la transformation identique : chaque droite 
revient sur elle-même, mais d'après les conditions imposées 
à la transformation tout point doit revenir sur su position 
primitive, donc X 2 doit être égal à un. Si on veut que pour 
t = 0, <p = il faut prendre X = i on a alors les formules or- 
dinaires de la rotation. 

Ce qui précède montre comment on peut constituer une 
sorte de Géométrie où le postulatum d'Euclide est vrai, par 
définition. 

5. — Dans l'enseignement de la Géométrie projective. qu'on 
emploie ou non l'analyse, on devra, pour rester suffisamment 
élémentaire, procéder d'une façon différente. 

Au lieu de définir le mot « parallèle » comme nous l'avons 
fait, on admettra le postulatum d'Euclide. Deux vecteurs équi- 
pollents seront par définition les côtés d'un parallélogramme. 
On refera ce que nous avons fait, mais en donnant aux mots 
leur sens ordinaire. Tout ce que nous avons dit subsistera, 
sauf cette proposition : Deux parallèles à un troisième sont 
parallèles entre elles. Ceci devra se démontrer, comme on le 
fait d'habitude dans les géométries où l'on commence par 
les droites et plans parallèles. 

On pourra aussi admettre d'emblée, pour abréger, cette 
proposition : « Des droites ou des plans parallèles décou- 
pant sur une première droite des vecteurs équipollents entre 



374 J. RICHARD 

eux, déterminent sur une seconde droite des vecteurs équi- 
pollents entre eux. » 

Si Ion nomme translation une transformation changeant 
un vecteur en un vecteur équipollent, la Géométrie ainsi ex- 
posée est la Géométrie de la translation '. 

Lorsqu'on ne se sert pas de l'analyse il convient de dé- 
montrer d'abord le théorème des transversales, de la façon 
suivante : 

Soit pour fixer les idées un quadrilatère ABGD, coupé par 
une transversale en a (3 y à. On projettera tous les points sur 
une droite Ai parallèlement à la transversale. ABGD se pro- 
jettent en a b c cl, et tous les points de la transversale se pro- 
jettent en un même point m. On aura par exemple 

A a ain 

aB mb 

d'après le théorème des vecteurs proportionnels. 

En multipliant membre à membre les quatre égalités ana- 
logues à celles-ci on démontrera le théorème, fil faut obser- 
vers que les égalités ont lieu en signe). 

Le théorème sur le rapport anharmonique se déduit de là. 
\Jn faisceau de sommet S étant coupé par deux sécantes 
en ABGD et a b c cl, on démontrera l'égalité des deux rap- 
ports anharmoniques en appliquant le théorème des trans- 
versales au quadrilatère A B a b, coupé par les deux sécantes 
SGc SDcl. 

6. — On expose ainsi la Géométrie projective d'une façon 
simple, sans se servir du début si lourd et si pénible de la 
Géométrie ordinaire. Euclide dit un jour, parait-il, qu'il n'y 
avait pas de chemin royal en Géométrie. On a dit depuis 
que la Géométrie projective était ce chemin royal. Ce que 
nous venons de dire permet d'atteindre ce chemin royal sans 
s'écorcher les pieds aux broussailles de la Géométrie mé- 
trique élémentaire. J. Bichard (Dijon). 



1 On pourrait exposer cette théorie en définissant la translation à la manière de M. Mkray. 



LES DEl'X HASES DE LA METRIQUE 



In coup d'œil d'ensemble jeté sur les nombreux travaux 
concernant les Principes de la Géométrie qui ont vu le jour 
dans le dernier demi-siècle laisse apercevoir une différence 
radicale sans contradiction d'ailleurs entre les tendances de 
ces travaux, suivant qu'il y est fait ou non emploi des res- 
sources de l'Analyse mathématique. Tandis que le concept 
qui fait l'objet des études analytiques est le « déplacement 
sans déformation » Helmholtz, Cayley, Sophus Lie) ou en- 
core r« élément linéaire » Riemann , les travaux purement 
logiques ont pris jusqu'à présent pour concepts fondamen- 
taux la droite, le plan, la congruence de deux segments et 
celle de deux angles. 

De ces deux tendances, la plus conforme à la nature des 
choses est incontestablement celle qu'accusent les travaux 
analytiques, car il est manifeste que, psychologiquement, les 
concepts métriques ont bien leur origine dans la notion du 
déplacement dune ligure invariable. C est en outre aux tra- 
vaux analytiques que Ton doit la pleine clarté dans laquelle 
apparaît à présent la question dite des Fondements de la Géo- 
métrie, qui est en réalité celle des Fondements de la Métrique. 
On a essayé, dans un article précédent, de géométriser les 
investigations analytiques afin d'affranchir le domaine géo- 
métrique de l'ingérence de l'Analyse et de permettre une plus 
grande diffusion des résultats dus à cette dernière. Une pre- 
mière conclusion s'impose, que nous énoncerons en em- 
ployant les termes introduits et définis dans ledit article. 

Les propriétés métriques des ligures, c'est-à-dire toutes 
les propositions de la Géométrie traditionnelle, résultent du 
fait suivant : les déplacements sans déformation sont des 



376 G. COMBEBIAC 

transformations ponctuelles formant un groupe métrique ar- 
chimédien dont les lignes a. n'aies jouissent de la propriété de 
l'unicité de l'asymptotique. 

Il est clair, d'après cela, que la Géométrie traditionnelle, 
c'est-à-dire la Théorie des déplacements sans déformation, ne 
saurait être considérée comme la « Science de l'espace » et 
qu'il est temps de l'aire cesser une confusion due probable- 
ment à la généralisation naturelle qu'a subie le sens d'un mot, 
phénomène linguistique d'ailleurs très commun, la notion du 
particulier devançant habituellement celle du général, auquel 
il transmet ensuite sa dénomination. Si donc l'on veut main- 
tenir au mot « Géométrie » son sens le plus général — et 
c'est le plus sage — -, il convient d'attribuer un nom spécial à la 
Théorie des déplacements sans déformation ou mieux à cette 
théorie généralisée. Ce nom parait devoir être la « Métrique. » 

De là résulte aussi la possibilité d'établir une théorie gé- 
nérale des métriques ou, si l'on veut, une Métrique générale 
sans faire appel à aucun concept spécial, ainsi d'ailleurs que 
cela a été fait dans l'article précédent. 

Ces divers résultats ont pour effet de situer d'une manière 
précise la Métrique dans la Géométrie. 

Ces conclusions se retrouvent d'ailleurs si l'on adopte, 
pour édifier la Métrique, les Principes pris pour base dans 
les travaux qui ont été caractérisés par le qualificatif de « lo- 
giques » ; il est toutefois nécessaire, pour cela, de faire subir 
au préalable à ces Principes certaines modifications, dont la 
nature et le résultat vont être maintenant exposés. 

Nous prendrons pour représentant de ces travaux le Mé- 
moire de M. Hilbert l sur les fondements de la Géométrie, 
mémoire digne de l'admiration des Mathématiciens et appelé 
à marquer une date importante dans la Philosophie scienti- 
fique. 2 

M. Hilbert se place au point de vue logique, c'est-à-dire 



1 Hilbert, Grundlagen der Géométrie, Teubner, Leipzig. 1809 ; traduit en français par M. 
Laugel. Gauthier-Villars, Paris. L900. 

2 Les axiomes adoptés par M. Hilbert ne diffèrent encre an fond fie ceux qui avaient déjà été 
mis en lumière dans les belles études consacrées, en ces dix dernières années, a la question 
des principes de la Géométrie. Citons notamment les travaux de MM. Veronese, Pieri, Padoa 
et Peano. 



BA S ES DE LA MÉ TRIQ I E 377 

qu'il n'admet comme concepts fondamentaux que ceux <|iii 
l'ont partie du domaine le plus général de l'intelligence, à 
L'exclusion notamment de tout concept géométrique c'est-à- 
dire spatial). Quant aux mois qui expriment des idées géo- 
métriques, tels que les mots : point, droite plan, situé, 
congruent, etc., ils doivent être employés sans aucune signi- 
fication : ils entrent dans le discours avec les seules proprié- 
tés logiques qui leur sont attribuées conventionnellement par 
des propositions appelées axiomes. Dans ces conditions, il 
serait peut-être préférable de remplacer ces mots par des si- 
gnes conventionnels, qui n'auraient pas L'inconvénient d'évo- 
quer des images visuelles. 

De ces axiomes, M. Hilbert déduit, par de simples trans- 
formations logiques, les propositions de la Géométrie ou 
plutôt — car il faut signaler encore la cette confusion tenace 
— de la Métrique. 

Nous ferons subir une première transformation aux axiomes 
de M. Hilbert, tout en évitant d'en reproduire l'énoncé, qui 
occuperait plusieurs pages. Pour cela, restituant aux termes 
proprement géométriques leur sens habituel, nous allégeons 
le système d'axiomes de tout ce qui, dans leur énoncé, est une 
simple conséquence des conceptions géométriques générales. 
On conçoit en effet que, si la signification des axiomes mé- 
triques et non pas géométriques) de M. Hilbert n'est plus ex- 
clusivement logique, mais si ceux-ci, au contraire, représen- 
tent des faits géométriques, certains doivent se simplifier et 
d'autres devenir superflus. M. Hilbert pose, par exemple, 
sous le titre d'Axiomes de distribution, un groupe d'axiomes, 
parmi lesquels nous citerons les deux suivants : 

I" A. B, C désignant trois points en ligne droite, si B est si- 
tué entre A et G, il l'est aussi entre G et A. 

2" A et C désignant deux points d'une droite, il y a au 
moins un point B situé entre A et G et au moins un point D 
tel que G soit situé entre A et D. 

Il est évident que ces axiomes doivent disparaître si Ton 
considère comme acquises les propriétés générales des figures. 
conformément à ce qui a été admis dans les paragraphes pré- 
cédents, et si l'on émet en outre la proposition suivante : 



:;;h <;. c o m b e b i a c 

Une droite est une ligne continue, ouverte et sans points 
doubles. 

D'autres axiomes concernant le plan disparaissent égale- 
ment moyennant une définition appropriée de cette surface. 

Le système d'axiomes de M. Hilbert, ainsi allégé, com- 
porte, en plus des concepts généraux, ceux de droite, plan, 
congruence de deux segments (ou de deux couples de points), 
congruence de deux angles ou de deux couples de droites con- 
courantes), légalité ou congruence des figures quelconques, 
étant d'ailleurs définie par la congruence des segments et 
des angles. 

Ce système doit subir une seconde transformation ou plu- 
tôt une généralisation ayant pour but d'en faire disparaître 
totalement les mots de droite et de plan, de manière à lui 
donner le même degré de généralité que possède le système 
d'axiomes par lesquels ont été caractérisés les groupes métri- 
ques et de rendre ainsi les deux systèmes comparables. Il 
sullit pour cela de remplacer les droites et les plans par des 
lignes et des surfaces constituant des ensembles dotés de 

o 

propriétés qui vont être précisées. Le système d'axiomes de 
M. Hilbert, ainsi géométrisé et généralisé, peut être exposé 
de la manière suivante : 

Soit un ensemble de lignes D, satisfaisant aux propriétés 
suivantes : 

PL — Une ligne de l'ensemble est déterminée par deux 
quelconques de ses points. 

P IL — Les lignes D qui s'appuient sur deux lignes D 
concourantes sont situées sur une même surface. 

Définition. — On appellera surface P toute surface engen- 
drée par une ligne D variable passant par un point fixe et 
s'appuyant sur une autre ligne D qui ne passe pas par ce point. 

On considère une certaine relation susceptible d'avoir 
lieu entre deux couples de points. A cette relation, qui sera 
appelée congruence, sont attribuées les propriétés suivan- 
tes : 

CI. — Si l'on désigne par A, B deux points et par A un 
point d'une droite, on pourra toujours, sur cette droite, d'un 
côté donné de A', déterminer un point et un seul B' tel que 



// A s E S D E I. . i M i: T B I Q I E 379 

le couple A, B) soit congruenl au couple A'. 15' . lu couple 
de points est congruent à lui-même. 

C II. — Le couple A. It esl congruent à B, A . 

C III. — Deux couples de points congruents ii un troisième 
sont congruents entre eux. 

C IV. — Soit trois points A, B, C en ligne droite. B étant 
situé entre A et G ; soit de même trois points A', B', C égale- 
ment en ligne droite, B' étant situé entre A' et C ; si les 
couples (A, B et (A', B') d'une part (B, C) et B'. C) d'autre 
part, sont respectivement congruents, il en sera de même des 
couples/A,C) et (A', C). 

On considère en outre une certaine relation susceptible 
d'avoir lieu entre deux couples de lignes D concourantes 
(ou angles). A cette relation, qui sera également appelée 
congru ence, sont attribuées des propriétés exactement cor- 
respondantes à celles qui sont exprimées par C I, C II et C III, 
les points en ligne droite étant simplement remplacés par des 
lignes D concourantes et situées sur la même surface P. Enfin 
Ton admet la proposition suivante : 

C V. — Si deux figures constituées chacune par trois points 
(A, B, C et (A', B', C), sont telles qu'il y ait congruence 
entre les couples de points : 

1A.B1 et iA'.B'i, 
A . Ci et .A'. C), 

et entre les couples de lignes D : 

(AB.AC) et (A'B', A'C'l. 

il y aura également congruence entre les couples de lignes D : 

liA.BCl et IB'A', B'C), 
(CA.CB) et (C'A'. C'B'i. 

Sur la base ainsi exposée, on peut établir une théorie de la 
congruence des figures, c'est-à-dire une Métrique : une telle 
théorie a un caractère pleinement géométrique, en revanche 
elle est manifestement indépendante de tout concept spécial 
d'origine métrique, tel que droite, plan, etc. 



380 G. COMBEBIAC 

Il est main tenant facile d'établir un parallèle entre cette 
théorie de la congruence géométrique et la théorie de la con- 
gruence relative aux groupes métriques qui fait l'objet de 
notre précédent article (p. 270-291). 

Les propriétés 1' 1 et P II, attribuées aux lignes D, appar- 
tiennent aux lignes axiales d'un groupe métrique d'après les 
théorèmes II 8 et 17. Les propriétés attribuées à la relation 
de congruence par les axiomes CI à G V et par ceux qui n'ont 
pas été explicitement énoncés appartiennent à la congruence 
relative a un groupe métrique en vertu des théorèmes I 1, 
II 20, 21, 22, 23 et 24 sous la condition de prendre pour li- 
gnes D et pour surfaces P les lignes axiales et les surfaces 
axiales du groupe. La congruence relative à un groupe mé- 
trique remplit donc toutes les conditions émises à titre 
d'axiomes par M. Hilbert (il serait d'ailleurs facile de voir 
que ces conditions suffisent à caractériser complètement 
cette sorte de congruence). 

M. Hilbert adjoint entin à ces conditions : 1° sous le titre 
d'axiome d'Archimède, une proposition qui revient à attri- 
buer au groupe métrique correspondant la propriété archimé- 
dienne; 2° sous le titre d'axiome des parallèles, une proposition 
attribuant à l'ensemble des lignes D la propriété de l'unicité 
de l'asymptotique. Il résulte du Mémoire de M. Hilbert que, 
moyennant l'adoption de ces axiomes, toutes les propositions 
de la Géométrie traditionnelle, c'est-à-dire de la Métrique, 
peuvent être établies par simple déduction logique. D'autre 
part, les propriétés exprimées par ces axiomes appartiennent, 
en vertu de théorèmes et de définitions contenus dans la 
théorie qui fait l'objet de l'article précédent, à tout groupe 
métrique archimédien dont les lignes axiales forment un en- 
semble jouissant de la propriété de l'unicité de l'asymptoti- 
que ; on en conclut que la teneur de cet article constitue une 
base suffisante pour la Métrique, et c'est ce que nous tenions 
à établir. 

Les deux bases de la Métrique qui viennent d'être exposées 
sont équivalentes, mais elles diffèrent par certains carac- 
tères. La notion du groupe métrique se rattache directement 
aux conceptions habituelles et présente en outre une significa- 



BASES DE I. / METRIQUE 381 

tion géométriqne parfaitement claire; celle de la congruence, 
uniquement définie par ses propriétés, est factice et ne cor- 
respond pas forcémenl à priori ii une réalité géométrique : 

on serait plutôt tente de penser qifil y a peu de probabilité 
pour qu'il existe, entre les figures, une sorte de relation sa- 
tisfaisant ci toutes les conditions requises. En revanche 
l'einploi de ce procède accroît la faculté de généralisation de 
la Métrique : on peut en effet, par l'abandon de certains des 
axiomes de M. Hilbert, obtenir des métriques ne rentrant 
pas dans la catégorie de celles qui reposent sur la congruence 
relative aux groupes de transformations ponctuelles. 

Combeb] a c (Li m oges) . 

ERRATA. 

Corrections à l'article : Théorie géométrique des groupes métriques 
(n° du 15 juillet 1905. p. 270-291). 

Page 282, avant-dernière ligne : au lieu de « théorème (1 », il faut « théo- 
rème 6 ». 

Page 289, 23 e ligne : au lieu de « tout l'ensemble », il faut : « tout ensem- 
ble ». 

Page 290. 6 L ' ligne : au lieu de : « par une transformation convenablement 
o choisie, d un groupe métrique déterminé, par exemple du groupe des 
« déplacements sans déformation. Mais on admet ainsi l'existence d un 
« groupe métrique. » 

il faut : 
« par une transformation convenablement choisie, soil du groupe des dépla- 
« céments euclidiens, soit d'un groupe conservant un ellipsoïde réel OU 
« imaginaire là centre réel). Mais on admet ainsi l'existence de ces groupes. 



REFORMES A ACCOMPLIR 



DANS 



L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES 



Nous avons rappelé dans un précédent numéro (mai 1905, 
p. 238 le vœu qui a été exprimé, l'an dernier, au Congrès de 
Heidelberg, en faveur de l'obtention des moyens indispensa- 
bles à l'avancement de l'enseignement mathématique. Il a eu 
pour effet d'attirer l'attention des mathématiciens sur l'insuf- 
fisance de l'organisation actuelle de l'enseignement supé- 
rieur. Chacun reconnaît aujourd'hui qu'une transformation 
en vue d'une meilleure adaptation aux conditions modernes 
est devenue indispensable, mais il semble que l'on n'est pas 
encore fixé sur les idées directrices qui doivent présider à 
celte réforme et sur les moyens pratiques permettant de la 
réaliser. 

Il nous a paru, dans ces conditions, qu'il y aurait un réel 
intérêt à consulter quelques uns des mathématiciens qui 
s'intéressent aux questions d'enseignement et à faire connaî- 
tre leur opinion sur les conditions que doit remplir un ensei- 
gnement complet, théorique et pratique, des mathématiques 
dans les établissements supérieurs. Nous avons attiré leur 
attention sur les trois questions ci-dessous, que nous sou- 
mettons également à nos lecteurs. Les réformes à accomplir 
exigent en elfet le concours de tous ceux qui ont l'expérience 
des choses de l'enseignement et qui entrevoient quelques 
progrès à réaliser. Nous espérons donc que ceux qui ont quel- 
ques remarques a présenter sur l'une ou l'autre de ces ques- 



/,' E F <) i: M ES A ACCOMPLIR : ; s : ; 

lions, n'hésiteronl pas à nous les adresser sous forme <le 
correspondance. 

1° Quels soul les progrès à réaliser dans l'organisation de 
l'enseignement des mathématiques pures. 

2° Quel est le rôle que doivent jouer les établissements su- 
périeurs dans la préparation des maîtres de mathématiques 
des écoles moyennes. 

3° Comment organiser l'enseignement mathématique de 
manière (pi' il réponde, mieux que par le passé, aux besoins 
des autres branches scientifiques pures et appliquées. 

La Rédaction. 

Opinion de M. Gino Loria 
professeur à l'Université de Gènes. 

Si j'accepte la (laiteuse invitation de participer au référen- 
dum dont Y Enseignement mathématique a pris L'initiative, ce 
n'est pas dans l'illusion d'avoir à dire quelque chose d'une 
importance considérable, mais seulement pour manifester 
mon intérêt pour les questions qu'on vient de mettre à Tordre 
du jour. Mes connaissances limitées sur l'organisation de 
l'instruction mathématique en dehors de ma patrie me font 
craindre avec raison que les remarques qu'on va lire seront 
jugées applicables seulement à l'Italie ; j'espère que, malgré 
cela, elles ne seront pas trouvées tout à fait dépourvues 
d'intérêt. 

\1\\ premier progrès qu'il serait désirable de réaliser dans 
l'enseignement des mathématiques pures, consiste, d'après 
mon sentiment, dans une accélération, si je peux m'expri- 
mer de la sorte, dans sa marche. Le grand bâtiment dont les 
anciens géomètres ont mis des bases solides, tend toujours 
à croître en hauteur, en ampleur et même en profondeur: si 
on se borne à apprendre aux élèves la configuration du rez.- 
de-chaussée (qui est d'ailleurs l'étage le plus obscur et le 
moins attrayant , c'est très probable qu'ils n'auront pas ni le 
temps ni l'envie pour monter aux étages supérieurs, dans 
l'espérance de parvenir au faîte de l'édifice. Or cette aug- 



384 R E F R M ES A A CCO M 1> L IIÏ 

mentàtion de vitesse est, sans doute, possible, car dans les 
éléments il y a plusieurs chapitres, qui étaient absolument 
indispensables sous Y « ancien régime » de notre science, 
mais qui pour des modernes apparaissent comme des objets 
de luxe, que l'historien doit garder religieusement dans le 
musée des gloires de l'esprit humain, mais qui, dans un 
premier enseignement, doivent faire place à des choses 
d'une utilité plus directe. Je me borne à citer comme exem- 
ples la théorie des proportions (que l'ombre d'Euclide me 
pardonne ce sacrifice que je demande du V me livre de ses 
Eléments, l'un des plus beaux monuments de l'ancienne géo- 
métrie !) et la théorie élémentaire des sections coniques, 
création d'Apollonius certainement sublime, mais dont Des- 
cartes et Fermât d'un côté, Chasles et Steiner de l'autre, ont 
diminué limportance; je pourrais ajouter d'autres exem- 
ples, si je ne désirais pas d'être court. A leur place on pour- 
rait mettre certaines théories soi-disant supérieures, mais 
qu'il serait possible et urgent de démocratiser (p. ex. géo- 
métrie analytique, géométrie descriptive, etc.). 

D'autre part il serait désirable qu'on donnât une idée as- 
sez étendue des applications que reçoivent aujourd'hui les 
mathématiques. L'action réciproque de la science pure et de 
la science appliquée a été exposée tout récemment par M. 
Poincaré, dans son beau volume sur La valeur de la science, 
d'une façon si lumineuse qu'il est tout à fait inutile que je 
répète mal ce qu'il a dit si bien. Mais il n'est pas inutile de 
remarquer que les applications des mathématiques peuvent 
se trouver pour toutes les sections de notre science, depuis 
les plus élémentaires et anciennes jusqu'aux plus élevées et 
modernes. En les signalant, non seulement on parviendra à 
augmenter l'attrait des théories pures, mais on élargira l'ho- 
rizon des idées chez les élèves; on captivera l'attention de 
ceux qui s'intéressent aux faits aussi bien que de ceux qui 
n'ont en vue que les idées, et on organisera l'enseignement 
des mathématiques de manière qu'il réponde, mieux que 
dans le passé, aux besoins des autres branches de l'ensei- 
gnement. 

Pour ce qui se rapporte à la préparation des professeurs 



/.' E F O II .1/ ES I ACC <> M P 1. 1 1: 385 

de mathématiques, le changement qui me paraîl nécessaire 
est encore plus profond. Car, tandis que, p. ex., les élèves- 
médecins ont toujours devanl les yeux de l'esprit la vision de 
leur profession future, à ceux qui aspirent à devenir des 
maîtres de mathématiques on ne fait presque jamais je pour- 
rais même biffer le presque !) songer au rôle qu'ils devront 
jouer dans leur vie. Ils entendent parler haute science, ils 
s'efforcent même de contribuer au progrès de nos connais- 
sances positives, mais jamais ils se préoccupent de la ma- 
nière de se tirer d'affaire lorsqu'ils seront obligés de faire 
comprendre une théorie mathématique à un publie ignorant. 
P. ex., sont-ils exercés aux calculs numériques? leur ap- 
prend-on à dessiner au tableau des figures vraisemblables qui 
soient vraiment des aides pour les élèves ? connaissent-ils 
les résultats obtenus par la pédagogie dès qu'elle parcourut 
la voie frayée par la psychologie scientifique '.'... Dans l'igno- 
rance de tout cela le jeune professeur doit débuter par des 
essais plus ou moins heureux aux dépens de ses élèves!... 
Dès 1898, dans une conférence que je fis à Turin à l'occa- 
sion d'un congrès et qui a été publiée dans le Periodico di 
matématica per l'insegnamento secondario), j'ai exposé un 
programme assez détaillé d'un cours historico-critique sur 
les théories dont se composent les mathématiques élémen- 
taires (géométrie et trigonométrie, arithmétique et algèbre , 
cours qui, d'après mon sentiment, servirait très bien comme 
trait-d'union entre l'enseignement universitaire et l'instruc- 
tion moyenne. Le bon accueil que firent à mes idées des 
personnes de haute compétence me fait croire que j'étais 
alors sur le bon chemin. Malheureusement je n'ai pas en- 
core eu le loisir de traduire mon programme dans un livre 
ou dans un cours de leçons ; mais je tiens à déclarer que 
cela est arrivé faute de temps et non faute de foi dans ma 
thèse: car je crois toujours qu'une exposition comparée des 
méthodes suivies par les anciens et par les modernes pour 
concevoir et exposer les théories fondamentales de la géo- 
métrie et de l'algèbre élémentaires, accompagnée d'une re- 
vue critique des objections soulevées contre le manque de 
rigueur de certains procédés ci des nouvelles doctrines en- 
L'Enseignement niathém.. 7 année: l'.tOô. '.;<'• 



386 R E F () R M E S A ACC M P L IR 

gendrées en conséquence (p. ex. géométrie non-euclidienne, 
nombres irrationnels, etc.) formerait une préparation excel- 
lente pour l'élève aspirant à devenir maître. Dans ce cas, on 
pourrait bien dire avec Gicéron : « historia magislra vit;e ». 
Le perfectionnement du rôle que jouent les établissements 
supérieurs pour la préparation des maîtres de mathématiques 
des écoles moyennes est une question de haut intérêt gé- 
néral et il est vivement à souhaiter que le référendum auquel 
je viens de prendre une faible part donne des résultats que 
tous les gouvernements s'empresseront d'adopter. 

Opinion de M. Emile Borel 
professeur-adjoint à la Faculté des Sciences de Paris. 

La réponse aux diverses et importantes questions que vous 
me posez dépasserait de beaucoup les limites dune lettre. 
Je préfère donc me borner à traiter un point particulier au- 
quel j'attache une grande importance. 

Il s'agit de la réforme de l'enseignement de la géométrie 
élémentaire. Je crois que presque tout le monde est d'accord 
pour reconnaître que les méthodes purement euclidiennes 
ne sont plus en rapport avec les progrès des mathématiques 
modernes. « La géométrie est l'étude du groupe des mouve- 
ments» cette vérité fondamentale doit de plus en plus péné- 
trer l'enseignement. 

Seulement, si l'on est généralement d'accord sur le fait 
qu'il y a quelque chose à faire, les divergences surviennent 
dès qu'il s'agit de préciser. Ceci ne doit pas nous étonner, 
car il est bien clair que toute solution proposée ne saurait 
être aussi achevée dans le détail que l'est la géométrie eucli- 
dienne, à la suite de perfectionnements successifs auxquels 
ont collaboré plusieurs générations de savants et de profes- 
seurs. Il convient donc de ne pas se montrer trop sévère 
pour les créateurs de méthodes nouvelles ; on doit, au con- 
traire, chercher à retenir ce qu'il y a de meilleur dans leurs 
idées. Mais il ne faut pas se dissimuler que c'est seulement 
après beaucoup de livres, d'articles, d'expériences, que 
pourra être créée une géométrie aussi logiquement parfaite 



E .\ Q L ' Ê T E S [ ' R I, A M E T II I) E I) E TRAVAIL 387 

que la géométrie euclidienne, mais plus vivante, plus inté- 
ressante et plus accessible, Un tel résultat serait du plus 
haut intérêt pour l'enseignement mathématique; aussi me 
semble-t-il que tous ceux qui s'intéressent à cet enseigne- 
ment, qu'ils soient professeurs primaires, secondaires ou su- 
périeurs pour employer une classification qui devient de 
plus en plus surannée) doivent contribuer le plus possible à 
hâter l'avènement de la géométrie nouvelle, soit en écrivant 
des livres, soit en discutant ceux qui sont écrits, soit et sur- 
tout en expérimentant les méthodes nouvelles, en publiant 
les résultats de leurs expériences. 



ENQUETE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 
DES MATHÉMATICIENS 



LES RESULTATS. — I 

Avant-propos. — Nous ne saurions commencer cette étude 
sur la méthode de travail des mathématiciens sans réitérer 
nos vifs remerciements à tous ceux qui ont bien voulu ré- 
pondre à notre questionnaire; nos sentiments de gratitude 
vont également à nos confrères de la presse scientifique 
périodique qui ont contribué à le faire connaître. 

Notre étude est basée sur les documents provenant de plus 
d'une centaine de mathématiciens appartenant, pour la plupart, 
au temps présent, mais parmi lesquels figurent aussi quelques 
uns des grands géomètres décédés, depuis les Bernoulli 
jusqu'à Lie. Il y avait en effet un grand intérêt, surtout pour 
la question relative à l'hérédité du talent mathématique, à 
consulter les biographies de quelques savants des 17"" et 
18 ,ne siècles. 



388 E N Q VÊT E S ( 1! I. A M É T II ODE D E T It AVAl I. 

Chacun avant été libre de ne répondre que sur les poinls 
à sa convenance, le nombre des réponses varie nécessaire- 
ment dune question à une autre. 

Question 1 a. 

A quelle époque d'après vos souvenirs, et dans quelles cir- 
constances, le goût des sciences mathématiques s'est-il em- 
paré de vous ? 

Pour les mathématiciens dont nous avons recueilli les ré- 
ponses, cette époque varie de la première enfance à l'âge de 
2li ans. Elle précède même, pour quelques-uns, la connais- 
sance de l'alphabet; c'est alors par le calcul oral que se 
révèle le goût des mathématiques. Mais celui-ci se déclare 
le plus souvent au cours des études primaires ou secondaires, 
au moment de la première initialion a l'arithmétique et à 
la géométrie, ou aux mathématiques élémentaires. Les uns 
sont attirés par l'idée de nombre, parles calculs et problèmes 
arithmétiques ou algébriques ; d'autres admirent l'enchaîne- 
ment d'une démonstration géométrique ou s'intéressent plus 
particulièrement aux mathématiques appliquées. 

Le goût des mathématiques existe à l'état latent chez bien 
des personnes, mais il lui faut pour éclore des circonstances 
favorables provenant, soit du milieu, soit de l'école, ou en- 
core des premières lectures mathématiques. Son éclosion 
est souvent retardée par un enseignement défectueux, ainsi 
que cela ressort du reste d'un certain nombre de lettres. 
Toutefois le retard est aussi dû, dans certains cas, au fait 
qu'il s'agit d'un élève également doué pour toutes les branches 
de l'enseignement élémentaire. 

Sur 93 réponses à la première question a) le goût des 
mathématiques s'est déclaré 

avant 10 ans révolus dans 35 cas, 

de lia 15 » » » 43 » 

de 16 à J8 » » » 11 » 

de 19 à 20 » » » 3 » 

et au-dessus de 20 (26 ans) » » 1 » 

Il y a nécessairement beaucoup de réponses à peu pics 



E Y Q I i: l I, s UR l. A M l. T 11 o h /•; DE TRAVAIL 389 

identiques, surtout pour la période de <> a 15 ans. Nous re- 
produirons ici les plus caractéristiques H nous les ferons 
suivre de quelques indications concernant des mathématiciens 
décédés. 

Rép. VII Allemagne). — Mon père s'était toujours beaucoup 
intéressé aux mathématiques, et, s'il avait pu faire des études, 
aurait certainement fait un bon mathématicien. C'esl lui qui me 

donna les premières leçons de mathématiques; il me lit résoudre 
<les problèmes choisis dans le recueil Meyer-Hirsch et m'enseigna 
la géométrie d'Euclide d'après une traduction de Lorenz. A la lin 
des études du gymnase jeme résolu à faire des études mathématiques. 

Rép. XV (Allemagne). — Mon oncle, qui était mathématicien, 
nie donna des leçons particulières pour compléter l'enseignement 
mathématique que je recevais à l'école et qui laissait beaucoup a 
désirer. Il éveilla en moi un grand intérêt pour 1 astronomie. Je 
lis d'abord des études techniques, jusqu'à l'âge de 21 ans. mais, à 
la suite des leçons extrêmement captivantes de Clebsch et de- 
entretiens que j'eus avec lui, je me décidais à me consacrer entiè- 
rement aux mathématiques. 

Rép. XXI Allemagne). — A l'âge de ■<> à 8 ans. j'avais établi 
une formule me permettant de calculer, pour ma mère qui jouait 
à la loterie, le nombre des ambes et des ternes d'un nombre 
déterminé de numéros. A une autre occasion j'ai résolu un problème 
de permutations concernant le jeu de cartes. 

Rép. XXXI Allemagne. — A huit ans je fis passionnément du 
calcul algébrique; à 12 ans sous l'influence d'un excellent maître 
ma vocation était décidée. 

Rép. XIX Angleterre . — Je pris le goût des mathématiques à 
lu ans à la suite de la facilité que j'avais à résoudre des problèmes 
proposés à l'école. 

Rép. XXXIII Autriche . — Assez tôt ; j'avais 1(3 ans. dans L'ensei- 
gnement secondaire j'avais commencé l'enseignement primaire 
à 10 ans lorsque j'ai composé un mémoire sur les fractions pour 
perfectionner la théorie qu'on nous a exposée a l'école. Une année 
plus tard, mon professeur de langue tchèque m'ayant indiqué 
les mathématiques comme vocation probable, je me mis aux étude- 
privées ; au bout d'une année je connaissais le programme du 
baccalauréat, à l'exception de la Géométrie analytique dont je 
n'avais appris que les premiers éléments. J'abordais ensuite l'étude 
du (Calcul différentiel et intégral, mais sur de mauvais manuels. 
J'étais plus heureux avec la Géométrie projective. Je trouvais un 
plaisir particulier dans la recherche des théorèmes projectifs 
généralisant des constructions de la Géométrie projective. 



390 ENQUÊTE SUR LA METHODE DE TRAVAIL 

Rép. LUI (Belgique). — A 3V 2 , mon attention était fortement 
fixée sur l'idée de nombre. 

Rép. XLVI (Espagne). — Le goût des sciences mathématiques 
s'est emparé de moi quand j'étais âgé de 17 ans. Quand j'étudiais 
la physique, j'aimais fortement tout ce qui contenait des formules 
mathématiques, la mécanique, la théorie de la lumière. Je fus 
ému eu ouvrant pour la première fois un traité de Géométrie 
analytique et la Philosophie des Mathématiques de Wronski, 
la Philosophie de la technique algorithmique, etc. 

Rép. L (Etats-Unis). — A l'âge de 12 à 13 ans, les premières 
leçons d'Algèbre et de Géométrie. 

Rép. LV (Etats-Unis). — Dès l'âge de 5 ans. J'ai toujours eu 
une avance d'environ deux ans sur mes camarades pour ce qui 
concerne le programme des mathématiques. A 12 ans j'étais décidé 
de faire des mathématiques. 

Rép. LXXI1 (Etats-Unis). — A l'âge de 14 à 15 ans, grâce à mon 
excellent maître de mathématiques et aux intéressants problèmes 
qu'il nous proposait. 

Rép. 1 (France). — Le goût de toutes les sciences m'est venu 
à l'âge de il à 12 ans par la lecture de livres enfantins sur les 
sciences et les savants, puis de livres de physique et de chimie 
amusantes et autres, enfin par les suggestions continuelles de 
mon père notaire de petite ville) qui ne voyait rien au-dessus 
des choses et des hommes de science et encore comme contre- 
partie d'un prompt et insupportable dégoût des études littéraires, 
telles qu'elles se faisaient au lycée. Mis au latin à moins de sept 
ans, j'ai d'abord réussi, mais une maladie m'a fait placer dans 
une école primaire où j'ai eu des succès; ensuite, de la septième 
à la rhétorique (je n'ai pas fait de Philosophie), j'ai croupi misé- 
rablement dans la paresse et dans des punitions aussi continues 
et multipliées qu'impuissantes à la corriger. Mais pendant toute 
cette triste période de ma vie, tout ce qui avait rapport aux 
sciences, à l'industrie, n'a jamais cessé de me passionner, comme 
une terre de délices dont j'étais exilé. — Les mathématiques 
m'ont captivé par leur précision, et leur caractère spécial, comme 
l'aurait fait un magicien capable de deviner l'inconnu. Les pro- 
blèmes d'arithmétique m'enchantèrent bien avant que je fusse 
capable de les résoudre, ce qui a été long. Ail ans, mon père 
m'a fait donner des leçons particulières de sciences (Algèbre, 
Physique, etc.) qui me passionnaient, bien que je n'y comprisse 
presque rien, cela sans excepter les commencements de l'Algèbre 
de Lefébure que mon maître m'avait sottement mis entre les 
mains. A moins de 13 ans, en 4" ie , j'ai remporté le premier prix 
pour une composition remarquée, si je me souviens bien, dans 
un cours commun professé par ce maître au collège de Châlons 
sur Saône devant toutes les classes réunies de la 4"" à la Philo- 



E Y Q l E I E S I II J. A M É I II <) I) I. I) I. TRAVAIL 391 

sophic et ce premier succès m'a enflammé, en partie, par son 
contraste avec ma nullité «lu côté <lu grec e1 du Latin. En 3 me , 
j'avais reçu clés leçons particulières de géométrie données par 
un vieux professeur, ami de mou père, qui m'accablait de reproches, 
même d'injures, et cependant j'aimais ces choses. En seconde 
et en rhétorique, au lycée de Dijon, j'étais toujours un cancre 
eu lettres, accablé d'arrêts et de retenues de promenade, mais 
je lisais comme un livre sacré l'histoire des Mathématiques de 
Montucla sans toutefois en saisir grand chose, je fréquentais les 
élèves de spéciales en enviant leur sort; à ce moment j'ai épelé 
les premiers paragraphes de la Géométrie analytique de Cirodde 
qu'ils m'avaient prêtée, et ça été pour moi une sorte de révélation, 
un ravissement. Les notes techniques de la Trigonométrie de 
Lefébure me plongeaient dans l'extase comme des paroles magi- 
ques, cependant, je n'y comprenais presque rien. Entré en mathé- 
matiques élémentaires, à 16 ans (liasse de M. B. Arniot au lycée 
S'-Louis, 70 élèves je me suis trouvé classé le premier dans la 
première composition de mathématiques de l'année, et dès lors 
toutes mes prédilections se sont portées sur les Mathématiques. 
En I" année de spéciales (prof. Briot j'étais considéré à Paris 
comme une sorte d'élève phénomène. En 2 me année, je me suis 
désintéressé de ce cours pour lire les livres de Duhamel sur 
l'Analyse et la Mécanique et m'enflammer de plus en plus au 
contact de choses que je trouvais transcendantes en les comprenant 
fort imparfaitement. 

Bép. II (France). — A L4 ans, en 4 me , au lycée de Moulins. 
Jusque-là, au lycée Bonaparte à Paris, puis au lycée de Moulins 

en 5 , on n'avait fait appel qu'à mes facultés de perroquet, fort 

peu développées et j'étais un cancre. Je cessais de l'être clés qu'on 
lit tant soit peu appel à mon raisonnement. 

Rép. XXIII (France . — Dès mon enfance; ma première vocation 
la marine), m'a poussé de fort bonne heure à des études qui m'ins- 
piraient un grand attrait. 

Bép. XXA I France . — Etant jeune j'avais l'arithmétique en 
horreur. Fe goût des mathématiques m'est venu en commençant 
l'étude de l'algèbre. 

Iiéj). XF111 France . — A J7 ans, quand j'entrai en mathéma- 
tiques élémentaires. 

Rép. FXX\ France . — A 15 ans. Après une année passée au 
lycée de Douai une année de troisième-sciences qui m'avait laissé 
indifférent et presque dégoûté des mathématiques qu'on m'y avait 
enseignées, ayant pris à Paris, pendant les vacances, quelques 
leçons particulières, j'ai senti venir en moi le goût des mathé- 
matiques. Fe professeur particulier auquel je fais allusion ici 
n'a été pour rien, ou pour peu de chose, dans cet te transformation. 
Autant qu'on peut analyser, à mon âge. les souvenirs de quin- 



392 E NQ UE TE S UR I.A M E THO I) E DE TRA VA 1 1. 

zième aimer les impressions scientifiques surtout!) je crois pouvoir 
déclarer qu'il y avait en moi tout simplement un goût latent qui 
n'avait pas encore trouvé le moment d'éclosion. 

Rép. LXXYI France). ■ — A l'époque où dans renseignement 
secondaire on bénéficiait dans la classe d'un vrai professeur de 
mathématiques (à mon époque de .!"" . 

Rép. XXV Hollande. — A l'âge de VA ans, par des leçons 
particulières d'un professeur dont les connaissances, comme je 
m'en suis aperçu plus tard, n'étaient pas très étendues, mais qui 
était enthousiaste et savait entraîner ses élèves. Aujourd'hui 
encore je pense à lui avec admiration. 

Rép. XXIX (Hollande. — A l'âge de 8 ans, soudain, à la lecture 
d'un traité d'algèbre, qui me tomba sous les mains absolument 
par hasard. 

Rép. V Italie . — Dès mon enfance. Les premiers calculs, les 
premiers problèmes m'intéressaient déjà beaucoup. 

Rép. XVIII (Italie). — A 14 ans, quand je commençai à étudier 
l'arithmétique théorique et à résoudre des problèmes algébriques 
simples sans connaître encore l'Algèbre. 

Rép. XLI1 (Italie). — Au moment où je fréquentai le second 
cours de l'Ecole technique. 

Rép. LXXIV Italie). — Le goût des sciences mathématiques 
s'est emparé de moi dès les premières études de l'Arithmétique 
et surtout de la Géométrie plane. 

Rép. XXX (Norvège). — A l'âge de 15 ans, à l'école. C'est en 
remarquant certaines lois dans les séries arithmétiques que le 
goût a commencé. 

Rép. XI Russie). — A onze ans, j'ai remarqué que (a -\- l) 2 = 
a- -j- a -\- a -\- 1) . Mon maître m'a dit que c'est un cas particulier 
du binôme de Newton. Je me suis imaginé que j'étais mathéma- 
ticien ; je me mis à lire l'astronomie populaire d'Arago. Ma voca- 
tion était décidée. 

Rép. XLV1I (Suisse). — A l'âge de 14 ans lorsque, à l'école 
secondaire, j'entendis pour la première fois les démonstrations 
de la Géométrie euclidienne. 

Rép. LX Suisse). — Au collège, à la fois sous l'influence d'un 
excellent professeur et de l'intérêt que je portais à l'histoire des 
mathématiques. 

Parmi les mathématiciens décèdes^ nous en citerons d'abord 
quelques-uns qui étaient doués d'une remarquable précocité 
pour les mathématiques. 

Pascal (1623-1662). — Chacun connaît le cas de Blaise Pascal 
qui, des la première enfance, témoignait d'un vif intérêt pour les 
sujets mathématiques. Dans la crainte de le fatiguer, son père, 



/■: .v q i ■ /.'■ t i: s in la m e i ii o /> E i> i: travai l 

comptait ne faire donner les premiers élé ntsdes mathématiques 

qu'à partir la seizième année. Biaise résolul de commencer seul 
l'étude de la Géométrie et, n'ayant encore que douze ans. il par- 
vint, sans le secours d'aucun livre, à démontrer une série de 
propositions de la Géométrie d'Euclide, notamment le théorème 
relatif à la somme des angles d'un triangle. A seize ans. il composa 
son Traité des sections coniques. 

Clairaut L713-1765). — Alexis-Claude Clairaui fui un enfanl 
merveilleusement précoce. Son père, pauvre professeur de mathé- 
matiques, chargé d'une nombreux- famille et forcé à une grande 
économie, instruisait lui-même ses enfants: tout naturellement 
il leur enseignait de préférence ce qu'il savait de mieux, et la 
géométrie occupait une grande place clans leurs études. Les élé- 
ments d'Euclide servirent de premier alphabet à Clairaut; il se 
trouva bientôt capable de les entendre el d'en raisonner. Attire 
par le charme des démonstrations abstraites qui lui semblaient 
claires et faciles, il avait lu et compris, a l'âge de dix ans. VAna- 
lyse démontrée de Guinée et le Traité des sections coniques du 
Marquis de l'Hôpital. \ers le milieu de la treizième année, il 
composa un mémoire sur les propriétés de quelques courbes 
nouvelles qui. présente a l'Académie des Sciences et approuvé par 
elle, fut imprimé à la suited'un travail de son père, dans le recueil 
intitulé: Miscellanea Berolinensia... A l'âge de seize ans. Clairaut 
avait terminé un traité sur les courbes à double courbure. » Joseph 
Bertrand, Eloges académiques, nouvelle série, pp. l'Yl-'l'.Yl : Paris, 
1902 . 

Gauss 1777- l.S .">."> . — Le grand géomètre allemand Ch.-Fréd. 
Gaiss. disait lui-même qu'il avait su calculer avant de savoir 
parler. A l'âge de trois ans. il reprit son père sur une erreur de 
calcul; à neuf ans il découvrit la propriété de la somme des termes 
d'une progression arithmétique. Gauss était également très doué 
pour les langues, aussi, Ii son entrée à l'Université, en I7'.i">. 
hésita-t-il d'abord entre la Philologie et les Mathématiques: il ne 
tarda d'ailleurs pas à choisir celles-ci. 

Ampère 1775-1836). — Comme Gauss, A. -M. Ampère fut. des 
la première enfance, remarquablement doué pour le calcul oral. 

.1. Bertrand 1822-100U . — L'illustre académicien Joseph Ber- 
trand était prodigieusement doué dès l'enfance. « On ne croyait 
pas, écrivit-il 1 à son ami Pasteur, que je fusse destine à vivre jus- 
qu'à l'âge d'homme. Les études dès lors, pour moi. étaient traitées 
comme un passe-temps inutile et. si j'y prenais trop de goût, 
dangereux... Mon père m'empêchait d'étudier, mon instruction 
cependant était sa plus chère préoccupation... Lorsque, a l'âge de 
neuf ans, j'eus le grand malheur de perdre mon père, j'avais appris 



1 Voir 1 Eloge historique de Joseph Bertrand, par Gaston Darboux. 



394 ENQUÊTE S l R I.A MÉTHODE DE TRAVAIL 

par surprise, en quelque sorte, les éléments de la Géométrie et la 
partie élémentaire de l'Algèbre ». En 1838, Bertrand passait avec 
succès les examens de bachelier es lettres (20 mars), de bachelier 
es sciences 10 avril) et de licencié es sciences (4 mail; Tannée 
suivante il se présenta au doctorat es sciences, et il fut reçu premier 
à l'Ecole polytechnique. 

Jacob Steiner (1796-1863). — Le géomètre suisse J. Steiner 
montra dès son enfance des aptitudes pour le calcul oral et 
l'astronomie. Toutefois il n'entreprit que très tard l'étude des 
premiers éléments des mathématiques ; lorsqu'à l'âge de 18 ans 
il entra à l'Institut Pestalozzi, à Yverilon.il dut d'abord apprendre 
à écrire. 

Chez d'autres géomètres les dispositions pour les mathé- 
matiques ne se manifestèrent que plus lard, après la quin- 
zième année. Il en est ainsi, entre autres, pour deux des plus 
grands o-énies mathématiques du XIX" le siècle; mais ils n'en 
lurent pas moins précoces dans la publication de leurs pre- 
miers travaux. Nous voulons parler (I'Arel et de Galois, dont 
les travaux ont exercé une influence si considérable sur le 
développement des mathématiques. 

Niels-Henrik Abel 1802-1820. - Abel entra au Lycée de 
Christiania en 1815. L'enseignement se donnait alors dans des 
conditions très défavorables et la plupart des maîtres étaient 
incapables. Il ne semble pas que l'étude des mathématiques ait 
exercé une grande attraction sur Abel pendant cette première 
période. Les aptitudes pour les mathématiques ne commencèrent 
à se révéler qu'en 1818, sous l'influence d'un jeune maître B.-M. 
Holmbœ qui devint pour lui un bienfaiteur et un ami. « L'ensei- 
gnement de Holmbœ fut aussitôt plus jeune, plus vivant que 
renseignement habituel de cette époque, en ce qu'il laissa s'exercer 
la réflexion de ses élèves en leur proposant des problèmes variés, 
et ainsi apparut soudain un jour ce que renfermait l'esprit d'Abel. 
Au bout de peu de temps Holmbœ dut lui donner des exercices à 
part, et dès cette année Abël, qui avec cet enseignement eut achevé 
les éléments en un tour de main, et était avide d'en apprendre 
davantage, demanda des leçons particulières ». Holmbœ ne tarda 
pas à être fixé sur la valeur de son élève; en 1810 il accompagne 
les notes d'Abel de l'appréciation « Génie mathématique remar- 
quable », et en 1820 « Au génie le plus remarquable il joint un 
goût et une ardeur insatiables pour les mathématiques, et certai- 
nement il deviendra, s'il vit, un grand mathématicien ». (Niels 
Ilenrik Abel. Mémorial publié à l'occasion du Centenaire de sa 
naissance, pp. 7-11. 



E Y Q V Ê T E s lit LA M E T II <) h E h E TRAVAIL 395 

Galois 1811-1832). — Evariste ('.mois esl aé à Bourg-la-Reine, 
pics do Paris, le 25 octobre L811. » Dès L'âge de quinze ans. écrit 
M. E. Picard dans son Introduction aux Oeuvres mathématiques 
(TEvariste Galois, ses dispositions extraordinaires pour les mathé- 
matiques commencèrent a se manifester; les livres élémentaires 
d'algèbre ne le satisfont pas, cl c'est dans les ( )u\ rages classiques 
de Lagrange qu'il fait son éducation algébrique. Il semble qu'à 
dix-sept ans Galois avait déjà obtenu des résultats de la plus 
haute importance concernant la théorie des équations algébriques... 
Après deux échecs à l'Ecole polytechnique, Galois entra à l'Ecole 
normale en 1829 et lut obligé de la quitter l'année suivante. Dans 
la dernière année de sa vie il se donna tout entier à la politique, 
passa plusieurs mois sous les verrous de Sainte-Pélagie et, blessé 
mortellement en duel, mourut le '.U mai L832. En présence d'une 
vie si courte et si tourmentée, l'admiration redouble pour le génie 
prodigieux qui a laissé dans la science une trace aussi profonde : 
les exemples tle productions précoces ne sont pas rares (lie/, les 
grands géomètres, mais celui de Galois est remarquable entre 
tous ». 

.Iacobi 1804-185J . - C.-G.-J. Jacobi était remarquablement 
doué, dès son enfance, pour toutes les branches. Au Gymnase il 
se distingua tout particulièrement pour la philologie et les mathé- 
matiques. Pendant ses deux premières années d'études univer- 
sitaires, à Berlin 1821-1825), il se consacra à la fois à la philosophie, 
à la philologie et aux mathématiques, sans avoir de préférence 
bien marquée. Il avait déjà dix-neuf ans lorsqu'il choisit définiti- 
vement les mathématiques. 

Il serait facile de continuer celle liste cl de montrer par 
d'autres exemples qu'il y a de grands géomètres qui n'ont 
pas été précoces dans le développement de leur talent mathé- 
matique. L'éelosion de leur lalent a quelquefois même été 
très tardive. Ce fut le cas de l'un des plus grands mathéma- 
ticiens de la seconde moitié du XIX'" 1 ' siècle. S. Lie. 

Sopiius Lie 1842-1899). — Au Gymnase et à l'Université de 
Christiania, Lie était également doue pour toutes les branches: il 
se destinait ta l'enseignement scientifique et, en L865, subit avec 
succès l'examen d'Etat. Pendant toutes ses études il ne montra au- 
cune prédilection pour les sciences exactes. Mais, en 1868, il trouva 
par hasard les œuvres de Poncelet et de Plûcker qui éveillèrent 
en lui un goût irrésistible pour les mathématiques ; l'année 
suivante il obtint une bourse de voyage qui lui permit de faire un 
séjour à l'étranger ; il fut reçu docteur, à l'Université de Chris- 
tiania, en 1871. 



396 



M EL A N G i: S i: T C R li E S P O ,V/> A N C E 



MELANGES Et CORRESPOND ANGE 



Sur la détermination des axes dune hyperbole. 
ià propos d'un article de M. Majcen). 

La construction indiquée par M. Majcen VEns. Math. p. 221- 
225 pour la détermination des axes d'une hyperbole dont deux 
diamètres conjugués sont donnés, peut se légitimer aisément sans 
recourir aux propriétés des projections d'une hyperbole équila- 
tère. 

Nous nous servirons des mêmes notations et nous reproduirons 
la fîg. 2 pour y ajouter quelques lignes auxiliaires. Il est évident 
que les asymptotes de la courbe sont l'un la droite OM' et l'autre 
la droite VV menée par parallèlement à PN. Puisque les trian- 
gles POM' et M'ON sont isoscèles, on aura 

/\ /\ /\ 

M'ON = ONM' = NOV . 

/\ /\ /\ 

POM' = M'PO = POV , 



\ 



ïN- 









<T / 




N 




/ 




N 1 




^ ^ / 


/a 

il 


k ~ .^J^N 


A 


' \ / v ' N x 




sVuiX XQ' \ 


"*"* T"** * J 


--Av7--V>^ N 


\ \ 


/ • S '^^ • N 


N\ 




^ 


V R, **•;$* 



\ 



\ 



T 



\ 



M i: l. A \ G E S E I CO H I: E S P N DANC E 399 

et les droites OP, ON, étanl les bissectrices des angles formés par 
les asymptotes, seronl les directions des axes. 

Si Q e si le pied de la perpendiculaire abaissée de Q' sur ON on 
aura 

OQ = R N . OR = Q N . 

et, d'après la figure, 

ÔB'~= Ôa7 = H .\ — OH ' = R N — Q N , 

A lors on peut observer : 
(i Des relations 

5Â' 2 _ r^' _ ô^i _ kôr' 2 - q^q' 2 

ôw* r^n -2 q^ 2 îvT"' -q^T 2 



on déduit 



et comme 



il vient 



OA'"= R R' — Q Q.' , 

OR~' *= ÔÏÏ~ 2 + RK n 2 = Q^"+ R% > 
ÔQ'= OQ" "'+ QV = Vf 2 + Q^Q'~ . 

OB' "— OA'~ = OQ' — OR'" , 



et l'on peut conclure que OB' et OA' sont effectivement les demi- 
axes de l'hyperbole, car la droite A'B' est parallèle à l'un des 
asymptotes et la différence de leurs carrés est égale à la différence 
des carrés des demi-diamètres donnes. 

b Si Q' est un point réel de l'hyperbole et si U, V et S sont les 
points où la droite menée par Q' parallèlement à ON coupe les 
asymptotes et OP, on sait que OB' est le demi-axe si 

OB' = Q'U . Q'V . 
Mais US = SV, et par suite 

Q'U . Q'V = Q'S — SU, 
et puisque la droite R/R passe par l . on a 

Q'U . Q'V = R^N — OR ", 
ce qui justifie la construction . 



398 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

c On peut aussi appliquer La propriété (pie l'aire du triangle 
formé en joignant les extrémités de deux diamètres conjugués est 
constante. Si OB' est le demi-axe on a 

OB'* _ aire OA'B' _ aire OQ'R' _ OQ . R'R — Q'Q . OR 
jF? — aire OPX " = aire OPX OX . OP 



et par suite 



Mais 



OB' = 9£ (OQ . R'R - Q'Q . OR ) . 



R'Ro §£ = k n = OQ, , 
Q'Qo ^ = Q N = OR„ , 



ee qui donne 



OB' = OQ — OR = R X — OR , 
résultat conforme à la construction examinée. 

E. Cantoni, Viadana (Mantova . 

A propos d'un théorème de M. Zervos sur les racines 
des équations algébriques. 

Dans L'Ens. mathèm. du 10 juillet 1904, 6 e année, p. 297-299), 

M. Zervos examine le théorème suivant : 

Si dans un polynôme entier avec tousses termes positifs, ordonné 
par rapport aux puissances décroissantes de x, le rapport d'un 
coefficient au précédent ne ça pas en croissant, l'équation qu'on a 
en égalant le polynôme à zéro a nécessairement des racines imagi- 
naires. 

Or. il est facile de former des exemples qui ne vérifient pas ce 
théorème. 

Soit, par exemple, l'équation 

3.r 2 + 2x + 1=0, 
donnant 

— 2 ± [/W 



u /: /. / .v g i: s /.' T co i; i; i: s p o x danc /•: 399 

el l'équation 

128 x* -4-112 .»•- + 20 .* + 1=d. 

dont les racines sont : 

I —' i ± ]/b 

■>■> = -- . **,,= — — 

Du reste il ne ressort pas de la démonstration de M. Zervos que 
l'équation possède nécessairement <les racines imaginaires. 

T. Kaiuva Tokio . 



Questions et remarques diverses. 

/'// théorème sur le triangle.— Voici un théorème tout-a-lait 
élémentaire et qui est sans doute connu et utilise depuis longtemps, 
bien que je ne l'aie trouve dans aucun des ouvrages de géométrie 
que j'ai à ma disposition. 

Soit A le sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle A B ( ': 
on mené la médiane AO. la hauteur A D et la bissectrice A I: de 
l'angle A. La bissectrice A E de l'angle B A C est aussi bissectrice 
de l'angle A D. 

La démonstration est du reste immédiate. 

.le serais heureux si quelque lecteur de Y Enseignement mathé- 
matique pouvait me dire si cette propriété a été utilisée sous forme 
de théorème ou à titre d'exercice dans un manuel de géométrie: 

A. IIantos Kecskemét, Hongrie . 



Modèles et instruments. 

Collection Wiener. — La collection de modèles construits par 
M. le prof. Wiener en vue de son enseignement de géométrie 
descriptive à l'Ecole technique de Darmstadt va être éditée par la 
maison Teubner à Leipzig; elle sera complétée, au furet à mesure 
des besoins, par de nouvelles séries qui seront également établies 
sous la direction de M. II. Wiener. 



CHRONIQUE 



Un essai de réforme des études moyennes classiques en Italie. 

1. — Le Lycée-Gymnase en Italie est l'école classique, celle qui 
donne au jeune homme la culture moyenne nécessaire pour le 
préparer à la vie de l'esprit, et pour lui donner les connaissances 
qui le rendront capable de suivre avec fruit les cours des facultés 
universitaires. Ces connaissances ont été établies indépendamment 
de la profession que l'élève chosira ou des études auxquelles il 
voudra se consacrer: en effet le diplôme que l'on donne aux jeunes 
gens à la fin du Lycée (licenza liceale) leur ouvre la porte de toutes 
les facultés de l'université et des autres écoles supérieures même 
militaires. 

Bornons-nous aux degrés supérieurs de l'école classique, c'est à 
dire à la 4 me et à la 5 me du Gymnase (supérieur! et aux classes i"', 2"" 
et 3 me , du Lycée. On y apprend les branches suivantes : langues et 
littératures italienne, latine et grecque ; histoire et géographie; 
philosophie, (seulement au Lycée) ; mathématiques ; chimie et 
physique (Lycée) ; sciences naturelles ; langue française (seulement 
au Gymnase). 

Jusqu'à 1904 ces disciplines étaient obligatoires pour tous les 
élèves sans distinction : de sorte qu'elles étaient officiellement 
reconnues nécessaires pour la culture moyenne d'un jeune homme, 
du moins avec l'extension indiquée dans les programmes. Nous 
nous occuperons ici particulièrement des mathématiques ; elles 
étaient enseignées d'après un programme que l'on peut résumer 
comme suit : 

Gymnase supérieur. — Arithmétique rationnelle. — Géométrie 
plane : généralités, égalité des figures, quelques notions sur 
l'équivalence. 

Lycée. — Algèbre jusqu'aux équations du 2 me degré et les équa- 
tions biquadratiques, progressions et logarithmes. — Géométrie 
plane et solide : égalité, équivalence, similitude, mesure. — Tri- 
gonométrie plane. — Compléments d'Arithmétique rationnelle 
nombres premiers, nombres irrationnels, fractions périodiques). 



CHRONIQ l I. 101 

Par un décret du I I Novembre 1904 le Ministre de I instruction 
publique M. Orlando, introduisit dans les programmes un chan- 
gement esse ni ici ; car il déchira <|iic l'élève ne doit plus être forcé 
de suivre imis les cours jusqu'à la fin «lu Lycée, mais seulemenl 

jusqu'à la fin delà I" année, ei qu'au commencement de la 2 

année, il aura le droit de choisir cuire l'étude du grec el celle 
des mathématiques. L'élève qui choisira le grec n'aura plus, en 
2""' et 3 me , aucun enseignement de mathématiques : celui qui choi- 
sira les mathématiques n'aura que quelques leçons d'histoire de 
la culture grecque. Il va sans dire que pour pouvoir être inscrit 
aux Facultés scientifiques, l'élève doit avoir choisi les mathéma- 
tiques, el pour la Faculté littéraire-philosophique il esl nécessaire 
d'avoir reçu la licence avec le grec; pour les autres Facultés il es1 
indifférent d'avoir la licence avec l'une ou l'autre des deux dis- 
ciplines. 

Afin (pie les jeunes élèves du Lycée puissent suivre avec fruit 
les leçons de physique 2' el 3 années . on a dû augmenter les 
programmes de mathématiques de la I" année: el on a aussi aug- 
menté les programmes des autres deux cours, qui sont réservés 
aux élèves candidats aux Facultés scientifiques. Ainsi on a seu- 
lement ajouté aux programmes du Gymnase supérieur les nombres 
premiers et les proportions en Arithmétique, et l'équivalence des 
figures planes en Géométrie: quant au Lycée, voilà, en abrégé, les 
nouveaux programmes : 

l re Lycée mathématiques obligatoires pour tous les .levés . 

Algèbre. — Calcul littéral. Equations du 1"' degré à une incon- 
nue. Système de deux équations de l" degré à deux inconnues. 
Notions sur les radicaux. Détermination de la formule de résolu- 
tion de l'équation au 2'" degré à une inconnue. Progressions. 
Logarithmes théorie . 

Géométrie. — Relations de positions, égalité pour les figures 
solides. Proportionnalité et similitude en géométrie plane. 
Mesure: théorie et application à la géométrie plane. Règles pra- 
tiques pour la mesure des surfaces non planes el des solides. 

Trigonométrie. — Définitions et variations îles fonctions trigo- 
nométriques: leurs relations principales. 

2 I! " in .'5"" Lycée. — Mathématiques facultative- . 

Arithmétique et Algèbre. — Radicaux. Equations du 2 degré 
ou réductibles au 2"" degré. Binôme de Newton. Equation expo- 
nentielles et logarithmes. Nombres irrationaux et opérations rela- 
tives. Compléments sur les nombres premiers el sur la divisibilité. 
Notions sur l'analyse indéterminée du I " degré. 

Géométrie. — Equivalence et similitude des solides. Théorie de 
la mesure des surfaces non planes et des solides. Applications de 
l'algèbre à la géométrie. 

Trigonométrie. Addition, multiplication, division des arcs. I!e- 

L'Enseignement mathém. , 7 année; 1905. 



i02 CHRONIQII. 

solution des triangles rectilignes. Formules de trigonométrie 
sphérique. Résolution des triangles sphériques. 

Comme Ton voit, il y a une réduction sensible des programmes 
pour l'ensemble des élèves, et une augmentation pour ceux qui 
choisissent les mathématiques ; mais la réduction totale des pro- 
grammes obligatoires a forcé le ministre à condenser dans celui de 
la l r '' année bien des matières pour lesquelles le temps nécessaire 
à leur étude fera absolument défaut dans les quatre heures par 
semaine destinées aux Mathématiques en l re , et dont la difficulté 
est trop grande pour la généralité des élèves à cause de la prépa- 
ration relativement insuffisante qu'ils ont au Gymnase. Ce pro- 
gramme très condensé est condamné sans doute dans la pra- 
tique a être exposé seulement en partie, ou à être réduit, dans 
plusieurs de ses rubriques, à une énumération de règles et de 
propriétés avec le sacrifice de ce caractère scientifique et ration- 
nel qui devrait toujours être conservé dans l'enseignement dune 
école classique. 

Tout cela pour ce qui a rapport aux mathématiques, envisagées 
comme une discipline isolée. 

Mais on voit facilement que le décret du Ministre Orlando a des 
défauts encore plus graves, si on le considère par rapport au Lycée, 
comme école de culture générale. Car si le Lycée a pour but de 
former le jeune homme, on y doit apprendre les disciplines qui 
sont jugées nécessaires et suffisantes à ce but, pas une de plus ou 
de moins ; permettre qu'un seul élève choisisse entre deux disci- 
plines, revient à déclarer que ni l'une ni l'autre ne sont nécessaires 
à ce but. Et puisqu'on a mis le pied sur le chemin glissant du 
choix permis aux élèves, on ne tardera pas à le parcourir en entier 
en accordant aux futurs étudiants en médecine de laisser le grec 
et les mathématiques, et permettant aux étudiants en droit de 
laisser de côté, en plus du grec et des mathématiques, la physi- 
que, les sciences naturelles etc.. De plus on impose le choix entre 
deux disciplines à des jeunes gens trop peu âgés pour pouvoir 
choisir sans obéir à des préoccupations complètement étrangères, 
opposées à celles qui devraient les guider; d'autant plus qu'ils ne 
connaissent encore que des notions trop élémentaires des disci- 
plines entre lesquelles ils doivent choisir. 

Et encore pourquoi inscrire parmi les disciplines facultatives 
les mathématiques, dont personne n'ignore le rôle hautement 
éducatif et l'influence heureuse qu'elles ont sur le caractère .'Les 
difficultés que l'on trouve dans leur étude (étude qui, on doit 
l'affirmer avec insistance, est cependant possible à tout esprit 
juvénile dans les bornes qu'on lui assigne dans les écoles moyen- 
nes indiquent quelle est la tache de ces sciences dans l'école : 
montrerai! jeune homme que «vouloir c'est pouvoir ». Rendre 



CHRONIQUE i03 

libre de ne point les étudier celui qui, très souvenl à cause de 
sa mauvaise volonté, les juge difficiles, c'esl Lui épargner une belle 
occasion d'apprendre à Lutter contre les obstacles de la vie. 

2. — (!cs considérations, et d'autres encore que je laisse de côté, 
ont créé parmi les professeurs italiens une sorte d'agitation, el plu- 
sieurs d'entre eux ont t'ait connaître leur opinion soit par des ar- 
ticles de journaux, soit pardes Lettres adressées à M. le Ministre. 
C'est ce (pi 'ont l'ait aussi quelques-unes des associations <le profes- 
seurs. 

Parmi ces dernières je signale, à cause de son importance tech- 
nique et de son rôle dans la question dont je parle, l'association 
• Mathesis ». qui, comme on sait, vise l'amélioration de l'école 
et des méthodes d'enseignement au point de vue des mathémati- 
ques, et qui, autrefois avait vu les conclusions de ses études ac- 
cueillies par le Ministre dans une réforme des programmes. 

Sa dernière manifestation a été une importante séance, tenue a 
Milan les 21 et 22 Avril 1905, et à laquelle les professeurs de 
l'Italie du Nord ont été invités. Le hut de la séance était L'examen 
et la discussion des questions suivantes: 

« 1. Conséquences de la faculté de supprimer l'étude des mathé- 
« matiques en 2'"" et .')""' du Lycée, pour L'éducation intellectuelle et 
« morale des jeunes gens. A-t-on réalisé cette redonne de sorte à 
« en obtenir les avantages que le Ministre Orlando en attendait . 

« II. Sur les nouveaux programmes de mathématiques pour le 
« 4 mt ' et 5 me du Gymnase et pour la L re du Lycée, c'est-à-dire pro- 
gramme obligatoire ». 

« III. Sur les nouveaux programmes de mathématiques pour les 
« 2"" et 3 me du Lycée, c'est-à-dire: programme facultatif » . 

Un nombre considérable de professeurs d'écoles moyennes et 
d'universités ont été présents et ont pris part à la discussion, pré- 
sidée par le Professeur Pascal, de l'université de Pavie. Ils ont 
adopté, à l'unanimité, les résolutions suivantes: 

I. Les professeurs de mathématiques du Nord de l'Italie, réunis à 
Milan le 21 Avril 1905 pour discuter les conditions <jiic les récen- 
tes dispositions du Ministre ont fait à l'enseignement des mathéma- 
tiques dans les écoles classiques, 

N'admettant pus qu'un jeune homme sain d'esprit puisse avoir 
une prédestination naturelle à ne point apprendre une quelcon- 
que des disciplines qui sont la base de la culture générale clas- 
sique, et, par conséquent, jugeant faux et dangereux le principe 
sur lequel s'appuie la dernière réforme de l'école classique; 

En considérant que l'étude des mathématiques est nécessaire, à 
cause de sa fonction hautement éducative de l'intelligence, 
comme complément de la culture donnée par les études littéraires 
et à cause aussi de l'application toujours croissante qu'elles 



m CHRONIQUE 

reçoivenl aux sciences naturelles, économiques, sociales et philo- 
sophiques ; 

En considérant aussi que pour la plupart «les jeunes gens le 
choix du grec ou des mathématiques sérail très souvent déterminé 
par des circonstances accidentelles (par exemple par le degré de 
sévérité des professeurs respectifs) plutôt que par une aversion 
innée pour l'une ou pour l'autre des deux disciplines; 

Déclarent que la dite réforme, si elle reste acquise au Lycée, 
amoindrira l'importance et plus encore, anéantira presque l'influ- 
ence de deux disciplines, qui sont fondamentales et en elles-mê- 
mes et pour une constante tradition italienne, au grand préjudice 
de l'éducation nationale. 

Et enfin se plaignent que Ion ait réalisé une réforme aussi im- 
portante sans avoir préalablement questionné en général les per- 
sonnes compétentes et malgré les délibérations plusieurs fois 
prises par l'Association Mathesis. 

II. La réunion juge qu'un seul progamme de mathématiques élé- 
mentaires rationnelles... doit être obligatoire pour tous les élèves 
et pour toutes les classes du Lycée... 

III. Pour ce qui est d'une transformation générale de l'école 
moyenne, que l'on annonce prochaine, l'assemblée exprime le 
vœu que cette école soit divisée en deux périodes quadriennales: 
et que la deuxième période soit exclusivement réservée — pour 
touslesquatre cours etpour tousles élèves — au développement des 
éléments de mathématiques rationnelles, avec un seul professeur. 

IV. La réunion, après avoir mis en relief les défauts des pro- 
grammes actuels pour les mathématiques dans les écoles classiques, 
juge qu'il serait utile de préparer de nouveaux programmes pour 
la partie des mathématiques obligatoires. 

.'). — Le Professeur Pascal prononça le discours de clôture dont 
je tiens à reproduire ici un passage: 

« .... Vous deviez protester, et vous l'avez fait : protester contre 

« la faute d'un ministre qui n'a pas hésité de porter une atteinte 

« si grave à toute la culture nationale ; car c'est frapper les ra- 

« ci nés mêmes de la culture que de frapper la science qui de la 
culture et de l'éducation nationales est la base la plus solide, la 
ci plus pure, la plus durable, la science dont la plus grande iin- 
« portance réside moins dans ce qu'elle apprend que dans la mé- 
thode qu'elle emploie, et par conséquent dans l'atitude que 
« l'esprit de l'élève prend grâce à elle et dans l'habitude qu'il en 
« acquiert et qu'il conservera pendant toute sa vie. » 

4. — La séance fut suivie d'une intéressante conférence du Pro- 
fesseur G. LmtiA, de l'Université de Gênes, intitulée: Programmes 
du passe cl programmes pour l'avenir-. En voici un résumé. 



i HRONIQ II. i05 

Si c'esl un professeur universitaire « j 1 1 i parle dans une réunion 
de professeurs secondaires, il □ j a Là rien de choquanl : les di- 
verses disciplines mathématiques sonl enchaînées entre elles, el 
celui «|ni en professe une ne peul pas sr désintéresser des au- 
tres. 

L'orateur ne nie pas que l'on ail obtenu dans ces dernières 
an nées des améliorations même sensibles dans les méthodes d'ex- 
position de quelques matières des mathématiques: et il cite 
comme exemple les fondements «le la Géométrie, la théorie de 
l'équivalence géométrique, celle des nombres irrationnels, la 
fusion de la planimétrie avec la stéréométrie. Mais il observe que 
c'esl le plan général des études mathématiques dans les écoles 
moyennes qui n a pas changé, car presque toujours les modifica- 
tions aux programmes consistent en «les changements d'ordre, 
mi bien en des adjonctions «m «les suppressions. 

Le plan selon lequel on apprend lagéométrie, particulièrement 
dans les Lycées, est encore, substantiellement, celui des Eléments 
d'Euclide, excellent pour le temps dans lequel il a été conçu el 
apte pour faire connaître les ouvrages des grands géomètres de 
l'antiquité : mais ce n'est certes pas là le luit que doit avoir l'ensei- 
gnement de lagéométrie dans les écoles moyennes de notre siècle. 
Le jeune homme qui passe du Lycée à nos facultés mathémati- 
ques se trouve dans un champ tout à tait nouveau, et presque 
imprévu. 

Ces conditions ont quelque peu changé «le nos jours, beaucoup 
plus, cependant, pour la valeur des professeurs que pour la honte 
des programmes ; mais elles persistent encore, et peut-être une «les 
causes en est la nature même des mathématiques dans lesquelles 
il n'y a «le nouvelle conquête qui puisse effacer une seule des vé- 
rités déjà acquises à la science, et une autre cause est l'enthou- 
siasme que les Italiens ont toujours pour tout ce qui est classique. 

Pour modifier l'enseignement dans le sens voulu par l'orateur, 
il faut introduire dans l'enseignement moyen quelques idées gé- 
nérales, qui sont fondamentales dans les cours supérieurs: celles de 
fonction, de correspondance ou représentation, de transformation , 
peut-être même celle de groupe d'opérations el de transforma- 
tions : «>n jeterait ainsi une grande lumière sur plusieurs chapitres 
des mathématiques, et on pourrait a la fois rendre es sciences 
moins arides pour les élèves. 

On pourrait de plus faire descendre quelques théories, aujour- 
d'hui jugées supérieures, jusqu'à l'enseignement secondaire, par 
exemple les éléments de la géométrie analytique e1 <l< à la géomé- 
trie descriptive, utiles, celle-ci clans la géométrie solide, celle-là 
dans la géométrie plane: car ces «déments, les exemples n'en font 
pas défaut, peuvent facilement être condenses en peu de leçons 
pas trop difficiles, (lest ainsi qu'on t'ait dans d'autres pays. 



406 CHROMQli: 

Comme les autres sciences, les mathématiques aussi marchent; 
ce qui était supérieur mais accessoire un temps, est aujourd'hui 
élémentaire et fondamental. En France on a déjà introduit dans 
l'enseignement moyen les éléments du calcul infinitésimal. Au 
reste les idées fondamentales de ce calcul, qui sont celles de limite 
et d'infini, se retrouvent, visibles ou cachées, aussi dans bien des 
questions de mathématiques élémentaires. Quand la géométrie 
analytique et le calcul infinitésimal auront, du moins en partie, 
pénétrés dans les écoles moyennes, les écoles supérieures pour- 
ront bien autrement qu'à présent jouer leur rôle. 

On peut faire l'objection que les progammes de mathématiques 
sont déjà assez vastes, et que. en comparaison des heures qu'on 
leur assigne, on ne peut guère penser à les augmenter. L'orateur 
répond qu'on pourrait réduire de beaucoup les programmes ac- 
tuels. On pourrait supprimer la séparation trop absolue entre 
l'algèbre et la géométrie: laisser de coté quelques questions qui, 
aujourd'hui, n'ont plus raison d'existence, par exemple les pro- 
portions, avec leur suite de règles variées : on peut dire de même 
de quelques chapitres dont l'utilité pratique ou logique est discu- 
table, par exemple l'analyse indéterminée du 1 er degré, ou qui sont 
inutilement compliqués en les traitant élémentairement, comme 
les maxima et minima. la détermination de la valeur de certai- 
nes formes indéterminées, la théorie des sections coniques. 

L'orateur, en terminant, observe que les modifications qu'il a 
indiquées n'accroîtront pas, selon lui, la difficulté de l'étude des 
mathématiques élémentaires : et que, au reste, si la difficulté en 
réalité dût augmenter, il y aurait un véritable avantage, car elle 
servirait à diminuer le nombre des jeunes gens qui parcourent le 
chemin des études, sans y être naturellement inclinés. 

Turin. 2 août 1905. 

Rodolphe Bettazzi Turin. 



Les mathématiques au Congrès de l'Association française 
pour l'avancement des Sciences, tenu à Cherbourg en août 1905. 

Le Congrès s'est ouvert le 3 août sous la présidence de M. A. 
Giard, Membre de l'Institut, assisté du Maire de Cherbourg et de 
M. le D 1 Gariel, Secrétaire général de l'Association. Il est hors 
du programme de U Enseignement Mathématique de résumer le 
Discours de M. Giard; nous dirons seulement que c'est un savant 
aperçu de 1 influence de la théorie de l'évolution sur les progrès 
accomplis en Histoire Naturelle depuis un siècle. 

Les travaux des sections I et II, celles des Mathématiques, de la 
Géodésie et de la Mécanique, furent ouverts par un beau Discours 



CHRONIQUE '•'»: 

• le M. P. A.ppell, Membre de l'Institut, Doyen de La Faculté des 
Sciences de l'Université de Paris, sur les difficultés que présentenl 
quelques questions de la Mécanique rationnelle, en restant, afin 
de pouvoir se rapprocher des applications, sur le terrain de la 
mécanique classique créée par Galilée el Newton. M. Appell a 
montré d'abord que des théories exactes peinent être m. il inter- 
prétées si on ne les précise pas par des expériences; en prenanl 
la méthode par la photographie instantanée, imaginée par Marey, 
pour étudier les mouvements des animaux, il a montre que les 
discussions relatives au chat qui, abandonné d'une certaine hau- 
teur les pattes eu l'air, arrive au sol sur ses pattes, provenaient 
i\y\ manque de précision du mot retourner: le chat ne se retourne 
pas tout d'une pièce, mais il exerce pendant la chute une suite de 
déformations et de contorsions conformes à la loi des aires. I. ora- 
teur pense que, si les expériences de M. et M"" Curie sur le ra- 
dium paraissent apporter une dérogation au principe de la con- 
servation de l'énergie, ces dérogations ne sont qu'apparentes et 
regarde comme probable qu'on ne tardera pas à le prouver. Le 
savant analyste rappelle que les équations de la mécanique ration- 
nelle, résultant des travaux de D'Alembert et de Lagrange, con- 
sidérés pendant longtemps comme inattaquables, ont été mises 
en défaut en 1S72 par le mathématicien anglais Ferrers, quia pris 
comme exemple le mouvement d'un cerceau sur un plan ; il s en- 
suit que les équations précédentes ne peuvent être employées (pie 
dans les cas où l'on peut négliger les dérivées secondes des para- 
mètres, leurs carrés et leurs produits; d'ailleurs, en 1905, M. 
Philip E. B. Jourdain a proposé d'autres équations contenant ces 
dérivées et paraissant devoir rendre service en physique mathé- 
matique. M. Ai>i j ell fait ensuite l'historique du problème fonda- 
mental de la Mécanique Céleste; il rappelle que les méthodes 
approximatives employées par Laplace pour résoudre le problème 
des trois corps manquent de rigueur; il signale les méthodes 
nouvelles, puissantes et rigoureuses exposées par M. II. Poincaré 
dans son Mémoire couronné, ainsi que l'exposé que cet éminent 
géomètre a fait dans les trois volumes de son Traité sur les Mé- 
thodes nouvelles de la Mécanique Céleste. Ce Discours s'est ter- 
miné par des considérations sur l'importante question du frotte- 
ment : les récents perfectionnements apportés à la théorie, pour la 
mettre en rapport avec la réalité, sont nettement indiqués par le 
savant géomètre qui vient détenir un nombreux auditoire sous le 
charme de sa parole convaincante. 

Le président des Sections I et 11 était M. Maurice d'OcAGNE ; 
furent élus vice-présidents MM. Clark, professeur à l'Ecole poly- 
technique du Caire, et Ernest Lebon; secrétaire M. Clapier, pro- 
fesseur agrège de mathématiques au Lycée de Cherbourg. Les 
Communications faites en séance repondent toutes au but (pie 



il is CHRONIQUE 



poursuil L'Association : faire connaître des perfectionnements ap- 
plicables dans l'Astronomie, l'Industrie, l'art de l'ingénieur el 
l'enseignement. Je regrette, pour qnelqnes-nnes, de ne pouvoir 
donner que le titre, les Auteurs ayant été absents. 

M. Clark a montré qu'il est très important pour l'analyse de 
préciser exactement, quand un discriminant s'évanouit, la nature 
de ses facteurs qui correspondent à une singularité particulière 
de la fonction. Le théorème qu'il a établi peut être pris comme 
base de l'étude des singularités algébriques et géométriques ; en 
particulier, il est applicable à la recherche des solutions singu- 
lières des équations différentielles. 

M. Maurice (I'Ocacxe a fait connaître des développements nou- 
veaux de la méthode nomographique des points alignés et en a 
donne des applications très utiles, après avoir montré les progrès 
qu'il a fait faire à la construction des abaques, la nature des pro- 
blèmes algébriques auxquels elle peut s'appliquer, les applications 
techniques actuelles, notamment à l'art de l'ingénieur et à lait 
nautique. 

M. le L 1 de vaisseau Perret, directeur de l'Observatoire de la 
Marine à Lorient, a exposé l'application générale aux calculs nau- 
tiques de la méthode des points alignés Homographie, construc- 
tion des abaques . Les nomogrammes à trois variables servent 
à trouver la parallaxe en hauteur des planètes et de la Lune; les 
nomogrammes a quatre variables sont appliqués notamment à la 
navigation par l'arc de grand cercle et aux prédictions des occul- 
tations. 

M. Maurice d'OcAGNE a indiqué un procédé cinématique pour 
déterminer le rayon de courbure en un point d'une ligne sphérique 
définie par une relation entre la longitude et la latitude et La ap- 
pliqué à la loxodromie. 

M. Hébert, de Rennes, a montré comment on peut déterminer 
les surfaces développées îles quadriques, en entrant dans quelques 
détails relatifs aux quadriques à centre, aux paraboloïdes ellipti- 
que et hyperbolique, aux quadriques de révolution. Son travail 
est une mine d'exercices intéressants de géométrie analytique pour 
les (dasses de l'enseignement secondaire. 

M. Gardes, de Montauban, présente quelques remarques rela- 
tives à l'utilité d'une méthode unique dans l'enseignement des 
théories de la division et de la racine carrée. Il montre que l'on 
arrive aisément à obtenir un parallélisme complet de raisonne- 
ments pour la division et la racine /; ieme d'un nombre. 

M. Tarry, de Paris, dans un Mémoire ayant pour titre Construc- 
tion des carrés magiques pour les trois premiers degrés, démontre 
que les propriétés du transformateur cabalistique, exposées par lui 
au Congrès de Grenoble en 1904, permettent de transformer en 
carre trimagique un carré magique à quartiers bimagiques, cous- 



CHR ONIQ II. 109 

truil ce dernier carré avec La ha ><• 16 el en déduil le carré trima- 
gique de base L28. 

M. Ernest Lebon communique une suite de ses recherches sur 
le nombre des nombres premiers de I à N. En s'appuyanl sur des 
propriétés non encore signalées de certaines progressions arith- 
métiques, il arrive à établir une formule générale uouvelle pour 
résoudre exactemenl el assez rapidement le problème précédent. Il 
.■-i ainsi conduil à calculer des nombres qui. rangés dans un i 
tain ordre, forment une Table permettant de reconnaître rapide- 
ment si un nombre est premier. 

M. Gabriel A.rnoux: Les espaces arithmétiques à côtés premiers 
inégaux. 

M. Ai ricoste: Sur un nouvel appareil enregistreur. 

M. A. Cabreira: Sur la théorie des nombres. Sur les nombres 
polygonaux. 

MM. Claude el A.uricoste : Sur un nouveau dispositif de pendule 
astronomique . 

M. Fontaxeau : Préliminaires d'hydraulique ; applications. 

MM. Favé ri R.OLLE1 de l'Isle : Sur l'emploi des aérostats en hy- 
drographie. 

M. [,EBEUF : Sur les essais (les eh rononiet rcs . 

M. Pesci : Sur l'application de la nomographie a l'art (le la navi- 
gation. 

Dans Tune des séances, M. Clapier a proposé l'étude en 1906 
des questions ayant pour titres: 1" Sur les nouvelles méthodes 
d'enseignement des sciences dans les lycées et collèges : 2 sur 
les historiens des mathématiques depuis Montucla jusqu a Maximi- 
lien Marie; 3° sur la géographie mathématique forme de la terre, 
tourhillons dans les rivières, séismes et déformations de la croûte 
terrestre . 

Enfin, un certain nombre de congressistes ont exprimé le désir 
que les mémoires fussent présentés par les auteurs eux-mêmes ou 
par un délégué qui aurait pu s'en assimiler la substance; que les 
Auteurs de ces mémoires indiquent les travaux antérieurs et in- 
sistent sur le perfectionnement qu'ils apportent aux méthodes de 
connues. 

L'Association avait organisé des excursions qui, >ou> l'attentive 
direction de M. le secrétaire gênerai Gariel, ont pleinement ré- 
ussi : les congressistes ont visite la contrée «le Saint-\ aast-la- 
Ilougue. les laboratoires de zoologie de l'île de Tatihou, dont la 
belle installation leur fut expliquée par le directeur, M. Edmond 
Perribr, Membre de l'Institut: la falaise et les grottes du i\ez de 
Jobourg; les iles de Guernesey et de Sercq. 

Ernest Lebon Paris . 



',|ii CHRONIQUE 

Le Congrès espérantiste de Boulogne-sur - Mer ; 5 — 11 août, 1905. 

Oue de savants ne se sont-ils pas mis à douter de l'utilité des 
congrès internationaux, parce que la diversité des langues les a 
empêches de suivre certaines communications d'un grand intérêt 
ou d'échanger leurs vues avec quelques collègues d'autres pays. 
Ces doutes étaient du reste justifiés tant qu'il n'existait pas de 
langue auxiliaire internationale d'un emploi pratique; mais ils ne 
tailleront pas à se dissiper après des expériences aussi concluantes 
que celles qui viennent de se faire à Boulogne-sur-Mer. En effet, pen- 
dant une semaine environ 1500 personnes de dix-huit nationalités 
différentes, et de toutes conditions sociales et intellectuelles, ont 
pu délibérer, voter, discourir, entendre des communications, des 
déclamations et des pièces de théâtres, tout cela sans laide d'un 
autre idiome que la géniale création du D' Zamenhof: la langue 
auxiliaire internationale Espéranto. 

Ce premier congrès est donc pour les espérantistes un gros 
succès, car leur langue avait beau compter parmi ses partisans des 
savants tels que Max Muller, Berthelot, Poincaré, Ramsay, on 
n'en répétait pas moins que chaque peuple prononcerait l'Espéranto 
à sa manière et que jamais on ne se comprendrait. Or le Congres 
de Boulogne anéantit cette objection, puisque la prononciation 
des congressistes était si uniforme qu'on ne pouvait, la plupart 
du temps, reconnaître leur nationalité. 

A côté de ce fait, qui n'est certes pas de moindre importance, 
le Congrès de Boulogne a eu cependant d'autres résultats pratiques. 
Sous la présidence d'honneur du 1)'' Zamenhof et sous la prési- 
dence effective de M. Boirac, recteur de l'Université de Dijon, 
assist( ; du général Sébert, de l'Institut, et d'un délégué de chaque 
pays, le congrès a institué une sorte d'Académie provisoire chargée 
de veiller à la régulière évolution de la langue. Les sciences y 
sont représentées par plusieurs savants parmi lesquels figure 
un mathématicien, M. C. Bourlet. 11 a en outre adopté une décla- 
ration du D 1 ' Zamenhof tendant à expliquer le but des espéran- 
tistes, qui présentent leur langue uniquement comme au.riliaire, 
comme idiome second/tire d'échanges et de relations entre peuples 
différents. On a exprimé le vœu que le prochain congrès eût lieu 
en Suisse. 

Prix Bolyai fondé par l'Académie Hongroise des Sciences. 

A l'occasion du centième anniversaire de la naissance de Jean 
Bolyai, l'Académie Hongroise des Sciences voulant perpétuer le 
souvenir de cet illustre savant, ainsi que celui du profond penseur 
que fut Farkas Bolyai son père et son maître, décide de fonder 
un prix, qui portera le nom de Prix Bolyai. Ce prix consistera 



I II i; N l Q i I '.Il 

en une médaille commémorative e1 en une somme de dix mille 
couronnes; il sera décerné pour ta première lois en L905, puis de 
5 en 5 ans à l'auteur <lu meilleur ouvrage de mathématiques paru 
au cours des 5 années précédentes. Le prix pourra être décerné 
a tout ouvrage qui en scia jugé digne, quelle que soit lu langue 
dans Laquelle il aura été rédigé, e1 quelle que soii la forme sous 
Laquelle il aura été publié. La domination du Lauréal aura lieu au 
coins de l'Assemblée générale dé l'Académie au mois de décembre. 
Dans le cas où l'ouvrage d'un auteur décédé sciait reconnu digne 
du prix, celui-ci sera attribué à ses héritiers. 

Circolo matematico di Palermo. 

Fondé en L884, le Circolo matematico di Vola nia n'a pas tardé 
a réunir la plupart des mathématiciens italiens el à constituer en 
quelque sorte la société mathématique d'Italie. Il est aujourd'hui 
en pleine prospérité; son effectif se compose de 2.").") membres au 
26 mars 1905), parmi lesquels figurent <SL savants étrangers. Le 
Cercle publie un périodique, dirigé par M. le prof. Guccia, et 
intitulé Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. Les Rendi- 
conti forment chaque année un volume d'environ 300 pages el 
figurent dans presque toutes les bibliothèques scientifiques à côté 
des grands journaux mathématiques. 

La société publie en outre, un Annuaire. Celui de L905 contient, 
à côté des statuts et renseignements divers concernant le Circolo, 
1" une liste détaillée des membres, avec lieu et date de naissance, 
titres, fonctions officielles et adresse : 2° la liste des mémoires 
et communications insérés dans les vingt premiers volumes des 
Rendiconti. 

Rappelons qu'à l'occasion du IV"" Congrès international des 
mathématiciens, qui se tiendra à Rome en 1908, le Circolo décer- 
nera un prix international de Géométrie à un mémoire qui fera 
faire un progrès essentiel à la théorie des courbes gauches algé- 
briques. Ce prix, qui sera appelé « MédailI i Guc< ia du nom de 
son fondateur , consistera en une petite médaille en or et en une 
somme de 3,000 lianes. Voir UEns. math, du 15 janvier 1905, 
p. 59-60 . 

Nominations et distinctions. 

M. A. Blumenthal, priv.-doc. à l'Université de Gottingue, esl 
nommé professeur à l'Ecole technique supérieure d'Aix-la-Chapelle. 

M. G. -A. Bliss, prof, a l'Université de Missouri, est nomme 
prof. adj. à l'Université de Princeton. 

M. VV.-E. Brooke est nomme prof, extraord. de mathématiques 
appliquées à l'Université de .Minnesota. 



ï 1 2 N O T ES E T DOC V M E N T S 

M. E. Biîowx. prof, à l'Université de Liverpool, est nommé prof. 
extraord. à l'Université Me Gill. 

M. J.-E. Campbell, prof, à l'Université d'Oxford, est nommé 
membre de la Royal Society de Londres. 

M. R.-H. Curtiss, de l'observatoire Lick, est nommé prof, ex- 
traord. d'Astronomie à l'Université de Western, Pensylvanie. 

M. W.-B. Fite, est nommé prof, extraord. de mathématiques à 
l'Université Cornell, à Ithaca, New- York. 

M. A. Gutzmer, prof, à l'Université de Jena, est nommé prof, à 
l'Université de Halle. 

M. R. Haussexer, prof. !i l'Ecole technique supérieure de Karls- 
ruhe, est nommé prof, à l'Université de Jéna. 

M. S. Heffter, prof, à l'Ecole technique supérieure d'Aix-la- 
Chapelle, est nommé prof, à l'Université de Kiel. 

M. E.-V. Huntington est nommé prof, extraord. à l'Université 
Harvard Cambridge, Mass.). 

M. Ch. Méray, prof. ;i la Faculté des sciences de Dijon, est 
admis à la retraite et nommé prof, honoraire. 

X. Tumlirz, prof, à l'Université de Czernowitz, est nommé prof, 
de physique mathématique à l'Université d'Innsbruck. 

M. Whittaker, prof, à l'Université de Cambridge, est nommé 
membre de la Royal Society de Londres. 

Sont nommés maîtres de conférences de mathématiques : MM. 
Ai roNNE, à l'Université de Lyon; Bourget, à l'Université de Tou- 
louse; Clairin, ;i l'Université de Lille: Dulac, à. l'Université de 
Grenoble; Esclaugon, à l'Université de Bordeaux; Lebesgue, à 
l'Université de Rennes. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Sous ce titre nous publions des renseignements relatifs ;i l'organisation 
de l'enseignement : créations nouvelles, programmes et règlements d un in- 
térêt général, liste des cours des principales Universités et Ecoles supé- 
rieures, etc. La Rédaction. 

Cours universitaires. 
Semestre d'hiver 1905-1906. 

ALLEMAGNE 

Berlin; Universitàt. — Schwarz : Analyt. Geom. 4: math. Coll. 1, Th. d. 
analyt. Funktionen, 4: Anwendgn. der ellipt. Punktionen, 2. — Schur : Di(I. 
rechn., '» ; Uebgn. dazu ; Th. d. Irrationalzahlen, 1. — Leh.mann-Filhés : In- 



NO TES E 1 DOC l ME VTS il 3 

.1 1 1 i'cIim . , 'i . Uebg. I . — K mm: i .m « ii : Angeniiherte Berechnung best. 
Intégrale I : Th. d. ellipt. Funktionen, 'i : Analyt. Mechanik, i. — Landai 
Algebra, 'i. — Fhobexius Zahlentheorie, J. -— Hettner: Ueber unendl. 
Reihen, Produkte u. Kettenbruche, 2. — Schottky : Th. d. Abelschea Funk- 
tionen, \ : Potenlialth. in der Ebene, 2. — Si hw m:/. I robi su - u S< hottky; 
l ebgn. des mal hem. Seminar. 

Fœrster : Geschichte d. neueren Astronomie, 2 ; fondamental Ausgleichung 
von Zeil u. Raummessung, 2. — Mari i si Allgemeiae Himmelskunde, I 
Th. u. Praxis der Ortsbeslimmungen mil LJebgn.. 2; Colloquinm, I '/2. — 
Bausi iiim.ii; : F.inl. in die Mechanik des Himmels, 3; Sem 1. — Struvi 
Einf. in die Th. «In- Bewegung der Satellites 3 : Astron. Uebgn. 1. — 11m- 
mkkt : Méthode <\a- kleinsten Quadrate I Schwerkraft u. Gestalt der Erde 
1. — Fœrster, Struve m. Bauschingi r : Sem. zur Ausbildung im wissensch. 
Rechaen. 

Breslau ; Universitàl. — Rosanes : Elem. <\cv Determinantentheorie, '2. 
neuere Methoden der analyt. Géométrie, ■• : Uebgn. îles math.-phys. Semi- 
nais. 1 g. — Sturm : Uebgn. des math.-phys. Seminars, 2 g ; Th. der <_ r « / <i- 

metrischen Verwandschaften, Teil II, ï; Linieng aetrie, 2. Kmmi: Semi- 

aarùbungen fur Vorgeschriltene, 1 i, r : DiflFerenlial- und [ntegralrechnung 
mit Uebgn., "i ■. Funktionentheorie, :!. — Franz: Uebgn. in Bahn- und Stô- 
rungsrechnung, 1 g : Elem. der praktischen Astronomie, 2: Bahnstôrungs- 
rechnung mil einer Einieitung ùber Interpolation und mechanische Quadra- 
tur, 3 : Geschichte der astronomischen Entdeckungen, fur Hôrer aller Fa- 
kultàten, 1. — Landsberg : Algebraische Uebgn., 2; Th. d. Gleichungen, i : 
Einieitung in die Théorie der algebraischen Funktionen, '2. 

Freiburg i. B.; Universiiàt. — Lûroth : Analyt. Géométrie der Ebene und 
Différent ialrechnung, ô ; Variationsrechnung, 3; Seminar, 1. — ■ Stickel- 
berger : Th. der Differentialgleichungen, i : Elem. <Uv Zahlentheorie, 2 — 
Kômgsbergkk : Elem. der parliellen Differentialgleichungen, :!. — Lœwï : 
Algebraische Analysis', i : Einfûhrung in die Versich'erungsmathematik, 2. 
Uebgn. im math. Seminar. 

Gœttingen ; Universitàt. — Rikcki : Ausgew. Problème der Wellenlehre, 
1. — Klein: Proj. Géométrie (mit Nichteuklidischer Géométrie ï; Mathemat. 
Seminar : Elektrotechnik. — Hilbert : Mechanik, \ : Partielle Differential- 
gleichungen, 2 ; Uebungen ùber die Th. der Differentialgleichgn. (mit Prof 
Minkowsky), 2. — Sohwarzschild : Mechanik des Himmels. II, 3; Astron. 
Kolloquium, 1. — Minkowski : Zahlentheorie, 4: Algebr. Kurven und Flii- 
chen, 2 ; Uebungen ùber die Differentialgleichgn., 2. — C. Runge: Differential- 
und Integralrechnung II. Teil, 3: Uebungen zur Differential- und [ntegral- 
rechnung, 3 : Graphische Methoden der Mechanik u. Physik, 3 : Mathcm. 
Seminar : Elektrotechnik, 2. — Bkjendel : Versicherungsmathematik : Uebun- 
gen zur Versicherungsrechnung fur Nationalôk-onomen und Juristen und 
Vortrâge der M'tglieder, 2 — Ambronn : Théorie und Bau der astron. Ins- 
trumente, :> : Uebungen im astron. Beobachten fur Anfànger, 3 ; Uebungen 
an (\>-n Instrumenter! der Sternwarte tiiglich : Ueber Gradmessungen, I. — 
Prandtl : Elektrotechnisches Seminar, 2. — Zermelo : Funktionen reeller 
Variablen, '!. — Abraham: Maxwell'sche Théorie und Hertzsche Schwin- 
gungen, •!. Blumenthal : Flâchentheorie, 3. — Bosj : Einfûhrung in die 
mathem. Behandlung der Naturwissenschaften, :!. — Qerglotz : I eber Mi- 
nimalflâchen, 2. — Carathèodori : Kontinuierliche Gruppen, 3 



\ 1 ', N TE S ET DOC r M E N T S 

Greifswald ; Universitât. — Thomé.: Polentialfunklion, 4; Variationsrecb- 
nung. 2 g ; Math. Seminar, 2 g. — Engel : Analyt. Mechanik I, 4 ; Algebra, 
'i : Differentialgleichungen u. Transformationsgruppeu, 2 g; Math. Seminar, 
2 g. — Yahlkn : Differentialrechnung, i ; Wahrschcinliehkeits u. Ausgiei- 
chungsrechnung, 2 : Uebgn. zur Differentialrechnung. 1 g. 

Halle; Universitât. — Cantor : Th. der analyt. Funklionen, 'i ; Uebgn. des 
math. Seminars, aile 14 Tage 2 priv. u. g. — Wangerin : Th. des Potentials 
und der Kugelfunktionen, 4 : Anwendungen der elliptischen Funktionen, 2 ; 

Uebgn. des math. Seminars, aile 14 Tage, 2 priv. u. g. — Gutzmer : Analyt. 
Mechanik. 4; Th. u. Anwendung der Determinanten. 2; Uebgn. des math. 
Seminars in noch zu bestimmenden Stunden, priv. u. g. — Eberhard : 
Uebgn. zur Integralrechnung. 1 g ; Integralrechnung, 4. — Buchholz : Grund- 
lagen der astronomischen Bewegungslehre (analytische Stôrungstheorie), 2; 
Th. der Ausgleichung der Beobachtungsfehler (Méthode der kleinsten Qua- 
dralel. 1. — Bernstein : Analyt. Géométrie des Raumes, 2; Th. der Diffe- 
rentialgleichungen, 2. 

Heidelberçf ; Universitât. — Kœmgsberger : Analyt. Mechanik, 4: Ellip- 
tische Funktionen iFortsetzung der Fiiiiklionentheoriei, 2 ; Ausgewahlle 
Kapitel der Integralrechnung (Differentialgleichungen, Variationsrechnung), 
2 : Uebgn. im math. Unter- und Oberseminar. 2. — Yalentiner : Bahnver- 
besserung einschliesslich spezielle Stôrungen, 2. — Moritz Cantor : Diffe- 
rential- und Integralrechnung, i ; Uèbgn. dazu, 1 g ; Polilische Arithmetik. 
2. — Kœhler : Analyt. Géométrie des Raumes, 3. — Bœhm : Einfuhrung in 
die hôhere Mathematik, li ; Lektùre einer math. Abhandlung. 1. — R. 
Weber: Vektoranalysis und deren Anwendung in der theoritischeu Phy- 
sik, 1. 

Jena ; Universitât. — Thom.e : Elementare Funklionentheorie, 4; Analyt. 
Géométrie des Raumes. i ; Seminar, 2 g. — N. X.: Integralrechnung mit 
Uebgn.. 5 ; Th. und Anw. der Determinanten, 2 ; Elem. der Zahlentheorie, 
2. — Frege : Analyt. Mechanik, 4 ; Begriffsschrift, 1 g. — Auerbach : Me- 
chanik der festen, flùssigen und gasfôrmigen Kôrper, 4 ; Die Entwickelung 
der Physik seit 100 Jahren, 1. — Knopf : Sphhrische Astronomie, i : Wahr- 
scheinlichkeilsrechnung und Méthode der kleinsten Quadrate, 3. 

KÔniçjsberg ; Universitât. — Franz Meyer : Mathem. Seminar. 1 g; Th. 
d. algebraischen Gleichg., 4. — Batterman.n : Allgemeine Astronomie, 1 g; 
Sphàrische Astronomie, 3. — Saalschltz : Analyt. Géométrie des Raumes, 
3; Uebgn. dazu. 1 ; Einleitg. in die algebraische Analysis, 4. — Fritz Cohn : 
Potentialtheorie, 3. 

Leipzig; Universitât. — Neumahn : Difl'erential- und Integralrechnung, 4; 
Malhemat. Seminar, 1 g. — Bruns : Fehlertheorie und Ausgleichungsrech- 
nung, 4 ; Seminar fur wissenschaftl. Rechnen, 2 g; Phrakt. Ueb. in der 
Stemwarte unit Prof. Peter), g. — A. Mayer : Analyt. Mechanik, 4; Ueb. 
zur analyt. Mechanik, Sonnab., 1 g. — O. Hôlder : Elliptische Funktionen, 
4 ; Galois'sche Théorie der algebraischen Gleichungeii, 2 ; Mathemat. Semi- 
nar : Ueb. in Funktionenlheorie, 2 g. — Rohn : Analyt. Géométrie des Rau- 
mes, 5 ; Ueb. hierzu. 1 g; Darstellende Géométrie II, 2 ; Ueb. hierzu (mil 
Prof. Liebmann). 2 ; Seminarist. Ueb.. 2 g. — Peter : Th. der geograph. 



NOTES /•: /' DOCUMENTS »15 

Orlsbeslimmungen, I : Ueb. im Ephemeridenrechnen u. Bahnbestimmen, 1 
g; Prakt. Ueb. in der Sternwarte |mil Prof. Bruns), g. — Hausdorfi Einf. 
in die Théorie der ïransformationsgruppen (nacfa S.i|)lius Lie), 3. — Lieb- 
m \ \ n : Potentialtheorie, 2 ; Graphische Statik, 2 ; Ueb. zur darslellenden 
( ieometric II (mit Prof. Rohn), -. 

Marburg; Universiiàt. — Hensel : Algebra, 'i . Th. der Oberflâcheu und 
der Raumkurven, î. Uebgn. des math. Seminares, 2. -- Neumann : Funk- 

tionentl rie, S ; Analyt. < iemneirie îles Itaumes, 2 ; Malli. Uebgn. fur mitt- 

Lere Semester, 2. — v. Dalwigk : Siaiik, 2; Angewandte Mathematik : <n-.t- 
phische Statik mil Uebgn . im Anschluss an die VorJesung ûber Siaiik. 2 ; 
Hôhere Fragen ans der Elementarmathematik, 1. — Jung: Integralrech- 
nung, 5. 

Strassburg ; Universitdt. — Reye: Analyt. Géométrie des Raumcs (neuere 
Methoden), 3; Mathematische Théorie der Elastizilât fester Kôrper, 2. 
Uebgn. des math. Seminars, 2 g. — Beckkr : Bahnbestimmung der Planeten, 
Kometen und Météore, 3; Elem. der hôheren Geodasie, 2; Seminaristische 
Uebgn. [Kolloquium), g ; Astronomische Beobachtungen an <\rn Instrumenten 
der Sternwarte — Weber : Differential- und Integralrechnung, \ ; Enzyklo- 
piidie der Elementar Mathematik. 3; Uebgn. <1< ^ math. Oberseminars - g. 
— Wislicenus : Geometrische Optik. 1 ; Photometrie «les Himmels, 1 ; Ge- 
meinverstimdliche Erkliirung astronomischer Wahrnehmungen, '\ orkomnisse 
und Einrichtungen im tiiglicheri Leben, 1 ; Besprechung der neuesten litte- 
rarischen Erscheinungen auf astronomischen Gebiete, 2 g. — \\ ellstein : 
Elliptische Intégrale, 2 ; Determinanten und Matrizen, 3 ; Uebgn. des math. 
Unterseminars, 2 ; Uebgn. des math. Oberseminars (gemeinschaftlich mit 
Weber und Epstein), 2 g. — Timerding : Analyt. Géométrie der Ebene mit 
l'ebgn. 5; Graphische Statik mit Uebgn., 4. — Epstein: Neuere Untersu- 
chungen in «1er Théorie der analyt. Funktionen, 1 ; Uebgn. des math. Ober- 
seminars in Gemeinschaft mit Weber. — Simon : Gesehichte d. Mathematik 
im Allerthum, 2 — - Wirtz : Ausg. Kapital d. Himmelsmechanik. 

Tùbingen ; Universitàt. — V. Brii.i. : Einfûhrung in die hôhere Mathema- 
tik, î ; Th, der algebraischen Knrven, 3 ; Uebgn. im math. Seminar, 2. — 
V. Stahi. : Hôhere Analysis II : Integralrechnung, 4 ; Partielle Differential- 
gleichungen, :> : Uebgn. im math. Seminar, 2. — M.vurer : Darstellende 
Géométrie II. 2; Uebgn. zur darstellenden Géométrie II, 1; Elliptische 
Funktionen, 2. 

Wùrzburg ; Universitàt. — Pry.m : Differentialrechnung mit Einleitung in 
die hôhere Analysis. i. Analyt. Géométrie der Ebene I. Teil, 4; Im Prose- 
mi nar : Uebgn. zur Differentialrechnung, 2: Im Seminar: Auegewahlte 
Kapitel i\cr hôheren Mathematik. 2. — Selling : Th. der algebraischen 
Gleichungen, i . Analyt. Mechanik, 4 , Th. der Planetenbewegungen, 3 : 
Beschreibende Astronomie, 1. — Rost : Th. der partiellen Differential- 
gleichungen, 'i : Invariantentheorie, i ; Analyt. Géométrie des Raunies. i : 
Im Proseminar (gemeinsam mit dem Assistenteni : a) Einfûhrung in die 
darstellende Géométrie. 2; h) Elem. der Determinantenlheorie, 2 ; cj Ebene 
und spharische Trigonométrie, 2; Im Seminar: Anleitung zu selbstàndigen 
wissenschaftlichen Arbeiten, taglich. 






1 6 /V O T E S ET DOC V M E N T S 



ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

University of Chicago. — E. H. Moore : Selected chapters in the theory 
of fonctions of a real variables; Seminar 2. — O. Bolza : Theory of in- 
variants (spring), 5; Theory of functions of a complex variable, 5. — H. 
Maschkiî : Differential geometry, 5; Advanced calculus (suramer), 5. — H. E. 
Slaught (Definite and elliptic intégrais, 3. — J. W. A. Youkg : Crilical review 
of secondary mathematics, 3. — L. E. Dîckson : Théorie of numhers 
(summer), 5: Algebraic numbers and forms. 3. — A. C. Lunn : Theory of 
potential (winter), 3. — Differential équations, 5. 

Johns Hopkins University (Baltimore). — F. Morley : Higher geometry, 2 . 
Vector analysis (first halfyear), 2 : Theory of functions (second half year), 2; 
Classic authors, 1. — A. Cohen : Elementary theory of functions, 2; Calcu- 
lus of variations, 2; Differential équations of mechanics, 2. — A. B. Coble : 
Theory of finite groups, 2. — F. Franklin : Theory of probability (winter), 2. 

SUISSE 

Basel ; Universitàt. — H. Kinkelin : Differential- u. Integralrechn. , I, '■'< : 
Bestinirate Intégrale, 2; Part. Differentialgleich., 2; Algebr. Anal., 2: 
Ueb. im math. Sem., 1, publ, — K. von der Mïhli. : Analyt. Mechanik, mit 
l il». 4; Ueber ein z. best. Kap. d. mathem. Physik, 4: Math.-phys. Uebgn., 
2, privatiss. u. g. — A. Riggenbach : Astrophysik, 2 : Spbàr. Trigonometr. 
u. Fini, in d. sphàr. Astronom., 3. — R. Flatt : Pâdag. Sem. (math.-nalurw. 
Abt.), 3; Einf. in d. projektiv. Géométrie, 1. — O. Spiess : Algebr. Glei- 
chungen, 2, Synthet. Geom., 2; Ellipt. Funkt., 3. 

Bern; Universitàt. — Graf : Besselsche Funktn. m. Rept., 3; bestinirate Inté- 
grale u. Gammafunktn. m. Rept., 3 ; Differtlgleichgn.. 2 ; Differtl- u. Integral- 
rechn., 2; Funktntheorie, 2- Renten u. Yersichergsrechng., 2; mathemat. 
Seminar, 2. — Ott : Integralrechng. , 2 ; analyt. Géométrie d. Ebene, II. Teil, 
2. — Huber : Mechanik d. Himmels, 2; Einltg. in d. Théorie d. algebr a. 
Flâchen, 2. — Benteli : Darslell. Géométrie : Kurven, Strahlenflachen, 
regul. Polyeder, 2 : Uebg. u. Repet., 2 ; prakt. Géométrie I, 1 : konstrukt. 
Perspektive, 1. — Moser : Die Intensilatsfunklion ni. Anwdgn. a. d. Sler- 
blichktsmessg. , 1; math.-versichrgswissenschftl. Seminar in Verbndg. m. 
Uni. Prof. Dr. Graf, 2. — Griser : Anwndgn. d. Diffrtlrcling. in der Physik. 
1 : Vector- Analysis, 1. — Pexidek : Niedere Zahlentheorie, 3 ; Elem. <\i-v 
Mengenlehre, 2 : ausgew. Partien d. analyt. Zahlentheorie, 1. — Crelier : 

Géométrie d. Bewegung. 2 : synthet. Géométrie, II. Teil, 2. 

« 

Genève; Université; — C. Cailler : Calcul différentiel et intégral, 3: Mé- 
canique rationnelle. 3 ; Conférences d'analyse supérieure, 2. — H. Fehr : 
Algèbre supérieure, 2; Géométrie analytique, 2: Séminaire de géométrie 
supérieure, 1. — Cailler et Fehr : Exercices pratiques de calcul différentiel 
ei intégral, 2 ; Fxercices de mécanique. 2 : Exercices d'algèbre et de géomé- 
trie, 2. — R. Gu ni i; : Astronomie générale, 2. — J. Lyon: Théorie algé- 
brique des formes quadratiques, I. — René de Saussure: Géométrie du 
mouvement. 2; Mécanique <li"< fluides. I. — D. Mirimanoff : Physique ma- 
thématique (chapitres choisis), 2. 



BIBLIOGRAPHIE \\: 

Lausanne; Université. — M. Amstei.n : ".aie. diff. el intégr. I. 6; II, 2; 

Exerc. de cale, I. 2 : II. I. Théorie des Fonctions, .'i. — Joli '■ i. des- 

cript. I. 5 : Géom. anal.. 2 ; Géom. de posil . 2 : Epures de géom. di script., 
I ap.-m.; Les courbes planes, 2. — Mayor : Mécan. rationn., 5 ; Exerc. de 
mécan . 1 ; Physique mathém., 2. — Maillard: Cale, infinit, avec applicat. 
aux sciences, 3; Astron. , la terre, le soleil, 3; Astron, mécan. el mécan. 
céleste. 2. — Jaccotet : Fonctions sphériq., 2. 

Zurich: Universitât. -- Burkhardi Elem. d. Diff.- u. Integralrechg . 1 
Potentialtheorie, 4 : Math. Sem., 2. — Wolfer : Einl. in d. Astronomie 3 
Ici), dazu, 2; Einl. in d, Théorie d. Bahnbestimmungen, 2. — Weileb 
Darstell. Geom. m. Ueb., I. S ; Analyt. Geom. m. Ueb., I. 4 : Synth. Geom., 
:> ; Analyt. Geom. m. Ueb. f. Lehramtskd, 2. — Gubleb Algebr. Analys. m. 
Ueb. (f. Kami. d. Sek.-Lehrmts). 2 ; Delerminanten, 1 ; Sphar. Trigonomé- 
trie, 1 : (ieom. Unterricht a. d. Mittelschule, 1. 

Zurich ; Ecole polytechnique fédérale. — Section normale des sciences 
mathématiques'. — Hirsch : Differentialrechn., 4, Repet., 1. Uebgn., 2; 
Théorie der lin. Differentialgleichgn. , 3. — Franel : Calcul diff. el intégr., 
i : Repet.. 1. Exerc, 2; Th. des équat. différentielles, i. Repet., 1. — Gi i- 
ïer : Analyt. Geom i, Repet.. 1. — Geisér h. Hurwitz : Mathem. Seminar, 
2. — W. Fiedler : Darst. Geom., 4. Repet., 1, Uebgn., i ; Konstruirende 
Geom. der Lage, 4 : Elem. d. analyt. Geom. der Lage, 1. — Lacombi 
Géom. descr., 4, Répét., I, Exerc.. 4 ; Géom. de position, avec exerc, •>. — 
Hurwitz : Differentialgleichgn., 4. Uebgn., 1 ; Idealthëorie, 2 : mathem. Se- 
minar (mil Geiser). — Hekzog : Mechanik, II. i ; Repel., 1, L'ebgn.. 2; 
Ausgew. Kap. der Mech., 2. — Rosenmund : VermesSungskunde, 3, Repet., 
I ; Erdmessung, 2 ; (ieodat. Praktikum. 2. — Rebstein : Kartenprojek- 
tionen. 1. — Weber : Differentialgleichgn. der Elektrotechnik. 2. — Wol- 
fer : Einl. in die Astronomie 3 ; I ebgû. dazu, 2 : Einl. in die Th. des Bahn- 
bestimmungen, 2. 

Beyel : Rechenschieben mit Uebgn., 1 ; Darst. Geom., 2: Flachen 2. 
Grades (analyt.), 2. Zentralprojektion u. projekt. Geom. ,2. — Dumas : Chap. 
choisis de la th. des intégrales définies. — Keller : Repet. d. Darst. Geom., 
2. — Kraft: Mathematik u. Mechanik wàhrend des « naturw. Jahrhunderts », 
1, Geom. Kalkùl. 2 ; Elem. der Elektronenlh. mittelst Vektoranalysis, 2 : 
Analvt. Mechanik. 3. 



BIBLIOGRAPHIi; 



Ett. Bortolotti. — Lezioni sul Calcolo degli Infinitesimi date oella R. Uni- 
versità di Modena. raccolte dal D r Ai-m Barbieri. — I fasc. in-S de VI- 
62 p. Prix : 3 L.: Société tipogr.. Modena. 

Si l'arithmétique et l'algèbre pement se passer complètement de l'idée 



L'Enseignement mathém., '■■ année: 1905! 



',18 BIBL1 O G II A P H l E 

de limite, par contre le Calcul des limites est le fondement nécessaire de 
1 analyse. 

Et c'est merveille de voir comment les analystes sont arrivés à trouver les 
valeurs vraies d'expression qui se présentent sous les formes : 

te 

1 . _. o & . X , etc. 
oc 

C'est à ce genre de questions qu'est consacré ce petit volume élémentaire 
Leur étude est présentée avec beaucoup de précision et soin, aussi cet exposé 
constitue-t-il une excellente introduction aux théories modernes, telles que 
celles qui sont développées dans les livres de M. Borel : « Fonctions en- 
tières » et « Séries à termes positifs ». 

R. d Adhémar (Lille). 

de Galdeano (D r Zoel G.) — Tratado de Anâlisis matemâtico. Tomo se- 
gundo. — Principios générales de la Teoria de las funciones. (Nuova En 
cilopédia matemâtica ; t. V). 1 vol. in-8° 352 p.), Zaragoza, Casanal, 1904. 

Ce second volume termine le Traité d'Analyse mathématique de M. de 
Galdeano. Nous avons indiqué, à propos du tome I er , consacré au Calcul 
différentiel, quel était l'esprit de cet excellent manuel et quel but s'était pro- 
pose l'auteur. Nous ne reviendrons pas sur ce point : qu'il nous suffise de 
dire que les qualités que nous avions signalées à propos de la première 
partie, nous les retrouvons au même degré dans la seconde: même clarté, 
même souci d'offrir sous une forme condensée et cependant facile, un exposé 
très complet de l'Analyse moderne. 

Voici sommairement résumée la matière du présent volume qui est divisé 
en cinq livres : Dans le premier, l'auteur insiste sur les notions du nombre 
irrationnel et de limite, puis il donne les principes de la théorie des quan- 
tités complexes avec n unités principales. — Dans le second, après avoir 
passé en revue le problème des quadratures, la convergence uniforme et les 
séries entières, il s'occupe de la continuité et de la discontinuité (fonctions 
uniformément continues, fonctions discontinues, fonctions intégrales in- 
tégrales définies singulières de Cauchy etc.). Le livre IV renferme la 

théorie des séries dont les termes dépendent d'une variable imaginaire et 
l'étude de l'intégration des fonctions d'une variable complexe. — Le livre IV 
comprend deux chapitres, l'un relatif au développement eu série des fonctions 
s\ acétiques, l'autre relatif aux fonctions algébriques. Quant au livre V, le 
dernier, il est consacré à lAnalvsis situs (surface de Riemann, variétés!. 

M. Godefroy i Marseille). 

G. llr.MBi.Kï. — Cours d'Analyse, professé à l'Ecole polytechnique. Tome II : 
Complément du calcul intégral. Fonctions analytiques et elliptiques. Equa- 
tions différentielles. 1 vol. gr. in-8° de 494 p. Prix: 16 fr., Gauthier- Vil- 
lars, Paris, 1904. 

La première partie de cet ouvrage a été analysée 1 année dernière dans 
Y Enseignement mathématique (T. VI, p. 325). L'esprit déjà signalé a été 
conservé dans la seconde partie qui donne toutefois l'impression d'une con- 
densation trop grande de certaines théories. C'est ce que l'auteur parait d'ail- 
leurs reconnaître lui-même dans sa préface, mais il faut se hâter d'ajouter 



B I B I. I <) G II A PHI I. \ 1 9 

qu'il a voulu sans doute ne | >;t -- dépasser dans son second volume le cadre 

matériel «lu premier. Dans ces <■> nul il ions 1rs théories se serrenl el s'étouf- 
fent un peu mutuellemenl mu point de vue du géomètre, tandis qu'elles sont 
résumées et mises sous forme éminemment maniable pour le praticien. 

Le volume en question commence par les intégrales multiples, leurs appli- 
cations, leurs transformations, aota lent celles usitées en Physique ma- 
thématique et l'on y rattache le calcul de nombreuses intégrales définies et 
notamment la théorie des fonctions eulériennes. 11 faudrait peut-être insister 
un peu plus, non seulement ici mais dans de nombreux traités sur le chan- 
gement de valeur que subit une intégrale multiple quand on intervertit I or- 
dre des intégrations. On signale bien les cas. et ce sont certainement les 
plus simples, où l'interversion n'a pas il influence, mais le- cas contraires 
se présentent souvent, par exemple dans les solutions île Cauchy-Fourier 
• les équations de la Physique : tantôt on peut intervertir, tantôt on ne le 
peut pas. Dans le chapitre des fonctions eulériennes, on insiste sur le rôle 
de la fonction T dans le calcul des probabilités et on termine par une belle 
démonstration de la transcendance du nombre e. Nous voici maintenant dans 
les fonctions analytiques, apparaissant, comme toujours, comme fonction d une 
variable complexe, première notion d'où l'on déduit par la voie de Cauchy 
la développabilité en série entière. L auteur a complété son cours oral en 
rappelant les résultats si importants sur le développement des fonctions 
méromorphes, résultats dûs à Mittag-Leffler et à Weier strass. Quant à la 
théorie des résidus et à ses applications, c est là qu'on a véritablement plai- 
sir à lire M. Humbert. Ses travaux personnels, dont malheureusement il ne 
peut donner ici grande idée, l'ont fait passer maître dans ce magnifique do- 
maine. Avec beaucoup d'élégance, il calcule de nombreuses intégrales sim- 
ples et nous prépare ainsi à une théorie des fonctions elliptiques qui occupe 
à peine 72 pages, mais qui est pleine de valeur, de résultats précis et beaux. 
Il trouve le moyen d étudier la cubique plane, le pendule, le théorème de 
Poncelet et encore d autres résultats géométriques curieux concernant, par 
exemple, les arcs de lemniscate. 

La second moitié du volume est consacrée aux équations différentielles. 
On entre en matière tort heureusement par la considération de types sim- 
ples d'équations intégrales et non par la considération des théorèmes géné- 
raux d existence. L'éminent esprit géométrique de M. Humbert apparaît bien 
dans ces premières considérations où les interprétations géométriques abon- 
dent isolutions singulières, propriétés géométriques des intégrales des 
équalious élémentaires précisément intégrables comme, l'a montré Sophus 
Lie, à cause des groupes de transformations qu'elles admettent). Voici donc 
les équations à variables séparées, homogènes, linéaires, de Beruoulli. de 
Riccati, de Lagrange, de Clairaut, puis les artifices d'intégration, le facteur 
intégrant et les applications très (dégantes aux trajectoires, aux lignes asvm- 
ptotiques et aux lignes de courbure des surlaces, particulièrement des 
quadruples, enfin la célèbre équation d'Euler qui a joué un rôle fondamental 
daus la genèse et la théorie des fonctions elliptiques. 

La réductibilité aux formes intégrables des équations d'ordre quelconque 
entraine l'étude de la courbe élastique, la démonstration du fait que les co- 
niques sont les seules courbes dont les lignes diamétrales admettent (aux 
points où elles coupent la courbe) des tangentes passant par un point ûxe, 
l'étude de la courbe où le rayon de courbure esl proportionnel au rayon 
vecteur, de la courbe de poursuite et enfin celle des lignes géodésiques. 



420 BIBLIOGRAPHIE 

C'est là i.i ii problème difficile dont M . Humberl. indique cependant les 
grandes lignes pour des applications particulières (cylindres, surfaces de 
révolution, ellipsoïde). 

Les théorèmes généraux de Cauehy sur l'existence des intégrales sont 
exposés maintenant à propos des systèmes d'équations différentielles. Celte 
exposition est encore facile à saisir géométriquement. Quant aux équations 
linéaires leur étude élémentaire bien connue est suivie de l'étude de l'in- 
tégrale faite sur l'équation même en dehors de la possibilité de l'intégration 
explicite (Fuchs, Poincaré. Painlevé, etc.). IVous savons suivre ainsi ] in- 
tégrale générale dans le plan et reconnaître, par exemple, si elle y est 
méromorphe, holomorphe, rationnelle. Signalons en outre quelques pages 
relatives à l'équation de Lamé. 

Les équations aux dérivées partielles sont traitées avec rapidité. Leurs so- 
lutions sont immédiatement présentées comme des surfaces pouvant passer 
par une courbe gauche arbitraire et admettre, dans le cas du second ordre, 
un plan tangent variant le long de cette courbe, de façon également arbi- 
traire. L idée de caractéristique, prise par son côté le plus élémentaire, est 
habilement introduite. Les équations aux différentielles totales et les équa- 
tions f f.r, y. z. p, q) = o sont traitées sobrement, mais suffisamment. 
Enfin l'ouvrage est terminé fie la façon la plus utile par une belle collection 
de problèmes résolus, problèmes relatifs aux fonctions analytiques et ellip- 
tiques et destinés sans doute à éclairer les théories correspondantes comme, 
par exemple, ceux que M. Painlevé a traités dans le Recueil d'exercices de 
Tisserand. A. Buhl (Montpellier). 

R. Schussler. — Orthogonale Axonometrie. Ein Lehrbuch zum Selbststu- 

dium. Mit 29 Figurentafeln in besonderem Hefte. — 1 vol. relié, in-8°. 

VIII-170 p., prix: 7 Mk, ; B. G. Teubner. Leipzig. 

En rédigeant ce traité d axonometrie, l'auteur s'est proposé de mettre en 
relief la valeur théorique d'une méthode de projection qui, dans la pratique, 
a déjà de nombreuses applications à la représentation des objets. Il rappelle 
dans la préface le noms de Skuhersky, Slaudigl, Pelz, Weiler, etc., qui 
ont tout particulièrement contribué au développement de cette branche de 
la Géométrie. Les travaux de Pelz ont fait de l'axonométrie une méthode de 
projection dans laquelle on peut effectuer toutes les constructions géomé- 
triques, comme dans le cas de deux plans orthogonaux. Les principes 
essentiels de celte méthode sont exposés dans ce volume sous une forme 
très simple, facilement abordable même à ceux qui n'ont pas encore fait de 
la géométrie descriptive. 

L'ouvrage comprend quinze chapitres. Dans les trois premiers l'auteur 
étudie la représentation axonométrique du point, de la droite et du plan. 
Puis, dans le chapitre suivant il examine les applications à la construction 
des ombres, et, dans le chapitre Y. les problèmes essentiels concernant le 
prisme et la pyramide : leur représentation, section plane, intersection avec 
une droite, pénétration, ombres. 

Les problèmes relatifs aux droites et plans perpendiculaires foui l'objet 
d une étude approfondie, ainsi que les divers problèmes métriques usuels. 
Viennent ensuite les propriétés et constructions en concernant le cercle et 
les sections coniques. Elles donnent lieu à d'intéressantes remarques qui 
seront Inès avec profit par tous ceux qui enseignent la Planimétrie, la Sté- 
réométrie, la Géométrie descriptive et même la Géométrie analytique. 



B I II L I O G I! 1 l'H I E '. 2 1 

Les derniers chapitres sonl consacrés aux surfaces coniques el cylindri- 
ques du second ordre, à la sphère el aux surfaces de révolution 

Quant à l'exposé lui-même, il est présenté avec beaucoup de soin el de 

clarté. Les divers problèmes sonl étudiés successive ni dans l'espace, 

puis graphiquement. Chaque chapitre se termine par des exercices à résou- 
dres. Les figures, au nombre de 200, onl été réunies en un fascicule 
spécial. 

Nous n'avons guère relevé de corrections. Mentionnons toutefois l'emploi 
incorrecte de l'article indéfini au lieu de I article défini il faul parler du 
plan passant par 3 points donnés el non pas d'un plan, p. 57. Dans la dis- 
cussion du problème de I intersection de deux pyramides I auteur omel le 
cas particulier où les plans auxiliaires limites se confondent. 

1'. 111. « Tout plan passant par le sommet dune surface conique coupe 
la surface suivant des génératrices; » Ce théorème u'esl pas correcl ; il esl 
eu contradiction avec ce qui esl dil à la page 114. 

Quoi qu'il en soit, nous tenons à déclarer que l'ouvrage de M. Schûssler 
nous a vivement intéressé el que nous pouvons le recommander non seule- 
ment aux étudiants, mais à tous ceux qui enseignent la Géométrie des- 
criptive. C. Brandenbekger (Zurich). 

J.-.I. Thomson. — Elettricità e Materia (traduit de l'anglais en italien, 
avec annotations, par G. Faè), — 1 vol. cart. YIII-200 p.; Collection Hôpli ; 
prix: L. 2. — ; U. Hôpli, Milan, 1905. 

Le livre du Prof. J.-J. Thomson esl constitué par une série de leçons que 
l'auteur a données à la Yale University de New-Haven, sur les récentes dé- 
couvertes de la radioactivité de certains corps, avec les résultats des 
recherches expérimentales sur ce sujet, résultats qui semblent devoir révo- 
lutionner le champ des théories fondamentales physico-chimiques. 

Les nouvelles théories, que l'auteur examine avec la compétence qu'ap- 
partient à l'un des plus illustres collaborateurs de la première heure, avan- 
cent franchement dans la voie qui vient de s'ouvrir, conduisant à des points 
de vue nouveaux sur la constitution de la matière et sur la nature de l'électri- 
cité. On ne peut douter que ces nouvelles théories, au fur et à mesure de 
leur rapide développement, n'apportent de l'ouvrage aux mathématiciens! 
auxquels esl réservée, comme toujours, la charge honorifique due à 1 élé- 
gance de leurs méthodes, d'en prendre la haute direction lorsque l'édifice 
demandera pour son esthétique un sévère couronnement architectural. Cette 
intervention ne saurait larder, aussi croyons-nous que la lecture de cet 
ouvrage sera d un grand profit non seulement aux physiciens et aux chi- 
mistes, mais aussi aux mathématiciens. Cette traduction de l'anglais en ita- 
lien, due au professeur Faé. est faite avec exactitude et elle est enrichie 
d'un appendice contenant un résumé de résultats très intéressants des re- 
cherches du chimiste Nasini sur la radioactivité des sources et des miné- 
raux d'Italie. Le traducteur en a augmenté la partie bibliographique : il a 
ajouté un sommaire des chapitres et une table alphabétique. 

Th. Tommasjna (Genève . 

G. Vivanti. — Leçons élémentaires sur la théorie des groupes de trans- 
formations, professées a I Université de Messine et traduites par A. Bou- 
langer. — I vol. gr. in-X" de 800 pages. Prix: 8 IV. . Gauthier- Villars. Pa- 
ri-, 1904. 
Le présent ouvrage a a pas de visées originales. Il ne reprend pas la 



'i-22 BIBLIOGRAPHIE 

théorie des groupes sous un nouvel aspect et ne parle pas des recherches 
modernes y relatives lesquelles ont cependant permis d'établir les théorèmes 
fondamentaux de Lie par une voie sinon plus élémentaire du moins plus 
courte que celle suivie par l'illustre géomètre norvégien. 

C est un résumé habilement fait des grandes lignes de son œuvre même ; 
beaucoup de géomètres lonl vu en étudiant les leçons italiennes de M. A i- 
vanti et en demandant à ce dernier quelques vues claires qu'on ne peut dé- 
gager des 2000 pages de Lie qu'après un travail des plus laborieux. Aussi 
M. Boulanger a rendu un réel service aux Français en traduisant le court 
résumé du professeur italien. 

Il faut dire aussi que l'œuvre de Lie a moins besoin d être résumée que 
d'être désencombrée. L'ouvrage Lie-Engel surtout paraît avoir été compliqué 
à plaisir. A tout le calcul fonctionnel de Lie. Engel a ajouté des choses qui 
en somme n'ont pas directement trait aux idées propres de la théorie des 
groupes continus, comme par exemple l'étude des transformations em- 
ployées au point de vue de savoir si elles conservent, et dans quelle mesure. 
certaines propriétés analytiques des fonctions auxquelles on les applique. 
M. Yivanti a commencé par se débarrasser de tout cela et il a eu grandement 
raison. La théorie des groupes doit être prise par son côté formel et la no- 
tion de transformation infinitésimale doit être considérée comme analogue à 
la notion de dérivée. Or il est prudent d'apprendre le calcul élémentaire des 
dérivées bien avant de chercher à savoir quelles sont les fonctions qui en 
ont légitimement une. L'exposition de Lie aurait pu, peut-être, être simpli- 
fiée encore davantage, ne serait-ce que dans les notations. Ainsi pour la 

substitution dans une fonction f[xi, » - 2 I de nouvelles variables x'i, x'i,. . 

nous avons le développement fondamental 

f(x') = f(x) + j-, X (/) -f I X 2 [f] +...-, 

où X 1 ) est l'opérateur de la transformation infinitésimale correspondante. 

Or cela s'écrit symboliquement /' [x ) = e et on aurait pu désirer que 

cette façon d'écrire soit indiquée. Mais l'ouvrage est excellent, complet au- 
tant que le permet son allure élémentaire. Il donne idée du rôle de la 
théorie des groupes dans celles des équations différentielles et va jusqu'aux 
transformations de contact, aux groupes de fonctions et au rôle que jouent 
ces derniers dans In construction des groupes ponctuels. 

A. Bi/Hi. (Montpellier). 

W. Yoigt. — Thermodynamik. II. Band : Zweiter Teil. Thermisch - chemi- 
sche Umsetzungen. Dritter Teil. Thermisch -electrische Umsetzungen. 
(Sammlung Schubert. XLVIIIi. 1 vol. cart. in-8°, XI -)- 370 pages; prix : 
10 Mk. ; Gœschen, Leipzig, 190i. 

Lorsque l'année dernière nous avons parlé du premier volume de la Ther- 
modynamique de M. Yoigt, nous avons dit que le savant professeur a voulu 
présenter une exposition claire et élémentaire d'un vaste édifice scientifique. 
La lecture du second volume de cet ouvrage ne peut que confirmer tout ce 
que nous avons dit. Il est impossible de donner en peu de lignes, une idée, 
même bien imparfaite, de tout ce que M. Yoigt a su, en vrai maître condenser 
dans un petit volume, en suivant naturellement la méthode déjà adoptée. 

Le volume comprend deux parties; dans la première, la plus étendue. 



Il II: I 10GRA 1' III I 123 

l'auteur étudie les transformations thermo-chimiques; dans la deuxième, 
les transformations thermo-électriques. On peul dire qu'il, n'y a peut T être 
(I argument que M. Voigl n expose, depuis la règle des phases et les travaux 
de Willard Gibbs. à ceux de van der Waals, à la thermodynamique des 
radiations, au théorème de Kirchhoff, etc. 

Cet Ouvrage constitue un répertoire très précieux comprenant uni assez 
complète bibliographie, de très nombreux exemples, des calculs numériques 
et des tables étendues. 

R. Makcoi.um.' i (Mi ssine). 

Mineo Chini. — Corso spéciale di Matematiche con numerose applicazioni 
ad us.) principal mente dei Chimici e dei Naturalisti. 1 vol., 259 p. Prix 

L. 3.80: Raff. Guisti. Livourne. 

Ce petit volume renferme les matières du Cours spécial de mathématiques 
qui a été créé à l'Université de Pavie pour les étudiants en chimie et en 
sciences naturelles. Il comprend quatre parties. Dans la première, intitulée 
Compléments d'Algèbre, sont réunis les sujets suivants: Progressions, Loga- 
rithmes, Analyse combinatoire, binôme, déterminants, systèmes d'équations 
linéaires. La seconde partie est consacrée aux éléments de Géométrie ana- 
lytique à deux et à trois dimensions: puis viennent . dans les deux dernières, 
les éléments du Calcul différentiel et intégral. 

Dans chacune de ces parties l'auteur s est limité aux notions essentielles 
et s'est efforcé de les accompagner d'exemples qui sont de nature à inlé- 
resser les chimistes ef les naturalistes. A signaler dans la troisième partie 
un chapitre spécialement consacré à la théorie, des erreurs. 

Il s'agit donc d'une première initiation aux Mathématiques supérieures 
dans le genre de celles que fournissent les ouvrages de Nernst et Schœn- 
flies. de Lorentz et de Vivauti iCollection Hœplii. et, à ce titre, le manuel 
de M. Chini est appelé a rendre grand service aux étudiants. 

E. Grimsehl. — Angewandte Potentialtheorie in elementarer Behand- 
lung, I. Band (Sammlung Schubert). — 1 vol. cart., 219 p. : prix : M. • >. — ; 
G. J. Gôsehen. Leipzig. 

Parmi les théories mathématiques qui ont été créées depuis un siècle, 
celle du potentiel est certainement lune des mieux connues. Comment expli- 
quer alors qu'on ne se soit pas accordé jusqu à présent sur la manière de 
définir le potentiel:' Le potentiel est-il une fonction de forces ou bien une 
fonction de forces changée de signe ou bien enfin une fonction de forces 
divisée par une constante ? Dans le premier cas les composantes île la 
force sont égales aux dérivées partielles du potentiel V et 1 on a. par 
exemple : 



dans le second 



dans le troisième enfin 



X = ÎT ; 

e.r 



è.r 



bl 

Si 



3 
Quelques auteurs partent, poui définir le potentiel, de l'égalité 1 : Le 



Ï24 Bl fi LI <; HA P II I E 

potentiel est alors une fonction de forces. Mais, contrairement à cette défi- 
nition première, ils posent en électrostatique (dans le cas où le potentiel 

i.. ,, , w i • • i „ m ., 

est du a une masse m\ \ = /. — ou plus sunplemenl V z= — . 11 serait 

,. ; . 

plus logique dans ce ras de poser "\ = — k — . D'autres auteurs préfèrent 

au contraire partir de l'égalité (2) ; le potentiel est alors une fonction de 
forces changée de signe; mais en même temps ils posent, dans le cas de 

l'attraction newtonienne, V = f — . Il serait plus logique de fait e V = — f— . 

r i3i r 

I) autres enfin posent, avec M. Appell, Y = — , dans les deux cas. H n'y 

a aucun reproche à faire à cette définition. Au lieu des égalités (1) el (2) on 
a I égalité (3), mais la constante c est égale à /'dans le cas de l'attraction 
nèwtonienne et à — k ou à — 1 en électrostatique. 

I. auteur du présent ouvrage sur la théorie du potentiel part de la notion 
de travail et il arrive à I égalité (2). Pour lui la propriété (2) est caractéris- 
tique du potentiel. Or il choisit précisément, comme première application 
• le la théorie du potentiel, l'étude de l'attraction nèwtonienne et il pose 

A = /'— . L'égalité (2) n'est plus vraie. Elle donne bien l'intensité de la 

force, mais non sa direction (voir les §§ 23 et 32, p. 58 et 79). 

Autre remarque ; de même que les mathématiciens français évitent de dire 
« potentiel du point P », lorsque le point P est le point attiré, il serait pré- 
férable de ne pas dire : « Potential des Punktes P » icomp. Encyclopâdie 
der mathem. Wissensch.., t. II, A. 7 b). 

Cela n'empêche pas, j'ai hâte de rajouter, que le livre de M. Grimsehl ne 
soit un ouvrage excellent, à en juger par le premier volume, seul encore 
paru. Ce volume est divisé en trois parties : dans la première 1 auteur ex- 
pose les principes de la théorie du potentiel, les deux autres parties con- 
tiennent les applications à la théorie de 1 attraction el à 1 électrostatique. 
On y trouve des renseignements curieux qui ne manqueront pas d'intéresser 
le lecteur. L'auteur ne se contente pas, par exemple, d'énoncer la loi de 
Coulomb, il donne un aperçu très intéressant des expériences qui permet- 
tent de la vérifier. 

Parmi les applications traitées dans la 2 e partie j'indiquerai la détermina- 
tion rie la masse de la terre, de son potentiel et de son attraction en suppo- 
sant que la densité est une fonction linéaire entière de la distance au centre, 

Parmi les sujets que l'auteur traite dans la 3 e partie on trouve la notion 
de flux de force el les théorèmes classiques de Gauss. la méthode des ima- 
ges, les propriétés caractéristiques du potentiel et des composantes nor- 
males dans le voisinage de la surface d un conducteur, la théorie des con- 
densateurs et bien d'autres applications aussi intéressantes qu'utiles. 

1). Mikimanoii (Genève); 

René de Saussure. — Théorie géométrique du mouvement des corps. 

(Solides et fluides.} l re partie 1 vol. 87 pages. Librairie Kùndig, Genève. 

Dans les ouvrages de M. Darboux, (Leçons sur la tliéorie des surfaces), 
de M. Konigs. [Leçons de Cinématique, Paris 1 8 9 7 1 et dans plusieurs mé- 
moires récents, on étudie surtout la théorie analytique des mouvements 
infiniment petits à plusieurs paramètres M. de Saussure, qui a résumé dans 



BIBLIOGRA /'////: 125 

celle première partie de son ouvrage ses recherches antérieures, a f.iii une 
intéressante el originale étude de la théorie géométrique 'les mouvements 
finis d'un corps avec plusieurs degrés <le liberté. 

L'auie m- envisage il m lu > ni (chap. I | les mouvements dans un plan el ensuite 
(chap. II les mouvements dans l'espace. Pour plus de brièveté nous ferons 
connaître les principaux résultats «lu deuxième chapitre, dont le premier n esl 
qu'un cas iié> particulier; l'auteur l'a exposé, avanl tout, pour plus de 
clarté. 

Les mouvements de translation T sont engendrés par un corps solide qui 
se déplace en restant symétrique d'un corps fixe par rapport à une série de 
points: suivant que ces points sont sur une courbe, sur une surface, OU ~< > n l 
tous les points de l'espace, T est à un. deux ou trois paramètres Parmi les 
translations à un paramétre on doit considérer Ti 1 et 'IV suivant que la 
courbe est une droite ou un cercle; parmi celles à deux paramètres on a 
Ti 2 el T2 2 si la surface est un plan ou une sphère : elc. Au point de vue mé- 
canique les T 1 , T 2 peuvent être engendrées respectivement par le glissemenl 
d'une courbe ou d'une surface sur une courbe ou surface symétrique. 

Les mouvements de rotation Pi sont engendrés par un corps qui se déplace 
en restant symétrique par rapport à une série de plans ; ou a une rotation 
R à un, deux ou trois paramètres selon que cette série esl celle des plans 
tangents à une surface développable, à une surface quelconque ou est la série 
de tous les plans de l'espace. Si la surface développable se réduit à une 
droite on a la rotation R*i ordinaire, c'est-à-dire celle autour d'une droite 
[roulemenl d'une droite sur elle-même), on d une figure plane autour d un 
point: si la surface est un cône ou un cylindre de révolution on a la rotation 
R2 1 sphérique ou plane; si la surface quelconque se réduit à un point propre 
ou à 1 infini, déterminé par une gerbe de plans, on a une Pu" sphérique ou 
plane : si c est une sphère on a une R2 2 . etc. Toute rotation R 1 , R 2 peul 
être engendrée par le roulement d une surface développable ou quelconque 
sur une surface fixe symétrique par rapport à l'un de ses plans tangents. 

Mais les rotations, dont l'auteur fait une étude approfondie, quoique plus 
générales que les mouvements de translation, ne sont pas des mouvements 
types dans I espace; car on ne peut pas faire passer, en général, de rotation 
par un certain nombre de positions arbitrairement données d'un corps. Il 
faudrait pour cela considérer les mouvements torsions) engendrés par un 
corps qui se déplace par rapport à une série de droites: ce que l'auteur ne 
fait pas dans cette première partie de son ouvrage. 

Signalons, parmi une foule de résultats, l'étude de la courbe ou surface 
trajectoire d'un point, de lenveloppe d'un plan et de la surface ou de la 
congruence engendrée par une droite liés au corps el de leurs singularités 
dans une Ri 1 el R 2 : l'étude des R 1 contenues dans R 2 et enfin le caractère 
commun à toutes les rotations, qui consiste dans le glissemenl d'un certain 
nombre de droites sur un nombre de droites fixes, formant une figure symé- 
trique avec les premières, etc. 

Toutes les applications de 1 élégante théorie de M. de Saussure ne sont 
pas nouvelles ; mais la théorie géométrique des mouvements produits par 
le roulement d'une surface (développable ou nom sur une autre a conduit — 
si je ne me trompe pas — l'auteur à des résultats nouveaux. Au contraire 
1 application au mouvement classique d'une figure plane ne donne rien de 
nouveau, à l'exception d'une construction nouvelle et élégante pour la com- 
position de deux rotations autour d'axes parallèles ; car la construction du 



426 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

centre de courbure d'un point de la figure lorsqu'on connaît ceux de deux 
autres points, n'est pas certainement plus simple que celle de Bobillier et 
qui a déjà été l'objet des recherches de M. Burmester {Lekrbuch der Kine- 
matik, Leipzig, 1888). La construction d'une R2 1 passant par trois positions 
arbitrairement choisies d'une figure plane contient une simple démonstration 
de l'élégante propriété que les trois positions sont toujours symétriques 
d'une même figure plane par rapport à trois droites -, mais elle est un cas 
particulier d'un théorème de Halphen sur la composition de deux mouvements 
hélicoïdaux 1 {Nouvelles Annales, I, :j ,,ie série, pag. 296. 1882). 

Disons quelques mots sur l'application au mouvement d'un fluide dans un 
plan ou dans l'espace. 

En chaque point d'un fluide en mouvement se trouve une molécule fluide 
M animée d'un mouvement dans une certaine direction D. La figure (Ml)| est 
ce cpie l'auteur appelle un élément fluide. Dans un plan l'élémenl fluide est 
l'expression la plus simple d'une figure de grandeur invariable. 

La ligne d'éléments fluides est une série ce 1 d'éléments fluides; celle qui est 
engendrée par un élément qui subit une Ri 1 autour d'un axe ou d'un point 
est dite couronne ; sa hase est le cercle décrit par la molécule, et sa gorge 
est le cercle de gorge de l'hyperboloïde engendré par I). 

En faisant subir à un élément fluide dans un plan une rotation à deux 
paramètres on a un couronoïde; c'est le lieu des positions d'un élément fluide 
symétriques d'un élément fixe par rapport à toutes les droites du plan. 
L'auteur en donne beaucoup de propriétés en se basant sur les propriétés 

des rotations. Si à l'élément fluid 1 fait subir une Ri 2 , on engendre une 

surface (couronoïde) d'éléments fluides. 

In fluide dans l'espace peut être engendré par un élément fluide qui subit 
un déplacement à trois paramètres ; l'auteur envisage seulement de nom-